(Communicated at the meeting of February )

Transcriptie

1 Mathematics. - Over de plssingen der vergelijking 66u = O. die aan zekere randvrwaarden vlden. By H. BREMEKAMP. (Cmmunicated by Prf. W. VAN DER WOUDE.) (Cmmunicated at the meeting f February ) 1. Het is bekend. dat de functie u binnen een geslten krmme znder àubbelpunten. die in ieder punt één bepaalde raaklijn heeft. ndubbelzinnig bepaald is. als zij in dat gebied vldet aan de vergelijking L 6 u = O. en au aan d e randkrmme u en a n gegeven waarden aannemen. Analg aan de wijze. waarp men de plssing der vergelijking van LAPLACE vr het gebied binnen een dergelijke krmme in de randwaarden kan uitdrukken met behulp der. vr de gegeven krmme te bepalen. functie van GREEN. kan men de hier bedelde functie u vrstellen dr een bepaalde integraal langs de grenskrmme. als men een p dit prbleem betrek. king hebbende functie van GREEN invert. Dat geschiedt dr de vlgende definitie: De functie H(P. Q) waarbij P en Q punten zijn binnen de gegeven krmme C. vldet. beschuwd als functie van de cördinaten van P(x. y) als P ~ Q aan 6LH = 0 en als P~ Q is H = PQ 2 lnpq + h(p. Q). waarbij h (P. Q) drlpende partiëele afgeleiden heeft tt die van de v:erde rde inclusief. zdat dus in het geheele gebied binnen C 6Lh = O. Vr een willekeurig punt Q binnen de krmme gaan H(P. Q) en On H(P. Q) naar nul. als P tt eenig punt der randkrmme nadert. Het cnstrueeren der functie H kmt klaarblijkelijk neer p het cn strueeren der functie h. dus p een bijznder geval van het bven genemde algemeene vraagstuk. Daarmee zullen wij ns hier niet bezig huden. Om de gevraagde functie u uit te drukken met behulp der functie H leiden we vreerst uit het therema van GREEN J J '( àu av) (V 6 U - U 6 V) d = V an - U an ds. waarbij de integraal in het eerste lid genmen wrdt ver het gebied binnen de krmme C en die in het tweede lid ver den rand. een hulpstelling af. Wij nemen V = L U'; daar vr de tepassing van het therema van GREEN van de functies U en V verlangd met wrden. dat ze drlpende partiëele afgeleiden van de tweede rde hebben. zullen wij van U' eischen. dat de partiëele afgeleiden tt die van de vierde rde inclusief drlp end zijn. Wij vinden: J(6 U 6 U'- U 6 6 U')d= J(6 U'~~ - Uà~nU') ds. 21

2 320 Onderstellen wij nu, dat k U drlp ende partiëele afgeleiden inclusief die van de vierde rde heeft, dan kunnen wij hierin U en U' verwisselen, hetgeen geeft.f(l:. U L:. U' - U' L:. L:. U) d a = J( L:. U J;!' - U' O~nU) ds. Dr aftrekking der beide laatste frmules vinden wij nu de bedelde n ulpstelling J (U U' - U' J(U U' - L:. L:. L:. L:. U)da 0 L:. au U' L:. + U àu' - n n L:. On - O~nU UI) ds. Nemen wij nu hierin vr U de gevraagde functie u, vr U' de functie H (P, Q) en vr het integratiegebied het gebied tusschen C en een cirkel m Q waarvan de straal <5 z klein is, dat de cirkel geheel binnen C valt, dan wrdt het linkerlid nul; de integraal rechts met genmen wrden langs C in psitieven, langs den cirkel in negatieven zin. Vr de integraal langs C leveren de twee laatste termen in de integrand niets p wegens de definitie van H. Om de integraal ver den cirkel te vinden, merken we v~eerst p, dat deze nafhankelijk is van <5. Stellen we weer H = f! 2 1n e + h, waarbij e den afstand QP beteekent. dan zien we dr ö nbepaald te laten afnemen, dat de termen, die van h afkmstig zijn niets pleveren. Verder is à e21n e 0 4 = e (2 In e + 1), L:. e 2 In e = 4 in e + 'I, -0 L:. e 2 in e = -. n n e de bijdrage van den eersten term in de integrand tt de integraal ver den cirkel nadert dus, als <5 ~ 0, tt -8lTU (Q), die van de verige terinen tt nul. Wij vinden dus J( L:.H n ) n n 8 n u (Q) = u L:. Hds. c 2. Vr het geval, dat de gegeven krmme een cirkel is, kunnen wij de functie H vrij gemakkelijk min f meer prbeerenderwijs cnstrueeren. Wij maken daarbij gebruik er van, dat iedere functie u, die binnen den cirkel vldet aan LLu = 0 geschreven kan wrden in de gedaante (1) u=v+pw (~ waarbij v en w binnen den cirkel vlden aan Lv = 0, Lw = O. en I den afstand tt een willekeurig punt beteekent. Wij hebben nu H (P. Q) = e 2 in e + h (P. Q) waarbij e den afstand QP beteekent en h in het geheeie gebied binnen den cirkel vldet aan LLh = O.Wij nemen het middelpunt van den cirkel 0

