Quantumelektrodynamica

Transcriptie

1 1 Quantumelektodynamca Elektomagnetsche nteacte van deeltjes Stuctuu de matee deeltjesfysca 6 Pof.d Jo van den Band

2 Inhoud Sn- deeltjes Klen-Godon vegeljkng Olossngen voo osteve en negateve enege Het fotonveld Gauge nvaance, mnmale substtute Inteacte van sn- deeltjes met het fotonveld Sn-½ deeltjes Dac vegeljkng Quantumelektodynamca Elekton-muon vestoong e e - Ø m m -, qq,

3 Klen-Godon vegeljkng 3

4 Klen-Godon vegeljkng jµ you fnd as follows: kun je als volgt vnden µ * µ ( µ ) φ φ ( µ ) µ µ ( µ m ) φ φ( µ m ) KG: m m φ * * * KG : ( φ φ ) `Vetaal m naa QM ( µ µ ( t, ) dan E /m Schödnge vegeljkng) φ 4 * µ µ * * µ µ * µ µ φ φ µ µ µ j φ φ φ φ Poblemen E m ρ N Bete: he-nteetate van j µ E± m E E E Hstosch: vegeet Klen-Godon en gebuk Dac vegeljkng D.w.z. Deze nteetate s van: Paul & Wesskof Stückelbeg & Feynman

5 Deeltje antdeeltje 5 tme absote e (systeem) E e e emsse (E,) (E,) Voo een systeem s e geen veschl tussen: Emsse: e met µ (E,) Absote: e met µ (E, ) In temen van de geladen stoom (dchthed): e e Ofwel: de volgende scenao s zjn dentek!

6 Stongsekenng 6 e 1 e ode: tjd Paa annhlate e e e ode: Paa ceate Intemeda e e e Intemeda e e e Vanwege de antdeeltjes wodt het vacuum een comle systeem: e e aen kunnen ontstaan ut het vacuum of en ogaan.

7 7 Enege en mulsbehoud e e γ tjd ( ) ( ) ( ) ( ) k E E d e e M f f k f δ ω δ π 4 f ( ) ( ) ( ) ( ) k E E d e e M f f k f δ ω δ π 4 k k f k f k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k E E d e e M k δ ω δ π 4 ( ) ( ) ( ) ( ) k E E d e e M k δ ω δ π 4

8 Ijknvaante 8

9 Mawellvegeljkgen en Loentz nvaante 9 Mawell Stel h/πc1 en ntoducee otentaal A µ (V,A) en stoom j µ (ρ,j): E geldt Comacte met F µν µ A ν ν A µ

10 Ijknvaante (gauge nvaance) 1 Vjhed n de keuze van jkveld A µ (gauge feld) Omdat Gebuk vjhed om A µ te veeenvoudgen (covaant) Loentz condte A µ s nog steeds net unek; omdat We kunnen bjvoobeeld de olossng kezen (net covaant) Coulomb condte

11 Foton golffuncte 11 In vacuüm j µ en daaom Met als olossngen (vlakke golven) Gauge keuze: Loentz condte Coulomb condte In laats van 4 vjhedsgaden (ε µ ) slechts tansvesaal ccula ε cosϕ snϕ snϕ cosϕ ( cosϕ snϕ ) ( snϕ cosϕ ) / / 1/ / 1 e e ϕ ϕ ( 1/ ) ( / ) otate ϕ ond de z-as:

12 1 Inteacte van sn- deeltjes met het fotonveld

13 13 Dan Inteactes: Klen-Godon veld en A µ `mnmale substtute (of va lokale jknvaante) Hogee ode (essenteel voo gauge-nvaance!) atële ntegate gebuk: φne

14 π K π K vestoong (B) (A) K π γ (D) 14 K π (C) Veondestel: π vestoot aan A µ t.g.v. de K. Hoe vnd je A µ? Ansatz: Vndt een olossng van de Mawell vgl. met als stoom tem de `ovegangsstoom de hoot bj K! e q q e q De ovegangsamltude wodt dus:

