Onderafdeling oer Wiskunde

Transcriptie

1 Oderafdelig oer Wiskude e Iformatica. ; ' ' '' ' ',,',, -\ I.~.,, ti ' ', i I ~ ' '."; ' :,- ' ' ' ' I,-,,,',,., Vrilagstu~ke, l:)ij \ '.,._, ',, :, ~a~re.ke.ig.e.r ~tati$tjek ~~8,i,cf'v6ör wsk-~~ ' ' ' I ' ' ' ' ; \ ' \ I i' I '! I I ~ '.. I I ;, ' ;, I! ', > ; t ', ' / '". '' '' '., i;,\.,:, < Jf "I,,, '",-,' i', ' I ~ > i ) '/ ',. ;; '.,_;' ).;,. 'I -~ ; : ', ;,) ' ' I ',, ' '' ) ' I.,. ;, 'i I,) '! I :' o\ Jl,)' r \.'.t '.... \ r' I i ' ~ I I.,\' ''\'I.,_I.' \'-i i ' >,,I ', f I),', '... ' f,!' 'I I, \, I I 'I' 't I '' '' :: ',i ;, ''.)' 'I ''. / \' \.! I I.,, ', '' ;. ',,, <,I ' '',-,/.'.'. :i ',.,' ',' ',,;,I,I, ' I, ;i_',_,'t ' I "i. t: ',, '.; /.-,,,', i I i'.-,,,,., ',., I''! -; '' '' ', ''!.-, :,' I ', \_' I 'i :,,,,I ',' ',,i:..,, : '" '

2 TECHNISCHE HOGESCHOOL EINDHOVEN Afdelig Algemee Weteschappe Oderafdelig der Wiskude Vraagstukke bij KANSREKENING e STATISTIEK Bestemd voor WSK-IV Voorjaarssemester 980

3 TECHNISCHE HOGESCHOOL EINDHOVEN Oderafdelig der Wiskude Vraagstukke bij het college KANSREKENING EN STATISTIEK Voorjaarssemester 980 Dictaatr..83 Prijs fl. 7,00

4 Ihoudsopgave blz. I. Uitkomsteruimte, gebeurteisse, symmetrisch diskrete kasruimte. Permutaties, kombiaties, variaties, biomium va Newto, biomiaalkoëfficiëte 3. Disktrete kasruimte 4 Voorwaardelijke kase, stellig va Bayes 5. Afhakelijke e oafhakelijke deelexperimete 6. De biomiale verdelig 7. Diskrete kasverdelige 8. Absoluut kotiue kasverdelige 9. Twee stochastische groothede 0. Verwachtig, variatie, momete. Karakteristieke fukties. Wet va de grote aatalle, Cetrale limietstellig, Beaderig va de biomiale- e Poisso-verdelig door ee ormale verdelig 3. Schatters 4. Toetse va hypothese 5. Betrouwbaarheidsitervalle Atwoorde Tetames

5 - I - I. Uitkomsteruimte, gebeurteisse, symmetrisch diskrete kasruimte l.i. Vier spelers N, 0, z, W spele bridge. De gebeurteis Nk bevat alle mogelijke kaartverdelige waari speler N temiste k aze heeft. Wat kut U zegge over het aatal aze dat speler W i de had heeft i het geval dat de kaartverdelig elemet is va de volgede gebeurteis a) * d) wi NI zl o w b) Nz zz ' e) N3 wl c) NI * zl * 0*, f) (Nz u Zz) OZ I.Z. Me werpt met ee mutstuk e ee dobbelstee. E is de verzamelig va uitkomste waarbij het mutstuk kruis geeft e EZ is de gebeurteis dat de dobbelstee 3 of 6 geeft. Bepaal de elemete va ieder va de volgede gebeurt~isse a) * EI ' d) El u EZ ' b) * Ez, e) * El EZ c) El EZ,.3. Laat A, Be C gebeurteisse Z~J. Geef uitdrukkige voor de volgede met behulp va A, B e C gedefiieerde gebeurteisse a) allee A, b) A e B, maar iet c, c) alle drie, d) temiste éé va de drie, e) temiste twee, f) gee ekele, g) precies éé va de drie, h) iet meer da twee.

6 Bepaal voor de volgede experimete ee geschikte uitkomsteruimte. a) Het telle va het aatal defekte artikele i ee serie va 00 stuks. b) Het registrere va het aatal buigige dat odig is om ee stuk metaal te scheure. c) Het mete va het waterpeil bove of beede ee bepaald gegeve uliveau. d) Het mete va de diameter va ee asje gemaakt op ee draaibak..5. We werpe tweemaal met ee dobbelstee. Als x e y de scores zij va achtereevolges de eerste e tweede worp, maak da ee tabel va alle mogelijke uitkomste e bepaal door het aatal gustige mogelijke uitkomste te telle de kase op de volgede gebeurteisse a) {(x,y) I 3 [x + y = 3]} EN b) {(x,y) I (3 N [x + y ]) V (3 N [x = 3 J)} E E c) {(x,y) I 3 [IOx + y = 7]}. EN.6. Beschouw ee loterij met 0 fiches: ee met ummer I, twee met ummer, drie met ummer 3, vier met ummer 4. Me trekt tweemaal, aselekt met terugleggig. a) Bepaal de verzamelig vaalle mogelijke uitkomste e de kas op elk hierva. b) Wat is de kas dat de som va de ummers va beide trekkige groter da of gelijk is aa 7? c) Wat is de kas op twee gelijke trekkige?.7. Me werpt tweemaal met ee dobbelstee. Het resultaat va de eerste worp oeme we x, dat va de tweede worp y. a) Geef i ee tekeig va de verzamelig va mogelijke (x,y) resultate de volgede gebeurteisse aa A : = { (x, y) I x + y ;>: 8} e B : = {(x, y) I I x - y I 5 } b) Bepaal de kase P(A), P(B), P(A B) e P (A u B)

7 Gegeve zij 8 kaarte, die ieder ee uit drie letters bestaad kemerk hebbe e wel: AAA, AAB, ABA, ABB, BAA, BAB, BBA, BBB. Me trekt aselekt twee kaarte uit deze acht. a) Bepaal de kas, dat i het kemerk va elk der getrokke kaarte mistes éé keer de letter A voorkomt. b) Bepaal de kas, dat i beide kemerke same va de getrokke kaarte de letter A precies drie keer voorkomt.. Permutaties, kombiaties, variaties, biomium va Newto, biomiaalkoëfficiëte.. Bewijs a) [ ~) = [ : I) + [ ~=:) 0 ~ k ~ -, b) (~) = [:z) + (~= + (~=;J 0 ~ k ~ - c) Ï k[~) = k=o - d) [] - I k(k- I) k = (- ) k=o e) Jo [~) (:=:] = (~) 0 ~ ~ N, [~] = 0 als m > M, [ N--) = 0 als ( - m) > N - M -m.. I het lad X bestaat ee autoummer uit 3 verschillede letters, gevolgd door 3 cijfers, waarva het eerste gee ul mag zij. Hoeveel verschillede autoummers zij i dit lad mogelijk?