3 321 en leggen nze x-as dr O. De straal van den cirkel zij R en OQ = a. Wij bepalen p de x-as het punt Ql z. dat OQ1 = al = R2. Den afstand a. van een willekeurig punt P tt Q1 nemen we el. zdat vlgens een bekende meetkundestelling. als P p den cirkel ligt. el = R. Wij stellen nu e a a 2 R H = e 2 In e - R2 eî In el + e 2 In ;-+ (R2 - r 2 ) F. R a 2 = e 21n e;- - R2 eî In el + (R 2 - r 2 ) F. Hierdr is vldaan aan de vrwaarde H = 0 aan den cirkel. Aan 6 2 H = 0 is vldaan. als 6F = O. De vrwaarde ~ ~ = 0 aan den cirkel zal ns nu de waarden van F aan den cirkel geven en daardr. tezamen met 6F = O. is F in het geheeie gebied binnen den cirkel bepaald. Vr de vrwaarden. ~ ~ = 0 aan den cirkel. kunnen wij schrijven ~ = 0 vr r=r. Nu is e~~=r-acos{). dus aan den cirkel e~~=r-acs{) ei kel R ( R {)) en el ~r = r- a l cs {). dus aan den cir el el -=~ a- cs. u r a Dus met aan den cirkel 0= ( 2 In e ~ + 1 ) (R - a cs {)) - ~ (2 In el + l}(a - R cs ij) - 2 RF dus en daar de uitdrukking in het rechterlid binnen den cirkel vldet aan 6 F = O. geldt zij in dat geheeie gebied. Wij vinden dus 3. Deze uitdrukking willen wij in de frmule (1) substitueeren. waard d AH 06. H. d d ' k I te we ng e waar en van u en - - m e punten van en Clr e On meten berekenen. Wij vinden

4 322 en 6.H = -4 (R - a cs t?) _ 4 (R - al cs t?) _ 4 R2 - a 2 2R - al cs t? + On e 2 e~ R2 e~ + 8 R 2 -a 2 (R - al cs t?)2 R el 4 en aan den cirkel en 6. H 4 (R2 - a 2 )1 R - a cs t? ~- R 2 e 4 Denken wij ns nu de gegeven waarden aan den cirkel vrgesteld dr Ou u = {(t?)'ön = g(t?), dan geeft frmule (1) 2" u (Q) = (R2 - a 2 )2f (R - a cs t?) f(t?) dt?- 2 n R (R2 + a 2-2Ra cs t?)2 2", _ (R2 - a 2 )2J g (t?) d t? -4 n R R 2 + a 2-2 Ra cs t?. Men kan in deze frmule een analgn zien van de bekende integraal van POISS ON uit de ptentiaaltherie. Daar vr g = 0, { = 1 klaarblijkelijk u = I, vindt men f 2" R - a cs t? dt? = 2 nr. (R2 + a 2-2 Ra cs t?)2 (R2.:..-. a 2 )2 wat zich dr directe berekening laat bevestigen. (4) (5) 4. Wij kunnen de frmule (4) k direct afleiden, znder gebruik te maken van de frmule (1) en de functie H. Daarte stellen wij u = v + r 2 w, waarbij v en w harmnische functies zijn. Wij kunnen dus stellen Om aan de gegeven grensvrwaarden te vlden, met dan en 00 g (t?) = 2a R + 2'1 ((n + 2) an,l + nbn,l) Rn+1 cs n 1'1 + I +( (n + 2) an.2 + nbn,2) Rn+1 sin n t?j

