x = - 5 voldoet niet. De tennisbal komt na 25 meter op de grond.

Transcriptie

1 8 Leereenheid 1.1 Ontbinden en vergelijken Formuleer de wetmatigheid in de uitkomsten van de volgende sommen, nadat je deze met behulp van computeralgebra hebt berekend. a (x-l)4= d (x-lr= b (x - 1)5= e (a - 2b)5 = C (x-l)6= f (3p-2q)4= Ontbinden in factoren Het omgekeerde van haakjes verdrijven is het ontbinden in factoren, een techniek die onder andere vaak wordt toegepast bij het oplossen van vergelijkingen en het vereenvoudigen van breuken. We kunnen de rekenregels 3 tot en met 8 van de vorige paragraaf daarbij opnieuw gebruiken, maar nu van rechts naar links gelezen. In paragraaf wordt gebruikgemaakt van het 'verdrijven van de haakjes'. In onderstaande situatie wordt het 'binnen haakjes plaatsen' toegepast. y 15 I;: 1 I' 5. '--'--"'-""--'-- i --~ " ',. x Fig. 1.2 De baan van een tennisbal Een tennisbal wordt vanaf 2,2 m hoogte onder een bepaalde hoek met het horizontale vlak en met een bepaalde beginsnelheid weggeslagen. De baan van dl bal is te beschrijvenvolgensde vergelijkingy =,176. (- X2 + 2x + 125),zi( fig De afstand die de tennisbal heeft afgelegd op het moment dat deze de grond raakt, is te berekenen door de vergelijking,176. (- x2 + 2x + 125) = op te lossen. De oplossing verloopt verder als volgt: (X2-2x - 125) = (x + 5). (x - 25) = x = - 5 of x = 25 x = - 5 voldoet niet. De tennisbal komt na 25 meter op de grond. In onderstaande voorbeelden komen regels aan de orde die betrekking hebb het ontbinden in factoren/ofwel het 'het binnen haakjes plaatsen'. De voorbi zijn van dien aard dat de theorie over deze regels eruit af te leiden is.

2 !Q ~~nhei~!- Ontbind~~~yergelijk~ ' ' a2 + (p+ q)a + = pq (a + p) (a + q) -.,------' kwadraat som van p en q product van som grondtal som grondtal eerste eerste met maal grondtal penq term en P term en q grondtal a eerste term - 12 a2 b2 = (a + b) (a - b) kwadraat kwadraat met som verschil met met grondtallen grondtallen grondtala grondtalb 13 a2 + 2ab + b2 = (a + b) kwadraat dubbel kwadraat som grondtallen met in het met product kwadraat grondtal a grondtallen grondtal b ') ab + b2 = (a - b)2 a kwadraat dubbel kwadraat verschil grondtallen met in het kwadraat met product grondtal a grondtallen grondtal b In de volgende voorbeelden met bijbehorende opdrachten worden speciale situaties van ontbinden in factoren aan de orde gesteld. Dit leidt tot een aanvulling van de theorie die in 'Reflectie' is samengevat. X4-1 = Een tweeterm; probeer deze te schrijven als het verschil van twee kwadraten. (X2)2-12 {rekenregei12}= (X2 1)(x2-1) {tweedefactorrekenregel 12} = (X2 + l)(x + l)(x - 1) 2 x4+ l6+8x2= {eerstordenen} x4 + 8x = {herschrijven} (X2? X + 42 = {rekenregel13}(x2 + 4) 2 3 x6 + 2X3-3 = {herschrijven} (X3) 2 + 2x3-3 = {rekenregel 11: zoeken naar twee getallen met product - 3 en som + 2: het product is negatief, dus het zijn twee getallen waarvan de ene positief en de andere negatief is: het zijn de getallen + 3 en -I} (X3 + 3) (X3-1). 4 3x2-5x - 12 = Hier staat een drieterm waar op het eerste gezicht geen enkele rekenregel op van toepassing is. Uit de aanpak ervan zal blijken dat dit een bijzonder gev is van rekenregelll. De ontbinding zal van de vorm (3x + a)(x + b) moet( zijn met a. b = -12 en a + 3b = - 5. Na de zoekmethode voor twee geta.! uit paragraaf 1.1.2te hebben toegepast, vinden we a = 4 en b = - 3. Dus 3x2-5x - 12 = (3x + 4) (x - 3); een bijzonder geval van rekenregelll. Opdracht 3 Ontbind in factoren. a L\x4-4a2 b 14t t6 c S4-1s d 6c2 + c - 12;probeer (3c + a)(2c + b)