8 Uit 5 chemici e 7 fysici moet ee kommissie worde gevormd bestaade uit chemici e 3 fysici. Op hoeveel verschillede maiere ka dit gedaa worde als a) elke chemicus e elke fysicus i deze kommissie ka worde opgeome, b) ee bepaalde fysicus lid moet worde va deze kommissie, c) ee bepaalde chemicus e ee bepaalde fysicus iet same lid moge zij va deze kommissie?.4. Hoeveel verschillede sigale, elk bestaade uit zes vlagge oder elkaar aa ee vertikale mast, ka me geve als 4 idetieke rode e idetieke blauwe vlagge ter beschikkig zij?.5. Hoeveel verschillede permutaties ka me vorme uit alle letters va het woord "kraakistallatie"?.6. Er ligge 0 pute i ee plat vlak, waaroder A e B. Er ligge hoogstes pute op ee rechte. Door elk paar pute wordt ee rechte lij vastgelegd. a) Hoeveel lije worde door de 0 pute vastgelegd? b) Hoeveel va deze oder a) geoemde lije gaa iet door A of B? c) Hoeveel driehoeke worde door de 0 pute bepaald? d) Hoeveel driehoeke hebbe put A als hoekput? e) Hoeveel driehoeke hebbe AB als zijde?.7. Op hoeveel maiere ka ee klas met 4 leerlige i 6 groepjes worde verdeeld, waeer groepjes 3 leerlige bevatte e de adere leerlige?.8. a) Op hoeveel maiere ka ik 0 guldes oder 3 persoe verdele? b) Hoeveel verschillede mogelijkhede zij er bij ee worp met 8 idetieke dobbelstee?.9. Gegeve zij ee lagwerpige doos met 8 aast elkaar liggede vakjes e 6 balletjes. Op hoeveel maiere kue deze balletjes over de vakjes verdeeld worde als a) alle balletjes verschilled zij e I) ee vakje meer da éé balletje mag bevatte, ) ee vakje hoogstes éé balletje mag bevatte,

9 - 5 - b) alle balletjes idetiek zij e I) ee vakje meer da éé balletje mag bevatte, ) ee vakje hoogstes éé balletje mag bevatte. 3. Diskrete kasruimte 3.. Va de 0 meisjes i ee klas hebbe er 3 blauwe oge. Als twee meisjes aselekt worde gekoze, wat is da de kas dat a) beide blauwe oge hebbe, b) géé va de twee blauwe oge heeft, c) temiste éé va de twee blauwe oge heeft? 3.. Ee club heeft 00 lede waaroder 50 advokate e 50 leugeaars. Het aatal dat och advokaat och leugeaar is bedraagt 0. Me kiest door lotig met gelijke kas voor elk clublid ee comité va 5 ma. a) Bepaal de aatalle lede i de verschillede categorieë. b) Hoe groot is de kas dat het comité precies 3 advokate bevat~ c) Hoe groot is de kas dat het comité precies 3 advokate bevat die teves leugeaars zij? 3.3. Hoe groot is de kas, dat va 40 aselekt gekoze persoe er mistes op dezelfde dag jarig zij? (I jaar = 365 dage, gebruik tabel 9.3 va het S.G.) Geef ee schattig op Uw gevoel alvores te gaa rekee I ee vaas zitte 7 briefjes die elk éé va de letters va het woord"eergie'bevatte. Me trekt aselekt drie briefjes. Bereke de kase dat de voor de woorde"erg"resp. "ee"beodigde letters getrokke worde als getrokke wordt a) met terugleggig, b) zoder terugleggig.

10 I de lift va ee gebouw met 0 etages staa 4 persoe die elk aselekt éé kop va de serie va0koppe (,,..,0) idrukke. Bereke de kas dat de 4 persoe a) op dezelfde verdiepig uitstappe, b) op twee verschillede verdiepige uitstappe, waarbij 3 op de ee e de 4e op de adere verdiepig, c) op twee verschillede verdiepige uitstappe, waarbij ee paar op de ee e het adere tweetal op de adere verdiepig, d) op drie verschillede verdiepige uitstappe, e) op vier verschillede verdiepige uitstappe. (Ga a dat de som va de kase éé is.) 3.6. Vier spelers N, 0, Z e W spele ee partij bridge. Elke speler otvagt 3 va de 5 kaarte. Laat a, b, c e d vier iet egatieve gehele getalle zij waarvoor geldt a+ b + c + d = 3. i) Too aa dat de kas p(a,b,c,d) dat de spelers N, 0, Z e W respectievelijk a, b, c e d schoppekaarte i de had hebbe gelijk is aa p(a,b,c,d) ii) Bereke de kas dat ee va de vier spelers a, ee tweede b, ee derde c e de vierde d schoppekaarte i de had heeft als a = 5, b = 4, c = 3, d = I a = b = c = 4, d = I a = b = 4, c = 3, d = 3.7. Bereke de kas dat bij het bridgespel ee speler a, ee ader b, ee derdec e ee vierde d, aze heeft als a = 4, b = c = d = 0, a = 3, b = I ' c = d = 0, a = b =, c = d = 0, a=,b=c I, d = 0, a=b=c=d=!.

11 We werpe met 3 dobbelstee. Bereke de kas dat a) ee 3, ee 4 e ee 5 wordt geworpe, b) drie opeevolgede cijfers worde geworpe, c) het produkt der drie geworpe aatalle oge eve is, d) het laagste geworpe aatal oge ee is, e) het laagste geworpe aatal oge ee 3 is Ee vaas bevat 7 witte e 8 zwarte balle. Me trekt aselekt e zoder terugleggig 5 balle uit deze vaas. a) Wat is de verzamelig va mogelijke aatalle witte balle deze trekkig? b) Bepaal de kase op deze mogelijke aatalle U speelt ee partij bridge e otvagt bij de delig 3 kaarte. Hoe groot is de kas a) dat U het spel begit met mistes éé reoce (d.w.z. gee kaarte va ee bepaalde kleur, bv. gee klavere), b) dat U het spel begit met zeve kaarte i éé kleur. c) dat, als U éé aas hebt, de overige drie aze bij Uw parter zitte? d) dat U het spel begit met precies éé reoce? 3.. De getalle,,.., zij geragschikt i ee willek~jrige ordeig. Bereke de kas dat a) de getalle e i deze ordeig i opklimmede volgorde aast elkaar voorkome, b) de getalle,,.,k (k =,,) i opklimmede volgorde aast elkaar i deze ordeig voorkome. 3.. persoe, waaroder de persoe A e B, zij i willekeurige volgorde op ee rij 9aa staa. Bereke de kas dat er precies r persoe tusse A e B staa voor r = O,l,...,-.

12 Voorwaardelijke kase, stellig va Bayes. 4.. Uit ee volledig spel speelkaarte worde aselekt 3kaarte getrokke. Bereke de voorwaardelijke kas dat de kleure i de trekkig verdeeld zij, oder de voorwaarde dat de trekkig 7 rode e 6 zwarte kaarte bevat. 4.. Machie A produceert va ee bepaald produkt tweemaal zoveel als machie B. A levert 5% defekte, B 7%. Ee klat krijgt ee defekt produkt. Hoe groot is de kas dat het afkomstig is va machie A? 4.3. Bereke de kas dat ee gezi va 4 kidere bestaat uit 3 joges e me>sje als me respektievelijk de keuze beperkt tot a) gezie met temiste 3 joges, b) gezie waari de oudste 3 kidere joges zij, e aageome wordt dat de kas op ee jogesgeboorte gelijk is aa j Ee moeder met bloedgroep A heeft ee baby met bloedgroep 0. Er zij drie mae i het spel. Eé va he is de vader, maar me weet iet wie. De bloedgroepe va de drie mae zij resp. A, O, e AB. Hoe is u de voorwaardelijke kasverdelig va het vaderschap, als gegeve is dat de kas op ee baby met bloedgroep 0 uit ouders AA, AO, A(AB) gelijk is aa 0,065; 0,5 e Vier persoe, Noord, Zuid, Oost, West geaamd, otvage ieder 3kaarte va ee spel va 5 kaarte. a) Als Zuid gee aze heeft, wat is da de kas dat zij parter Noord er precies twee heeft? b) Als Noord e Zuid same 9 harte hebbe, bepaal da de kas dat Oost e Hest ieder twee harte bezitte Twee spelers A e B werpe om de beurt ee tweetal zuivere dobbelstee. A wit het spel als hij i ee worp ee totaal va precies 6 oge gooit vóórdat B i ee worp ee totaal va 7 oge gescoord heeft. B wit het spel als hij i ee worp ee totaal va 7 oge gooit vóórdat A i ee worp ee totaal va 6 gescoord heeft. Als het spel doorgaat tot éé va beide het vereiste aatal oge gooit e A begit wat is da de kas dat A het spel wit? 4.7. Bij ee autoverzekeraar is de all riskspremie i het eerste jaar a. Als gee schade wordt gemeld i het eerste jaar is de premie voor het tweede jaar Àa waarbij À ee vaste waarde heeft tusse 0 e. Als gee schade is gemeld i de eerster jare (r ~ voor het (r + l)e jaar. ), is de premie Àra