15 π K π K vestoong De amltude M wodt (q D - B A - C ): g q (B) µν K γ (D) 15 K ( ) 4π e µ π π n n (A) (C) Plug n standaad utdukkng voo dσ AB CD /dω: Notate: s ( ) ( ) ( ) ( ) A A B A B A B B C D en E C A E B D f E C E D vewaaloos massa s

16 Feynman egels 16 Vetefacto: voo elke vete ntoducee een facto -e (4π) µ. e : koelng van deeltje aan het e.m. veld, µ : som van 4-mulsen voo en na de vete Poagato: voo elke ntene ljn ntoducee een facto g µν /q q: de 4-muls van het utgewsselde quantum B A e π ( B ) 4 D g q µν e 4π ( ) A C µ µ D C Houd ekenng met mulsbehoud n elke vete (utdukkng voo q n temen van A, B, C, D ) Vevolgens beekenng van de dffeentële wekzame doosnede

17 Elektodynamka (S): Feynman egels 17 Etene ljnen 1 n: ε µ k ut: ε µ Vetces k 4π e( ) µ k k 4π e g µν Poagatoen q q m q g q µν

18 π π π π vestoong 18 B (a) D B (b) D q A - C D - B q A - D C - B C A C A Gewoon egels volgen geeft En daamee de wekzame doosnede Let o: fakto ½ denteke deeltjes!

19 π π π π vestoong 19 B B π D D B B π π D D (a) A π q A - C D - B C (b) A π q A B C D π C Gewoon egels volgen geeft Etcetea!

20 π π K K vestoong Volg ondestaande egels B B π K D D 1. Feynman dagam(men) A π q A B C D K C. antdeeltjes tjdomkeng van deeltjes 3. amltude ( A B) ( C D) µ ( ) M 4π e 4. standaad dσ/dω utdukkng M A B dσ 1 1 dω 64π s 5. kes fame & maak 4-vectoen elcet 6. elatvstsche lmet (vewaaloos massa s) µ f A B A ( E A, ) ( E, ) B (, ) E A dσ α cos dω 4s ( E D, ) D en θ C ( E C, ) C D σ tot θ (, ) E B ( EC, ' f ) ( E, ' ) D πα 3s B f

21 Dac vegeljkng 1

22 Golfvegeljkngen Quantummechanca: De golffuncte wodt vekegen m.b.v. de tanscte Schödnge vegeljkng Klassek, E /m Klen Godon vegeljkng Relatvstsch, E c m c 4 Vegeljkng met e afgelede naa de tjd e bestaan olossngen met negatve enege Dac vegeljkng Relatvstsch, lnea n ψ/ t Om aan elatvstsche utdukkng E c m c 4 te voldoen: α en β matces met: 1

23 Dac algeba 3 De matces α en β moeten voldoen aan Egenwaaden α en β zjn ±1 en dmense (d) s even Voo d zjn e mamaal 3 ant-commuteende matces Voo d4 zjn e ndedaad 4 ant-commuteende matces (laagste dmense waan Dac algeba n kan woden geeesenteed)

24 Dac algeba 4 Elcet Loentz-nvaante notate ( β): met: Dac algeba: Je kunt laten zen dat defnte: Let o: γ µ s geen 4-vecto, (ze late voo echtvaadgng gebuk Loentz nde γ)

25 Dac vegeljkng 5 Het stoombehoud wodt vekegen va geconjugeede Dac vegeljkng: ψ ψ Dac vegeljkngen voo ψ en γ ψ Otellen na multlcate met ψ en ψ Dus stoom j µ : Vgl. Klen-Godon:

26 Olossng deeltje n ust: 6 Dac vgl. voo eenvoudg: ψ ψ A ψ B Slts ψ n twee comonenten, dan volgt ( (1/c) t ) e e Olossngen De 4 onafhankeljke olossngen volledg utgescheven:

27 Olossng bewegend deeltje: 7 obee `Ansatz voo sno u() slts sno u() n twee comonenten u( ) ua( ) ub ( ) Invullen B.v. voo u A ()

28 Wat levet σ? En hemee kan elcet aangetoond woden dat aan de elatvstsche vegeljkng voo de enege voldaan wodt (net eg vebazend: had Dac e n gestot!)

