Reële functies. 1. Algebraïsche functies Algemene begrippen. Gottfried Wilhelm Leibniz Leipzig 1 juli 1646 Hannover 14 november 1716

Transcriptie

1 Reële functies Algebraïsche functies Sir Isaac Newton Woolsthorpe 4 januari 643 Kensington 3 maart 77 Gottfried Wilhelm Leibniz Leipzig juli 646 Hannover 4 november 76 Algemene begrippen

2 ) Definities in verband met functies a) Het functiebegrip Een relatie is een verzameling koppels x, y, waarbij alle x-waarden samen een verzameling vormen die we het definitiegebied of domein noemen, en alle y-waarden een verzameling vormen die we de waardenverzameling of beeld noemen Als het verband tussen x -waarden en y -waarden in een wiskundige formule kan worden gegoten, dan noemen we die het relatievoorschrift Voorbeeld : Beschouw de relatie Hier is het voorschrift dus R x y x Z y Z x y,,, 5 x y 5 Deze relatie bestaat uit koppels gehele getallen: 0,5, 0, 5, 5,0, 5,0, 3,4, 3, 4, 3,4, 3, 4, 4,3, 4, 3, 4,3, 4, 3 Het domein en het beeld zijn de verzamelingen domr bldr R 5, 4, 3,0,3,4,5 Als elke x -waarde uit het domein hoogstens één keer voorkomt dan noemen we die relatie een functie Voorbeeld R is dus geen functie, maar voorbeeld R wel: Voorbeeld : Beschouw de relatie R x, y xn, y x (y zit dus automatisch ook in N ) Hier is het voorschrift y x Deze relatie bestaat uit oneindig veel koppels natuurlijke getallen: R 0,,,3,,5, 3,7, Het domein is domr N en het beeld is de verzameling der oneven natuurlijke getallen Wij zullen in deze cursus enkel reële functies beschouwen Dit zijn functies waarbij zowel het domein als het beeld deelverzamelingen zijn van R De meeste functies kunnen eenvoudig worden voorgesteld door een functievoorschrift We definiëren een reële functie dan ook in symbolen als: een functie vereenzelvigen met zijn functievoorschrift Voorbeelden: f: R R : x f x We zullen in deze cursus ook vaak f x 3x x 7 is een veeltermfunctie van de tweede graad gt 3t 4 is een rationale functie, meer specifiek zelfs een homografische functie 6t pz z is een exponentiële functie In verband met functies zijn volgende begrippen heel belangrijk: De functiewaarde van een reëel getal a bij een functie f is het reëel getal dat je bekomt door de veranderlijke in het functievoorschrift te veranderen in a We noteren dit als f a x 6 Voorbeeld: Als f x dan is f 6 4 x 3 63 Het domein van een functie f is die deelverzameling van elementen van R waarvoor je een functiewaarde kan berekenen We noteren deze verzameling met dom f Cursus elementaire functies - - S Mettepenningen

3 In symbolen: dom f ar br : f a b Voorbeeld: Als f x x dan is dom f R Het beeld van een functie is die deelverzameling van elementen van R die een functiewaarde zijn We noteren deze verzameling met bld f In symbolen: bld f br ar : f a b Voorbeeld: Als f x x dan is, bld f De nulwaarden van een functie zijn die elementen uit het domein van de functie waarvoor de functiewaarde 0 is We noteren deze verzameling met 0 Voorbeeld: Als f x x 3x 4 dan is f 0 4; f Dan zijn er nog enkele begrippen die belangrijk zijn in verband met functies, die je zeker moeten kunnen aflezen aan de hand van de grafiek van een functie: Het tekenverloop van een functie is een duidelijke tabel waarin je aangeeft wat het teken is van de functiewaarden voor alle waarden uit het domein Het verloop (stijgen en dalen) van een functie is een duidelijke tabel waarin je aangeeft in welke intervallen de functie stijgt, daalt of constant blijft Een functie f is (strikt) stijgend in een interval a, b dom f, x, x a, b : x x f x f x Een functie f is (strikt) dalend in een interval a b dom f x, x a, b : x x f x f x Een uitgewerkt voorbeeld: Bespreek de functie b 6 We berekenen de top: 3 a f x 6x 4 x, en schets de grafiek T, en f a , ր en de nulpunten: x 6x 4 0 x 3 5 ց Domein: dom f R Beeld: bld f,5 Stijgen en dalen: x 3 f x ր MAX (5) Tekenverloop: x ց x 3 5 x 3 5 6x 4 x Het hoofddoel van de cursus wiskunde in de vijfdes zal onder meer zijn deze bespreking voor alle elementaire functies algebraïsch te kunnen doen Cursus elementaire functies S Mettepenningen

