Een generalisatie van de ongelijkheid van Poincaré

Transcriptie

1 Een generalisatie van de ngelijkheid van Pincaré Kuijpers, W.J.J. Gepubliceerd: 0/0/98 Dcument Versin Uitgevers PDF, k bekend als Versin f Recrd Please check the dcument versin f this publicatin: A submitted manuscript is the authr's versin f the article upn submissin and befre peer-review. There can be imprtant differences between the submitted versin and the fficial published versin f recrd. Peple interested in the research are advised t cntact the authr fr the final versin f the publicatin, r visit the DOI t the publisher's website. The final authr versin and the galley prf are versins f the publicatin after peer review. The final published versin features the final layut f the paper including the vlume, issue and page numbers. Link t publicatin Citatin fr published versin (APA): Kuijpers, W. J. J. (98). Een generalisatie van de ngelijkheid van Pincaré. (Eindhven University f Technlgy : Dept f Mathematics : memrandum; Vl. 8). Eindhven: Technische Hgeschl Eindhven. General rights Cpyright and mral rights fr the publicatins made accessible in the public prtal are retained by the authrs and/r ther cpyright wners and it is a cnditin f accessing publicatins that users recgnise and abide by the legal requirements assciated with these rights. Users may dwnlad and print ne cpy f any publicatin frm the public prtal fr the purpse f private study r research. Yu may nt further distribute the material r use it fr any prfit-making activity r cmmercial gain Yu may freely distribute the URL identifying the publicatin in the public prtal? Take dwn plicy If yu believe that this dcument breaches cpyright please cntact us prviding details, and we will remve access t the wrk immediately and investigate yur claim. Dwnlad date: 26. Jul. 207

2 .. TECHNISCHE HOGESCHOOL EINDHOVEN Onderafdeling der Wiskunde en Infrmatica v ~?emrandum 98- nvember 98 Een generalisatie van de ngelijkheid van Pincare dr W.J.J. Kuijpers Technische Hgeschl Einhven Onderafdeling der Wiskunde en Infrmatica PO Bx 53, Eindhven Nederland

3 - ] - Een generalisatie van de ngelijkheid van Pincare Beschuwd wrdt de verzameling functies U gedefineerd dr: () U =: {u E e'[o,l] lu(o) u() a}. Over U wrdt gedefinieerd de functinaal: J U + ~ vlgens (2) J(u) =: f 2k u (x)dx k E IN, A ~ 0, du waarbij differentiatie naar x wrdt aangeduid met een accent: u'(x) := dx (x). Bewezen zal wrden dat de vlgende ngelijkheid geldt: I (7f/k)2k ( (3) 2k 2k V u' (x)dx ~ (2k - ) UEU f J u (x)dx. sin 7f/2k 0 0 Definieer de functie J:. 2 ~ + ~ vlgens: (4) J:. (u ', u) De functinaal J heeft een statinaire waarde vr zekere u E U. Deze functie is plssing van de differentiaalvergeiijking: (5) ( ~. ~ - dx du' ;:).(u'(x),u(x». Omdat ;; = 0 vigt uit (5) nmiddellijk dat de statinaire waarde u van

4 - 2 - J vldet aan de d.v. (6) (u' dl au' -l)(u'(x),u(x» cnstant. Uitgeschreven levert de vergelijking: (7),2k( ) A u x + 2k - met randvrwaarden: u(o) = 0 en u(l) =. De cnstante u in (7) is gedefinieerd dr: (8) u = max lu(x)l. xe[o, I] Laat X zijn de waarde waarin lui een maximum, waarde u O ' heeft. Znder verlies aan algemeenheid kunnen we ns beperken tt het geval dat u(x O ) > 0 is, zdat Zij X c: lr een pen interval dat X bevat z.d.d. v XEXO x < x.. u' ~x) 0 > 0 (0) V X XO x > X.. u' (x) <'0.

5 - 3 - We kiezen X zdd. ver dx O := { xl,x 2 } geldt Uit de vergeiijking (7) en de cndities (0) en (]) vigt dan nmiddellijk: du Tu' = (2k-l) ~k A, -lk 2k 2k 2 [u - U ] du substitutie van t = u~2ku2k in de integraal Ievert: X _ X =.. (2k - )! k 2 k A f (2) rr/k sin rr/2k Opdat de functie u, plssing van de differentiaal vergeiijking (7), aan de randcndities vldet, zal meten geiden: (3) x2 - x] ::;;.

