1 Bewerkingen met matrices invoeren via voorbeelden. , is een commutatieve groep.

Transcriptie

1 1 Bewerkige met mtrices ivoere vi voorbeelde 11 -tlle e de bewerkige ( 1, 2, 3,, ) is ee -tl met i De verzmelig v reële -tlle otere we met Defiieer de som ls ( 1, 2, 3,, ) + (b 1,b 2,b 3,,b ) = ( 1 +b 1, 2 +b 2, 3 +b 3,, +b ) Het tegegesteld -tl is d (- 1,- 2,- 3,,- ) e het ulelemet: (0,0,0,,0) uitgerust met de som,, +, is ee commuttieve groep Defiieer de sclire vermeigvuldigig ls λ( 1, 2,, ) = ( λ1, λ2,, λ) met λ Tot slot ku je je fvrge hoe de vermeigvuldigig gedefiieerd k worde Neem ( 1, 2 ) e (b 1,b 2 ) 2 Defiiëer de vermeigvuldigig eve ls volgt: ( 1, 2 )(b 1,b 2 ) = ( 1 b 1, 2 b 2 ) met (1,1) ls eeheidselemet Met deze defiitie heb je ee probleem dt ee tl elemete gee iverse hebbe Neem bvoorbeeld (,0) We zoeke d (x,y) zodt (,0)(x,y) = (1,1) Volges de defiitie geldt dt (,0)(x,y) = (x,0y) = (1,1) x = 1 e 0y = 1 is vls Ee dere defiitie voor de vermeigvuldigig is geweze 12 Ivoere v mtrices Neem i {1,2,3,, m} e j {1,2,3,, } e de fbeeldig : (i,j) (i,j) = We schrve deze m beelde i ee tbel e oeme dit ee -mtrix A = m1 m2 m3 m met m re e kolomme Ee mtrix oemt met vierkt ls m = Het tl re oeme we de orde v de mtrix Bzodere vierkte mtrices: - NULMATRIX: lle elemete gelk ul - Digolmtrix: = 0 voor i j e voor i = j - SCALAIRE MATRIX: digolmtrix met gelke elemete op de hoofddigol Geboeid door wiskude e weteschppe Mtrices 1

2 De verzmelig v lle reële -mtrices otere we met Twee mtrices z gelk ls de overeekomstige elemete gelk z, mw voor AB, geldt dt A = B i {1,2,, m}, j {1,2, }: = b Twee mtrices gelksoortig ls ze dezelfde dimesie hebbe 13 Som v mtrices Ee herbergier heeft i z cfé ee voorrd v 2 bkke col e 3 bkke col light, 4 bkke fruitsp e 2 bkke clorie-rme fruitsp, 6 bkke pils e 1 bk lcoholvr bier Voor de kermis v zterdg vreest h ee tekort e h doet ee bkomede bestellig v 2 bkke col e 2 bkke col-light, 3 bkke fruitsp e 4 bkke clorie-rm fruitsp, 5 bkke pils e 2 bkke lcoholvr bier We pltse de voorrd i ee voorrdmtrix A e de bestellig i ee bestelligsmtrix B A = col 2 3 fruitsp 4 2 bier 6 1 B = Wt is u z ieuwe voorrd? col fruitsp bier bkke col e 5 bkke col-light, 7 bkke fruitsp e 6 bkke clorie-rm fruitsp, 11 bkke pils e 3 bkke lcoholvr bier Deze wrde schikke we weer i ee mtrix C: C = col fruitsp bier C bekom je door de overeekomstige elemete (elemete met ee zelfde rummer e eezelfde kolomummer) v A e B op te telle Me k llee gelksoortige mtrices optelle! Algemee defiitie Voor A= [ ] e B= [ b ] geldt A+ B= [ + b ] Voor ee mtrix A= [ ] oeme we de mtrix A= [ ] de tegegestelde mtrix Voor A= [ ] e B= [ b ] defiiëre we het verschil ls volgt: A B= A+ ( B) = [ b ] Geboeid door wiskude e weteschppe Mtrices 2

