Modelvraagstukken: Limieten van Rationale Functies (RF).

Transcriptie

1 Sint-Norbertusinstituut Duffel Modelvraagstukken: Limieten van Rationale Functies RF) Inhoudsopgave Basisieten Nulpunten en hun multipliciteit 3 Limietwaarden op oneindig 4 3 Berekening in detail 4 3 Verkorte berekening 5 4 Limieten in nulpunten van de noemer 6 4 Berekening ad hand van een tekentabel 6 4 Berekening met algebra 8 Basisieten Machtfuncties y = x a) ±n n N,a R) vormen de bouwstenen voor de constructie van rationale functies Grafieken van zuivere machtfuncties y = x n en y = x n = x n hebben een symmetrieas als n = m) of een symmetriepunt als n = m + ) op de plaats x = 0 De meetkundige betekenis van de transformatie x x a) is een horizontale verschuiving over de afstand a Grafieken van machtfuncties y = x a) n en y = x a) n = hebben dus een symmetrieas of x a) n -punt op de plaats x = a Machtfuncties y = x a) n met positieve exponent hebben parabolische grafieken zonder asymptoten Uitzondering: voor n = 0 en n = is de grafiek een rechte) Machtfuncties y = x a) n = x a) n met negatieve exponent hebben hyperbolische grafieken Deze grafieken zijn onderbroken bij x = a nulpunt van de noemer) Ze hebben een verticale asymptoot VA:x = a) en twee horizontale asymptoten HA ± : y = Deze eigenschappen van de grafieken van machtfuncties vertalen zich in een aantal ietformules, die je goed van buiten moet kennen xn = ± x = 0 n = x a > x a) = + n 0 = ) { x a < x a) = + n = m) n n = m+) 0 = ) Deze regels zijn geldig voor n N 0 Je kan ze eventueel nog aanvullen met de regel voor de ietwaarde van een constante: c = c x a a = ± of a R; c = cte) Nulpunten en hun multipliciteit Maak de lijst met nulpunten van Tx) en Nx) van de volgende RF en geef telkens hun multipliciteit μ y = x+) x 3) x Oplossing y = x+) x 5) 3 3x+) 5 x ) x = 0 3 μ = ) Oplossing De waarde x = is een nulpunt van T en N tegelijk De totale multipliciteit van dit nulpunt is μ ) = μ T μ N = 5 = 3 Besluit: ) x = 5/ μ = 3 3

2 Sint-Norbertusinstituut Duffel 3 3 y = 7x+)x 5) 3x+)x +x+) Oplossing De factor x + x + ) heeft geen nulpunten D = 3) Besluit: ) x = /3 5 μ = 4 y = 4x x ) 3 x 5) x+)x 7x+ Oplossing Hier heeft de factor x x ) wel nulpunten D = 9), nl x = en x = 5 De multipliciteiten van deze waarden zullen dus met verminderen Vandaar: ) x = 0 5 μ = 0 Omdat μ5) = 0 kan de factor x 5) uit het functievoorschrift geschrapt worden mits het stellen van een voorwaarde: y = 4x x ) 3 x 5) x+)x )x 5) = 4x x ) x+) 5 y = 34x x+9) x+5)x 5) x =,x = 5) Oplossing De factor 4x x+9) heeft D = 0 Dit betekent dat de twee nulpunten samenvallen en het nulpunt x = b = = 3 heeft a 8 multipliciteit Besluit: ) x = 5/ 3/ 5/ μ = 6 y = 3x +5x 3) 3 x x ) Oplossing De factor x + 5x 3) heeft twee nulpunten reken na!) x = 3 en x = De exponent 3 maakt dat beide nulpunten multipliciteit 3 krijgen De multipliciteit van x = moet echter nog aangepast worden omdat dit nulpunt ook in de N voorkomt Besluit: ) x = 3 0 / μ = 3 Sint-Norbertusinstituut Duffel 4 3 Limietwaarden op oneindig 3 Berekening in detail Door in Tx) en Nx) de hoogstegraadstermen HGT) af te zonderen kan je de berekening van deze ietwaarden altijd herleiden tot een aantal basisieten van machtfuncties In het eenvoudigste geval zijn T en N zuivere sommen x 3x+5 3x 4 3x x 4 x 3x 3 4 x 3x 3x = ) x x 4 ) 3x 3 3x 4 0 {}}{ 3 x + 5 x ) x 3x 4 ) }{{ 3 3x 4 } 0 De berekening toont dat graffx) twee hyperbolische staarten van graad ) heeft als x ± De grafiek heeft dus horizontale asymptoten op de x-as HA ± : y = In het volgende voorbeeld zijn T en N van de zelfde graad 3x 3 +4x x 3 x+3 3x 3 x + 4 3x ) x x 3 3x 3 ) ) 3x 3x ) x x 3 = 3 = 3 Meetkundige betekenis: graffx) heeft twee horizontale asymptoten op niveau y = 3 HA ± : y = 3)