6 - 4 - De ngelijkheid (3) levert met (I2) vr A de ngelijkheid:. 'ft/k \ 2k (4) A ~ Aa := (2k - ) ( sin 'ft/2k) Var A < Aa heeft de d.v. (7) aileen de triviale nul-plssing in U. Vr A = Aa vigt nmiddellijk vr u E U: Inhet vervlg wrdt verder steeds de verzameling plssingen, aile gekarakteriseerd dr de parameter ua' behrende bij Aa beschuwd. Beantwrd met ng wrden de vraag f de bij Aa en u a behrende plssing van (7) een extremum en wei een minimum met waarde a vr de functinaal J(u) is. We beschuwen daarte de functie S JR 2 -+ JR gedefinieerd vr x E [0, D dr de relatie: (5) S(x,u) = extr UEU x J (u'(z),u(z»dz met u E U. a Beperken we ns, znder verlies aan algemeenheid, vr x E (a,!), tt functies u, waarvr geldt: (6) ir/k u' = v(x) = ~~~~ sin 'ft/2k

7 - 5 - dan vlgt vr de functie S dat deze met vlden aan de vlgende vrwaarde(n): (7).de functie: ~ (x,u) + u' as (x,u) - (u',u) ax au heeft een extremum vr u' = v met waarde 0, zdat nmiddellijk vlgt: (8) as a as a au = aur (v,u) en ax = (v,u) - v au' (v,u). Langs een krmme waarlangs geldt u' = v(~) vlgt: (9) xl { j [ (v,u) - v ~~ (x,u) - ~! (x,u)]dx = 0. Vergelijken we twee krmmen K) en K2 die het punt (0,0) en het punt (x,u l ) met elkaar verbinden, dan geldt vr Xl E [O,~] [ ~ dx + ~ du] = J{ ax au. XI -as dx + -as] [ du ax au OK 2 fwel, met gebruikmaking van (8): (ZO) Kl f [{ - v a~f } (v;u)dx a + au' (v,u)duj = f [{ - a. a v au' } (v,u)dx + aut (x,u)duj. K Z

8 - 6 - Vergelijking (20) is een uitdrukking vr de invariantie van Hilbert's integraal. Kiezen we vr Keen willekeurige en vr E een krmme waarlangs u' = vex) die beide dr (0,0) en (xl,u ), x E [ l J O,IJ gaan en bepalen we het verschil van de integraal ver langs beide krmmes: K f (u',u)dx - f (V,U)dx = f (UI,U)dX - f ~; dx e K (2J) = f[ (U',u) - ds Jdx dx K = f[ (u"u) - { (v,u) - v ~~i (v,u)} - u' ~~, (v,u) Jdc. K De integrand van de laatste integraal uit (2) is een uitdrukking vr de Weierstrasse E (Ekzess-) functie. Deze functie kan wrden geschreven in de vlgende vrm: a (22) E= LeU',u) - (v,u) - (u' - v) au' (v,u) Substitutie van de functie,levert vr E : (23) E = u,2k - v 2k - (u' _ v)2kv 2k -

9 - 7 - Vanwege de cnvexiteit van de functie u,2k, k E :N, zal gelden: (24) E = k(2k - l)(u' - v)2[v + e(u' - v)]2k-2 e E (0,) waaruit eenvudig vigt: (25) E > 0 vr u' r v = 0 vr u' = v Substitutie in (2) levert: (26) f (Ut,U)dX - f (V,U)dX > 0 vr K r e: K e: = 0 vr K = e:. Hewel bvenstaande bescbuwingen slecbts gelden vr krmmes K en e: gelegen in de strk x E [O,~] van bet (x,u) vlak, zal dr spiegeling in de lijn x = i eenzelfde resultaat kunnen wrden afgeleid in de strk [~,] waar vex) gedefinieerd is dr: (27) vo + z) = -yo - z), vralle Z E [0, U, zdat de functie S k ~n deze strk kan wrden gedefinieerd als bven. Aangetnd is daarmede de relatie (26) vr ee~ willekeurige krmme K dr (0,0) en (,0) en een extremale krmme e: dr deze punten. Gebruikmakend van

10 - 8 - (27) vigt direct: (,0) (28) I (v,u)dx = (0,0) e: hegeen k vigt met (6): (29) ( f u' ~ - )(U u) = au', - (0; uef langs e:, zdat: (30) f leur,u)dx = f [u' ~~, + (O,uO)Jdx -I e: met gebruikmaking van de randvrwaarden. Gebruik de Euler. vgl. (5) en substitueer (,u ) pnieuw: (3) I (u', u) dx = e: J[u a au + u' a -. ] (u',u)dx. au' Vanwege de k-hmgeniteit van vigt: (32) a u + u' a = 2k au au' Substitutie van (32) in (3) levert: 2k J (u',u)dx =, E:. k E ]N,

11 - 9 - zdat e: I.t(u',u)dx =. Met (26) vlgt dan: I.e (u ', u) dx > 0 als K geen extremaal is (33) K = 0 als K wei een extremaal is. Aangetnd is daarmede: J(u) = J u,2k dx - A f u 2kd x I = I, 2k d u x - I u 2kd x zdat: (34) J(u) ~ (A - A) I 2k u dx. Vr A =.0 vigt nmiddellijk,de ngelijkheid (3): V UEU f ~ I u' 2k (x)dx ~ (2'k - (t/k) 2k ) ;.--'-~,... J (sin T/2k)2k 0 2k u (x)dx.

12 Bijvrbeeld vr ) 2 2 (35) k = : u' dx :2: f f f 2 U dx, U E U 0 0 I 4 k = 2: u x u dx, U E U (36) J,4d > 3f f 4 0 0