* ; BIBLIOTHEEK DEHAAFF Droevendaalsesteeg 3a Postbus AE Wageningen HETINTERPOLEREN VAN SEIZOEN-AFHANKELIJKEFACTOREN II

Transcriptie

1 NN ra 732 InstituutvrCultuurtechnieken Waterhuishuding Wageningen apr11 l973 * ; BIBLITHEEK DEHAAFF Drevendaalsesteeg 3a Pstbus AE Wageningen HETINTERPLEREN VAN SEIZEN-AFHANKELIJKEFACTREN II Mej. M.G. van Steenbergen BIBLITHEEK STARINGGEBUW Nta's van het Instituutzijnin principeinternecmmunicatiemiddelen,dus geenfficiële publikaties. Huninhudvarieertsterken kan zwelbetrekkinghebbenp een eenvudigeweergave van cijferreeksen, als p een cncluderende discussie van nderzeksresultaten.in de meestegevallenzullen decnclusiesechter van vrlpigeaardzijnmdat het nderzek ng nietis afgeslten. Bepaaldenta'skmen niet vrverspreidingbuiten het Instituut inaanmerking CENTRALE LANDBUWCATALGUS VWï-Zt

2 INHUD Biz, 1. INLEIDING 1 2.PRBLEEMSTELLING 1 3*BESCHRIJVINGVANDE TE VLGEN METHDE 2 4. UITWERKINGVANDE METHDE 3 5.INVLEDVANDEKEUZE VANP(EXTREEM) 7 6.TEPASSINGPEENFICTIEFVRBEELD 9

3 1.INLEIDING InICW-nta544 (STL,1970) wrdtaanderdegesteldwelke prblemenzich vrdenbijhet interplerenvanfactrendieafhankelijkzijn vanhetseizenenhedezeinterplatie kan wrdenuitgeverd.mdathetindepraktijkvrkmtdatdeverzameling waardendieeenfactrkanaannemenbegrensd is, blijkthet vanbelang de prbleemstelling uittebreidenenalsextravrwaardeaan het mdeltete vegendatdegeïnterpleerdefactrhetextremum niet verschrijdt. Vrhetgevaldatde waardenverzameling éénzijdig begrensd is werdeenplssinguitgewerkt. 2.PRBLEEMSTELLING Vrpeenvlgendeperiden (bijv. maanden)zijnbekenddesm vaneengrtheid S. (bijv.een neerslagsm)eneenfactrp., afhankelijkvanhetseizen, waarmeedegrtheid S. wrdt vermenigvuldigd. Verfijnen vandetijdschaal, wat mgelijkis alsde waarden van debetreffendegrtheidkbekend zijnperkleineretijdseenheid, maakthetwenselijkvrdefactrgeïnterpleerdewaardente gebruikendiezijnaangepastaandefactren vande vrgaandeen vlgende peride. Inde nieuwetijdseenheid (bijv. decaden) wrdtdegrtheid vrgesteld drdeelttalend.endefactrdr p., waarbij i de waarden 1tten met ndrlptalselkeperidein ndelen wrdt gesplitst. Duidelijkisdatvrelkeperidegeldt

4 terwijlals eis met wrden gesteld I d. - S. (2.1) i-1 1 J n y d.p. -S.P. (2.2) Hieraan wrdt tegevegdde eis dat p. het extremum niet verschrijdt, dus in geval van een maximum enin geval van een minimum p. < P, i =1,..., n (2.3) r i max' ' ' p i * P min» i " *» n ( 2-4 > 3. BESCHRIJVINGVAN DE TE VLGEN METHDE Bij het berekenen van de waarden p. vr peride j werd in nta 544 uitgegaan van de waarden ir. welke gevnden wrden dr lineaire interplatie tussen P.,, P. enp..,. mde verhuding tussendeir.'s nderling vrde te berekenen factrente handhaven werden de p.'s berekend uit de vergelijkingen p i = P 0 ' *i Vr i = 1»»» (3.1) waarbij p_ zdanig wydt bepaalddat aan vrwaarde (2.2) is vldaan. Deze werkwijze heefthet vrdeel dat,in geval de P.'s psitief zijn, k vr p. psitieve waarden wrden gevnden. De waarde P» 0 treedtdus p als een minimum.dit nu geefteen aanwijzing he aan vrwaarde (2.3) f vrwaarde (2.4) kan wrden vldaan. Hierte meten nietde waarden vantt. met een (psitieve) factr wrden vermenigvuldigd, maarde verschillen vantt. met P. Wat hiervan ' ï de cnsequenties zijn kan het beste meetkundig wrden duidelijk gemaakt.in elk gevalis znder meerin te ziendat de verschillen van

