= h(cp). waarin [. g en h gegeven functies zijn

Transcriptie

1 Mathematics. - Over de plssingen van de vergelijking D,"u = 0, die aan zekere randvrwaarden vlden. 11. By O. - BOTTEMA and H. BREMEKAMP. (Cmmunicated by Prf. W. VAN DER WOUDE.) (Cmmunicated at the meeting f March ) 4. Dr de gevnden uitdrukkingen in de frmule (1) te substi~ tueeren vindt men uitkmsten. die als analga van de uit de ptentiaal~ therie bekende integraal van POSSON zijn te beschuwen. Wij zullen dit -uitveren vr de functie H 3 vr den cirkel. Om de functie vr te stellen. die binnen den cirkel vldet aan D, 3u = 0 en waarbij aan den cirkel U 02U u = [(cp). On =g(cp). n 2 = h(cp). waarin [. g en h gegeven functies zijn van den pl hek cp. die de plaats p den cirkel bepaalt. zullen we p de frmule (1) eerst ng een kleine transfrmatie tepassen. Wij hebben aan den cirkel. _ 0 2 U 1 u 1 02U _ 1 1 cp ( 6. u- r2 +7Ör + r2 Ocp2 -h (cp) + R g (q:»+ R2dcp2' De frmule (1) gaat daardr vr dit geval ver in + ~ h (cp) + ~ g (cp) + ~2 ~q 0~~3] dcp. wat wij dr partiëel integreeren van den term met ~:{ ng herleiden tt 2,. u= ~J'[h (cp) 06. H3 _g (cp) ~ 6.2 H 3 - J H3 ~ + 16;7l Or l R Or ~ + {( ) ~06.2H3 + J H3~l d ([J? Or R2 Ocp2 Or ~ J cp. Dr het inveren der gevnden uitdrukking vr H 3 vindt men hieruit, na vrij mvangrijk rekenwerk. 2:< U = (R2-a 2 )3J r h (cp) R2 _ ( ) (5R2+a 2-6Ra cs cp) R + 16;7l R L R2+a 2-2Racscp g cp (R2+a2-2RacsPF (20) + {( ) BR1-2Ra(9R2+a 2 )cscp+ 12 R 2 a 2 cs 2 cp] d cp (R2 + a2-2 Ra cs cp)3 lp Eenvudiger vindt men deze uitkmst langs den vlgenden weg, waarbij wij echter mtrent de functies [, g en h verschillende nderstellingen in~ veren, die blijkens het vrige vr de geldigheid der uitkmst niet ndig zijn. Wij zullen namelijk aannemen. dat deze functies een Furierntwikke~ ling telaten. waarbij de cëfficiënten bij tenemend rangnummer vldende snel afnemen m de verschillende in het vlgende tegepaste mzettingen te rechtvaardigen.

2 Wij stellen 437 u=ri U2 +r2ul + u=ari+br2 R2+CRi+ Cl) + :E (an. r + i bn.,2 R + 2 Cn. Ri) rn cs n {} + De vrwaarden aan den cirkel geven dan 0:; {({}) = (a + b + c) Ri + 2-' (an.1 + bn. + cn. ) Rn+1 cs n {} + QO +.J:(an.2 + bn.2 + Cn.2) RnH sin n {}. Cl) g({})=(ia + 2b)R3 +:E (n + i)an.1 + (n + 2) bn.1 + n Cn.l! Rn+3cs n {}+ Cl) + ~l(n +4)an.2 +(n+ 2)bn.2 + ncn.21 Rn+3 sin n {}. QO h ({})=(12a+2 b)r 2 +.J:l(n + 4)(n + 3)an.1 + +(n + 2)(n + l)bn.1 + n (n-l)cn.l! Rn+2csn{) + Cl) + :El(n +4)(n +3)an.2+(n + 2)(n + 1) bn.2+ n(n-l)cn.2! Rn+2sin n{}. Hieruit vlgt vreerst (a+ b + C) Ri = 21;reJ {(tp) dtp. (4a + 2b) R3 = 21;reJ g (tp) dtp, 0 waaruit 2,.. a= 16~ Ri}R 2 h(tp)-rg(tp)!dtp. b= 16~ R 1 ji-2r2h (tp)+6rg(tp)ldtp. Verder 0 C= 16;re 1 Ri J' R 2 h(tp)-srg(tp)+8{(tp)ldtp. an. + bn. + Cn. = ;re RnH 1 J' {(tp) cs n cp dtp. (n + 4) an. + (n + 2) bn.1 + n Cn.1 = ;re RnH. 1 j' g (tp) cs n tp dtp.