29 Volledge olossngen Dac vgl. 9 De 4 onafhankeljke olossngen woden m.b.v. de Dac snoen Nomalsate Olossngen E> (1 en ) Olossngen E< (3 en 4)

30 Dac stoom j µ 3 De stoom j µ voo (met standaad nomalsate) E De stoom j µ voo (met standaad nomalsate) E Waaom? Elcet utschjven, b.v. voo de -comonent De waaschjnljkhedsdchthed j s altjd ostef. Dt esulaat was utgangsunt van Dac s wek!

31 31 Instnseke sn De E> en de E< olossngen van de Dac vegeljkng zjn tweevoudg ontaad. Welke obsevabele kan deze toestanden ondescheden? Slm combneen:, 1 Σ h L H behouden! 1 Σ h L J ], [ ], [ ], [ ], [ ], [ Σ Σ Σ mc H m klm k m m klm k l k l k k l k k α α ε σ σ ε σ σ σ σ α β α net behouden! ], [ Σ Σ H Def. Σ σ σ Gebuk de Hamltonaan voo de Dac vgl.: mc H β α net behouden! ], [ L L H baanmulsmoment L ( ) ( ) Gebuk: ], [ ], [ ], [ h h h h h mc L H k lk l k jk lj l lj l j j l l k j jk l k j jk l l l l l l l l α α ε α ε δ α δ ε α ε α α α α β α

32 1 Wat levet o ψ? hσ 3 voo deeltjes met sn1/ ( 1 1 1) 4 z-comonent van de sn: ½ Σ 3 voo [H,Σ ] maa [H,Σ] en dus: ψ.h.a. geen egenvecto van Σ 3 Sn comonent // kan altjd gebukt woden: 1/ Σ ˆ deeltjes met sn1/ ½: osteve helctet ½: negateve helctet Want: Σ ˆ De oeato 1/ heet helctet; egenwaaden zjn ±1/

33 33 Snoen met helctet ±1/ Welke lneae combnate zjn ook egentoestanden van de helctet: ˆ / 1 Σ ( ) ( ) m E m E u m E m E u z y y z 1 1 () (1) Deeltje snoen ± ± Σ z y y z z y y z z y y z ) β α β α ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u u u u () (1) () (1) 1 1 β α β α ± Σ ) Los o voo α en β ( ) ( ) ± ± ± z y z y y z α β β β α α β α Daaom ( ) ( ) ) ( ) ( u u y z y z

34 Loentz tansfomates 34 Let o: dt geldt voo alle Loentz tansfomates! Waaneme S en S ( µ a µ ν ν ) gebuken dezelfde Dac vgl. Lneae elate tussen ψ en ψ Ut volgt Dus S(a) hangt net elcet af van : S(a) S L a λ ν 1 λ ν γ S L γ S L gebukt : a µ µ κ a a ν µ λ µ ν δ λ κ

35 Infntesmale tansfomates: µν νµ 35 (gewoon vefëen; soy) Elcete utdukkngen Met volgt voo S L 1 γ 5 s een handge defnte voo de zwakke wsselwekng Secfek geval: atet S P S P S P 1 Bedenk:a µ ν

36 Snoen: hoe tansfomeen ze? 36 Nu kun je volgende belangjke elate afleden En daamee ψ ψ ψ S ψ γ ψ γ ψ γ ψ σ 4416 mogeljkheden hemee geodend! ψ ψ S µ ψ ψ S γ µν µ ψ 1 5 L: γ Sψ P: µ γ Sψ ψ a 1 ψ ψ S Sψ ψψ 1 γ 5 γ µ γ L: Sψ P: 5 ψ γ ψ 5 ψ γ ψ µ ν ν ψ a a a µ ν µ ν µ ν ψ γ ψ γ ψ γ seudovecto tenso γ µ geen 4vecto; ψ γ µ ψ wel! γ 5 belangjk voo zwakke wsselwekng ν 5 5 ψ γ γ ν ν ψ ψ scala seudoscala vecto

37 Rotate van een sno ond z-as 37 z-as otates va J 3 oeato e ω J ω / σ 3 3 e cos( ω /) σ 3sn( ω /) 1 σ 3 en σ 1 Σ3 σ 3 1 Voo Dac snoen Σ 1 J Vgl. eede gevonden S L : nets : b.v. (,,)