5 323 Aannemende. dat de functies f (t'1) en g ({}) een FOURIER~ntwikkeling telaten. vinden wij dus 2,. 2,. (a + b) R2 = 2~ f {(cp) d cp (an.t + bn.t) Rn+2 = ~ f{(cp) cs ncp dcp 2a R = 2~ f en dus 0, 2,. (an 2 + bn 2) Rn+2 =! J{(cp) sin ncp dcp... n 2,. 2,. g (cp) d cp. ( (n + 2) an.t + nbn.t) Rn+t = ~.f g (cp) cs n cp d cp. O. 2" ( (n + 2) an,2 + n bn.2) Rn+t = ~ f g (cp) sin n cp d cp. 2~ 2" BO = i; R2 f R g (cp) d cp. b = i ~ R2 f 1 2 {(cp) - R g (cp) I d cp. an,t = kn+2.f 1 R g (cp) - bn,t = ~n+2 f 0 2,. 2:. 2,. n {(cp) I cs n cp d cp. 1- R g (cp) + (n + 2) {(cp) I cs n cp d cp. 8 n, ~n+2 f 1 Rg (cp) - n {(cp) I sin ncp dcp. bn,2 = ~n+2 f Dus ten sltte 2~ 1 Rg (cp) + (n + 2) {(cp) I sin ncp dcp. 2,. 2,. + 2n 1 R 2 f [(r 2 - R211 Rg (cp) - n {(cp) I cs n cp d cp + 2R2f ((cp) cs ncp dcp ] ~nn cs n t' ~ R2 f[(r 2 - R2)f 1 Rg (cp) - n{(cp) I sin ncp dcp + 2" + 2R 2 f {(cp) sin ncp dcp ] ;n sin n{}.

6 32i Zijn nu de functies [ en cp van dien aard, dat hierin smmatie en integratie mgen wrden verwisseld, dan herleiden wij dit tt -fj - Nu is dus 1 00 r n R 2 - r f Rncs n (cp - fj) =21 R2+r2-2Rrcs(cp- {) ~ r n ( fj) _ Rr I (R 2 + r 2 ) cs (cp - fj) - 2Rr ~ n Rn cs n cp - -!R2 + r 2-2Rr cs (cp _ fj),, 2.11' U = (R 2 - r2)2j IR - r cs (cp - fj) I {(q;) d- 2 n R IR2 + r 2-2Rr cs (cp - fj) F cp 2.-r (R2 - r 2j2 j' g (cp) - 4nR R2 + r 2-2Rr cs (cp _ fj) d cp. Om tt de ntatie van 3 terug te kmen, meten we r dr a en fj dr 0 vervangen, waardr we de vergelijking (4) terugvinden. Heeft men p deze wij ze de frmule (4) bewezen, dan kan men k het mgekeerde den van wat in 2 en 3 gedaan is, namelijk uit de laatste frmule weer de frmule (3) afleiden. Dr (4) en (1) te vergelijken vinden we, dat aan den cirkel (R2 - r 2 )2 1 (R2 - r 2 )2 1!::,. H. 2 - R 2-2 ' dus!::" h = 2 - R (In e + 1). e. e Daar 6h binnen den cirkel een harmnische functie is, kan die dus b.v. met behulp van de integraal van POISSON berekend wrden. Daarna kan h gevnden wrden drdat binnen den cirkel 6 h en p den cirkel h = - e 2 ln e bekend zijn. Daardr wrdt k H bekend. 5. Wij hebben in het vrige slechts bewezen, dat, aannemende ' dat er een plssing is van 66u = 0, waarbij aan den cirkel u u = ((cp). à n = g (cp). deze dr de frmule (6) wrdt vrgesteld. Ons rest ng, te bewijzen,.dat de dr (6) gegeven functie inderdaad aan alle eischen van het vraagstuk vldet. Om te bewijzen, dat elk der termen van (6) en dus k hun verschil aan 66 := 0 vldet, hebben we, pmerkend, dat we met eigenlijke integralen (6)