4 b) Extrema De functie f bereikt een relatief minimum in c a, b dom f (met c a, b ): xa, b\ c: f x f c De functie f bereikt een relatief maximum in c a, b dom f (met c a, b ): xa, b\ c: f x f c De functie f bereikt een globaal minimum in c xdom f: f x f c De functie f bereikt een globaal maximum in c xdom f: f x f c Voorbeeld: Hiernaast staat de grafiek getekend van een vierdegraadsveelterm De functie bereikt een: lokaal minimum voor x, lokaal maximum voor x, globaal minimum voor x 5 c) Differentiequotiënt Het differentiequotiënt van een functie in een interval geeft de gemiddelde verandering weer van die functie in dat interval In wiskundige formule wordt dit: Het differentiequotiënt van de functie y f x in het interval, Grafisch gezien is het de richtingscoëfficiënt van de rechte die de punten y a b is x ab, f b f a ba A a, f a en B b, f b verbindt Het kan dus geïnterpreteerd worden als de gemiddelde helling in dat interval 4x Voorbeeld: Als f x x y f 5 f x, Hiernaast op de figuur zie je dat dit de richtingscoëfficiënt is van de rechte AB, bereken dan het differentiequotiënt voor het interval,5 Cursus elementaire functies S Mettepenningen

5 d) Symmetrie Even en oneven functies Als voor een functie f geldt dat x dom f: f x f x van f is dan symmetrisch tov de y-as, dan is f een even functie De grafiek Als voor een functie f geldt dat x dom f: f x f x grafiek van f is dan symmetrisch tov de oorsprong Voorbeeld: De functie want: f x x, dan is f een oneven functie De 4 3 x x f: x x x x 3 is een oneven functie, x x f x x Je ziet de symmetrie duidelijk op de grafiek van de functie rechts Symmetrieassen De rechte met vergelijking x a is een symmetrieas van de grafiek van de functie f als en slechts als geldt: xr : a xdom f f a x f a x 5 Voorbeeld: De functie f x x 6x0 symmetrie tov de rechte s x 3, want: f 5 5 3x, en x x x 5 5 3, x f x x x dus f 3x f 3 x Symmetriepunten vertoont Het punt S p, q is een symmetriepunt van de grafiek van de functie f als en slechts als geldt: f px f px xr : pxdom f q Voorbeeld: De functie punt S,, want: f x x x 3 3 vertoont symmetrie tov het x x x x x x x x x 3 x 3 x 3 x 3 f x f x dus met x 0, x x x f x f x Cursus elementaire functies S Mettepenningen

6 Veeltermfuncties Cursus elementaire functies S Mettepenningen

7 ) Definities en notatie Een veeltermfunctie in de veranderlijke x met reële coëfficiënten is een uitdrukking van de vorm: n n f x a x a x a x ax a, met an R0; an,, a, a, a0 R n n 0 De reële getallen an, an,, a, a, a0 noemen we de coëfficiënten van die veelterm De graad van een veelterm is de hoogst voorkomende exponent n (waarvan de coëfficiënt 0 is) De verzameling veeltermfuncties noteren we met de verzameling waaruit de coëfficiënten komen en de variabele tussen rechte haakjes: in ons geval dus meestal ) Deelbaarheid bij veeltermen a) De Euclidische deling R x De definitie van Euclidische deling van veeltermen herinneren we ons uit de tweede graad: We noemen deeltal Qx en Rx respectievelijk het quotiënt en de rest bij Euclidische deling van het Ax door de deler, met A x D x Q x R x Dx als en slechts als geldt: gr R x gr D x of 0 R x Quotiënt en rest kan je vinden met het algoritme van de Euclidische deling, dat we hier herhalen met 4 3 een voorbeeld: de deling van Ax 6x 7x 0x 5x door 6x 4-7x 3 +0x -5x + x -x +3 6x 4-3x³ +9x² 3x² -7x + -4x³ +x² -5x + -4x³ +7x² -x 4x² +6x + 4x² -x +6 8x -5 D x x x 3 Voor het quotiënt en de rest vinden we dus als uitkomst: Qx 3x 7x en Rx 8x 5 Dit algoritme zullen we vaak nodig hebben bij het onderzoeken van rationale functies b) De reststelling Ook van vorig jaar herinneren we ons de reststelling De reststelling: De rest bij deling van een veelterm (met ar ) wordt gegeven door de functiewaarde Ax door een deler van de vorm Aa Deze stelling heeft als onmiddellijk gevolg dat x a Px Pa Dx x a 0 Dit laat ons toe veeltermen te ontbinden in factoren, met behulp van het algoritme van Horner c) Ontbinden in factoren Het gevolg van de reststelling zegt in woorden dat we een factor x a kunnen afzonderen bij een veeltermfunctie als en slechts als a een nulpunt is van die veeltermfunctie We herhalen deze 4 3 werkwijze aan de hand van een voorbeeld: de ontbinding van 6x 3x x 3x 8 Cursus elementaire functies S Mettepenningen