38 Boost van een sno langs z-as 38 Voo Dac snoen K σ 1 3 en 3 σ σ σ 1 Gono: ( ) cosh cosh / 1 Dus Met ook nog de e-macht ze je dus dat deze boost eces ψ geeft voo

39 39 Invese van een sno n oosong Want met S P 1 γ a S L Kjk wat dt doet o: femon toestanden (ψ (1) en ψ () ) antfemon toestanden (ψ (3) en ψ (4) ) λ ν γ ν γ λ S voldaan aan L a λ ν γ ν : S 1 P γ λ S P γ k γ En hemee ze je dus: ntnseke atet femon en ant-femon toestanden tegengesteld

40 Ladngsconjugate 4 Dac vgl. elekton (ladng e ) n e.m. veld Dac vgl. oston (ladng e ) n e.m. veld E moet een elate tussen ψ en ψ C bestaan omdat we de gewone Dac vgl. zullen gebuken voo zowel elektonen als ostonen. Deze elate vnd je zo: Vnd C de voldoet aan Dan vnd je ut de elekton Dac vgl. de oston Dac vgl. Relate tussen elekton en oston olossngen

41 Elekton & oston olossngen 41 Elcete utdukkng Cγ Dt voo mjn keuze van de γ µ mates! Relates elekton-oston olossngen: Gebuken: u snoen v snoen: v (1)

42 Nomalsate, othogonaltet en comleethed 4 Nomalsate Othogonaltet Comleethed

43 Sn ½ Elektodynamca 43

44 Ijknvaante en Dac vegeljkng 44 mnmale substtute (va lokale jknvaante) Dac vegeljkng Massa KE Inteacte: otentële enege

45 Dac vegeljkng en A µ 45 Vje Dac-veld (elektonen) Mnmale substtute (q e -e): µ µ ea µ De ovegangsamltude wodt dus ψ f vegeljk nu de vete factoen: 1 1 ( ) e µ 4π f V S u u f ψ e 4πγ µ S1/

46 e µ e µ vestoong 46 B B µ D D Relate tussen stoom en vectoveld A C A e C En de ovegangsamltude wodt dus (q A - C D - B ) ub ud g µν q e e 4πγ 4π γ ν µ u A u C

47 Feynman egels voo QED (S1/) 47 Etene ljnen Vetces u v ε µ * ε µ u v Poagatoen µ ( γ q m) µ q m

48 Relatvstsche sn B µ 48 D q A D C B Relatvstsche sn e µ e µ (1 dagam) A e C Voo M volgt dus leton tenso

49 De elekton leton tenso A k k C 49 1 m ( 4 k / 44 ) 43 1 αβ ( k 4 4 m) / β α k/ k µ γ µ Hoewel je van deze utdukkng o het eeste gezcht net voljk wodt, geldt wel 1) Geen snoen mee: va comleethed elates ) De soobeekenng s echtoe-echtaan: m.b.v. enkele egels `Casm s tck

50 Soen met γ-matces 5 Gebuk altjd: oducten van γ matces soen van oducten van γ matces Zwakke wsselwekng

51 Voobeeld e - m - Ø e - m - µ 51 Toeassen soo dentteten geeft k e k Voo de muon tenso geldt hetzelfde Zodat elatvstsche lmet: M,m Mek o dat n de eteem elatvstsche lmet geldt

52 e - m - Ø e - m - 5 Hemee wodt het mat element utendeljk En de wekzame doosnede σ totaal 1/s totale wekzame doosnede dσ/dcosω hoekvedelng E cm [GeV] 1 1 cosθ

53 Voobeeld (`cossng ) e - e Ø m - m e s een elate tussen de amltuden voo e 53 µ e µ e - e- k k e e µ µ e µ - s e - k qk k k µ -k s t e - k e - k qk-k - µ - µ - qk -k - t µ - µ - e e µ µ amltude en daamee de wekzame doosnede gebuk

54 Decte beekenng e - e Ø m - m Je kunt het oces ook dect utekenen vb e ua µ 4πγ e 4π γ g q µν vd ν uc 54 De sn algeba geeft wee een soo P P P P A B C D k k t / u / 4 En dt wodt n de eteem elatvstsche lmet (geljk eedee esultaat)