7 325 te den hebben. zdat differentiaties nder het integraalteeken kunnen wrden uitgeverd. slechts te den zien. dat aan die vergelijking vlden. Dat vereischt slechts eenig. ngal mvang~ rijk. rekenwerk. dat ng eenigszins vereenvudigd kan wrden dr tepassing van de stelling. dat LLr 2 v = O. als Lv = O. In de tweede plaats meten wij aantnen. dat als het punt Q. waar u dr de frmule (6) bepaald is. p willekeurige wijze tt een punt van den cirkel nadert. u nadert tt de in dat punt gegeven waarde f({}) en ~~ tt de daar gegeven waarde g ({}). Wij zullen dat bewijs geven vr het geval. dat f en g in dat punt cntinue functies vr {} zijn. Daar we in het vrige de x~as willekeurig kunnen kiezen. kunnen wij die leggen dr het beschuwde punt. zdat vr dat punt {} = 0 wrdt en wij met,de frmule (4) te den krijgen. Wij hebben vr dit bewijs slechts een uit de therie der vergelijking van LAPLACE bekende redeneering na te vlgen. W ij beschuwen vreerst den eersten term in (4) en schrijven ~ ~ (R 2 - (2)2JR-r cs q; [( ) d = (R2- ( 2 )2 [(0) r R - rcsq; dq; + 2nR ei q; q; 2nR 'J ei 0 2" + (R2-r2)2J~1 ((q;)-[() I R-rcsq; dq; = 2nR ei 2'" = ((0) + (R~ n ~2)2J 1 [(q;) - ((0) I R - ;1 cs q; dq;, de laatste herleiding dr tepassing der frmule (5). Is nu E een wille~ keurig psitief getal. dan kunnen wij wegens de cntinuïteit van f, b z bepalen. dat vr 1q;I<. If(q;)-f(O)I<E. Wij bepalen nu p den cirkel het punt A met plhek b en het punt B met plhek - b. zdat de krde AB ldrecht p de x-as staat. haar snijpunt met de x-as nemen we C. het middelpunt van den cirkel O. Wij verdeel en nu de integraal in de laatste frmule in twee stukken. de integraal van + E tt 2n - E. die dus te nemen is ver den bg van A ver het snijpunt met de negatieve x~as naar B en de integraal ver het verblijvende deel van den cirkel. Het laatste deel is in abslute waarde kleiner dan -. Deze uitdrukking vergrten wij ng. als wij de integraal ver den ge~ heelen cirkel nemen. dus q; van 0 tt 2n laten gaan. dan kmt er vlgens

8 326 het vrgaande E:. Wij gaan nu ver tt de beschuwing van het eerste deel. Daarbij trekken wij ng een tweede krde AIBI ldrecht p de x~as. die de x~as snijdt in Cl z gelegen. dat R - DC l = h. Wij denken ns Q gelegen in het kleinste dr deze krde afgesneden segment en be~ wijzen. dat dan dat deel met h tt nul nadert. dat is dus als Q p wille~ keurige wijze tt het snijpunt van den cirkel met de x~as nadert. Wij hebben 0< R2 - r 2 < R2 - OCî < 2Rh. e > AAI> CCI = R (1 - cs <5) - h. < R - r cs lp < h. Is dus M de grtste waarde van f (ip) - f (0). dan is waaruit het beweerde vlgt. De tweede term in (-4) kan p de zelfde manier behandeld wrden. waar~ bij blijkt. dat die tt nul nadert als Q naar P gaat. Truwens deze term is R; R r2 maal een uitdrukking. waarvan uit de therie van de integraal van POISSON bekend is. dat die nder de beschuwde mstandigheden tt g(o) nadert. Wij gaan nu ver tt de beschuwing van ~~. waarvr (-4) geeft. (R2-r 2 )2 (R-rcs ip) (R2-r 2 )2 waarm 'IJ' = 2:re Rei. x = 4:re R e2 (7) Dr te beschuwen u = 1. waarbij f = 1 en g = 0 vinden we J~~ dip = 0 r2-r2 Dr te beschuwen u = - f}?-' waarbij f = 0 en g = 1. ~=- J~; dip. Wij beschuwen nu weer vreerst den eersten term in (7) en schrijven 2" 2" 2:. f~~ {(ip) dip = {()J~~ dip + J I {(ip) - {(O) I ~; à~ = 0 0 2:1 = J I {(lp) - {(a) I ~; dip 2"