8 De nulpunten (die je vindt met je GRM) zijn 7 en Het eerste algoritme van Horner (boven) geeft: x 3x x 3x 8 x 6x 8x 6x Onmiddellijk nog eens Horner toepassen geeft: x 8x 6x 8 x 6x x 3x x 3x 8 x x 6x 6 x73x 4x 3 6x Dus: Vergeet echter niet de nog eerder geziene methoden om te ontbinden in factoren: Methode Voorbeeld Factor afzonderen: 7xx 3 7x3x Merkwaardige producten: A B ABA B 49x 7x7x A AB B A B 4p 0pq5q p 5q A 3 B 3 ABA AB B 7x 3 3x93xx Discriminantmethode: 49 3x 5x 0 x x 3 3x 5x 3 x x x 3x 3 3 3x x 6x4 x 3x 3x ax bxc axx x x Gericht samen nemen van termen: x 3x 3) Kenmerken van een veeltermfunctie a) Domein Het domein van elke veeltermfunctie is R b) Gedrag op oneindig en beeld Het beeld van een veeltermfunctie is minder vanzelfsprekend Voor veeltermfuncties van oneven graad is ook het beeld altijd R, maar voor veeltermfuncties van even graad is het beeld altijd van de vorm a, of,a, met ar (Denk bvb eens aan eerste- en tweedegraadsfuncties) De verklaring hiervoor ligt bij het gedrag op oneindig van veeltermfuncties Het is eenvoudig in te zien dat vooral de hoogstegraadsterm een rol speelt als je naar de functiewaarden gaat kijken van zeer grote of zeer kleine getallen (x of x ) Als we dan effectief gaan kijken naar het gedrag op oneindig, geldt ook voor de functiewaarden dat Cursus elementaire functies S Mettepenningen lim x f x en lim x f x Deze limieten zijn dan intuïtief zeer eenvoudig te berekenen Als voorbeeld kijken we naar de veeltermfunctie uit de vorige paragraaf:

9 x 4 x 3 x x x 4 x x 4 x 3 x x x 4 lim lim 6 x lim lim 6 x x Op de grafiek rechts is de tussenstap intuïtief gerechtvaardigd De echte bewijsvoering zien we later in deze cursus Het minimum dat bereikt wordt leren we ook later algebraïsch berekenen Nu vinden we met onze GRM dat 66,9 bld f 66,9; a, dus is c) Tekenverloop Het tekenverloop van een veeltermfunctie is eenvoudig als je denkt aan de ontbinding van de veelterm, of dus eigenlijk aan de nulpunten (en de multipliciteit ervan) We noemen n een nulpunt met multipliciteit m van de veeltermfunctie m x n f x, maar f x als: Cursus elementaire functies S Mettepenningen m x n f x Het teken wisselt bij het nulpunt van een veeltermfunctie als de multipliciteit van het nulpunt oneven is, en verandert niet als de multipliciteit even is Dit is heel belangrijk bij oefeningen Onthoud bij het ontbinden in factoren (en dus ook het zoeken naar nulpunten) volgende stellingen: Bij een veelterm met gehele coëfficiënten is elk geheel nulpunt een deler van de constante term van die veelterm (maar uiteraard niet omgekeerd!) Een veelterm van graad n heeft hoogstens n (al dan niet verschillende) nulpunten Hoofdstelling van de algebra: elke veelterm kan ontbonden worden in eerste- en tweedegraadsfactoren Deze eerste stelling volgt vrijwel onmiddellijk uit het feit dat x a Px Pa 0 De tweede (en derde) stelling bewijzen is helemaal niet vanzelfsprekend De Zwitser Argand was de eerste die deze stelling correct bewees, in 806 d) Stijgen en dalen Voor veeltermfuncties van graad 3 of hoger moeten jullie het verloop voorlopig enkel kunnen aflezen van een rekenmachine Later zullen we dit ook op algebraïsche manier leren via afgeleiden (zie cursus differentiaalrekening) 4) De stelling van Viète In de vierdes bewezen we reeds de stelling in verband met som en product: Voor de som S en het product P van de wortels x en x van de vergelijking ax bx c 0 geldt b c S x x en P x x Dit liet onder andere toe een tweedegraadsvergelijking heel a a snel op te lossen Deze stelling kan eenvoudig uitgebreid worden naar veeltermvergelijkingen van hogere orde Zo geldt voor de drie wortels x, x en x 3 van de derdegraadsvergelijking S x x x b a 3 en P x x x3 3 ax bx cx d 0 dat d c (en overigens ook dat x x x x3 x3 x ) Je a a

