TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica

Transcriptie

1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Bimedische Technlgie, grep Cardivasculaire Bimechanica Tentamen Fysica in de Fysilgie (8N7) deel A1, blad 1/3 maandag 27 september 21, uur Het tentamen bestaat uit 2 vraagstukken die samen maximaal 4 punten pleveren. De verdeling van de punten is bij de vragen aangegeven. Geef bij alle antwrden een argumentatie. 1. In de zektcht naar buitenaards leven wrdt een ster ntdekt, waarmheen in een cirkelvrmige baan een planeet draait. De interactie tussen ster en planeet wrdt beschreven dr de gravitatie-kracht F g. De grtte van deze gravitatie-kracht, F g, wrdt beschreven dr de gravitatiewet van Newtn: F g = G m sm p R 2 waarin G de universele gravitatie-cnstante is, m s de massa van de ster, m p de massa van de planeet, en R hun nderlinge afstand. 1 pnt 4 pnt (a) Tn aan dat het fysisch crrect is G uit te drukken in m 3 kg 1 s 2. (b) Het verband tussen de mlptijd T van de planeet en de straal R van de planeetbaan wrdt beschreven dr de derde wet van Kepler. In deze wet spelen verder m s en G een rl. Heveel dimensielze grepen beschrijven dit verband? (c) Bereken een mgelijke dimensielze grep die het verband tussen bvenstaande grtheden beschrijft. De derde wet van Kepler kan wrden weergegeven als: T 2 R 3 = 4π2 Gm s 4 pnt (d) Uit bservaties van de beweging van de planeet wrden de vlgende waarden bepaald: T = (1 ± 1) dagen en R = (5 ± 1) 1 6 km. De waarde van G bedraagt m 3 kg 1 s 2. Bereken met deze gegevens de waarde en de nauwkeurigheid van m s, met hierin het juiste aantal significante cijfers. 1

2 Tentamen Fysica in de Fysilgie (8N7) deel A1, blad 2/3 maandag 27 september 21, uur Tijdens een stage in Lausanne bestudeert een BMT-student de vrmverandering van de micrstructuur van de wand van een bledvat, als in dat bledvat de druk teneemt van tt 5 kpa. De analyse gebeurt via geavanceerde verwerking van beelden gemaakt met een cnfcaal-micrscp, zie nderstaande ft s. kpa 5 kpa In deze pgave beperken we ns tt een eenvudige analyse, gebaseerd p bepaling van de psities x van een drietal punten A, B en C in de vaatwand. De uitkmst is als vlgt: kpa : x A, = ; x B, = 1L ; x C, = 8L e 3 5 kpa : x A = L e 3 ; x B = 12L + 5L e 2 + L e 3 ; x C = 1L e 3 De psities zijn geschreven ten pzichte van een rthnrmale basis {, e 2, e 3 }. De parameter L is een cnstante met dimensie lengte. (e) Bereken de vectren s en s, gericht van punt A naar B, die het wandmateriaal tussen A en B beschrijven bij de drukken van respectievelijk en 5 kpa. (f) Bereken de verlenging die het materiaal tussen A en B heeft ndergaan na de druktename. (g) Bereken de riëntatieverandering die het materiaal tussen A en B heeft ndergaan na de druktename. (h) Bereken een eenheidsvectr n, ldrecht p het vlak pgespannen dr de punten A, B en C na de druktename. 2

3 Tentamen Fysica in de Fysilgie (8N7) deel A1, blad 3/3 maandag 27 september 21, uur 2. Een skater met massa m rijdt p t = s met beginsnelheid v A = v A een ramp p (zie nderstaande figuur links). De ramp heeft een helling α. De gravitatieversnelling met grtte g werkt in de richting e z. e z e 2 B e z C H e x e 2 A α β We beschuwen eerst de beweging p de ramp van A naar B, waarbij wrijving verwaarlsd mag wrden. We gebruiken hierbij de rthnrmale basis {, e 2 }. 1 pnt (a) Teken het vrije-lichaamsdiagram van de skater p de ramp. (b) Gebruik de 2 e wet van Newtn m de versnellingscmpnent a 1 van de skater in de richting te berekenen. (c) Bereken de snelheidscmpnent v 1 in de richting van de skater als functie van de tijd t. (d) Bereken de verplaatsing s 1 van de skater ten pzichte van punt A in de richting als functie van de tijd. (e) Bereken he grt de beginsnelheid v A minimaal met zijn m punt B te kunnen bereiken. We beschuwen nu de vlucht van punt B naar C, die we wrijvingsls vernderstellen. Hierbij maken we gebruik van de rthnrmale basis { e x, e z }. In punt B, met hgte H, verlaat de skater de ramp met een snelheid v B, gericht evenwijdig aan de ramp. We stellen het mment van verlaten van punt B p t = s. (f) Bereken de snelheidsvectr v(t) van de skater als functie van de tijd t. (g) Bereken de maximale hgte die de skater tijdens zijn vlucht bereikt. Na zijn vlucht belandt de skater in punt C p een stalen buis ( grind rail ), waarver hij naar beneden glijdt. De buis heeft een helling β. De beginsnelheid in C is gelijk aan v C = v C. Deze beweging is niet wrijvingsls: de wrijvingskracht wrdt gekarakteriseerd met de kinetische wrijvingscëfficiënt µ k. (h) Teken het vrije-lichaamsdiagram van de skater p de rail. (i) Gebruik de 2 e wet van Newtn m de hek β, waarbij de skater met een cnstante snelheid naar beneden glijdt, uit te drukken in µ k. 3