9 327 De laatste integraal splitsen wij p de zelfde manier als bij de vrgaande beschuwing is uiteengezet in twee deelen. Het deel dat betrekking heeft p den kleinsten bg BA is weer in abslute waarde kleiner dan e. Vr de beschuwing van het andere deel hebben we 2 r(r2 - ( 2 ) (R - rcs cp) :Tt R ei (R2 - ( 2 )2 cs cp 2:Tt R e" 2(R2 _(2)2 (R -r cs cp) (r-r cs cp) :Tt R e 6 Wij zien in de figuur direct dat R-r cs cp<h en r-r cs cp<h en R cs cp < R-h. dus à tp \ < 4. R h (R - h) h R h" àr :Tt (2 R sin 2 t d - h)" :Tt (2 R sin 2 t d - h)" :Tt (2 Rsin2td _h)6 waaruit blijkt. dat dat deel van de integraal met h tt nul nadert. De eerste term in (7) nadert dus tt nul. als Q naar P gaat. Vr den tweeden term schrijven we 2" 2" 2:r -.f ~~ g(cp)dcp=-g ()f ~~ dcp -.[Ig(cp)-g()l ~~ dcp. 0 De eerste term hiervan nadert tt g(o). als Q naar P gaat. Wij hebben dus ng te bewijzen, dat de tweede daarbij naar nul gaat. Daarbij verdeelen we de integraal weer in twee stukken, dr nu het getal d, en daarmee de punten A en B, z te bepalen, dat vr I cp 1< d, I g(cp) -g(o) I < e. De integraal ver den kleinsten bg BA is dan weer in abslute waarde kleiner dan e. Bij het verige deel hebben we dus àx àr r (R2 - ( 2 ) (R 2 - r 2 )2 (r - R cs cp) :Tt R e :Tt R ei I àx I < 2 R h + 2 R h 3 àr :Tt (2 R sin 2 -~- d - h)2 :Tt (2 R sin 2 t d.- h)"' waaruit we weer de verlangde cnclusie kunnen trekken. Men kan nu trachten, het existentiebewijs vr andere krmmen te geven dr die, waar dat mgelijk is, dr een analytische substitutie x = g (~, 1]),!J = h (~, 17) p een cirkel af te beelden. Daarbij gaat echter wel de vergelijking Lu = 0 ver in L~TJ u = 0 maar de vergelijking LLu = 0 geeft Lg,'1 (a 6g,'1 u ) = 0, waarbij a =(~~r +(~~rmen vindt dus een vergelijking, waarin de termen van de vierde rde de gedaante 6Lu huden. Van deze vergelijking kan men plssingen cnstrueeren dr successieve benadering en het kmt ng aan p het bewijs van de cnvergentie van dat prces. Op deze zaak hp ik ng terug te kmen 1). 1) V gl. intusschen H. BREMEKAMP, On the Partial Differential Equatins ccurring i:1 the The~y f the Elastic Plate. Nieuw Archief vr Wiskunde, Bnd. XXII.

