(m + n + a + I) (ex)

Transcriptie

1 Matbematics. - Een betrekking vr de plynmen van LAGUERRE en van HERMITE. By O. BOTTEMA. (Cmmunicated by Prf. W. VAN DER WOUDE.) (Cmmunicated at the meeting f Nvember 24, 1945.) 1. Wij bewijzen vr de plynmen L~) van LAGUERRE 1) de vlgende betrekking. (I) Het bewijs geven wij dr middel van vlledige inductie. Vr m = 0 luidt (1) : xt ~ L(ex) () - - I-t n:: n X ~-(I_t)l+exe (2) en wij krijgen dus de bekende frmule, waardr [(ex) met behulp van een n vrtbrengende functie wrdt gedefinieerd. Vernderstellen wij dat (1) juist is vr een zekere waarde van m. Wij vermenigvuldigen beide leden met t m + 1+" en differentiëren naar t. Links ntstaat dan (m + n + a + I) (ex) ex> (m+i)t'"+exf m+i Ln (x).t n... (3) In het rechterlid krijgen wij ~ [(_t )m+l+" e- I~t L~) (~) =! dt I-t I-t t m +" xt [ ] ' = - I-t ( ) L(ex)_ xt L(ex) + ~ (L(ex)), (l_t)m+"+2 e mam I-t m I-t m (4) wat p grnd van de betrekking y ~ L~) (y) = - (a + m + 1-y) L~ (y) + (m + 1) L~)+I (y) (5) 1) De ntatie vr deze plynmen is niet veral dezelfde; wij nemen 5

2 66 vergaat in tm+ilt _~ ( xt ) (I _ t)m+2+ilt. e 1-t (m + I) L(:/+1 1-t.. (6) Uit (3) en (6) vlgt. dat (1) juist is vr m Uit (I) kan men een analge betrekking afleiden vr de plynnien I van HERMITE dr gebruik te maken van: H 2n (x) = (-I)n 2 2n n! L~-'/ (x 2 ). (7) H 2n + 1 (x) = (-I)n 22n+1 n! x L~) (x 2 ) Wij vinden respectievelijk: + n~t) (-I)n tn \' ~ (m Cl). 22n! H 2n (x)= n=o m n. (8 a ) (-I)m -~ - t- = 22 m m! (1- t)m +i e 1-t H 2 m (xv 1 _ t) ~ (m+n+t) (-l)ntn+ i ")_! 1:, 22n+1! H 2n+1 (x - n=o m. n (-I)m - ~ ' t (--) 1/ t = 22m+1 m!(i-t)m+l e 1-t H 2m+1 X y l-t... (8 b ) 3. Wij nemen enige bijzndere gevallen van (1) en (8). Vr t = t gaat (1) ver in Ï (m + n + a). L~2) ~x) = 2m+l+CI e-x. L':/ (x) (9) 11=0 m Vr m = 0 vlgt uit (8) Cl) (_1)n tn 1-~ n~ 22n n! H 2n (x) = (1- t)'/. e 1-t CID (-I)n tn x-~ 1: 2 2, H 2 n+1 (x) = (1- t)'/ e l-t. n=o n.n. (11 b) 4. Hier vlgt een tepassing der verkregen frmules. Onlangs hebben TRICOMI en DOETSCH 2 ) de vlgende betrekking afgeleid: Cl) L(Ilt) (x) - n~ r(a -+ n + 1) tn = et (xt)-i llt jllt (2 V ~t) (a> -1).. (12) 2) TRICOMI. Rend. LUlCei "335 (1935). DETSCH. idem (1935).