3 438 (n + 4) (n +3) an,l +(n +2)(n + l)bn,l +n (n-l)cn,l = waaruit 2" 2" 1 J- = n Rn+2 h (97) cs n 97 d97. an,l = 8n~nHJ n (n + 2) {(97)-(+ ) Rg(97) + R2 h(97)1 csn97d97. 2" bn,l = 8n~nHJ- (n + 4){(97)+ 2(+3)Rg(97)-2R2 h (97)1 csn 97 d97. 2", Cn,l = 8n ~nhj l(n+2)(n + 4) {(97)-( + 5) Rg (97) + R 2 h (97)1 csn97d97. Wij vinden een dergelijk stel frmules vr a n, 2. bn,2. Cn,2 dr cs n 97 te vervangen dr sin n 97. Substitutie van de gevnden waarden der cëffi~ ciënten in de reeks vr u geeft, na mzetting van smmatie en integratie 2" u= 8 1 njot(r2 h-rg) ;i +t(-2r2 h +6Rg) ~2 + t(r 2 h-5rg+8{) [ r nh + f R 2 h-( + ) Rg + n (n + 2) f RnH + rn (-2 R2 h + 2 ( + 3) Rg- (n + 4) f Rn R rnj 2 h-( + 5) Rg + (n + 2) (n + 4) f Rn cs n (97-~)) d97

4 439 Vr de herleiding van deze uitdrukking maken we gebruik van de frmules l-ecsa 1 +e2-2e csa' 00 l-e 2 t + 1: en cs n a = 2 ( ) 1 e - e cs a 00 2: n ncs na - ~. -e - (l-e 2 )(e-cs a) ~ 1. e -e 1 +e2-2ecsa (1 + e2-2e cs a)2 - ~, 2 n _ ~ -4 e + ( + 3 ( 2 ) cs a,.;. n e cs n a - e ( ),- 1 e - e cs a- Vr den eersten term vinden we _ -2e 2 +e(1 +( 2 )cs a (1 + e2-2e cs a)2 4 (e-cs a) 1-2e2 + e (1 + ( 2 ) cs a ~ = (1 +e2-2ecsa)3 ~ -ie 2 (l-e 2 ) + e (-ei) cs a + 2e 2 (l-e 2 ) cs 2 a - ( + e2-2 e cs a)3 vr den tweeden

5 HO vr den derden + 2 R d3 R2-r 2 ) (R2-r 2 ) 1-2 R l' + (R2 + 1'2) cs (cp-1?) + Ri R2 + 1'2-2 R l' cs (cp-ij) F + R l' (R2-r 2 )3 1-4 R l' + (R2 + 1'2) cs (cp-ij) + 2 R l' cs 2 (cp-ij) J dcp = Ri 1 R 2 + 1'2_2 R l' cs (cp-ij)13 + R l' 1-4 R l' + (R2 +r2) cs (cp-i?) + 2 R l' cs 2 (cp-ijl ] d cp = R2 + 1'2-2 Rrcs (P-iJ)13 en dus 2,. U _ (R2-r 2 )3 j'[ R2 h (lp) _15W+r2-6Rrcs(<p-iJ)lRg(cp) :nR i R2+r 2-2Rr cs (lp-ij) R2+r2-2Rrcs(cp-iJ) R 1-2R l' (9R 2 + 1'2) cs (lp-ij) + 12R 2 r 2 cs 2 (lp-ij) ((cp)] d R2 + 1'2-2 Rrcs(lP-iJW lp. een frmule. die slechts dr een geringe wijziging in de ntatie van (20) verschilt. Het bewijs. dat de z bepaalde functie aan alle eischen vldet. kan naar het vreger vr de vereenkmstige uitdrukking vr het geval der vergelijking.6.2u = 0 gegevene. wrden nagemaakt. 5. De in de. 2 en 3 gegeven beschuwingen kunnen znder meite wrden uitgebreid tt de differentiaalvergelijking.6. Y P = O. waarbij.6. de differentiaalperatr van LAPLACE is vr functies van knafhankelijke verander/ijken. Meetkundig gefrmuleerd kmt het prbleem dan neer p het bepalen van een functie van GREEN H7' k vr een puntenpaar P. Q in een ruimte van. k afmetingen. waarbij thans p een hyperspheer aan de randvrwaarden vldaan met zijn. Eenvudigheidshalve beperken wij ns eerst tt het geval 'V = 2. Zals in de inleiding is uiteengezet heeft de singulariteit der functie van GREEN dan alleen een lgarithmisch karaktèr vr k = 2 en vr k = 4. Het geval k = 2 hebben wij reeds beha ndeld. het geval k = 4 sluiten wij vreerst uit. De singulariteit der functie van GREEN is dan bepaald dr P7 = k4 en wij kunnen. lettend p hetgeen wij vr het (}-