55 Wekzame doosnede e e µ µ 55 σ [nb] 1 1 PEP HRS MAC MARK II PETRA CELLO JADE MARK J PLUTO TASSO TRISTAN AMY TOPAZ VENUS LEP L3 1-1 e e µ µ s [GeV]

56 Hoekvedelngen: e e µ µ and τ τ 56 e e µ µ (γ) e e τ τ (γ) 1 eak 1 eak eak eak eak eak d σ / d cos θ [nb] d σ / d cos θ [nb] cos θ cos θ

57 En nu heb je ook e e qq gedaan! 57 Met de kleuen u, c, t q ( 1 cos θ ) 3 : dσ dω 4 α 9 4s σ tot 16πα 7s 16πα 16πα 7s 9s colou d, s, b q 3 : dσ dω 1 α 9 4s ( 1 cos θ ) tot 4πα 7s 1 σ colou 4 πα 4πα 7s 9s R σ σ qq µµ quaks e e e e µ qq µ uds udsc σ µµ 4 πα 3s udsc no colo s

58 QED e γ 58 Fundamentele nteactes: e - t Bhabha vestoong e e e e aa annhlate/ceate e e γγ Mölle vestoong e e e e Comton vestoong e γ e γ

59 Comton vestoong e γ e γ 59 k qk k k k q-k jk-nvaante geeft elatvstsche lmet, d.w.z. vewaaloos ustmassas elabel: µ ν kwadaat

60 Comton vestoong g ν ν g µ µ / ( ) T k ( k ) g 6 T ε ν εν νν T / u s ( s) ( ) ( s) ( ) m u / /

61 Comton vestoong 61 Conveteen naa taces De tace theoemas geven je voo a en b

62 Comton vestoong 6 En dem voo de twee kustemen Hebj gebuk gemaakt van De totale amltude wodt dus

63 Comton vestoong 63 We hebben voo het mat element dus: De dffeentele wekzame doosnede s dan: Voo beekenng van totale wekzame doosnede s alleen bjdage van tem s/u van belang. Om een endg antwood te kjgen s het noodzakeljk m van elekton oagato te behouden: In lab-stelsel (elekton n ust, foton enege E γ, en dus s~me γ )

64 Paa annhlate k e γ k k e γ k 64 b.v. Amltude volgt ut de amltude voo e γ e γ va cossng : e γ e γ e e s k qk k e e k qk k k s t k e t e k q Dus: dσ (cos θ ) dω σ tot ( s ) cosθ s

65 65 Na dt alles: comute ogamma FORM γ e e γγ e e ode α γ e γ γ e e e γγγ ode α γ

66 Metng van `g- 66

67 Magnetsch moment Dac deeltje In volgende college zal bljken dat een Dac deeltje wsselwekt va zjn elektsche ladng zjn magnetsch moment q e µ (net als een Klen-Godon deeltje) e h/ σ mc e mc s ( s h/ ) 1 / σ q µ 67 eh/ µ B mc µ B Algemeen : µ g s h/ µ Dac deeltje: g µ s Conventes: Boh magneton: (eement) g? Bayonen: & n g 5.6 g n 3.8 quak sub-stuctuu B (Lande g - facto) (mage n e - Dac ea) Letonen: e ± & µ ± (a (g-)/) ( ) 1 13 ± a e a e ( 9± 43 ) 1 ( ± 15 1 ) 1 a µ facto two! ( e ) Klassek : M L B mc B B B sub-stuctuu vacuüm

68 68 Classcal ecesson: snnng to dt d m mv dt dv m dt d F : Newton ( ) (toque) Angula momentum : T F dt d dt d dt d dt d dt dl L B s mc e g B M T : feld on magnetc moment M n B - Toque ( ) ( ) mc eb g t mc eb g t mc eb g t s t s s s mc eb g B s s s k j mc e g s s s dt d y y z y z y fequency : sn cos ω s mc eb g s && Aly to an electon o muon B s M // B s mc e g dt ds T dt L d y z

69 Pnce 69 Elekton Muon B Pennng ta (N e 1) E 1 mev (T 4. K) ω(g/) (eb/mc) Stoage Rng (N µ 1 4 ) E 3 GeV (γ 3) ω((g-)/) (eb/mc)