10 kan deze stelling eenvoudig bewijzen door uit te gaan van de ontbinding van de veelterm (doe dit zelf eens) Voor willekeurige veeltermvergelijkingen werd deze stelling voor het eerst bewezen door François Viète in de 6 e eeuw voor positieve wortels en door Albert Girard in de 7 e eeuw voor alle wortels n n Stelling: Als x, x,, x n de n wortels zijn van de vergelijking anx an x a0 0, met an 0 an 0 dan geldt S x x xn en n a P x x xn a a n n n Bewijs: volgt onmiddellijk uit a x a x a a x x x x x x gelijksoortige coëfficiënten aan elkaar gelijkstelt als je de n n 0 n n n Cursus elementaire functies S Mettepenningen

11 3 Rationale functies Cursus elementaire functies - - S Mettepenningen

12 ) Homografische functies Een speciale soort rationale functie is de homografische functie Dit is een functie van de vorm: axb f x cx d, met c 0 en ad bc 0 Een homografische functie is monotoon: de functie is ofwel overal stijgend, ofwel overal dalend in haar domein (dit naargelang het teken van ad bc ) De grafiek van een homografische functie noemen we een hyperbool In de tweede graad heb je gezien dat je elke hyperbool kan verkrijgen door elementaire transformaties uit te voeren op de grafiek van de standaardhyperbool y x x6 We bekijken als voorbeeld eens de homografische functie f x x x 8 8 Deze functie is te herschrijven als f x Je kan dit ook vinden door de x x Euclidische deling uit te voeren Het transformatieschema is: 8 hx f3 x : spiegelen om de x-as x x : eenheid naar links 8 : eenheden naar boven fx f x x schuiven x schuiven 8 : rekken met factor 8 langs de f x x y-as We proberen deze functie nu volledig te bespreken: Domein Deze functie is overal gedefinieerd, behalve in het nulpunt van de noemer, - dom f R \ Nulpunt x6 0 x 6 0 x 0 x 3 x Tekenverloop x 3 Beeld f x Op de grafiek zien we dat bld f R \ Een asymptoot van een functie is een rechte waar de grafiek van die functie willekeurig dicht toe nadert De term is afgeleid uit het Grieks en betekent letterlijk niet samenvallen De hierboven besproken functie heeft twee asymptoten De rechten met vergelijking x en y zijn respectievelijk een verticale en een horizontale asymptoot Dat x een verticale asymptoot is, is eenvoudig in te zien als volgt: hoe dichter je x bij neemt hoe dichter de noemer het getal 0 nadert De functiewaarden in de buurt van worden dus altijd maar groter in absolute waarde Cursus elementaire functies - - S Mettepenningen

13 Dat de rechte met vergelijking y een horizontale asymptoot is zie je eenvoudig in door het omgevormde functievoorschrift te bekijken ( f x term naar nul nadert, en dus de functiewaarde naar nadert Met een tabel kunnen we deze intuïtieve redeneringen verifiëren: x 8 x ) Hoe groter x, hoe meer de tweede f x x f x x f x x f x -, 8-0, ,8888 0,77 -,0 80-0, , ,908 -, , , ,990 -, , , , We noteren deze bevindingen in limietvorm als lim lim, x x, lim en lim x x In latere hoofdstukken komen we hier zeker op terug Voorlopig volstaat het dat jullie begrijpen waarvoor deze notatie staat ) Kenmerken van rationale functies a) Definities Een rationale functie is een quotiënt van twee veeltermfuncties, waarbij de noemer niet de nulveelterm is De nulpunten van een rationale functie zijn de nulpunten van de teller die geen nulpunt zijn van de noemer De polen van een rationale functie zijn de nulpunten van de noemer b) Domein Een rationale functie is overal gedefinieerd, behalve in de nulpunten van de noemer f In formulevorm geeft dit: dom \ x gx 0 g R c) Nulpunten Bij het oplossen van de vergelijking om de nulpunten te zoeken is het belangrijk dat de bestaansvoorwaarde (het domein van de functie) niet wordt vergeten Voorbeeld: Bepaal de nulpunten van de functie x x x x 3 9 x x f x x x x x 3 9 x x5 5 0 x 3x 3 x 3 x 5 x 3 Cursus elementaire functies S Mettepenningen