13 - 9 - Als i ee jaar ee schade gemeld wordt, blijft de premie i dat jaar hetzelfde, maar wordt het jaar daarop weer a. Vaaf dat jaar moet de verzekerde zij reduktie va vore af aa opbouwe. De kas dat i ee jaar gee schade wordt gemeld is kostat e gelijk aa q. Bereke de kas dat i het e jaar ( ~ ) de premie gelijk is aa - a) À a b) À-j-la (I ~ j ~ - ). 5. Afhakelijke e oafhakelijke deelexperimete 5.. Too aa dat de hieroder staade bewerige a), b), c) ed) twee aa twee equivalet zij. a) De gebeurteisse A e B zij oafhakelijk. b) De gebeurteisse A e B* zij oafhakelijk. c) De gebeurteisse A* e B Zl.Jll oafhakelijk. d) De gebeurteisse A* e B* zij oafhakelijk. 5.. A e B zij gebeurteisse waarvoor geldt P(A) = /4, P(A u B) /3, P(B) p. a) Bereke p als A e B elkaar uitsluite. b) Bereke p als A e B oafhakelijk zij. c) Bereke p als A ee deelgebeurteis va B is Bij ee.experimet kue 3 gebeurteisse A, B e C optrede die elkaar och uitsluite, och voldoe aa A c B c C. Alle hebbe dezelfde kas om op te trede. A is oafhakelijk va B C. De voorwaardelijke kas op C oder voorwaarde B is tweemaal de kas op C. De kas op het gelijktijdig optrede va A, BeCis /4. Bewijs dat uit het optrede va B volgt dat ook C optreedt e omgekeerd Me werpt twee keer met ee zuivere dobbelstee e beschouwt drie gebeurteisse A, B e C, waari x e y het resultaat zij va resp. de eerste e de tweede worp A {(x,y) I 3EN[x + y = ]}

14 - 0 - B = {(x,y) 3 N [x + y = 3]} E C = { (x, y) I x <: 4 v y <: 4} a) Bereke P(A), P(B) e P(C). b) Zij A e B oafhakelijk? 5.5. A, B, C e D zij oafhakelijke schakelaars. Ee ope schakelaar oderbreekt de stroom. De kas op ope zij is voor elke schakelaar p de kas op geslote zij is I - P ZijEde gebeurteis "de lamp bradt". Bereke P(E), als accu, lamp e leidig goed fuktioere. A B --~ ~ accu lamp 5.6. Ee kast heeft 3 lade. I de ee lade ligge goude mute, i ee tweede zilvere e i de derde I goude e zilvere mut. Blideligs wordt ee lade opegetrokke e hieruit aselekt mut gepakt die va goud blijkt te zij. Hoe groot is de kas dat ook de adere mut uit de lade va goud is? 5.7. Drie mae A, Be C schiete oafhakelijk De trefkas va A, B e C is respectievelijk va elkaar op I I I 6 4 e 3 ' ee bepaald doel, a) Bepaal de kas dat precies éé va he het doel treft. b) Als éé va he raak schiet, wat is da de kas dat A het was? 5.8. Hoe groot zij de kase a) om bij 4 worpe met I dobbelstee mistes éé keer 6 te gooie, b) om bij 4 wo~pe met dobbelstee mistes éé keer (6,6) te gooie? (Probleem va Chevalier de Méré voorgelegd aa Pascal.)

15 Me werpt éé dobbelstee driemaal met als resultate x, y e z oge e beschouwt twee gebeurteisse A e B die omschreve kue worde met achtereevolges e {(x,y,z) I x= 5 V y = 5 v z = 5} { (x,y,z) I 3 N [xyz = ]}. E a) Bepaal P(A) e P(B). b) Ga a of A e B oafhakelijk zij. 5.0, Gegeve zij drie doze, e D. D bevat balle met het getal erop 3 e éé met het getal 3. bevat 3 witte balle e I zwarte bal, D bevat I 3 witte bal e 4 zwarte balle. Er wordt aselekt ee bal uit D geome e daara aselekt ee bal uit de doos met het ummer va de uit D getrokke bal. Hoe groot is de kas dat deze laatste zwart is? 5.. Uit ee vaas die 4 witte e 6 zwarte balle bevat worde balle getrokke e opzij gelegd zoder dat aar de kleur gekeke wordt. Daara wordt ee derde bal getrokke. Hoe groot is de kas dat a) de derde bal wit is, b) de derde bal wit is als gegeve is dat oder de opzijgelegde balle mistes I witte is? 5.. Twee vaze v e v bevatte respektievelijk a witte, b zwarte balle e b witte, a zwarte balle. Er worde aselekte trekkige uitgevoerd met iachtemig va de volgede regels Elke keer wordt éé bal getrokke uit ee bepaalde vaas e teruggelegd i dezelfde vaas. Als ee getrokke bal wit is, wordt de volgede bal uit v geome, als ee getrokke bal zwart is wordt de volgede bal uit v geeme. De eerste bal wordt uit V getrokke. Bepaal de kas dat bij e de trek- kig ee witte bal gevode wordt.

16 Ee vaas bevat z zwarte e r rode balle. Er worde aselekte trekkige uitgevoerd. De getrokke bal wordt teruggelegd, maar bovedie worde extra c balle va dezelfde kleur als de getrokke bal aa de ihoud va de vaas toegevoegd. Er wordt driemaal a elkaar getrokke. a) Bepaal de kase op de 8 mogelijke resultate voor de serie va drie trekkige. b) Laat zie dat de kas op ee zwarte bal bij de eerste, tweede e derde trekkig hetzelfde is, amelijk z z + r c) Als u volges hetzelfde systeem meer da driemaal getrokke wordt, bewijs da met volledige iduktie dat de kas op ee zwarte bal bij de e trekkig z. eveees z + r ~s. 6. De biomiale verdelig 6.. Bepaal de kas dat er bij de resultate va 5 worpe met ee zuivere dobbelstee a) zesse zij, b) meer da zesse zij, c) mider da zesse zij, d) of mider zesse zij, e) 3 zesse of meer da 5 zesse zij. 6.. I ee fabriek ligt gemiddeld 0% va de door ee bepaalde machie geproduceerde grote partij boute buite de gestelde orme e wordt afgekeurd. Dat wil zegge dat ee aselekt uit deze partij getrokke bout ee kas p = 0. heeft om afgekeurd te worde. Me eemt aselekt 0 boute uit ee dagproduktie. Bepaal de kas dat a) precies boute buite de orme valle, b) of meer boute buite de orme valle, c) meer da 5 boute buite de orme valle.

17 Tweehoderd studete doe mee aa ee meerkeuze toets. Er zij 0 vraagstukke, elk met 4 atwoorde waaroder precies I juist atwoord. Alle studete wijze hu atwoord bij ee vraagstuk uit de 4 beschikbare atwoorde aa door lotig met gelijke kase voor elk atwoord. Bepaal de kas dat mistes éé va deze studete op deze wijze meer da goede atwoorde verkrijgt Bove i ee Galtobord worde kogeltjes geworpe. De oderste rij bevat k spijkertjes, waaroder k + I vakjes zij geplaatst, geummerd,,..,k+l. Bij botsig met ee spijkertje is de kas om aar liks te valle p, om aar rechts te valle q = I - p. Het kogeltje botst op elke rij spijkertjes tege precies éé spijkertje e de botsige op verschillede rije spijkertjes zij oafhakelijk. Hoe groot is de kas dat i het vakje i (i= l,.,k+l) mistes x (x= O,l,.,) kogeltjes terechtkome? 6.5. Uit ee grote partij artikele eemt me ee steekproef va 0 stuks. Ee partij wordt afgekeurd als i zo' steekproef 3 of meer foutieve eksemplare worde aagetroffe. a) Wat is de kas dat ee partij met 5% foute wordt afgekeurd. b) Bepaal de kas dat ee partij met 5% foute wordt goedgekeurd (afrode op decimale) e vervolges de kas dat va 0 partije met elk 5% foute er 8 of meer worde goedgekeurd Ee droke ma loopt i ee i oord-zuid richtig lopede lage straat. Bij iedere dwarsstraat gooit hij met ee zuivere mut om te beslisse of hij zij weg zal vervolge of om zal kere. Hoe groot is de kas dat hij, a 0 blokke te hebbe gelope, weer op zij uitgagsput terug is a) als hij bij zij vertrek ook om de richtig loot, b) als hij begit aar het oorde te lope I ee loterij geeft het kope va ee lot ee kas va /50 op ee prijs. Bepaal het kleiste atuurlijk getal zodaig, dat me bij het kope va lote ee kas groter da 0,5 heeft op temiste éé prijs.