3 Sint-Norbertusinstituut Duffel 5 Sint-Norbertusinstituut Duffel 6 3 Een voorbeeld met grt > grn: x 5 +4x 3 x + 3x +x 4 x 3 x 5 3x + + x x x 3 3 = ) x 5 4 ) 3x 3x + x x 3 + x 5 ) + 3x 4 3x ) { + x + ) x ) Meetkundige betekenis: graffx) heeft geen horizontale asymptoten HA : /) De berekening toont dat graffx) twee parabolische staarten heeft van graad 3) als x ± 4 Als T en/of N in productvorm staan zonder je de hoogstegraadsterm van elke factor afzonderlijk af, rekening houdend met multipliciteiten x+3) x 5) 3 3x+) x +x ) x + 3 x ) x) 3 5 x )3 3x+ 3x ) x ) x + x ) x 8x 3 3x 4x 4 8x 5 x5 3 = 3 Meetkundige betekenis: HA ± : y = 3 3 Verkorte berekening + 3 x ) 5 x )3 + 3x ) x + x ) De voorbeelden in sectie 3 laten zien dat de ietwaarde op oneindig van een RF enkel bepaald wordt door de HGT van Tx) en Nx): de iet van een RF is de iet van het quotiënt van) haar HGT Deze regel van de HGT laat toe om de berekeningen aanzienlijk in te korten x 3x+5 HGT x 3x 4 3x x 4 3x 4 3x = 0 3x 3 +4x HGT 3x 3 x 3 x+3 x = 3 3 x 4 +4x 3 x + HGT x 4 3 3x +x 4 3x x 3 = + x+3) x 5) 3 HGT x 8x 3 4 3x+) x +x ) 3x 4x 4 3 = 3 In ), ) en 4) heeft graffx) horizontale asymptoten in ± In 3) heeft graf fx) parabolische staarten van graad ), in ) hyperbolische staarten van graad ) 4 Limieten in nulpunten van de noemer Elk nulpunt a van de noemer Nx) van een RF fx) zorgt voor een onderbreking van graffx) De ietwaarden van fx) als x a worden bepaald door de totale multipliciteit μ van de waarde x = a Als μ < 0 komt de factorx a) in het vereenvoudigde voorschrift enkel in de noemer Nx) voor Het vereenvoudigd voorschrift vertoont dus een onbepaaldheid van type waardoor automatisch fx) ± Meetkundige betekenis: graf fx) heeft een verticale asymptoot op de plaats x = a VA : x = a) Als μ 0 komt de factor x a) in het vereenvoudigde voorschrift enkel in de teller Tx) voor Het vereenvoudigd voorschrift bevat geen enkele onbepaaldheid meer voor x a en de ietwaarde van fx) is eindig fx) b R) Meetkundige betekenis: graf fx) heeft een opening bij x = a, y = b) 4 Berekening ad hand van een tekentabel Voor de constructie van de tekentabel moeten alle nulpunten met hun multipliciteit gekend zijn Je kan dan de ieten rechtstreeks invullen ) fx) = x+) x 3) x = 0 3 heeft nulpunten: x μ = De tekentabel met bijhorende ieten is dus