3 6a4b2 3; ""-"'-"""".~---"'~ ~ '..'.~ "" Ontbinden " in factoren""'-. 11 Uit voorgaande voorbeelden en opdrachten blijkt de theorie als volgt aangevuld te kunnen worden: Rekenregels 15 x2p - y2q = (Xp)2 - (yqf = (xl' - yq)(xp + yq) 16 x2p::i::2xpyq + y2" = (Xp)2::1::2xPy" + (y,,)2 = (xp::i:: y"f Van voorgaande situaties zijn weer varianten te bedenken door een coëfficiënt te plaatsen vóór n" en/of ylll. Rekenregel 17 ax2 + bx + c = (rx +p)(sx + q), met ren s gegeven; voor pen q geldtpq = cen (rq + ps) = b 7 Ontbind, indien van toepassing, zo ver mogelijk in factoren. a a2-x2 d 4a8+ 16a4+ 16 b a2-4x= e b2(x + 3) + b(x + 3) c as ~ + 9b4 f x2(a + 3) - 4(a + 3) 8 Ontbind, indien van toepassing, zo ver mogelijk in factoren. a ab + ac + bp + cp d 7x2-9x + 2 {probeer (7x+p)(x+ q)} b (2x + If- (x + 2f e a3-2a2 + 4a - 8 C 3x2 + I Ix + 1 f a3-2a2-4a + 8 {probeer (:Ix + p)(x + q)} 9 Ontbind, indien van toepassing, zo ver mogelijk in factoren. a a8 - bs d 4a6-6a3 + 2*; {4a" = (2a')2} b 4a2 + 2a - 12; {4a2 = (2a)")} e 5x2 + 14x ~ c x2-5x - 6 f 1 4a~ a2 {probeer (5x + a)(x + IJ)} Er zijn ontbindingen die te veel tijd vragen als ze handmatig moeten worden uitgerekend. In paragraaf wordt een methode behandeld die in bepaalde situaties soelaas biedt. Het blijft echter een lastige en tijdrovende zaak. De computeralgebra biedt in die gevallen uitkomst Ontbind de veeltermen van vraagstuk 9 met behulp van computeralgebra en vergelijk ze met de uitk9msten van vraagstuk 9. Ontbind de volgende veeltermen met behulp van computeralgebra. a X5-5x4 + 1x3- IOx2+ 5x ~ 1 C 8X3+ 36x2 + 54x + 27 b x3+3,j2x2+6x+2j2 d -18x4-384x3+2761x2+1796x - 99

4 ~...-_.._..._ {ie..rk~t~\Ie~likingen en~~f.()rrtlljle).. -"-~--"'-"-" 17 Los onderstaande vergelijkingen op. a b 2t2 + t = 6 x2 = 3p2 {x is de variabele en piseenconstante} d e f c 3s2 + s - 2 = y4-3y3 - IOy2 = (x - 1)2 = X - I (x + 2r = 5x Van de vkv 2X2-3x + P = is één van de oplossingen gelijk aan 2. Bereken pen de andere oplossing. 16 Van twee getallen is de som 24 en het product 128. Bereken deze getallen. 17 Los onderstaande vergelijkingen op. a 3x2 + 1x - 7 = b 6t2-2t - ~= C 6s2-4s - ~= d e f -2p2+3p-1 = 1* + 4y + b2 = 2X2- ~ X - ft; = 18 Stel de vkv op waarvan a = I en waarvan x = - I en x = 2 de oplossingen zijn. 19 De vkv 2t2 + mt + 2 = heeft twee gelijke oplossingen. Bereken m en die oplossing. 2 Toon aan dat de vkv S2 - (2k + 3)s + 3k = voor ieder reëel getal k twee verschillende oplossingen bezit. Het oplossen van hogeremachtsvergelijkingen is een lastige zaak. De computeralgebra biedt in die gevallen uitkomst Los de opgaven uit vraagstuk 17 met behulp van computeralgebra op. Vergelijk de uitkomsten met de oorspronkelijke antwoorden uit vraagstuk 17. Los de volgende vergelijkingen op met behulp van computeralgebra. a 6m3-14m2-44~m + 7 = b 3p4_Hp2+i2= c a6-4a4b2-12a4 + 48a2b2 + 35a2-14b2 = {vergelijkingin a} d 4t4-1O9t = e -6x4 + 24x3 + 34~X2-2~x - 12~ = f 6X3- (3j3 + 4) X2+ (2j3-16) x + 8j3 =. 23 Los de volgende vergelijkingen op, exact en afgerond op decimale getallen. a 13x2=-8x+21 ç x4-x3-14x2=-x-1 b x3+14x2+52x+21=