18 Me doetoafhakelijke trekkige uit ee Beroulli-verdelig met kas p op succes. De kas op ee eve aatal successe wordt u geoemd. a) Leid ee betrekkig af tusse u e u-i' b) Too aa dat -k -~- ~ u = (q- p) uk+ p L (q- p) J'.=O k = 0,,,...,, q I - p -I (Merk op dat L ~=0 ~ (q - p) = 0 ) c) Bepaal ee expliciete uitdrukkig voor u e bereke de geererede fuk 7. Diskrete kasverdelige 7.. Bepaal de kas op a) temiste éé score va 6 oge bij 5 worpe met ee dobbelstee, b) temiste vier scores va 6 oge bii 0 worpe met ee dobbelstee, 7.. De kas dat ee persoo ee ogeweste reaktie geeft op ietig met ee bepaald serum is 0,00. Me et 000 oafhakelijke persoe i, a) Wat is de kas dat meer da 3 persoe ogewest reagere? b) Wat is de kas dat mider da 0 persoe ogewest reagere? 7.3. Op ee katoor kome gemiddeld 3 telefoogesprekke per uur bie. Het aatal i ee uur biekomede telefoogesprekke ''ordt beschreve door ee Poissoverdelig. De telefoiste is gedurede 0 miute afwezig. Hoe groot is de kas dat i die tijd mistes éé persoo gee gehoor heeft gekrege?

19 I ee seisysteem heeft elk verzode sigaal ee kas va 0.95 om goed over te kome. Hoe groot is bij het overzede va ee woord a) met 0 sigale de kas op hoogstes fout, b) met 0 sigale de kas op hoogstes foute, c) met 40 sigale de kas op hoogstes 4 foute? Bij welke woordlegte is de kas op hoogstes 0% fout overgezode sigale groter da 0.99? 7.5. Ee autoverhuurder bezit twee wages die per dag worde verhuurd. Het aatal aavrage per dag heeft ee Poisso-verdelig met~=,5. Oder ee dag wordt verstaa het tijdvak va 9-8 uur. We eme aa dat ee bestelde auto iet dezelfde dag voor 8 uur wordt teruggebracht. a) Hoe groot is de kas dat hij om twaalf uur og gee aavraag heeft gek rege? b) Wat is de kas dat beide wages ee hele dag thuis zij? c) Wat is de kas dat beide wages ee hele dag uit zij? d) Idie beide wages eve vaak worde gebruikt, wat is da de kas dat éé bepaalde wage ee hele dag thuis is? 7.6. Gemiddeld passere 5 auto's per uur ee lags de weg gelege beziestatio. Het aatal auto's dat per uur het beziestatio passeerl heeft ee Poisso-verdelig. De kas dat ee passerede auto daar takt is I/5. a) Wat ~s de kas dat auto's i ee uur het beziestatio passere? b) Wat is de kas dat x auto's i ee bepaald uur take? 7.7. Ee zeer grote partij gloeilampe bestaat voor 50% uit rode, 30% uit blauwe e 0% uit groee lampe. Bepaal de kas dat i ee steekproef va 5 lampe uit deze partij, rode, I groee e blauwe zitte Ee doos bevat 5 rode, 3 witte e blauwe kikkers. Ee steekproef ter grootte 6 wordt getrokke met terugleggig. Bepaal de kas dat er i deze steekproef a) 3 rode, witte kikkers e blauwe kikker zij, b) rode, 3 witte kikkers e blauwe kikker zij, c) kikkers va elke kleur zij.

20 Er wordt 0keer met ee zuivere mut geworpe. De stochastische grootheid ~ heeft de waarde va het ragummer va de eerste worp die kruis oplevert e de waarde!i als kruis gee ekele keer optreeedt, Bepaal de kasverdelig va x. Bepaal ook de kasverdelig va het ragummer l va de eerste worp die kruis oplevert als et zo lag wordt geworpe tot ee keer kruis resulteert. Doe hetzelfde voor het ragummer va de worp waarbij kruis voor de tweede keer optreedt Ee vaas bevat 3 balle, geummerd O, I e. Twee balle worde a elkaar aselekt e zoder terugleggig getrokke. Het ummer op de eerste bal is x e het ummer op de tweede bal is y. Bepaal de mogelijke waarde voor e de kasverdelig va de stochastische groothede: ~ l ~ + l ~ - l [ ~ - y[. 7.. Het aatal hadelige dat odig is om ee zeker proces uit te voere ~s ee stochastische grootheid ~. maar het proces is beslist voltooid i te hoogste hadelige. De processtruktuur suggereert dat de kasverdelig over de mogelijke waarde va ~ bepaald wordt door P(~ = k) = lek-i (I - e) k =,,..., -I e -I k = met 0 < 8 < I. Bereke de kase a) dat het proces vóór de pe hadelig is voltooid, b) dat temiste p e te hoogste - p (p ~ ) hadelige odig zij om het proces te voltooie. Als kotroleur I de oeve geummerde hadelige e kotroleur de eve geummerde hadelige aloopt, too da aa dat kotroleur I ee grotere kas heeft het proces i éé va de door hem gekotroleerde hadelige te zie voltooie da kotroleur, als I < 0 is. 7.. I ee biochemisch eksperimet worde orgaisme aa ee proef oderworpe e wordt het aatal orgaisme dat de proef overleeft geteld. Dit aatal is ee stochastische grootheid ~met ee kasverdelig bepaald door p(k) = (k + )/( + l)( + ) k O,J,..,.

21 - 7 - a) Bereke de kas dat te hoogste ee fraktie a = m/ va de orgaisme de vereiste periode overleeft. b) Too aa dat de oder a) berekede kas ee limietwaarde a heeft als aar oeidig gaat. c) Bepaal de kleiste waarde va, waarvoor de kas dat er temiste éé va de orgaisme de vereiste periode overleeft, temiste 0,95 is. 7,3, I ee gezi met kidere is voor ieder kid de kas dat het ee joge is gelijk aa p. Het geslacht va ee kid is oafhakelijk va het geslacht va de adere kidere. Bepaal de kas dat a) alle kidere hetzelfde geslacht hebbe, b) de eerste k (~ ) kidere joges e de overige meisjes zij, c) de eerste k kidere va hetzelfde geslacht e de overige va het adere geslacht zij, d) er temiste k joges i het gezi zij, e) de eerste s kidere joges e i het totaal k ( ~ k ~ s) joges i het gezi zij. 7,4, De kas dat ee boom va ee bepaalde soort bloeme draagt is gelijk aa: (I - p)p = 0,,,.... Elke bloem aa zo' boom heeft ee kas tegevolge ee vrucht voort te brege, va 3 om bevrucht te worde e dieoafhakelijk va de adere bloeme. Elke vrucht heeft ee kas va /4 om opgegete te worde door vogels voordat ze rijp is. a) Too aa dat de kas om ee rijpe vrucht voort te brege voor ee willekeurige bloem va zo' boom gelijk is aa /. b) Als ee bepaalde boom va deze soort r rijpe vruchte oplevert, too da aa dat de kas dat ze het begi bloeme droeg gelijk is aa c) Als ee boomgaard met k oafhakelijke bome va deze soort géé rijpe vruchte voortbregt too da aa dat de kas, dat het totale aatal bloeme aavakelijk was, gelijk is aa

