Acdemi Press 0 BIJLAGE Wiskudige opfrissig. Bewerkige bij vergelijkige Verdere v lid is omkere v de bewerkig, dus verderig v teke bij som of verschil y x+ b y b x vermeigvuldigig wordt delig e omgekeerd y y x x. Voorrgsregels bij bewerkige Mchtsverheffig heeft voorrg op lle dere bewerkige. Vermeigvuldigig e delig hebbe voorrg op som e verschil. Hkjes heffe de voorrg op; dus de bewerkig tusse de hkjes heeft voorrg bove de dere..3 Bewerkige met breuke.3. Optelle e ftrekke Optelle e ftrekke v breuke is llee mogelijk ls ze gelijkmig zij, d.w.z. dezelfde oemer hebbe..3. Gelijkmig mke Alle breuke kue gelijkmig gemkt worde. De eevoudigste methode om de gemeeschppelijke oemer te beple is het product te mke v de oorsprokelijke oemers. 4 3 4 3 - - - - - 3 4 3 4 4 3 5 + 3 3 5 - + 3-5 - 3 + - 5 3-8 3 5 5 5 5.3.3 Vermeigvuldige Me vermeigvuldigt teller met teller e oemer met oemer. 4 + 7 7 5 8 - - 4 4 3 5 7 8 5 7 7-4 - 3 5 7-6 35-8 8 4 BIJLAGE WISKUNDIGE OPFRISSING
Acdemi Press 0 3.3.4 Dele Bij delig vermeigvuldigt me met het omgekeerde v de deler..3.5 Vereevoudige Het is goed mogelijk dt voorgde bewerkige iet de eevoudigste vorm v de resulterede breuk oplevert. Deze eevoudigste vorm is deze wrbij teller e oemer zo klei mogelijk zij. Om deze vorm te vide otbidt me de teller e de oemer i priemgetlle of getlle die iet verder deelbr zij tezij door of door zichzelf. Door schrppig v de gemeeschppelijke getlle oder e bove de breuklij, bekomt me d de meest eevoudige vorm v de breuk. : 3 5 : 30-48 5 5-3 3 4 3 5 3 5 6 5 8.4 Mchte Bij mchtsverheffig vermeigvuldigt me het getl zoveel ml met zichzelf ls de mcht geeft. 3 3 5 + 3 Vermits dele vermeigvuldige is met het omgekeerde ket me ook egtieve mchte e de mcht 0. ā - 0 ā - 5 3 5 3 Mchte v mchte Mchte v ee product ( x ) y xy ( b) b b - b BIJLAGE WISKUNDIGE OPFRISSING
Acdemi Press 0 4 Mchte v ee veelterm. Deze mchte kue meestl iet i ee eevoudige evewrdige schrijfwijze omgezet worde. Uitzoderige vorme ee tl merkwrdige producte ( + b) + b + b ( b) b + b ( + b + c) + b + c + b + c + bc.5 Worteltrekkig Bij worteltrekkig zoekt me r ee getl dt i de de mcht verheve, het getl oder het wortelteke ls resultt geeft. We zoeke met dere woorde het grodgetl v de mchtsverheffig wrbij we de expoet e het resultt v de bewerkig kee. Altertieve schrijfwijze 4 wt 4 3 9 3 wt 3 3 9 4 7 3 wt 3 4 7 x x x x Door combitie met de mchtsverheffig otst gebroke expoete. ( x) m x m x m.6 Logritme Het logritme is eveees ee bewerkig fgeleid v de mchtsverheffig. Hier zoeke we de expoet v de mchtsverheffig ls het grodgetl e het resultt v de mchtsverheffig geked zij wr de worteltrekkig r het grodgetl zoekt. g Als we schrijve dt log x d is g x. We spreke over het g-logritme of het logritme met grodgetl g v ee reëel getl. Als we dit grodgetl g tot de mcht x verheffe is het resultt. Voorbeeld: 3 8, dus 3 is de mcht wrtoe verheve moet worde om 8 te krijge. Me oemt 3 het logritme voor het grodgetl wrv 8 het resultt is v de mchtsverheffig. Nottie: log 8 3. BIJLAGE WISKUNDIGE OPFRISSING