3 67 Een udere relatie, die verband legt tussen de plynmen van LAGUERRE en de Besselse functies is de frmule van LE Ry nl e- X x lex L~) (x) = e- t fa+l ex. (2 V xt) dt.... (13) Wij leiden (13) uit (12) af p de vlgende wijze: L(ex) (x) = x lex I p e- 2t f Hp + ex dt= p= r(a + p + 1) L(ex) (x) 1 = x lex I p. e--'l" 'ln+p+ex d'l= p= r(a + p + 1)' 2 n + p +CX+1 _ nixlex "", (n + p + a) Lt) (x) - 2 n + ex + 1 p~ n ' 2P ' Op grnd van (9) is dit gelijk aan nl e- x x lex L~) (x). 5. De betrekking (1) kan wrden benut m zekere bepaalde integralen te berekenen, waarvan de integrand het prduct van twee functies VÇlll LAGUERRE bevat. t a Stelt men --= a, dus t = --, dan wrdt (1) l-t l+a _ (ex) 1 (m + n + a) a n (ex) e axlm(ax)=(i+a)m+l+«n~ m '(I+a)nLn (x) (14) welke betrekking pgevat kan wrden als de ntwikkeling van de in het linkerlid staande functie naar plynmen van LAGUERRE. Hieruit vlgt x ex e-(a+l)x L~) (ax) dx= (l + a~m+i+", (m ~ a) r(a + 1) = a+l f wel, als men -- = l stelt a ex r(m a) mi' (1 + alm + 1 +«-lx L(a) ( ) d _ r(m a) (l-l)m x. e m X X - mi' lm++ex (15) (16)

4 68 Algemener krijgt men dr beide leden van (14) met x a. e- X Da.) (x) te P vermenigvuldigen:. xa.. e-(a+l)x L~) (ax). L~) (x) dx= _ (m + p + a) a P ' -x a. (a.) 2 - m (1 + a)m+p+i+a. e x I Lp (x) I dx. 0 f, daar de integraal in het rechterlid gelijk is aan r(p~; + I) : xa.. e-(a+l)x L~) (ax). L~) (x) dx= (17) _ r(m + p + a + 1) a P pi mi' (I + a)m+p+i+a. welk resultaat men ng schrijven kan in de meer symmetrische gedaante ' XCII e-(a+b)x L~ (a x). L~) (b x) d x =. (18) _r(m+p+a+l) apb m mi pi. (a + b)m+p+a Stelt men in (8 a ) _t_ = a 2, dus t = 1 +a 2 2' dan krijgt men l-t a waaruit vlgt -la'+i)x'h ( )d - (-I)m 2 2m mi r(m + t) V; = e 2m ax x- (I + a2)m+i. mi rtt) _ (20) a 2 +1 Stelt men ng --2- = s, dan kan men, daar H 2 m (x) een even functie is. a. (20) als vlgt schrijven... (21)

5 69 Een algemenere frmule wrdt verkregen. dr beide leden van (19) te vermenigvuldigen met ex'. H 2P (x). Men verkrijgt dan 'e-(a' +)x, H 2m (ax). H 2p (x) dx = - - f. daar de integraal in het rechterlid gelijk is aan 2 2 P (2p)! V~: e-(a'+lx' H 2m (ax). H 2p (x) dx = - 2p a. _. ~ (I + a2)p+mh = (-l)m+p 22(m+p) r(m + p + -!.-). (22) e-(a'+b')x 2 H 2m (ax). H 2p (bx) dx= welke betrekking men ng schrijven kan in de symmetrische gedaante - I 2p b2m \ m+p 2(m+p) I a - (1).2. r(m + p + 2)' (a2 + b2)p+mh (23) Een vereenkmstig resultaat vr een integraal waarbij het prduct van twee plynmen van HERMITE van neven index vrkmt. wrdt met dezelfde methde van (Bb) verkregen. Men heeft e-(a 2 +b')x 2 H 2m+ (ax). H 2P+ (bx) dx= - a 2p b2m + 1 =(-I)m+ p 22(m+p+)r(m+p+ 3) 1" (a2 + b2)p+mh (24) 7. De in de beide vrige paragrafen verkregen uitkmsten kunnen p hun beurt gebruikt wrden m met behulp der relatie (1) integralen van ng algemeene vrm te berekenen. Wij vermenigvuldigen daarte beide leden van (14) met x a e- (b +l)xd«) (bx). Na tepassing van (17) ntstaat p dan.f e-(a+b+)x. x«. L':r) (ax). L~) (bx) dx= _ 1 (m+n+a) a n r(p+n+a+l) b n _ - (l + a)m++" n~ m. (1 + a)n' nl pi. (1+b)p+n+«+- 1 (m+n+a) I (p+n+a) I (a b)n mlp/(l+a)m++«(i+b)p++«n~ nl(n+a)! (l+a)n(1+b)n