70 Pnce metng van g- muon 7 Sn ecesse (klassek) (voo kennsgevng) µ n ust: µ n obt: g eb m c µ g eb γ γ m c µ B g eb eb g eb 1 ω 1 γ γ mµ c γ mµ c mµ c

71 Realtet g- muon 71 π ν µ µ ν π µ µ ν e ν µ µ e ν ν µ e e Steke coelate: muon sn & elekton enege

72 Het esultaat! τ µ. µs 7 Counts e 15 ns E µ 3.96 GeV, γ 3 Reducte facto 1 4 ove 6 µs Beaal de muon sn chtng Als functe van de tjd ut de gemeten elekton enege Sectum qualtatef: eonenteel gedag: muon veval oscllates: sn ecesse Counts e 15 ns oscllate eod tme (µs) Counts e 15 ns tjd (µs) tme (µs) Sectum quanttatef: N(t)Ne -t/γτ (1Acos ωt) ω g eb m c µ

73 Wat zegt de theoe? 73 Bottom lne elekton: utekenen! 1 e ode coecte: enge dmenseloze vaabele: α g α.5 π e 3 e 4 e ode coectes g α α π π Bottom lne muon: utekenen! a e the α π 1 e ode coecte: enge dmenseloze vaabele: α g α.5 π e 3 e 4 e ode coectes (gote dan voo elekton vanwege m µ /m e 4) g α α π π a e e α π 3 3 α π a µ the a µ e α 16.7 π 4 4

74 Comng soon! 74

75 Analyse voobeeld: nomalsate 75 detecto dentfkate

76 Bhabha vestoong: klene hoeken 76 Voo elk ocess: σ N events /Nomalsate Lumnostets detecto -Z Kaaktesteken: back-to-back enege E beam klene hoeken Z e e e e huswek, beeken: e e e e e e e e

77 Resultaat Lumnosty data 1993 e e e e (γ) Lumnosty data 1993 e e e e (γ) E ma 1 5 Lumnosty data 1993 e e e e (γ) Events /.9 degee Events / E mn Events /.5 mad z sde 1 1 z sde φ [degee] E / E b θ [ad] voo ede ande ocess: σ Konstante N events /N lumnosty

78 Hogee ode coectes 78 8 Lumnosty B e D B e D 6 data 1993 e e e e (γ) A B e e C D A B e e C D σ [b] /. 4 A e C A e C E γ / E b

79 Wekzame doosneden 79 Eement (vaak): sn toestanden van n- en ut-komende deeltjes onbekend Utgaande deeltjes: sns sommeen Inkomende deeltjes: sns mddelen beschouw dt eens voo een conceet voobeeld: e e e e B D B q A q A C C D B A C A D B D C s ( ) A B t ( ) A C u ( ) A D

80 Net elatvstsche lmet e e θ 8 e e Net elatvstsche lmet: lm De vectoen woden d.w.z. de sns veandet net. Dus de temen met mat-element : En de amltude na sommate en mddelen t 4 sn u 4 cos sommeen! vgl. wee met Ruthefod! θ θ mddelen! denteke deeltjes!

81 QED: Ladng & magnetsch moment 81 M.b.v. de Godon decomoste wodt de S1/ vete hescheven: q De eeste tem s dentek aan het Klen- Godon esultaat; ladngs-nteacte Gewoon: stug doo ekenen! µ De tweede tem s de magnetsche moment nteacte, d.w.z. µ B µ A De ovegangswaaschjnljkhed:

82 8 Waaom magnetsch moment? ( ) [ ] [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] d B m e d A m e d u A u e e m e d e e u A u m e d e e u A u m e d A m e f f f f f f f f f f f ψ σ ψ ψ σ ψ σ σ σ ψ σ ψ ateel ntegeen σ µ m e e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] d A m e d A A A A m e d A A A A m e d A m e f f f f f f f f f f f f f f ψ σ ψ ψ σ σ σ σ ψ ψ σ σ σ σ ψ ψ σ ψ µ ν µν In de net-elatvstsche lmet geeft deze tem, A µ (,A) y z B B y B A