4 Sint-Norbertusinstituut Duffel 7 met als MB: VA :x = 0 x 0 3 fx) 0 0 fx) = x ) heeft nulpunten x )x+) De tekentabel met bijhorende ieten is dus x = μ = x fx) met als MB: VA : x = ; x = 3 fx) = x+3) x 5) x+3)x 4) heeft nulpunten ) ) x = μ = Merk op dat x = 3 een nulpunt is van Nx) met een positieve totale multipliciteit Het vereenvoudigde voorschrift is fx) = x+3)x 5) x 4) De tekentabel met bijhorende ieten is x = 3) x fx) Om de iet te bepalen voor x 3 gebruik je het vereenvoudigde voorschrift Het oorspronkelijke voorschrift is immers onbepaald van type 0 ) voor x = 3 De MB van de gevonden ieten is enerzijds een VA bij x = 4 en een opening bij x = 3,y = opening op de x-as) Sint-Norbertusinstituut Duffel 8 4 fx) = 5x 3x+4)x ) heeft nulpunten 3x+4) x ) Het vereenvoudigde voorschrift is fx) = 5x 3x+4 x = ) ) x = μ = 0 Merk op dat de voorwaarde x = 4 3 overbodig is, omdat x = 4 3 ook zonder voorwaarde niet toegelaten is in het vereenvoudigd voorschrift De tekentabel met bijhorende ieten is x fx) Om de iet te bepalen voor x gebruik je opnieuw het vereenvoudigd voorschrift: 5x ctu fx) = 5 4 x x 3x = De letters ctu staan voor de zogenaamde continuïteitsregel: als de breuk 5x de waarde aanneemt voor x = dan zal dat ook de 3x+4 ietwaarde zijn als x Inderdaad: x brengt met zich mee dat x mag beschouwd worden 4 Berekening met algebra Als je maar één enkele iet van een RF moet bepalen voor x a R volstaat het om de totale multipliciteit van x = a te bepalen mbv de methode van Horner Een voledige tekentabel opstellen is in dat geval tijdverlies Dit vraagt immers een volledige ontbinding in factoren volgens d Alembert, wat vrij veel werk met zich meebrengt en zelfs niet altijd mogelijk is zonder hulp van een rekentoestel x 3x 4 ctu = x x 3 +x+ 8++ = 6 Dit is een triviaal geval De waarde x = is geen nulpunt van de noemer en de grafiek is daar ononderbroken Hier is dus ook geen sprake van een opening in de grafiek

5 Sint-Norbertusinstituut Duffel 9 x +5x+ Gevraagd L x x 4 +5x 3 +9x +8x+4 4 ) 0 Oplossing Je hebt hebt hier te maken met een onbepaaldheid van type Dit betekent dat je vooraf al weet dat de iet ± zal zijn Om het juiste teken te bepalen heb je echter de mulitpliciteit nodig van x = Gebruik daarvoor de methode van Horner om zoveel mogelijk factoren x+) af te splitsen uit de noemer Opmerking Je moet hier geen nulpunten zoeken! Welke waarde a je moet gebruiken in het rekenschema van Horner kan je aflezen uit de versiering van het ietsymbool !! De laatste poging loopt spaak Je kan dus maar twee factoren afsplitsen waarna een quotiënt x +x+ overblijft Je kan nu de iet L splitsen in twee eenvoudige ieten L x x x +5x+ x +x+)x+) x +5x+ x +x+ x } {{ } ctu = 4 3 x+) Sint-Norbertusinstituut Duffel 0 als oneindig zijn Gebruik de methode van Horner om zoveel mogelijk factoren x+) af te zonderen uit zowel teller als noemer Tx) Nx) !! Zowel T al N bevatten dus twee factoren x+) De totale multipliciteit van x = is μ = = 0 Na vereenvoudigen verdwijnt de onbepaaldheid L x x ctu = 3 5 = 5 3 MB: opening bij x =,y = 5 3 ) x+) 3x ) x+) x 5) 3x ) x 5) x 3 3x+ 4 Gevraagd: L x 3 x 4 x 3 +x +5x 9 0 ) 0 Oplossing Gebruik de methode van Horner in zowel T als N met a = 3 = 4 + ) = 3 Besluit: graf fx) heeft een VA in x = 3x 3 +4x x 3 Gevraagd: L x x 4 +4x 3 3x 0x 5 0 ) 0 Oplossing De onbepaaldheid is hier van type 0 Afhankelijk van de totale multipliciteit van x = kan de waarde van L zowel eindig Tx) !! Nx) !!

6 Sint-Norbertusinstituut Duffel De totale multipliciteit van x = 3 is μ = < 0 Dit betekent dat graffx) hyperbolisch is als x 3 en L = ± Bepaal het juiste teken door L op te splitsen in twee eenvoudiger ieten MB: VA : x = 3 x 3)x +3x 4) L x 3 x 3) x +x ) x +3x 4) x 3 x +x ) x 3 = 4 0 x 3 x 3) = x 3) x 3) { + x > 3) x < 3)