6 70 r(m+a+l). r(p+a+l) r(a+l).m I pi (l+a)m++'" (l+b)p++'" X F (m+a+1. p + a +1. a +l. (l+a~tl+b») waaruit met behulp der transfrmatiefrmule vr hypergemetrische functies: F (a. b. c. y) = (l_y)c-a-b F (c-a. c-b. c. y) vlgt: c e-(a+b+l)x x'". L~) (ax).l~) (bx) dx = = r(m+a+l). r(p+a+l). (l+a)p(i+b)m X mi p I r(a+ I). (I +a+b)m+p+"'+l F ( -m.-p.a+ 1. (1 +;~1 +b»)' Znder meite kan men deze uitkmst schrijven in de meer symmetrische gedaante: c e-}.x x'" L~) (ax). L~) (bx) dx = r (m+a+ 1). r (p+a+ I) (l-a)m (l-b)p... (25) mi pi r(a+l). lm+p+clt+l F ( -m. -p a + I. (l-a;~l-b) ) Vr de plynmen van HERMITE vindt men vereenkmstige resultaten. b.v. dr in (25) resp. a _= -t en a = t te substitueren en de betrek~ kingen (7) te te passen. Na enige herleiding ntstaat c e-}.'x H 2m (ax). H 2P (bx) dx = c e-}. x, H 2m + 1 (a x). H 2P+l (bx) dx= -.. rm. _ (-I)m+p 22m+2p+I r(m + i) r(p + -i) (26 b ) ab (12_a 2 )m (12-b 2 )P ( a 2 b 2 ) 12m+2p+3 F -m. -p t. (12-a2) (12_b2)

7 71 De hypergemetrische functies in de rechterleden van (25) en (26) zijn plynmen Van het vierde argument en van een graad gelijk aan het kleinste der getallen m + 1 en p De betrekkingen (25) en (26) schijnen wel de meest algemene be~ paalde integralen te bevatten, die men met behulp van de betrekking (1) kan berekenen. De vrige frmules (11, 16, 18, , 21) zijn daarvan bijzn~ dere gevallen. Frmule (21) werd het eerst afgeleid dr DOETSCH 3) uit een beschuwing ver de eigenschappen van de differentiaalvergelijking van de lineaire warmtegeleiding; dezelfde leidde k ng een bijznder geval af van (26), nl. dat waarbij. = a. De relaties (25) en (26) zijn echter p hun beurt bijzndere gevallen van de ng meer algemene betrek~ kingen, die dr MAYR 4) zijn afgeleid vr de integralen (O e -lx X~-1 L~) (ax). L~) (bx) dx. (O e-i.'x'. X~-1 Hr (ax). Hp. (bx) dx. die als plssingen van bepaalde differentiaalvergelijkingen uitgedrukt kunnen wrden dr plynmen van ApPELL. Onze resultaten (25) en (26) kmen, afgezien van een dr hem niet nader expliciet bepaalde cnstante factr, bij MAYR vr (l.c. pg ). Dezelfde merkt p dat zekere integralen van de gedaante (27 a ) vr de glfmechanica van be~ tekenis zijn. Bepaalde gevallen van deze dr SCHRÖDINGER 5) beschuwde uitdrukkingen kunnen dus k met (25) wrden berekend. 3) DETSCH, Integraleigenschaften der Hermiteschen Plynme, Math. Zeitschr (1930). 4) MAYR. Integraleigenschaften der Hermiteschen und Laguerreschen Plynme. Math. Zeitschr (1935). 5) ScHRÖrnNGER. Ann. der Physik 80,847 (1926).