10 32~ 6. Wanneer het symbl/:; den peratr van LAPLACE in drie afme~ tingen aanwijst. is de plssing der vergelijking /:;/:;u = 0 ndubbelzinnig bepaald in de ruimte binnen een geslten ppervlak. dat in elk van tijn punten een vlkmen bepaald raakvlak heeft. als de waarden van u en ~ ~ in de punten van dat ppervlak zijn vrgeschreven. Ok hier kan men die functie dr een integraal. nu ver het ppervlak genmen. vrstellen. als men een functie van GREEN invert. Deze functie. die wij weer H(P. Q) zullen nemen. wrdt nu als vlgt gedefinieerd. Als P en Q punten zijn binnen het gegeven ppervlak en P =1= Q vldet H(P. Q) als functie van de cördinaten van P(x. y. z) aan /:;/:;H = 0 en als P ~ Q is H(P. Q) = PQ + h(p. Q). waarbij h(p. Q) drlp en de partieele afgeleiden tt die van de vierde rde inclusief heeft. zdat dus veral binnen het ppervlak /:;/:; h = O. Vr een willekeurig punt Q binnen het ppervlak gaan H(P, Q) en?hr,;q) na~r nul. alspnaar eenig punt van het ppervlak gaat. Den aard van de singulariteit als P ~ Q vindt men dr een plssing van /:;/:; H = 0 te zeken, die alleen afhangt van PQ =(2. Om de functie u met behulp van H uit te drukken. leiden we geheel analg aan hetgeen in 1 geschied is uit het therema van GREEN de vlgende hulpstelling af. j J(. (U 6.6. U'- U' U) dl U à 6. U' - àu 6. U' +. àn àn U àu' _ à 6. U U') d àn àn. waarbij de integraal" in het eerste lid genmen wrdt ver de ruimte binnen een geslten ppervlak. dat in ieder punt een ndubbelzinnig bepaald raak~ vlak heeft en die in het tweede lid ver het begrenzend ppervlak. Van de functies U en U' wrdt vrndersteld, dat alle hier vrkmende par~ tiëele afgeleiden drlp end zijn. In deze f.rmule nemen we vr U de gevraagde functie u en vr U' H. Vr het integratiegebied nemen we de ruimte tusschen het gegeven ppervlak en een bl m Q met straal c5. De integraal in het eerste lid is dan nul. Vr de integraal ver het buitenppervlak leveren wegens de definitie van H de laatste twee termen in de. integrand niets p. Om de integraal ver den bl te vinden stellen wij weer H = (2 + h. waarbij als c5 ~ 0 de bijdrage van de termen. die van h afkmstig zijn k nbepaald afnemen en wij van te vren kunnen pmerken. dat de geheele integraal ('ver den bl nafhankelijk is van c5. à 2 - (6.e)=-- à n (22 Verder hebben we /:;(2 = - dus (2 2

11 329 Tensltte levert dus alleen de eerste term van de integrand iets p en wel - 8:nu ( Q). Wij vinden dus tensltte 8nu(Q)=- u H d. [( 0 On 6. H On à u ) 7. Vr het geval. dat het gegeven ppervlak ~en bl is. kunnen we de functie H p een dergelijke manier vinden als vr den cirkel. Ok hier kan iedere plssing van 6 6 u = 0 geschreven wrden in de gedaante II = V + 12w. waarbij 6v = 6 w = 0 en I den afstand tt een willekeurig vast punt aanwijst. Wij nemen het middelpunt van den bl O. den straal R. den afstand OQ = a. e den afstand van een willekeurig punt tt Q. Ql het punt p OQ gelegen zóó. dat OQl = a t = R2 en el den afstand van een a willekeurig punt tl Q l. Analg aan hetgeen we in 2 deden. stellen wij nu (7) waardr aan den bl H = 0 wrdt en aan 66H = 0 vldaan is. als H 6 F =. De vrwaarde On = 0 aan den bl. waarvr we weer kunnen schrijven ~~ = O. geeft weer de waarden van F aan den bl. waardr tezamen met 6 F = O. F in het geheeie gebied binnen den bl bepaald is. Wij vinden aan den bl dus 1 1 = - (R - a cs 1'J) - - (a - R cs 1'J) - 2 RF. e el. en daar dit binnen den bl vldet aan 6 F = O. geldt deze uitdrukking k vr dat geheeie gebied. Wij vinden dus Vr de substitutie in (7) berekenen we (8) dus

12 330 waar b IJ evena I' s In h et vrgaan d e al = R2 -, a à 6. H = _ 2 (r - a cs ij) + 2a (r - a) cs ij) + 3(R 2 -a2)(r-al cs I'}) + à r e 3 R e~ a R e~ +.. (R2 - a 2 ) r _ 6(R2-a 2 )r 2 (r-al cs!?) _ 2(R2 -a 2 ) al cs ij +. a R e~ a R e~ a R e~. Dus aan het blppervlak (R2 - a2)2 1 6.H=- R2 e3 + 6 (R 2 - a 2 ) al r cs i} (r - a) cs ij) a Ref à6.h_r 2_a 2 1'_ 2 2_ -6a1+12a3RcsiJ-6a2R2cs2iJ~_ ::. - R3 3 2R +5a 3aRcsiJ+ 2 - un e e, De frmule (7) geeft dus (R2_a2)2 (2R2-a2-aRcsiJ) R3 e 5 (9) Het bewijs. dat de p deze wijze gecnstrueerde functies aan alle eischen vlden, kan p geheel vereenkmstige wijze als dat in 5 gegeven wrden.