14 d) Geperforeerde grafieken Zijn er getallen waarvoor zowel de functiewaarde in de teller als in de noemer nul is, dan kunnen we wegens de reststelling het functievoorschrift vereenvoudigen Het is hierbij wel belangrijk niet te vergeten dat de oorspronkelijke functie voor deze waarde niet gedefinieerd is Voorbeeld: We kijken terug naar de functie een nulpunt was van zowel teller als noemer We proberen te vereenvoudigen: v f x f x x x x x 3 9 x x5 3 x3 3 x5 x3 x5 Uit de vorige paragraaf bleek dat 3 Het is nu belangrijk in te zien dat f fv De functies zijn fundamenteel verschillend, want f v is gedefinieerd in x 3 maar f niet In haar domein echter zal f zich volledig hetzelfde gedragen als f Het enige verschil is dat de grafiek van f in één punt, namelijk 3,98, zal geperforeerd zijn v We bekijken de grafiek eens: De grafiek van f is dus inderdaad identiek aan de hyperbool die bij f v hoort, behalve in het perforatiepunt 3,98 We noemen de grafiek dan ook een geperforeerde hyperbool In het geval dat de multipliciteit van het getal als nulpunt van de noemer groter is dan dat van de teller, zijn beide functies wel identiek Zelfs na vereenvoudiging zal de functie nog altijd niet gedefinieerd zijn in dat punt In dat geval mag je dus zonder problemen vereenvoudigen e) Gedrag op oneindig - asymptoten Bij homografische functies zagen we al dat bij rationale functies asymptoten kunnen optreden Deze redenering gaan we nu veralgemenen naar alle rationale functies Uit de vorige paragraaf volgt dat we mogen kijken naar de vereenvoudigde functies, want het is duidelijk dat perforatiepunten geen invloed hebben op asymptotisch gedrag Verticale asymptoten Een rationale functie f heeft verticale asymptoten met vergelijking x p voor elke pool p van de vereenvoudigde functie f v Dit is te verklaren analoog aan wat we deden bij homografische functies Horizontale en schuine asymptoten Voor horizontale en schuine asymptoten van een rationale functie f is het nuttig te kijken naar het functievoorschrift van de vereenvoudigde functie f v na uitvoering van de Euclidische deling Is het quotiënt een getal b dan vinden we net als bij de homografische functies een horizontale asymptoot met vergelijking y b Is het quotiënt een eerstegraadsfunctie mx q (met dus m 0 ) dan heeft de functie een schuine asymptoot met vergelijking y mx q Cursus elementaire functies S Mettepenningen

15 Voorbeeld: Bepaal de vergelijking van de asymptoten van de functie We proberen teller en noemer te ontbinden in factoren: f x x x x x x Teller: 8x 3 x 8x x 8x8x x 8x xx 4x Noemer: x 3x xx De vereenvoudigde functie is dus f v x x x4x x x x x 8 6 De functie f is identiek aan de functie f v op een perforatie bij, na De nulpunten van zijn en 4 en de pool is Aangezien een pool is van f v heb je een verticale asymptoot: x Om het asymptotisch gedrag voor x te bekijken, voeren we de Euclidische deling uit bij f v : Dus x +6x - x - 8x -4x 4x+5 0x - 0x -5 3 x x 4x 5 x x Als x nadert de breuk 3 naar nul, zodat we een x schuine asymptoot hebben, namelijk y 4x 5 We controleren onze bevindingen eens op de grafiek van f Merk op dat deze grafiek hier getekend is in een assenstelsel met verschillende ijken op de x-as en de y-as om de grafiek overzichtelijk te houden In de oefeningen zullen we vaak ook de ligging van de grafiek ten opzichte van deze asymptoten bepalen Cursus elementaire functies S Mettepenningen

16 Algemeen kan je het volgende opmerken voor een rationale functie f x T x : N x Als grt grn dan is er een horizontale asymptoot y 0 Als grt grn dan is er een horizontale asymptoot y b, met b het quotiënt van de hoogstegraadstermen gr T gr N dan is er een schuine asymptoot y mx q, met mx q het Als quotiënt bij Euclidische deling van f) Beeld en verloop T x door Nx Voor rationale functies moet je zowel het verloop (stijgen en dalen) als het beeld voorlopig enkel kunnen aflezen van de grafiek Om dit op algebraïsche manier te bespreken hebben we afgeleiden nodig (zie cursus differentiaalrekening) We sluiten dit hoofdstuk af met een volledige bespreking van een rationale functie: Voorbeeld: We bespreken de functie Domein BV: x x x x Dus dom f R \ ;3 Nulpunten x x x x 6 f: x 3 x x 6 0 x 3x Beide nulpunten zitten in het domein, dus we weten meteen ook dat fv f Asymptoten Verticale asymptoten: x en x 3 gr T gr N Horizontale asymptoot: y Snijpunten met de assen Snijpunten met de x-as: 3,0 Snijpunt met de y-as: 0, en,0 Tekenverloop Alle nulpunten en polen zijn enkelvoudig: x f x Verloop Dit lezen we af van de grafiek: x f x ց ց ց Beeld We lezen af van de grafiek: bld f R Merk op dat, f terwijl het ook op de horizontale asymptoot ligt Dit is echter geen enkel probleem, maar veel leerlingen denken dat de grafiek van een functie zijn asymptoten niet mag snijden, terwijl dat natuurlijk wel zo is Cursus elementaire functies S Mettepenningen