22 I ee vaas zitte ( + ) briefjes, geummerd va tot e met ( + ). Drie briefjes worde aselekt e zoder terugleg0ig getrokke. a) Bepaal de kas dat de ummers op de drie getrokke briefjes ee rekekudige rij vorme, b) Bepaal de kas dat de ummers op de drie getrokke briefjes ee rekekudige rij vorme met verschil r (r =,,3,...,), oder de voorwaarde dat de ummers ee rekekudige rij vorme. 8, Absoluut kotiue kasverdelige 8.. Gegeve is ee kotiue kasruimte bepaald door U= [O,~), F = B([O,~)) e -Àx kasdichtheid f(x) = Axe voor x ~ 0 met À > 0, Bereke de costate A e P([O,À]), 8.. Gegeve is ee ormale kasverdelig met~= 50, e a= 7. a) Bepaal de kase P((60,~)), P((-~,40)), P((4,63)). b) Bepaal a, zodat P((-~,a)) = 0,05. c) Bepaal b, zodat P((50-b,50+b)) = 0,85, 8.3. Ee put wordt aselekt gekoze bie ee gelijkzijdige driehoek met zijde 3, Bereke de kas dat de afstad va het put tot elk hoekput groter da is De fraktie zuiver metaal i ee vast stadaardgewicht aa erts is va het toeval afhakelijk e wordt beschreve door ee kotiue kasruimte vastgelegd door U= [0,], F = 8([0,]) e kasdichtheid f(x) = 4x( - x ). a) Bereke de kas dat de fraktie zuiver metaal ligt tusse a e b. b) De ertsleveracier wil ee miimum garatie geve voor de fraktie metaal i het erts i de vorm: "De kas dat ee stadaardgewicht erts mistes ee fraktie c zuiver metaal bevat is 0,75". Bepaal de fraktie c, Gegeve is de kotiue kasruimte bepaald door U = lr,. F = B(lR), e kasdichtheid

23 - 9 - x " 0 x < 0 Zij A = [-6,3] e A = [,7] twee gebeurteisse, bereke da de kas op de volgede gebeurteisse a) b) c) 8.6. I het levesverzekerigsbedrijf worde ze. sterftetafels gebruikt, waarop de kase dat ee mes op ee bepaalde leeftijd sterft geoteerd zij. Deze kase heeft me bepaald door i zeer lage ''aaremigsperiode het aatal mese te telle dat op ee bepaalde leeftijd stierf e de verdelig over de leeftijde uit te zette. Deze verdelig ka u i ee model door ee kotiue kasruimte worde beschreve met U= [O,oo), F= B([O,oo)) e kasdichtheid lat (I 00 - f(t) = 0 0,; t,;!00 t > I 00, t < 0 a) Bereke de waarde va A. Bereke de kas dat ee mes overlijdt tusse de 60 e 70 jaar Ee automatische draaibak produceert asse waarva de diameter~ ormaal verdeeld is met ~ = 5.00 mm e cr = mm. De toleratie-eise zij 5.000,; x,; 5.00 mm. a) Wat is de kas dat ee aselekt getrokke product buite het toleratiegebied valt? b) Waeer het gemiddelde ~ verloopt doch a costat blijft, hoe zal da de oder a) geoemde kas met ~ veradere? (Neem bv. ~ = 5.006, 5.008, 5.0, 5.04.) c) Tot welke waarde moet me a verkleie opdat bij ~ = 5.00 de kas op uitvalle va ee produkt tot % wordt teruggebracht?

24 De levesduur va televisiebuize is ee stochastische grootheid ~ De kasdichtheid die deze levesduur (i jare) beschrijft wordt gegeve door f (x) I -x/8 ëe e > 0, x ~ 0 e 0 elders a) Ee televisiebuis wordt gratis vervage als ze defekt raakt bie ee tijd t. Als e =, bepaal da de tijd t zodaig dat de kas op ee oodzakelijke vervagig va ee televisiebuis 0, is. b) als de fabrikat ee garatie va 6 maade wil geve e de kas dat ee televisiebuis eerder defekt raakt 0, wil houde, wat is da de waarde va e die hij moet bereike? 8.9. x is ee stochastische grootheid met kasdichtheid f (x) = -x e (x > 0). Bepaal de kasdichtheid g(y) va y := IX ~is ee stochastische grootheid met kasdichtheid f(x). Zij~= F(~) met F(x) de verdeligsfuktie va ~ Bepaald de kasdichtheid g(w) va ~ 8.. De selheid va gasmolekule va ee massamis ee stochastische grootheid y waarvoor geldt f (v) = -bv av e V > 0, a e b gaskostate. E is de kietische eergie va ee molekuul. Er geldt E kasdichtheid g va E. =!m~ Bepaal de 8.. Ee experimet bestaat uit oafhakelijke deelexperimete, die elk door ee stadaardormale verdelig worde beschreve. De uitkomsteverzamelig va het experimet is dus R. De stochastische grootheid E geeft de afstad tusse de oorsprog e het resultaat va het experimet. Bereke de kasverdelig va r, (Rayleigh-verdelig). 8, 3. Uit de expoetiële verdelig met À = I wordt twee keer oafhakelijk getrokke, Hoe groot is de kas dat de kleiste waaremig groter da E hoe groot is de kas dat mistes éé waaremig groter da I is? is?

25 - - 8,4, x s ee kotiue stochastische grootheid met kasdichtheid f(x) e verdeligsfuctie F(x). Stel ~~ ~, ~ zij oafhakelijke waaremige va ~ De kleiste oder deze waaremige oeme we y. a) Bepaal P(y > y). b) Als x expoetieel verdeeld is met parameter À, too aa dat y eveees expoetieel verdeeld is, met parameter À. 9. Twee stochastische groothede 9.. Twee stochastische groothede x e~ hebbe als simultae kasdichtheid f(x,y) = --- -, I s x < x y co, ~ y ~ x x a) Bepaal de margiale kasdichthede va x e ~ b) Bepaal de voorwaardelijke kasdichtheid va x oder de voorwaarde ~ = y e de voorwaardelijke kasdichtheid va y oder de voorwaarde ~ = x. 9.. De kotiue stochastische groothede x e~ hebbe als simultae kasdichtheid f(x,y) G- l)(- )/( + x+ y) x> 0, y > 0, elders. ( > ) a) Bepaal de simultae verdeligsfuktie F(x,y). b) Bepaal de margiale kasdichtheid e verdeligsfuktie va x e ~ c) Bepaal de voorwaardelijke verdelig va y oder de voorwaarde x = x I ee fabriek is de dagelijks beodigde - aa bederf oderhevige - grodstof ee stochastische grootheid~ die beschreve wordt door de kasdichtheid f(x) -x e (x > 0)

26 - - De dagelijkse grodstoftoeleverig is - oafhakelijk va de behoefte - ee stochastische grootheid ~ met kasdichtheid g(y) = ye-y a) Too aa dat de kas dat op ee bepaalde dag de behoefte groter is da de toeleverig gelijk is aa ~. De bedrijfsleider wil deze kas tot s(s > 0) verkleie door ee kostate dagelijkse bevoorradig va a eehede va elders te betrekke. b) Bepaal de waarde va a Twee persoe hebbe ee afspraak tusse 8 e 9 uur. Hoe groot is de kas dat ze elkaar otmoete als ze iet lager da 0 miute op elkaar wille wachte e als hu aakomsttijde oafhakelijk e zoder voorkeur voor eig tijdstip tusse 8 e 9 uur zij? 9.5. Als ~e l kotiue stochastische groothede zij met simultae kasdichtheid f(x,y) bepaal da de kasdichtheid va z als a) f(x,y) = 4xye-(x +y ) e z = b) f(x,y) = I, 0,; x, y,; I e! (~ + ~ ) 0,; x. y < ~. z = { ~ + ~ x+~-, -(a x+a y) c) f (x,y) = a a e, x + :t < 9.6. De oafhakelijke kotiue stochastische groothede x e :t zij homogee verdeeld resp. op (O,a) e op (O,S) met a < s. a) Bepaal de kasdichtheid va ~ = x + :t b) Bepaal de limiet va deze kasdichtheid als a adert tot s.