3 14 Sclire vermeigvuldigig Als de herbergier ee dubbel zo grote bestellig doet (de weersvoorspellige z heel gustig) d vrgt h 4 bkke col e 4 bkke col-light, 6 bkke fruitsp e 8 bkke clorierm fruitsp, 10 bkke pils e 4 bkke lcoholvr bier Het pltse v deze getlle i ee mtrix D geeft: D = col fruitsp bier Idie we lle elemete v de eerste bestelligsmtrix vermeigvuldige met 2, bekome we de mtrix D Algemee defiitie Voor k e A= [ ] is ka = [ k ] 15 De vermeigvuldigig Als we ee vermeigvuldigig defiiëre zols b -tlle, ( A B) = b, is dit ook u weer gee erg uttige vermeigvuldigig We voere drom de volgede vermeigvuldigig i UITGEWERKT VOORBEELD Alle oderstde getlle kome uit de voedigsmiddeletbelle v NUBEL (wwwubelcom) e geve wrde per 100g v het voedigsmiddel Ee otbt bestt uit chocoldemelk (hlfvol), croisst, volkorebrood e mger klkoebeleg Chocoldemelk 3,2 g eiwit 1,6 g vet 12,9 g koolhydrte 0 g vezels Croisst 9,2 g eiwit 26,3 g vet 503 g koolhydrte 2,3 g vezels Volkorebrood 11,1 g eiwit 2,3 g vet 44 g Koolhydrte 6,4 g vezels Klkoe 22,6 g eiwit 1,4 g vet 0,6 g koolhydrte 0 g vezels Ee otbt bestt uit grm chocoldemelk, b grm croisst, c grm volkorebrood e d grm klkoebeleg Hoeveel eiwit, vet, koolhydrte (KH) e vezels bevt dit otbt? We gebruike de cfers uit de bovestde tbel die omgereked worde r 1 g v het voedigsmiddel Eiwit: Vet: KH: Vezels: 0, ,092 b + 0,011 c + 0,226 d 0, ,263 b + 0,023 c + 0,014 d 0, ,503 b + 0,44 c + 0,006 d 0 + 0,023 b + 0,064 c + 0 d Telkes wordt voor elk bestddeel (eiwit, vet, KH, vezels) i de 4 voedigselemete v het otbt het product gemkt met de 4 gebruikte hoeveelhede, b, c e d Geboeid door wiskude e weteschppe Mtrices 3

4 We schikke de gegeves i ee mtrix A v 4 re e 4 kolomme A = E V KH Vez Ch Cr Vkbr Kb 0, 032 0, 092 0,111 0, 226 0,016 0,263 0,023 0,014 0,129 0,503 0, 44 0, , 023 0, Om het eiwit-, vet-, koolhydrte- e vezelgehlte i het volledige otbt te kee moete de 4 elemete op elke r vermeigvuldigd worde met de 4 hoeveelhede, b, c e d Deze 4 getlle schikke we i ee kolommtrix B B = b c d Ch Cr Vkbr Kb b c d is het product v de 4 elemete v de eerste r met de 4 elemete v de kolom Zo ook vermeigvuldige we de 4 elemete v de tweede, derde e vierde r met de 4 elemete v de kolom Deze 4 producte schikke we i ee kolommtrix C C = 0,32+ 0, 092b+ 0,111c+ 0, 226d 0,016 0,263b 0,023c 0,014d ,129+ 0,503b+ 0, 44c+ 0, 006d 0+ 0, 023b+ 0, 064c+ 0d C oeme we het product v A e B Op deze mier is de vermeigvuldigig v mtrices igevoerd Let voorl op de voorwrde dt het tl elemete v ee r v A gelk moet z het tl elemete v ee kolom v B of ders gezegd moet het tl kolomme v A gelk z het tl re v B (r-kolom regel) I os voorbeeld is A ee 4 x 4 mtrix e B ee 4 x 1 mtrix Voor C = A B is het tl re 4, het tl re v A e het tl kolomme 1, het tl kolomme v B Merk op dt gezie bovestde voorwrde B A omogelk is! Mw De vermeigvuldigig v mtrices is iet-commuttief Algemee defiitie p p Als A= [ ] e B = [ b ] is C = A B met c = i11 b j + i2b2 j + + ibj = ik bkj ( i {1,2,, m}, j {1,2, } ) k= 1 Geboeid door wiskude e weteschppe Mtrices 4