5 p. met P hetzelfdetekenzullenhebbenalsdie van ir. met *i 1 P, metanderewrdende berekendep.'szullendegrenswaarde ' 1 P nietverschrijden, 4.UITWERKINGVANDE METHDE Bijdeuitwerkingzaltervereenvudigingvandentatie j 1 wrdengenmen.infig.4.1 isdefactr Puitgezettegendetijd. Dehrizntale schaaliszógekzendatdeindex i de waarden 1, 2,..., naanneemt. Defiguur isgetekendvr n «4.Derechte1-dr de punten (i(n + 1) - n, P 0 ) en (I(n + 1), Pj) heeft als vergelijking Derechte1~drde punten y = - 2X+ 2n" 1(? 1 - V + P 0 < 4 -'> (I(n + 1),P,) en (l(n + 1) + n, P 2 ) heeftalsvergelijking y =2X "2n~ 1(P 2-V +P l <*' 2 > VrdegeïnterpleerdewaardenTT. kandus wrdengeschreven

6 Fig.4.1. Meetkundigevrstellingvande interplatie-methde

7 ir. = 2i + 2" " 1 (P 1 - P 0 ) + P 0 vr 1 «i < i(n + 1) (4.3) en ir. - 2l " 2^ " ' (P 2 - Pj) + P, vr i(n +1) < i < n (4.4) Nu passen wepderechten1.en1. eenlijnvermenigvuldiging te metdelijn y = J P _ J alsasen meteenfactr q n 0. De beelden van1.en1_zijnderechten m.en m?.snijden we m. respectievelijkm metderechten x = i dan vinden wedesnijpunten (i. P^). mdefrmule vrhetberekenen van p.te vindenis hetaantrekkelijk m,in plaats van debeschrevenlijnvermenigvuldiging, achtereenvlgensdrietransfrmatiesuitte verendieuiteindelijk hetzelfdebeeldgeven. Dezetransfrmatieszijn: T.:eentranslatieverde vectr(0, - P ) 1 T :eenlijnvermenigvuldiging metdelijn P = 0 alsasen metfactr q T :eentranslatieverde vectr(0, P ) 3 ^0 Hetbeeldvan (i,tt.)is T,. T. T,(i,ir.) =T_. T.(i,TT. - P. ) ' ï 3 2 ' ï = T.(i,q n (ir. - P,. )) 3 ' 0 x = (i, P ^ +qn( P )) 0 ï Hieruitvlgt fwel *i 0 V i p. =q,,t7. + (1 - q n ) P (4.5) i ü i v n 0

8 De vermenigvuldigingsfactr q n met hier 26 gekzen wrdendat aan vrwaarde (2.2)is vldaan. Substitutie van (4.5)in de vergelijking geeft n l p.d. - P,S,. L. *i 1 1 i=l n J d i q 0 ir i +d.(l - <^) P 1=1 P S 1 1 waaruit q Q wrdt pgelst: S.(P 1 - P.) 1 p fc s,- I»-d. 1 L 11 (4.6) Als we vr het met dedeelttalen gewgen gemiddelde van de ir.'s het symblir inveren, dat wil zeggen n n ; = J, W J, d i 1=1 1=1 en we substitueren hierin ng vergelijking (2.1) dan kan vergelijking (4.6) wrdenvereenvudigd tt (4.7) % P ^ -P, 1 P fc - v (4.8) Resumé p. =q ir. + (1 - q ) P, i = 1,...» n r i ^0 1 0 ' ' ' P ^ -P. 1 P fc - ir

9 5.INVLEDVANDEKEUZE VANP(EXTREEM) Invereenstemmingmetwatin nta544 werd afgeleidvrp_ blijktdatvergelijking (4.8) vr P =0 vergaatin % = ~Z L - (5.0 Hetis vanbelangm nategaanfdekeuze van P het resultaatvandeberekeningergbeïnvledt. Hierteiseenfictief vrbeelduitgewerktvrverschillendewaarden van P. Degegevenszijn: n = 4 S «100 P ,52 P, = 0,52 P 2 = -0,06 d l d? d 3 d 4 ld. L ï = 15 = 35 = 18 = 32 =100 zdat q - P p « Hetcnstruerenvandelijnen 1, 1, m en nugeefteen duidelijkerbeeld van deuitkmstendaneentabel van waardenvr q n en p.kan den, daarmwrdtvlstaan meteentekening (fig. 5.1). Vr P _ kiezen weachtereenvlgensde waarden 2; I; 0,54;0,25;0; -2;-1;-0,54;-0,25. Uitdefiguurkmennutweepmerkelijkedingennaar vren.in deeersteplaatsgaathetmdelals P naar»gaat.verin ' eenadditief mdel,zalsgenemd innta544. Alsvergelijking (4.8) geschrevenwrdtindevrm q = - 1 -