17 4 Irrationale functies y x x 8x 4x y x x 8x 4x y x x 8x 4x (Trifolium van de Longchamps) Cursus elementaire functies S Mettepenningen

18 ) Domein Een irrationale functie is een functie waarbij de veranderlijke x onder één of meerdere worteltekens voorkomt Dit zorgt uiteraard voor problemen bij het bepalen van het domein, vermits bijvoorbeeld een vierkantswortel enkel gedefinieerd is voor positieve getallen Voorbeeld: We bepalen het domein van de functie 3x 6 xdom f 0 x, x ) Nulpunten f x 3x 6 x Dus dom f, Om de nulpunten van een irrationale functie te bepalen moeten we een irrationale vergelijking oplossen Het komt er hier op aan deze vergelijking te herleiden tot een gewone (rationale) vergelijking door te kwadrateren Er zitten echter een paar addertjes onder het gras Voorbeeld: We bepalen de nulpunten van de irrationale functie f x 3 x x 3x x0 3x x Nu willen we beide leden kwadrateren om de wortel weg te werken maar mag dat wel? We proberen toch op deze manier verder te gaan: 3 x 4x 4x 4x x 0 x x We vinden dus op het eerste gezicht twee nulpunten, maar na controle blijkt het nulpunt x niet te kloppen (want f ) Ten eerste moeten we bij elke irrationale vergelijking stil staan bij de bestaansvoorwaarde (BV) In ons geval is dit 3x 0 x 3 Dit is voor beide oplossingen geen probleem Ten tweede moeten we stilstaan dat uit a b enkel volgt dat a b als ook a en b hetzelfde teken hebben Als we beide leden van een vergelijking dus kwadrateren moeten we er proberen voor te zorgen dat ze ook hetzelfde teken hebben Lukt dit niet (zoals in ons voorbeeld) dan krijgen we een zogenaamde kwadrateringsvoorwaarde (KV) In ons voorbeeld is het linkerlid van 3x x altijd positief, dus eisen we dat ook x0 x En het is hier dat het schoentje knelt voor de oplossing die geen nulpunt blijkt te zijn Bij sommige vergelijkingen duurt het herleiden van de twee voorwaarden (BV en KV) tot één eenvoudige voorwaarde langer dan het oplossen van de vergelijking zelf In die gevallen in het dus efficiënter om gewoon de gevonden oplossingen te controleren Voorbeeld: We bepalen de nulpunten van f x x 3 x 5 x3 x 5 0 x3 x 5 x x x3 x3 x x 5 x 7x x x x x x 6 x 46 x BV :x30 BV : x 0 x x x KV: x 0 x x, 0,0 V 6 Cursus elementaire functies S Mettepenningen

19 3) Bespreking Naast het domein en de nulpunten (en dus ook het tekenverloop) bepalen kunnen we bij een irrationale functie niet veel zonder we de grafiek kennen Voorbeeld: We bespreken de functie f x 4 x x Domein BV: 4x 0 x Dus dom f, Nulpunten 4x x 0 4x x!!! 4 x x 4x 4 x x 6 0 x 0 x 6 Na controle blijkt enkel 6 een nulpunt te zijn Merk op dat je op deze manier (zonder voorwaarden) een enkele pijl schrijft als je kwadrateert! Snijpunten met de assen Snijpunt met de x-as: 6,0 Snijpunt met de y-as: 0,4 Tekenverloop Alle nulpunten zijn enkelvoudig: x - -6 f x /// Verloop Dit lezen we af van de grafiek: x - 3/ f x Beeld ր MAX (9/) ց /// We lezen af van de grafiek: bld f,9 4) Impliciet gedefinieerde relaties Tot nu toe hebben we alleen functievoorschriften gezien van de vorm functies op deze manier expliciet gedefinieerd zijn y f x We zeggen dat We kunnen een voorschrift ook noteren als f x, y C, met CR Wat we op deze manier definiëren hoeft echter niet altijd een functie te zijn We noemen deze relatie impliciet gedefinieerd Voorbeeld: We proberen de relatie 4x 9y 36 te bespreken 4 Omvormen van het voorschrift geeft y 4 x y 3 9x y 3 9 x 9 De relatie valt dus in expliciete vorm uiteen in twee irrationale functies die elkaars spiegelbeeld zijn tov de x-as f x 3 9 x We bekijken de functie Het is eenvoudig in te zien dat dom f 3,3, en dat 3 en 3 beide nulpunten zijn Tekenen we deze functie en ook haar spiegelbeeld om de x-as, dan vinden we de grafiek van de gegeven relatie: een ellips! Cursus elementaire functies S Mettepenningen