5 Opmerkig Voor de vermeigvuldigig v reële getlle, bvoorbeeld x e y, geldt de eigeschp dt idie x y = 0 dt ofwel x = 0 of dt y = 0 Voor de vermeigvuldigig v mtrices geldt deze eigeschp iet Als tegevoorbeeld beschouwe we de mtrices 0 0 A = 0 5 e 2 3 B 0 0 Duideljk geldt dt A 0 e B 0 mr toch geldt dt A B = 0 A e B omet me uldelers 16 Eeheidsmtrix e iverse mtrix 161 Eigeschppe i I is 1 het eeheidselemet voor de vermeigvuldigig dr 1= 1 = I heeft elk getl 0 ee iverse voor de vermeigvuldigig wt 1 = = = 1 = 1 (Let op de commuttiviteit!) I geldt voor 0 : x= b x= b x= 162 Aloge eigeschppe b mtrices 1 1 b De eeheidsmtrix I is ee vierkte mtrix die vermeigvuldigd met ee vierkte mtrix A v dezelfde dimesie terug die mtrix A oplevert A I = I A= A (Zie logie met de vermeigvuldigig i ) Uit de r-kolomregel e uit de commuttiviteitsvoorwrde volgt dt llee b de vermeigvuldigig v vierkte mtrices het zivol is te prte over ee eeheidsmtrix We beple de eeheidsmtrix v orde 2 b y b = y b x + bz = = cx + dz = c e y + bu = b cy + du = d Het oplosse v deze stelsels v 2 lieire vergelkige met 2 obekede geeft ls y 1 0 oplossig = Idie A ee iverse mtrix, A 1 1, heeft, moet A A = I = A A (Zie logie i ) I x heeft ekel 0 gee ivers elemet E wt i? Heeft ee iverse? E ? Geboeid door wiskude e weteschppe Mtrices 5

6 We beple de voorwrde opdt b A = ee ivers heeft b y 1 0 y b x + bz = 1 = = 0 1 cx + dz = 0 e y + bu = 0 cy + du = 1 Het oplosse v deze stelsels, ( x, yxu,, ) ifv ( bcd,,, ), geeft de volgede voorwrde om oplossige te hebbe: d bc 0 Vierkte mtrices die ee iverse mtrix hebbe, oeme we hete regulier e i het dere gevl sigulier Meetkudige iterprettie Elk stelsel stelt 2 rechte voor Beide stelsels hebbe éé oplossig voor elke obekede ls c de rechte sded z, mw ls de richtigscoëfficiëte verschilled z: b d 163 Toepssig Cryptologie is de leer v geheime codes e wordt gebruikt voor het otcfere v bkkrtcodes, pswoorde, METHODE VAN CAESAR De eevoudigste toepssig v substitutie-vercferig werd igevoerd door Julius Cesr Elke letter v het lfbet wordt vervge door de letter die 3 pltse verder stt i het lfbet Voorbeeld PUKKELPOP C: p p+ 3 SXNNHPSRS D: p p 3 b GEBRUIK VAN MATRICES Ee dere methode is het gebruik v mtrices b codere e decodere: A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F Voorbeeld P U K K E L P O P Stp 1 Schrf de letters i 2x1 mtrices e zet om i getlle P K E P P U K L O Geboeid door wiskude e weteschppe Mtrices 6