10 I ' l _L I i _L _1_ JL. I l' E 4> «L. +> X 0? _L_ t> 1 L. I m m Öö H «Vf) If) N P (n^r «ÖÖÖÖÖ Il H II II II ceccachïëë Il H c l/> If) «ös If) l 00 in ri «- Cl *- f t- «M II Il II - i n i «tj ' TJ Ctlfc L. i > E L. 4-1 QL«0P,-

11 isdirectteziendat lim q Q - 1 (5.2) P -»-00 extr Watdecnsequentieshiervanzijnvrvergelijking (4.5)is minderdrzichtig.gebruikmakendvanderegelvandel'hôpitalkunnen weafleidendat P lim extr >«> (1 - q n ) P _»P. -ir ^0 extr 1 Hieruitvlgtdatvergelijking (4.5) vr P -*»vergaat in p i = n i + p l " * (5,3) Dezevergelijkingkmtvereenmetwat we vindenalsvrwaarde (2.2) wrdtgecmbineerdmetde vrwaardedatde verschillentussen dep.'sgelijkzijnaandietussendeir.'s (hetkenmerkvan het additief mdel). Indetweedeplaatsblijktdatde waardenvan p.sterkafgaan wijkenvande waardenvanir. als P,_ ligttussenp_enp., res- J ï 0 1' pectievelijkp. enp~. Ditlijkteenirreëlesituatie, maarindien defactr Pzwelnegatievealspsitievewaardenkanaannemendet dezesituatiezichvrzdradeprcedurevannta544 wrdtgevlgd. pgemerktmethiernatuurlijkwrdendatde waardevan P indepraktijkveelalnietvrijgekzen wrdt, maarvastligtp bijvrbeeld fysisch-theretischegrnden. 6.TEPASSINGPEENFICTIEFVRBEELD Deinhetvrgaandebesprkenmethdezal nupeenvrbeeld wrdentegepast.tabel6.1 vermeldtzweldegegevenalsde berekendegrtheden.tervergelijkingzijndefactrenptwee manieren aangepast, namelijkmet P =0 (dat wilzeggen metbehulpvan deparameterp_) en met P ^ =1 (metdeparameter r q n ). 0 M 0

12 CL, Vf 4- rx «3-00 v T3 "ft 00 st <t m xf\ ~ > c u-i «* r» 1 1 I-. r-» *- m v r~ u-i c N r>«u-i 1 1 C t^ C * 1*»»"" N C C 00 v r " "ft»v N ir, m m \ m N <f ui « N v u- I-» <r C 00 V H l V X 0) PH "ft * m r>» l~» -3- C C -3-.-* 1 1 m m sr sr $ m s fs 00 ui N v C m f*, u-> c 1 1 u-i m v r^ N N N N -3- N II g 01 1* 4J X «PLI ft ft m r». r» N 00 > v C N C v m,-. i>v N N v c c 00 N C N v cr-» ir, C N fx r- ix r>- «N lx t= u-i m f» IN Mft C -i c ^D N m N M A «er Cl st v 00 c c 00 * c «* c v v i-l ai 01 PH 00 ui m N > " i/ï v C «tf c r^ m N < v -tf 00 C 00 C -»»H 0) 4J Ü H pl4 C C N C in -3- v 1-1 ai 8 H 01 a 1-1 u 0) Pi - C ^r m «v 10

13 Defig.6.1 en6.2 latenzienhein beidegevallendefactr P een meervleiendverlp krijgt. pmerking Zalsindeinleidingalisgezegdwerdalleeneen methde uitgewerktvrhetgevaldatde waardenverzamelingvan Péénzijdig begrensd is. Bijeentweezijdigebegrenzinglijkthetnietmgelijk eeneenvudigemethdeaantegeven. Eencmprmis-plssing zu kunnenzijnde waardevan P ^ perperidevasttestellenen welzó, datvr P ^ gekzen wrdthetextremumdathetdichtst ligtbijde waardevandefactr Pzalsdie vrdebetreffende perideis gegeven. Stellenweinbvenstaandvrbeelddevrwaarde 0 «P «1 danzu hieraanvldaanzijnals webeurtelings P = 1 en P =0 nemen. Daarmeeblijven J we vlden aan vrwaarde (2.2). Fig.6.3 laatziendatdezeplssing, hewelnietelegant,tch alleszinsbruikbaar is. v 11

14 f ig.6.1 P>0 P- P-1 fig.6.2 f ig. 6.3 I 1 \ \ \ 0 «0<P<1 1 ^0 ^ 0 0 i \ i 3 \ 4 / / *" / f 1 5 rsprnkelijk - aangepast P-1 P- Fig.6.1 t/m6.3.verlpvandeseizen-afhankelijke factr vóóren naaanpassingaandedeelttalen (zietabel6.1) 12