4 1. Antwrden: TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Bimedische Technlgie, grep Cardivasculaire Bimechanica Antwrden by het tentamen Fysica in de Fysilgie (8N7) maandag 27 september 21, uur (a) [G] = [F g ][R] 2 [m s ] 1 [m p ] 1 = (M L T 2 )(L 2 )(M 2 ) = L 3 T 2 M 1, dus m 3 s 2 kg 1 is een passende eenheid. (b) Het aantal fysische grtheden n bedraagt n = 4. Het aantal basisdimensies k bedraagt k = 3. Vlgens het Buckingham Π-therema wrdt het prbleem dan beschreven dr n k = 1 dimensielze grep. (c) We zeken een grep π 1 van de vrm: π 1 = T a T R a R m am s G a G Invullen van de dimensies levert: Dit geeft: 1 = T a T L a R M am (L 3 T 2 M 1 ) a G = T a T 2a G L a R+3a G M am a G T : a T 2a G = L : a R + 3a G = M : a m a G = Kiezen we a G = 1 dan vlgt a T = 2, a R = 3 en a m = 1. Een mgelijke dimensielze grep is dus: π 1 = Gm st 2 R 3 (d) Herschrijven levert: m s = 4π2 R 3 GT 2 en dus geldt: m s m s = 3 R R + G G + 2 T T Invullen van de gemeten waarden levert: m s m s =.6 + (1/667) m s = (9.9 ±.8) 1 3 kg (e) s = x B x A = 1L ; s = x B x A = 12L + 5L e 2 (f) s = s s = 1L ; s = s s = 13L ; l = 3L (g) csθ = s s s s = 12L2 13L 2 = θ = arccs(12/13) =

5 e 2 (h) Het vlak wrdt pgespannen dr de vectr s en de verbindingsvectr, zeg r, tussen A en C, met r = x C x A = 9L e 3. Bereken eerst een vectr m ldrecht p s en r: 2. Antwrden: m = m 1 + m 2 e 2 + m 3 e 3 m r m r = 12Lm 1 + 5Lm 2 = m s m s = 9Lm 3 = m = 5 12 e 2 (bijvrbeeld) De nrmaalvectr n vlgt nu uit: n = m m = e 2 De vectr n vldet natuurlijk k. (a) en (h) Vrije-lichaamsdiagrammen: N e 2 F w N α β mg mg (b) De tweede wet van Newtn geeft vr de richting : ΣF 1 = mg sin α = ma 1 a 1 = g sin α (c) Vr de snelheidscmpnent v 1 geldt: v 1 (t) = v 1 () + t (d) Vr de verplaatsing geldt: s 1 (t) = t a 1 (τ)dτ = v A g(sinα)t v 1 (τ)dτ = v A t 1 g(sin α)t2 2 (e) De afgelegde weg in punt B is gelijk aan H/ sinα. Methde 1: Punt B wrdt bereikt p tijdstip t B, waarvr geldt: s 1 (t B ) = H/ sin α = v A t B 1 2 g(sin α)t2 B Hieruit vlgt: t B = v A ± v 2 A 2gH g sin α 5

6 We vinden 2 tijdstippen: het eerste tijdstip, met het min-teken, stelt het eerste mment vr waarp de skater punt B bereikt. Het tweede tijdstip stelt het mment vr waarp de skater, bij een vldende lange ramp, na het bereiken an het hgste punt weer naar beneden rlt en daarbij punt B passeert. We kijken naar het eerste tijdstip en vinden vr de snelheid in B: v(t B ) = va 2 2gH Er met gelden: v(t B ) v A 2gH Methde 2: De snelheid wrdt gelijk aan nul p mment t 1 = V A /(g sin α). De afgelegde weg bedraagt dan: s 1 = s(t 1 ) = V 2 A/(2g sin α). Er met gelden s 1 H/ sin α, waaruit vlgt v A 2gH. Methde 3: Gebruik behud van mechanische energie. (f) We schrijven v(t) = v x (t) e x + v z (t) e z. Vr de snelheidscmpnenten geldt: v x (t) = v x () + t v z (t) = v z () + t (g) Vr de hgte z(t) geldt: z(t) = z() + t a x (τ)dτ = v B csα a z (τ)dτ = v B sin α t v z (τ)dτ = H + v B (sin α)t 1 2 gt2 gdτ = v B sin α gt De maximale hgte wrdt bereikt p het tijdstip t max waarp de verticale snelheid gelijk aan nul is: v z (t max ) = v B sin α gt max = t max = v B sin α g De maximale hgte z max bedraagt dan: (h) Zie bven. z max = z(t max ) = H + v2 B sin2 α 2g (i) Uitwerken van de 2 e wet van Newtn levert: in richting : ΣF 1 = F w + mg sin β = ma 1 in richting e 2 : ΣF 2 = N mg csβ = ma 2 = Met F w = µ k N levert cmbineren van deze uitdrukkingen levert vr de versnelling a 1 : a 1 = g(sin β µ k csβ) De versnelling is nul als: a 1 = µ k = tanβ 6