6 Hl geval k = 3 deden, trachten de gezchte functie van GREEN vr te stellen dr ee n uitdrukking van den vrm 1 Rk-4 Rk-4 (R2-a2) (R2_r2) H 2,k = ek-4 - ak-4 e~-4 + a ak-2 e~-2 (21) waarin R, a, r, e en el analge beteekenis hebben als in het geval van den cirkel f van den bl. terwijl a een ng nader te bepalen cnstante vrstelt. Deze functie heeft immers de geëischte singulariteit, als P ~ Q, vldet vr P '=1= Q aan ' /::,2H = 0 en wrdt nul, als P p de hyperspheer Smet straal R m den rsprng kmt.. H Vldaan met ng wrden aan de randvrwaarde a,:- = O. nderdaad blijkt na differentiatie, dat deze vrwaarde vr de geheele hyperspheer vervuld kan wrden; men vindt a = - k 2 4. Ons resultaat is dus: Vr k '=1= 2, k '=1= 4 wrdt de functie van GREEN, behrend bij de vergelijking /::,2cp = 0, vr een hyperspheer in een ruimte van kafmetingen, vrgesteld dr 1 R~-4 1 k-4 Rk-4 (R2-a 2 ) (R2-r 2 ) H 2k (22), - ek- 4 ak- 4. e~-4 2 ak- 2 e~-2. De generalisatie van de frmule (1) vr een ruimte van kafmetingen k '=1= 2, k '=1= 4 luidt vr 'V = 2: 2 (k-2)(k-i) dk u J (u O~H - ~~ 6 H)dO' s waarbij de integratie ver de hypersphe~r S met wrden uitgestrekt. Daarbij is dk een zdanige cnstante, dat de inhud van de begrenzing van een spheer met straal R in een ruimte van k afmetingen dr dkrk-1 wrdt vrgesteld; gelijk bekend is _ klrh-)k r -+1 dk - (k )' Dr substitutie van de uitkmst (22) in (23) verkrijgt men de functie u, die binnen S vldet aan /::,2cp = 0 en waarvan p S de functiewaarde en de waarde van de nrmale afgeleide zijn vrgeschreven. Met behulp van de betrekking /::, 6 _1 2 (k-:4) 6 _1_ --2 (k-4). ek-i - ek- 2 ' e~-4 - e~-2 ~ 2 (23) (24) l k 2 = 0, vindt men de uitkmsten e - 6 ~ = ~ -4 (k-2) (a r-r2 cs *) r e~-2 e~-2. a e~

7 142 waaruit vlgt en Wij krijgen dus: De functie u, welke vldet aan de vergelijking!::::.2qj = 0 en p de hyperspheer S aa~ de randvrwaarden u = [. ~u = g, waarbij [ en g gegeven vn. functies zijn, wrdt vr k ~ 2 en k ~ 4 gegeven dr _ (R2-a 2V J[f 2e 2 - ka (a-r cs ~) _ RJ d u - 2dk RJ. ek+2 g. ek a. S Vr k = 3 kmt deze frmule vereen met een vreger gevndene 4). Vr k = 2 werd eveneens reeds eerder de plssing afgeleid 5). met als resultaat (28) terwijl p den cirkel 2 (R2-a2 )2 l:::.h= R2 r/ en l:::. H _ 4 (R2_a 2 )2 R-a cs ~ ~ R2 e 4 waaruit vr u een frmule vlgt. die k verkregen wrdt dr in (28) k = 2 te nemen. Er blijft ng slechts het geval k = 4 ter behandeling ver. Daarbij wrdt de singulariteit bepaald dr qj2 = n e. en het ligt vr de hand de functie van GREEN uit te drukken als een vrm van de gedaante a (R2-a 2 ) (R2-r 2 ) H2.4=lne- 1n R J +a.. a2e:. Deze functie vertnt de gevraagde singulariteit en is p de hyperspheer r = R gelijk aan nul. Het blijkt na differentiatie. dat a inderdaad z be- 4.) BREMEKAMP. J.c. frmule (9). 5) dem: frmule (4).

8 443 paald kan wrden, dat ~ p S identiek nul is; men vindt a = t, zdat wij vr k = 4 als functie van GREEN vinden: a (R2-a 2 ) (R2-r 2 ) H2,i=lne-lnRel a el Wifbepalen ng de analga van de uitkmsten (26) en (27). Men vindt (29) dat is dus het rechterlid van (25) vr k = 4, nadat men dit rechterlid dr k - 4 heeft gedeeld. n verband daarmee heeft men nu nmiddellijk p de hyperspheer S: en terwijl ten sltte, vr u gevnden wrdt de frmule, die men verkrijgt dr in (28) vr k de waarde 4 te substitueeren. Vr de vergelijking 6 2g; = 0 is daarmee vr willekeurige waarde van, k het dr ns gestelde randwaardeprbleem vlledig en expliciet pgelst. 6. De functie van GREEN Hy,k vr de vergelijking 6 Y g; = 0 en in de ruimte van k afmetingen zal in de eenvudigste gevallen (k neven f k even en grter dan 2v) de gedaante hebben van de in (6) (vr k = 3 en willekeurige v) en in (21) (vr k willekeurig, ~ 2 en ~ 4 en v = 2) gegeven frmule, nl. 2Y-k m=y-l (R2 2)m (R2 2)m H = n 2v- k a fl2>-k + ~ C -a -r (a fl )2>-k-2m. Y, k" R2>-k " ~ m, R2>-k " m=1 De c.ëfficiënten Cm kunnen daarbij p de in 2 aangegeven wijze wrden bepaald; het resultaat is Vr de verige gevallen (k = 2, 4,... 2v) zullen in. H 7,k lgarithmische singulariteiten ptreden, zals die in de vrbeelden k ~ 2, v willekeurig (15) en k = 2, k = 4, v = 2 (29) zijn ntmet.,