27 ~e l zij oafhakelijke stochastische groothede met x homogee verde.eld op I :> x :> 3 e ;t expoetieel verdeeld op :> y < ~ met À = I. a) Bepaal de simultae kasdichtheid va z e w als b) Bepaal de margiale verdelig va ~ 9.8. Gegeve zij twee oafhakelijke realisaties ~I e ~ grootheid ~ met de kasdichtheid va ee stochastische x -- 8 f(x) = 'ë e o ~ x < oo, e > o. a) Bepaal de simultae kasdichtheid va u e v als!! = :!' + :!' ' e too aa dat!! e v oafhakelijk zij. b) Bepaal de simultae kasdichtheid va ~ = :!' :!' e u e laat zie dat ~ e!! ook oafhakelijke groothede zij De diskrete stochastische groothede~ e ~ zij oafhakelijk. I oderstaade tabelle zij de waarde voor x e ~ e de bijbehorede kase vermeld. x P(!!_ = x) p(~ = y) Bepaal de kasverdelig va de stochastische grootheid t als a) t = ~ + y, b) t = 3~ - ~

28 De kasdichthede va de oafhakelijke stochastische groothede x e X zij achtereevolges f(x) a > 0 0 < x < ~ 8 > 0 0 < y < ~. a) Bepaal de kasdichtheid va de stochastische grootheid z = x/x e va! = ~ - X b) Bepaal de verdeligsfuktie va de stochastische grootheid s gegeve door s = ( ~ - x 0 x < x. 9.. De stochastische groothede~ e X zij oafhakelijk stadaardormaal verdeeld. Bepaal de kasdichtheid va z = ~~~ 9.. De stochastische groothede~ e X zij oafhakelijk,~ heeft ee betaverdelig met parameters res, ~heeft ee gamma-verdelig met parameters r +se À=. Bepaal de kasdichthede va de stochastische groothede u e v als ~ = ~ e y = (I - ~)~ e laat zie dat u e v oafhakelijk zij. 9,3. De fraktie defekte i ee grote produktie varieert va dag tot dag e mag bie ee dag als kostat worde beschouwd. Ze ka gerterpreteerd worde als ee stochastische grootheid met ee beta-verdelig met parameters a e b. Elke dag wordt ee steekproef ter grootte uit de produktie geome e wordt het aatal defekte geteld. Bepaal de kasverdelig va het aatal defekte op ee willekeurige dag.

29 '., x,,,,,x zijoafhakelijke stochastische groothede elk met dezelfde - - :absoluut cotiue verdeligsfuktie F(x). Bepaal de verdeligsfuktie e kasdichtheid va a) y_ = max(~.~,,~), b) z = mi(x,x,..,x ), c) r = y_ - ~ (~ heet wel de rage va x,.,x ) Laat ~~ ~z ~ oafhakelijke homogee [0,] groothede zij, Het meetkudig gemiddelde is x r = )/ - (x - x - x verdeelde stochastische a) Bepaal de kasdichtheid va z. = -log x., i= I,Z,...,. - b) Too aa dat de kasdichtheid f(r) va r gelijk is aa f(r) (-l)-i - - = (- I)! r (log r), O<r,;], 0. Verwachtig, variatie, momete 0.. Gegeve zij twee vaze v e v. v bevat I zwarte e I witte bal, v bevat zwarte e witte balle. Uit elke vaas wordt aselekt éé bal getrokke. U otvagt voor elke zwarte bal die U trekt!,--. a) Welke bedrage kut U otvage e wat zij de kase hierop? b) Bereke de verwachtig e de variatie va het otvage bedrag.

30 Ee oderdeel moet op ee bepaalde machie bewerkt worde; als het a de bewerkig afgekeurd wordt moet het de bewerkig oafhakelijk va de voorgaade kere opieuw odergaa. De kas om afgekeurd te worde is elke keer p. Bereke de verwachtig va het aatal bewerkige dat op eezelfde eksemplaar moet worde uitgevoerd Ee droog korrelig poeder bevat deeltjes die zuiver bolvormig zij e waarva de diameter ormaal verdeeld is met u= 70 e a=.6 mikro. Me wil dit poeder i 3 soorte verdele, l. grof, middel e fij e wel zodaig dat deze drie klasse ee gelijke hoeveelheid korrels bevatte. Hoe groot moete de diameters va de gate va de beodigde zeve zij, opdat de geweste idelig wordt verkrege e wat wordt de gemiddelde diameter der korrels voor elke soort? 0.4. De stochastische grootheid~ is ormaal verdeeld met u= 3, a=. Bereke verwachtig e variatie va z = ee <z heet logormaal verdeeld) I ee kasspel heeft ee speler bij iedere pogig ee kas±, î resp. t om 0, I of pute te behale. Het spel eidigt als de speler ee 0 scoort. a) Too aa dat oder de aaame dat de pogige oafhakelijk zij, de kas ee totaal va pute te score voor ee speler gelijk is aa u 3 (-3) 4 I +- (- -) b) Bepaal de verwachtig va de totaalscore De kas dat speler A ee wedstrijd wit va speler B is j. Gelijkspel komt iet voor. A e B spele ee toerooi. De speler die het eerst wedstrijde achter elkaar wit of ee totaal va 3 gewoe wedstrijde heeft, is toerooiwiaar. Bepaal het verwachte aatal wedstrijde i dit toerooi.

31 - 7 - I0.7. I ee bepaald lad betaalt ee iwoer allee ikomstebelastig als zij ikome~ groter is da a, Het bedrag va de belastig is c(x- a), waari 0 < c < I. De verdelig va het ikome va de voor ikomstebelastig i aamerkig 8 8+I komede iwoer wordt gegeve door p(x) = 8a /x, 8 > I. a) Too aa dat de gemiddelde ikomstebelastig gelijk is aa ca/(8- I). Ee regerigsvoorstel houdt i dat de belastig va iederee, die ee ikome~ heeft, dat groter is da b (b >a), verhoogd wordt met ee bedrag c(x- b). b) Too aa dat de gemiddelde belastig stijgt met 0% als b zo gekoze is dat (b/a) 8 -I = 5. I0.8. De levesduur x va ee type televisiebeeldbuis is ee stochastische variabele x met kasdichtheid f (x) -ÀX À xe x " 0, À > 0 a) Bepaal de gemiddelde levesduur e de variatie. Ee wikelier vervagt ee televisiebeeldbuis, die doorbradt a ee tijd x -a x voor ee bedrag c(i - e ) met c > 0, a > 0. b) Too aa dat het gemiddelde reparatiebedrag gelijk is aa: c - c{à/(à + a)}. Om het vervagigssysteem te vereevoudige verieuwt hij defekte buize, die slechts ee levesduur kleier da het gemiddelde hebbe, gratis e defekte buize die ee levesduur groter da of gelijk aa het gemiddelde hebbe voor ee vast bedrag c. c) Too aa dat het gemiddelde reparatiebedrag u gustiger voor hem is als geldt:

32 Gegeve is dat de fuktie f(x) = ealxl de kasdichtheid is va x. is a ee kostate. Hieri a) Bepaal a. b) Bereke de verwachtig e variatie va x 0.0. Zij! ee gamma-verdeelde stochastische grootheid met parameters À= 0 e a a I 00. a) Bereke E(~) e o (~). b) Bepaal de waarde va x zodaig dat P(~ $ x) = 0,90; 0,95; 0,975; 0,99; 0,995; 0, Zij de vraag per maad (X) aar ee artikel i het magazij gamma-verdeeld met E(x) a 300 e o(x) = 00. a) Bepaal y zodat P(X < y ) = 0,9. b) Als de begivoorraad i ee maad 800 stuks bedraagt, wat is da de kas dat de voorraad i die maad opraakt? 0.. Ee stochastische grootheid x heeft ee logormale verdelig bepaald door f (x) = K I - 4og x - I Zo -e x m, o kostat, x > 0 a) Bereke het b) Bepaal E(~) e r momet va x om de oorsprog e bepaal K. e 0 (!>) c) Druk m e o uit i a := E(~) e a :== 0 (~)