5 1.1,_4 telsellineaire verçjelijkinçjen {} 13 Los x, y en z op uit het volgende stelsel van vergelijkingen. t z = - 3x + 2v + 4-2x + 3y - 4z = 8x - 7y + 2z= 6 Uit de controlevoorbeelden en de bijbehorende vraagstukken blijkt, dat de theorie over het oplossen van een stelsel vergelijkingen aangevuld moet worden. Hierbij moet worden opgemerkt dat in het stelsel vergelijkingen zoals hier wordt opgelost, het aantal vergelijkingen steeds gelijk is aan het aantal onbekenden. Om een stelsel van meer dan twee vergelijkingen met de eliminatiemethode op te kunnen lossen, moet het stelsel herleid worden tot een stelsel waarin twee vergelijkingen zitten met twee onbekenden. strijdig stelsel Een strijdig stelsel vergelijkingen is een stelsel met vergelijkingen waarvan één der vergelijkingen in tegenspraak is met een andere vergelijking; het stelsel heeft geen oplossingen. identiek afhanlh,lijk Een stelsel identieke of qfhankelijke vergelijkingen is een stelsel waarvan één der vergelijkingen een veelvoud is van een andere vergelijking; het stelsel heeft oneindig veel oplossingen. Een stelsel vergelijkingen waarbij in één der vergelijkingen de ene variabele al uitgedrukt is in de andere, wordt het makkelijkst opgelost met de substitutiemethode. 25 Los pen q op uit het volgende stelsel van vergelijkingen met de eliminatiemethode. f 3p - 4q = p + 3q = * 26 Los x en y op uit het volgende stelsel van vergelijkingen. f-2y+3~=2 1.x=y+~ 27 Los a, IJ en c op uit het volgende stelsel van vergelijkingen. a c = I 17+ 2c = 2 { { a + c=3 28 Laat zien dat het volgende stelsel strijdig is. -a- 17+ c= 1 a c = I 2a + Sb - Sc = 6

6 Eindtoets ~ Bereken met behulp van merkwaardige producten: a (,2 - x)(,2 + x) cl (5 + 2p)(5-2p)(25-4p2) b (4x + 7yf e (4x + 3)(x - 5) c (a - 4)(a + 4)(a2 + 16) f (t~ - 6)2 2 Ontbind, indien van toepassing, zo ver mogelijk in factoren: a x2-15x + 26 cl 9a7b + 12a6b2 + 4a5b~ (=a5b(...)) b y4-64y2 e 2X2-3x - 5 C I E A Fig. la B 3 In fig. la is een kubus getekend ABCD. EFGH. De lengte van de ribben is 7 m. a Bereken met merkwaardige producten hoeveel groter de inhoud wordt als alle ribben evenwijdig met AB of AE 5 mm langer worden. b Hoeveel groter wordt de inhoud als alle ribben 5 mm langer worden? 4 Los de volgende vergelijkingen op. a 6x2 + 5x - 6 = b p2-24p = c s2-lls+32=o cl e f t 2-11t + 3 = )'2 - Ilv + 25 = q2 - II q + 3~= 5 Toon aan dat de vkv x2 - (2k + 3)x + 3k = altijd twee verschillende oplossingen heeft. 6 Van een rechthoek is de omtrek 74 cm. De oppervlakte van de rechthoek is gelijk aan 3 cm 2. Bereken de lengte en de breedte van deze rechthoek. 7 Los de volgende stelsels vergelijkingen op. a f 2x - 3y = -I L 2y - 6x - 1 = b [ 2X - 3-,. + SZ '' = 19 " 5y. - z. = 5 x+ y+ z=7 8 Een bedrijf is aan een nieuwe printer toe. Tot nu toe heeft men naar grote tevredenheid de HP 66 gebruikt. Als alternatief wordt dehp noc aangeboden. Men moet een besluit nemen op grond van de volgende gegevens: - De printers worden in 3 jaar afgeschreven; - Per jaar worden zo'n 4 kleurafdrukken gemaakt; - Verder gelden de prijzen uit tabel 1.2. Bij welk aantal zwart-wit-afdrukken Tabel 1.2 is de HP 66 goedkoper dan de HP noc? Type Prijs (guldertl Zwart-wit-afdruk Kleurafdruk stuk) (cent/stuk) (cent/stuk) HP HPnoc no 8 9 liiiiiiii

7 ~ 26 Leereenheid 1.1 Ontbinden en verg_e~iken 9 2Y - 4x= 1 { 2x - y + 5 = Geef aan welk antwoord juist is: a Bovenstaand stelsel is strijdig. b Bovenstaand stelsel is identiek. e Bovenstaand stelsel heeft slechts als oplossingen x = I en Y = Gegeven de vkv 2X2 + 8x + 11= O.Geef aanwelkantwoordjuist is: a De vkv heeft precies twee verschillende reële oplossingen. b De vkv heeft precies twee dezelfde reële oplossingen. e De vkv heeft geen reële oplossingen.