20 5 Bewerkingen met functies y x x Cursus elementaire functies S Mettepenningen

21 ) Enkele speciale functies a) De absolute waarde functie De absolute waarde van een getal is dat getal zonder toestandsteken We noteren de absolute waarde van a als a, of als absa In symbolen kan je dit op elegante manieren definiëren: x, xr xr: x x, x R xr : x x 0 Enkele voorbeelden:, 4 4, 0 0 De grafiek zie je hiernaast getekend Voor domein en beeld geldt: domabs R, bldabs R Voorbeeld: Los op: 8x 0 x 5x x 3 0 We doen eerst een tekenverloop van de veeltermen waarvan we de absolute waarde nemen: x 0 3 x x x x We doen dan een gevallenonderzoek naar de mogelijke liggingen van x : x : : : x 0 0 x x x 0 x 5 x x 3 0 4x6 0 x 3 8 x 0 x 5 x x3 0 0x0 0 x 8 x 0 x 5 x x 3 0 0x0 0 x : 8x0x5x x 3 0 0x 0 x,3 x : 8 x 0 x 5 x x3 0 4x6 0 x 3 Nemen we de unie van alle oplossingen dan vinden we: V,3 We kunnen deze oplossing ook grafisch controleren (zie grafiek) Met behulp van deze net geïllustreerde techniek kan je elke vergelijking waarin een absolute waarde optreedt oplossen Stelling (de driehoeksongelijkheid): x, yr : x y x y Bewijs: Het is duidelijk dat geldt: xr: ar : a x a x a (*) Dus: x x x y y y x y xy x y x y xy x y waaruit via (*) onmiddellijk het gestelde volgt Cursus elementaire functies - - S Mettepenningen

22 b) De functie van Legendre of integerfunctie De functie wordt genoteerd met, en definiëren we: x R: x z z x z z Z Een alternatieve notatie is Gx, dus Gx: R Z : x x In woorden is deze definitie eenvoudiger: de functie van Legendre is de functie die elk reëel getal afbeeldt op het grootste gehele getal dat kleiner of gelijk is aan dat reële getal Enkele voorbeelden:,7, 4, 0 0 De grafiek van deze functie zie je rechts Let vooral op het gebruik van de volle en de holle bollen Vol wil zeggen dat het effectief een functiewaarde is, en hol wil zeggen dat het net geen functiewaarde is Voor domein en beeld geldt: domg R, bldg Z c) De mantissefunctie Deze functie wordt gedefinieerd als: xr : M x x x Het is dus het decimale deel van een getal dat we verkrijgen door van dat getal het grootste geheel getal kleiner dan dat getal ervan af te trekken 3,48 0,48 0 M 3,4 0,59 Enkele voorbeelden: M, M, Voor domein en beeld geldt: domm R, bld M 0, d) De signumfunctie Deze functie wordt gedefinieerd als:, xr0 signx 0, x 0, x R0 Enkele voorbeelden: sign 7 sign, Voor domein en beeld geldt: domsign, bld sign, 0, ) Bewerkingen met functies a) De som van twee functies R We definiëren de som van twee functies als de functie die we bekomen door de functievoorschriften van de twee gegeven functies op te tellen In symbolen: f g: x f gx f x gx Voor het domein geldt: dom f g dom f domg b) Het product van een functie met een scalair Een scalair is letterlijk een schaalfactor In onze context is dit altijd een reëel getal Cursus elementaire functies - - S Mettepenningen

23 We definiëren het product van een functie met een scalair als de functie die we bekomen door het functievoorschrift van de gegeven functie te vermenigvuldigen met de gegeven scalair In symbolen: r f: x r f x r f x Voor het domein geldt: domr f dom f c) Het product van twee functies We definiëren het product van twee functies als de functie die we bekomen door de functievoorschriften van de twee gegeven functies te vermenigvuldigen In symbolen: f g: x f gx f x gx Voor het domein geldt: dom f g dom f domg d) Het quotiënt van twee functies We definiëren het quotiënt van twee functies als de functie die we bekomen door de functievoorschriften van de twee gegeven functies te delen door elkaar In symbolen: f f f x : x x g g g x Voor het domein geldt: dom f dom f domg\ x gx 0 g (Het is duidelijk dat deze quotiëntfunctie niet gedefinieerd is in de nulpunten van g ) e) De samenstelling van twee functies Voor twee gegeven functies f en g definiëren we de samenstelling g f als de verzameling koppels x, yr waarvoor er een zr bestaat zodat x, z f en z, y g Anders gezegd geldt in symbolen dat: g f x g f x Voorbeeld: Beschouw f x x 3 en gx x f gx f gx f x x 3 g f x g f x g x 3 x3 x 6x 9 We bekijken nu de functies g f en f g We kunnen dus meteen opmerken dat het samenstellen van functies niet commutatief is! f) De inverse van een functie De inverse f van een functie f definiëren we als de relatie die bestaat uit de verzameling koppels y, xr waarvoor geldt dat x, y f In symbolen is dit: f y, x y f x of anders geschreven f x, y x f y Enkele eigenschappen zijn meteen duidelijk: f f dom f bld f en bld f dom f De inverse van een functie hoeft niet altijd zelf een functie te zijn Cursus elementaire functies S Mettepenningen