33 - 9 - J0.3. De Paretoverdelig is gedefiieerd door f(x) = {, S!. cf>o:+l s x 0 x > s elders Co: > o), a > o > a) Too aa dat b) Bepaal Ex e momet om de oasprag allee bestaat als " > r. als ct >..4. De stochastische groothede~ e z hebbe ee simultae kasverdelig bepaald door de volgede tabel va mogelijke waarde voor (~,y) e de kase erop. (x,y) p(x,y) (0,0) 0.08 ( 0, I) o. 7 ( l, l ) o. 6 (-,0) 0.34 (-,-) 0. IS a) Bereke E~, Ez, o (~), a (y). b) Zij ~ e z oafhakelijk? c) Bereke E(Z~- y), a (~- y).,5. Bereke E(~), E(y}, EC~ =x), EC~Iz = y) met x e gedefiieerd als i opgave Bereke de verwachtig e de variatie va u e v zoals gedefiieerd als i vraagstuk Bereke de verwachtig e de variatie vas zoals gedefiieerd als i vraagstuk 9. 0.,8, Bereke de verwachtig e de variatie va het aatal defecte zoals gedefiieerd i vraagstuk 9.3.

34 , Me doet o.o. experimete elk met obekede kaspop succes. Om toch iets te kue zegge over de kas, dat er k successe optrede, hateert me het volgede model: de kas op succes is ee stochastische grootheid ~met ee homogee verdelig op (0,). Zij k het aatal successe. Bereke P(~ = k), E~, var(~) k Gegeve is P(~ = k) = ( - a)a We defiiëre~:= si(i ~). a) Bepaal de kasverdelig va x. b) Bereke E(~) e var(~). (0 < a < I; k = 0,,,... ) 0.. De simultae kasdichtheid va de stochastische groothede x e z wordt gedefiieerd door a) Bereke c. f (x, y) ~ Z. -- {c 0 -x-y -x-y (e + e ) b) Bereke de margiale kasdichthede va ~ e z c) Bereke E(~)' ECzl, var(~) e var Cz). d) Bereke P c~.zl. voor x > 0 e y > 0 elders 0.. Laat x ee stochastische grootheid zij met absoluut kotie verdeligsfuctie F, da geldt Bewijs dit. 0 "' = J F(x)dx + J ( - F (x)) dx. 0 0,3. Laat ~ e l iet-egatieve stochastische groothede zij met absoluut kotie simultae verdeligsfuctie F F e F, da geldt x l ~ l e margiale verdeligsfucties

35 - 3 - cov(~,z) ~ ~ = J J 0 0 {F (x,y) - F (x)f (y)}dxdy. ~ Z ~ Z Bewijs dit Laat~ ee stochastische grootheid met absoluut kotiue verdeligsfuctie F. Bereke E(F(~)) e var(f(~)),. Karakteristieke fucties!l.i. Waarom zij de volgede fucties gee karakteristieke fucties:.. Gegeve is dat ~ (t) x = (I + it) ( + it) k Bereke E (~ ), k =,,...!.3. Bereke de kasdichthede behorede bij de volgede karakteristieke fucties:. -t +lt e '( -t e -t + e )!.4. Gegeve zij de volgede twee o.o. -x hede f (x) = e (x > 0) e f (y) x r a) Bereke de kasdichtheid f, ~+z b) Bereke '', ~+z c) Verifieer dat = <p.~ ~ z stochastische ~roothede -y = e (y > 0). met kasdicht!.5. Gegeve is dat~ e z o.o. zij, terwijl!! ormaal verdeeld is met E(!!) =0 e var(~) = 3; ~ + z is ormaal verdeeld met E(~ + z) = - e var(~ + z) = 4. Bepaal de kasdichtheid va z

36 Gegeve is dat~ ee karakteristieke fuctie is. Bewijs dat f~f weer ee karakteristieke fuctie is..7. Gegeve is dat~ ee karakteristieke fuctie is, E ln, u,u,...,u E JR, z,z,,z E ~. Bewijs dat.8. Gegeve is dat ~,~,..,~ oafhakelijke stochastische groothede zij met ee Cauchy-verdelig,d.w.z. met kasdichtheia 7T(J+x) Bewijs dat ~I e~ dezelfde verdelig hebbe. (Aawijzig: Bewijs dat de Cauchy-verdelig karakteristieke heeft.) fuctie e-[uf.9. Laat ~I' ~, ~ 3 e ~ 4 o.o. stadaardormaal verdeelde stochastische groothede zij. Bepaal de verdelig va ~~~ + ~ 3 ~. (Aawijzig: Gebruik karakteristieke fucties.).0. De diskrete stochastische grootheid~ ka de waarde 0,,,.. aaeme, De voorbregede fuctie va de rij kase {pk}met pk := P(~ = k) k = 0,,,... is P(s). Wat zij da de voortbregede fucties va a) de rij {qk} met qk := P(~ + I = k) e b) de rij {rk} met rk := P(~ = k)?.. P(s) is de voortbregede fuctie va de rij {P(~ = j), J = 0,,,.. }. Wat is da de voortbregede fuctie va a) {P(~,; j ) } b) {P(~ < j)} c) {P(~ " j ) } d) {P(~ > j + I)} e) {P(~ = j)}?.. Bij ee reeks trekkige uit ee alteratief met kaspop sukses (S) e q op mislukkig (M) is u de kas dat de kombiatie SM voor de eerste maal voorkomt i de (- l)e ee trekkig. Bepaal de voortbregede fuctie va de rij {u },

37 Wet va de grote aatalle, Cetrale limietstellig, Beaderig va de biomiale- e Poisso-verdelig door ee ormale verdelig.. Het gewicht va ee pakje boter is ormaal verdeeld met ee stadaardafwijkig va 3 gram. Ee regerigsistatie eemt ter cotrole af e toe ee steekproef va 5 pakjes. De fabrikat krijgt ee boete als de gemiddelde gewichtsihoud va deze steekproef mider is da 50 gram. Op welke gemiddelde moet de verpakkigsmachie worde igesteld om het risiko va ee boete tot % te reducere?.. Ee leveracier va flesse slaolie vermeldt als etto ihoud va zij flesse 350 gram. Ee wikelier west deze bewerig te cotrolere zoder de flesse te opee. Hij weegt daartoe ee zeer groot aatal gevulde flesse e hij vidt voor dit gewicht ee ormale verdelig met verwachtig 585 gram e stadaardafwijkig o =,8 gram. Vervolges weegt hij ee groot aatal lege flesse die hij va zij klate teruggekrege heeft met bijbehorede sluitcapsules. Voor dit gewicht vidt hij eveees ee ormale verdelig met~= 8,3 e o =,3 gram. Gevraagd het percetage der flesse olie die mider da 350 gram olie bevatte..3. Me wil ee afstad va 00 meter afzette door 00 maal achteree ee afstad va I meter af te passe. De fout die daarbij elke keer gemaakt wordt, is ee stochastische grootheid, die ormaal verdeeld is met ~ = 0 e o = 0.05 m. a) Bereke de kas dat de afgezette afstad meer da ee halve meter va de geweste 00 meter verschilt. b) Deze kas oder a) is tamelijk groot. Tot hoever zou me de stadaardafwijkig va de fout i iedere afgezette meter moete reducere opdat de kas oder a) te hoogste JO% is?.4. Bij ee machiaal weefgetouw trede gemiddeld 60 draadbreuke op i ee tijdsiterval va legte T. Als de machie otregeld raakt eemt het aatal draadbreuke toe e me west da zo sel mogelijk i te grijpe. De kas om te orechte i te grijpe diet echter bij iedere kotrole iet groter da 0,0 te zij. Bereke ee getal x zodaig, dat de regel "igrijpe als 0 x > xo" voldoet aa de gestelde eise.