7 Stp 2 - Coderig (ecryptie) Kies ee willekeurige vierkte mtrix v dimesie 2, = = = , e bereke: = De boodschp wordt: = Terug omgezet i letters geeft dit: U J K V L Q O D P Voor het terug omzette i letters trekke we voor getlle groter d 27 ee veelvoud v 27 f e voor getlle kleier d 1 telle we ee veelvoud v 27 b Bvoorbeeld: = 3 C = 15 O Stp 3 - Decodere of otcfere (decryptie) U J K V L Q O D P Diegee die de boodschp otvgt moet dit otcfere e de vermeigvuldigig met de 0 1 sleutel opheffe Dit komt er op eer ee mtrix te vide die weer de oorsprokelke getlle teruggeeft y = y = y = y = y 12 5 = We zoeke y zodt y y 1 0 = = 0 1 Geboeid door wiskude e weteschppe Mtrices 7

8 De r-kolomregel toepsse, geeft: 0x+ 1y = 1 x= 1 e 1x+ 1y = 0 y = 1 0z+ 1u = 0 u = 0 1z+ 1u = 1 z = 1 Volges de defiitie v de iverse mtrix, is dit de mtrix = Associtiviteit v de vermeigvuldigig We hereme os otbt e we wille het tl Kcl (eeheid v eergiewrde) kee (1 Joule = 42 Kcl) 1 g eiwit bevt 4 Kcl 1 g vet bevt 9 Kcl 1 g koolhydrte bevt 4 Kcl 1 g vezels bevt 0 Kcl Hoeveel Kcl is er i 100 g chocoldemelk? 100 g chocoldemelk bevt 3,2 g eiwit, 1,6 g vet, 12,9 g KH e 0 g vezels e zo 3, , , = 78,8 Kcl We beple ee ieuwe mtrix D met de eergiewrde v eiwit, vet, KH e vezels Vermits i het product 3,2; 1,6; 12,9; e 0 de getlle z op de eerste kolom v A e rekeig houded met de r-kolomregel zl D ee 1 x 4 mtrix moete z die we liks vermeigvuldige met A Noem D A= E met elemete e voor i = 1 e j {1, 2, 3, 4} Per grm geeft dit: Ch Cr Vkbr Kb 0, 032 0, 092 0,111 0, 226 0,016 0,263 0,023 0, = 0,129 0,503 0, 44 0, , 023 0, [ ] [ 4 0, , , e e e ] = [ 0,788 e e e ] e 11 geeft de eergiewrde i 1 g chocoldemelk (hlfvol) = 0,788 Kcl, e 12 geeft de eergiewrde i 1 g croisst = 4,747 Kcl, e 13 geeft de eergiewrde i 1 g volkorebrood = 2,411 Kcl, e geeft de eergiewrde i 1 g klkoe = 1,054 Kcl 14 Veroderstel dt os otbt ls volgt is smegesteld: = 250 g (chocolde), b = 35 g (croisst), c = 60 g (volkorebrood) e d = 50 g (klkoe) D = Geboeid door wiskude e weteschppe Mtrices 8

9 De eergiewrde i dit otbt bedrgt: 0, , , , = 560,505 Kcl [ 0,788 4,747 2,41,054 ] of kortweg: ( D A) B= E B= F = [ 560,505 ] = F We g of het verpltse v de hkjes, D ( A B) = D C = G, hetzelfde resultt oplevert We beple AB = C De mtriix C geeft os het eiwit, het vet, het KH e het vezelgehlte i het otbt 0, 032 0, 092 0,111 0, 226 0,016 0,263 0,023 0,014 C = 0,129 0,503 0, 44 0, , 023 0, = ,18 15, ,555 4,645 Eiwit Vet KH Vezels Om de totle eergiewrde te kee mke we het product: 4 29, , , ,645 = 571,305 Kcl I mtrixottie geeft dit: [ ] 29,18 15, ,555 4,645 = [ 560,505] = G We besluite dt ( D A) B= D ( A B) De ssocitiviteit v de vermeigvuldigig v mtrices k me formeel bewze Geboeid door wiskude e weteschppe Mtrices 9