24 De inverse relatie van een functie is opnieuw een functie als er geen twee waarden uit het domein zijn die hetzelfde beeld hebben We noemen zo een functie omkeerbaar, en noemen de inverse relatie dan ook de inverse functie x Voorbeeld : We bepalen de inverse van de functie f x x Om de inverse te bepalen is het eenvoudig de functie te beschouwen als verzameling koppels: x y x R R R x y x y x x x y y xy y x y x x y ) y x f x, y y f x, y x x, y y (Want: Hier is de functie dus wel degelijk omkeerbaar f x x 4x 5 Voorbeeld : We bepalen de inverse van de functie, R 4 5, R f x y x y y x y y x 4x 4 4 4x 4 (Want: x y 4y 5 y 4y 5x 0 y x ) Hier is de inverse relatie dus geen functie We proberen het domein van f nu te begrenzen opdat de functie wel omkeerbaar zou zijn! Stel dus 4 5, met x Dan wordt: fb x x fb x, y R y x 4x 5 x De inverse relatie wordt dan: f, 4 5, b x y R x y y y x y R y x We stellen deze grafieken nu grafisch voor: Op de linkse grafiek zien we inderdaad bevestigt dat de inverse relatie inverse f b van de begrensde functie b f dat duidelijk wel is f geen functie is, terwijl de Wat verder opvalt is dat de grafieken van inverse relaties (of functies) elkaars spiegelbeeld zijn ten opzichte van de eerste bissectrice (de rechte met vergelijking y x ) Dit is natuurlijk logisch want we draaien bij inversie de rollen van x en y om, en dat is net wat spiegelen om de eerste bissectrice doet (die spiegeling beeldt de x -as af op de y-as en omgekeerd) Cursus elementaire functies S Mettepenningen

25 3) Elementaire transformaties a) Invloed van het teken Op de figuur zie je de grafieken van vier functies getekend We gebruiken deze om het effect na te gaan van het toestandsteken (+ of -) in het functievoorschrift: De grafieken van y f x en y f x zijn elkaars spiegelbeeld tov de x-as We noteren deze spiegeling met S De grafieken van y f x en y f x zijn elkaars spiegelbeeld tov de y-as We noteren deze spiegeling met S De grafieken van y f x en y f x zijn elkaars spiegelbeeld tov de oorsprong We noteren deze spiegeling met S b) Invloed van constanten op een functievoorschrift x y O Verticaal uitrekken (of inkrimpen) We bekijken de invloed van parameter ar 0 op het functievoorschrift Op de figuur hiernaast zie je de grafieken getekend van y x, y x en y x We besluiten: 3 We bekomen de grafiek van y a f x door de grafiek van f x uit te rekken in de richting van de y-as met factor a y a f x (als 0 a spreken we van inkrimpen met factor a ) We noteren deze transformatie korter als u a Horizontaal uitrekken (of inkrimpen) We bekijken de invloed van parameter b 0 y R op het functievoorschrift y f bx Op de figuur hiernaast zie je de grafieken getekend van y x, y 5x en y 4 x We besluiten: We bekomen de grafiek van y f bx door de grafiek van f x uit te rekken in de richting van de x -as met factor b (als b spreken we ook van inkrimpen met factor b ) u b We noteren deze transformatie korter als x Cursus elementaire functies S Mettepenningen

26 Horizontaal verschuiven We bekijken de invloed van parameter cr op het functievoorschrift y f x c Op de figuur hiernaast zie je de grafieken getekend van y x, y x en y x We besluiten: We bekomen de grafiek van y f x c door de grafiek van f x met c eenheden naar links te schuiven (als c 0 schuiven we c eenheden naar rechts) v c,0 We noteren deze transformatie korter als Verticaal verschuiven We bekijken de invloed van parameter d R op het functievoorschrift Op de figuur hiernaast zie je de grafieken getekend van y x, 5 y x en y x We besluiten: 4 We bekomen de grafiek van y f x d door de grafiek van f x met d eenheden naar boven te schuiven (als d 0 schuiven we d eenheden naar onder) v 0, d We noteren deze transformatie korter als y f x d Cursus elementaire functies S Mettepenningen