38 Bereke het aatal male dat me met ee zuivere dobbelstee moet gooie opdat de frequetie va de score va 6 oge met ee kas va te miste 95% tusse 9/60 e /60 ligt gebruik maked va a) de ormale beaderig va de biomiale verdelig. b) de ogelijkheid va Cebysev..6. Het gewicht g va de maelijke studete is ee ormaal verdeelde grootheid met ~ = 55 e a = 0 pod, a) Bepaal de kas dat ee willekeurige studet ee gewicht heeft tusse de 0 e 30 pod, b) Gegeve is ee groep va 000 maelijke studete. Hoe groot is het verwachte aatal studete i deze groep met ee gewicht tusse 0 e 30 pod? c) Zij x het aatal studete i deze groep met ee gewicht tusse de 0 e 30 pod, bepaald da P(~ > 4),,7. Gegeve is dat ~~ ~,.,~ 00 o.o. Poisso-verdeeld zij met verwachtig. Geef ee beaderig voor de kas P(~ + ~ +.'.+ ~00 > 5 ) met behulp va de ormale verdeligsfuctie ~ is ee stochastische grootheid met E(x ) < ~. I - 4 Bewijs dat P(J~- ~ ~ c ) "; 4 E(~- ~ ) c

39 Schatters 3.. ~e z zij twee oafhakelijke waaremige uit ee homogee verdelig op (a,b). Too aa dat 3!~- zi ee zuivere schatter is voor b- a. 3..,..,~) ee zuivere schat- x,x,,x... is ee aselecte steekproef uit ee populatie met ee homogee -- - verdelig op (0,8). Laat zie dat : max(~.~ ter is voor e ~.~ is ee aselecte steekproef uit ee populatie met ee homogee verdelig op (0,~). Da is x= l<~ + ~ ) ee zuivere schatter voor~. Stel ~ da is ~~I ook ee zuivere schatter voor ~ e wel met kleiere variatie: ' T d. 4o-. oo ~t aa. l> > ~, 3.4. ~ e ~ zij oafhakelijke stochastische groothede. Er worde oafhakelijke pare waaremige (x.,y.) gedaa. Me wil ee schattig make va de -~ ~ --.. parameter E(~~). Too aa dat- Ex.~. e x~ zuvere schatters ZJ e dat -I. l. - de laatste auwkeuriger is ~.~ obekede o. is ee aselecte steekproef uit ee ormale verdelig met~ Too aa dat J/;!~ - ~! ee zuivere schatter is voor o. 0 e ee 3.6. ~,~ is ee aselecte steekproef uit ee expoetiële verdelig met ee obekede parameter À. Too aa dat ee zuivere schatter is voor À. ~ + ~ 3.7. Ee stochastische grootheid~ is homogee verdeeld op het iterval [0,8]. De obekede parameter 8 wordt geschat met de meest aaemelijke schatter op basis va ee aselecte steekproef ~,,~ 0 a) Bepaal de meest aaemelijke schatter b) Welke va de volgede bewerige zij - De schatter 8 is zuiver. - e voor 8. - juist? - De rij schatters {ê } is asymptotisch auwkeurig, asymptotisch raak, - asymptotisch zuiver.

40 Ee stochastische grootheid~ is expoetieel verdeeld met À= i De obekede parameter a wordt geschat met de meest aaemelijke schatter op grod va ee steekproef x,...,x, - - a) Bepaal de meest aaemelijke schatter voor s. b) Welke va de volgede bewerige zij juist? - De schatter voor 8 is zuiver. - De schatter voor s is ee zuivere schatter met miimale variatie. - De rij schatters { 8 } - is asymptotisch auwkeurig Ee stochastische grootheid x is expoetieel verdeeld op [8,~) met À=. Op basis va ee steekproef ~l'''''~ wordt de obekede parameter 8 geschat met de meest aaemelijke schatter. a) Bepaal de meest aaemelijke schatter ê voor 8. - b) Bepaal verwachtig e variatie va ê - c) Welke va de volgede bewerige zij juist? - De schatter ê is zuiver. - - De rij schatters {ê } is asymptotisch auwkeurig Er wordt keer geschote op ee cirkelvormige schijf met straal a. Het middelput va de schijf is de oorsprog va ee xy assestelsel. De koördiate va het trefput zij twee o.o. stochastische groothede ~ e X die be.ide N(O,o )-verdeeld zij. Me oteert a afloop allee hoe vaak de schijf is geraakt, Gevraagd wordt de meest aaemelijke schattig voor a op basis va dit aatal treffers. 3.. Ee stochastische grootheid x heeft kasdichtheid f (x; e) I x-8,; 3 e x e I e < x < 3 I -(x-8-) -e x ;, e + 3 e + I

41 al Er wordt éé waaremig e verricht. Laat zie dat de meest aaemelijke schattig e va e op grod va de realisatie e iet eeduidig is. b) Er worde twee waaremige!i e! verricht. Naar opklimmede grootte geragschikt worde deze ~(I) e ~( ). De gerealiseerde rage x( ) - x(l) is kleier da. Too aa dat ê u het iterval [x( )- I, x(l)] bestrijkt e dus iet eeduidig is. c) Opieuw worde er twee waaremige gedaa, maar u is de rage groter da I. Laat zie dat 8 u elke waarde uit het iterval [x( ), x( ) - IJ l'a aaeme e dus iet eeduidig is. 3.. Ee expoetieelbestaatuit het tweemaal werpe met ee mut. Kas per worp op kruis is p, op mut I - p. I N oafhakelijke herhalige va dit experimet is ÀN het waargeome verschil tusse het aatal male dat tweemaal kruis e dat tweemaal mut is opgetrede. Laat zie dat de meest aaemelijke schattig voor p gelijk is aa p=(i+"a)/ Laat!,!,,! oafhakelijke trekkige zij uit ee Beroulli-verdelig met kas p op succes. a) Bewijs dat de meest aaemelijke schatter voor p zuiver is e oder de zuivere schatters voor p de kleiste variatie heeft. ~(~ - I) b) Bewijs dat t := ( I) met k := L x. zuiver is voor p maar dat - i=l-~ geldt var~> MVB (miimum variaee boud) Laat!,!! oafhakelijke trekkige ZLJ uit N(O,o )-verdelig. Zoek ee zuivere schatter voor cr die oder de zuivere schatters miimale variatie heeft.

42 - 38 -!3. 5. De stochastische grootheid x is homogee verdeeld op het iterval [8 8 ]. - I' Het paar parameters (8,8 ) wordt geschat met de meest aaemelijke schatter op basis va ee aselecte steekproef el'e''' e a) Bepaal de meest aaemelijke schatter (~.~ ). b) Bewijs dat de schatter (~.~ ) voldoede is. 3.!6. De stochastische grootheid~ is expoetieel verdeeld met À=~ s De obekede parameter S wordt geschat met de meest aaemelijke schatter Op basis va ee aselecte steekproef e!'~,...,e (vergelijk opgave!3.8), a) Bewijs dat de klasse va mogelijke kasverdelige va S volledig is. - b) Bewijs dat de meest aaemelijke schatter B de zuivere schatter is met - de kleiste variatie De stochastische grootheide is expoetieel verdeeld op (8,~) met À= I. De obekede parameter 8 wordt geschat met de meest aaemelijke schatter op basis va ee aselecte steekproef el'~'''''e (vergelijk opgave 3.9). Bewijs dat de meest aaemelijke schatter 8 voldoede is. - 3.!8. De stochastische grootheid~ is geometrisch verdeeld met parameter p. De obekede parameter p wordt geschat op basis va ee aselecte steekproef x,x,,x a) Bepaal ee voor p voldoede schatter, b) Bepaal de meest aaemelijke schatter voor p. c) Bepaal u de meest aaemelijke schatter voor _L -p - (vergelijk a)) De stochastische grootheid x is homogee verdeeld op cirkelschijf i w. met obeked middelput e obekede straal. a) Bepaal op grod va ee aselecte steekproef ~~ ~z ~ de meest aaemelijke schatter voor 8 = (8,8,e 3 ) met (8,8 ) middelput e 8 3 straal va de cirkel. b) Too aa dat deze meest aaemelijke schatter voldoede is voor 8 3 bij gegeve middelput (m,m ).