Acdemi Press 0 5.6. Briggse logritme Als we 0 ls grodgetl kieze, spreke we v decimle of Briggse logritme, geoemd r de Egelse wiskudige Hery Briggs (56-63). Dit logritme wordt kortweg met log geduid. Log x 0 x Bijgevolg 0 log Het reëel getl moet strikt positief zij, omdt elke mcht v 0 strikt positief is. Het getl log k positief, egtief of ul zij. Log 000 3 omdt 0 3 000 Log 0 omdt 0 0 Log 0 omdt 0 0 Log 0,0 omdt 0 0,0 Met de ZRM k je het logritme v elke behorede tot de strikt reële getlle berekee. Hiervoor gebruik je de log-toets..6.. Voorbeelde ZRM disply Log 300... 300 log. 4773 Log 7... 7 log 0.845098 Log 0,045... 0,045 log.3467875 Merk op dt:. Negtieve getlle hebbe gee log omdt ze iet geschreve kue worde ls ee mcht v 0.. Met de x y toets of ee gelijkwrdige toets kue we ee cotrole uitvoere: Log 3 0,477... omdt 0 0,477... 3.6.. Bewerkige met logritme Het gebruik v logritme lt os toe igewikkelde berekeige sterk te vereevoudige: vermeigvuldigige worde herleid tot optellige, mchtsverheffige tot vermeigvuldigige, delige tot ftrekkige,... Logritme v ee optellig log( + b) Me zl eerst e b moete smetelle lvores het log te beple. Logritme v ee verschil log( b) Me zl eerst b v moete ftrekke lvores het log te beple BIJLAGE WISKUNDIGE OPFRISSING
Acdemi Press 0 6 Logritme v ee product log( b) log + logb Logritme v ee quotiët log b log logb Logritme v ee mcht log log Logritme v ee -de mchtswortel log log Logritme v ee -de mchtswortel v ee getl tot ee mcht log m m log.6..3 Vergelijkige v de vorm x b Ee vergelijkig v de vorm x b wrbij e b strikt positieve reële getlle voorstelle, oeme we ee expoetiële vergelijkig. Oplosse x b log x log b x. log log b x log b/log We kue dus de expoet v ee expoetiële vergelijkig op ee eevoudige wijze met logritme beple..6..4 Voorbeeld Prktische toepssige met log Bereke de eidwrde v 5 375 belegd op s.i. gedurede jr 4,5% per jr. Oplossig Formule: K K o. u Berekeig: 5 375.,045 Me zou dit kue omzette r log e vervolges op de volgede wijze verder rekee Log K log 5 375 + log,045 Log K log 5 375 + log,045 Log 5 375 5,09809. log,045 0,9 Log K 5,30 Iv log K 04 3, Uiterrd gebeurt dit sids het best v de elektroische rekemchies iet meer expliciet. Impliciet zette de meeste rekemchies voor deze BIJLAGE WISKUNDIGE OPFRISSING
Acdemi Press 0 7 berekeige ee dergelijke rekeroutie op. Aderzijds k me ook weer me de eidwrde, de begiwrde e de itresthoogte ket de legte v de beleggigsduur vststelle. We hereme drtoe de cijfers v het voorbeeld. 5 375.,045 x 04 3,7 log 04 3,7 5 375 x log,045 x wt we tuurlijk wiste wt het ws i het voorgde gegeve..6. Het tuurlijk logritme of l I lle gevlle wri me k werke met log k me evezeer werke met l. Het tuurlijk logritme is ee logritmestelsel met e 4 ls grodgetl ipv 0. Dezelfde rekeregels gelde ls bij de Briggse logritme..7 Rije.7. Rekekudige rij t, t, t 3,... is ee rekekudige rij ls tusse twee elkr opvolgede terme ee vst verschil bestt. Dit vst verschil wordt voorgesteld door v. Voorbeeld,5,8, v 3 De som v ee rekekudige rij v terme k gevode worde met de formule RR t s + t -. Drbij is t : de eerste term t : de ltste term : het tl terme Toegepst op het voorbeeld: RR + s 4 -. 4 6 Idie me weet dt de RR terme bevt, k me de ltste vide op grod v de vststellig dt de opeevolgede terme t, t +v, t +v, t + 3v +... +t + ( ) v zij. De ltste term is dus t t + ( ) v. De som werd gevode door lle terme tweeml te sommere. Drbij worde de terme i stijgede e i dlede volgorde oder elkr gezet: 4 e werd geoemd r de Zwitserse wiskudige Leohrd Euler (707-783) e is bij bederig gelijk,78888. BIJLAGE WISKUNDIGE OPFRISSING
Acdemi Press 0 8 s RR t + t + v + t + v + + t v + t RR + s t + t v + t v + + t + v + t RR s t + t + t + t + t + t + + t + t + t + t RR ( t s + t ) -.7. Meetkudige rij t, t, t 3,... is ee meetkudige rij ls de volgede term uit de voorgde volgt door vermeigvuldigig met ee positief vst getl. Dit vst getl is de rede e wordt voorgesteld door q. Er zij dlede e stijgede meetkudige rije l rgelg de vermeigvuldiger groter of kleier is d. Voorbeeld 0,0,40,80,60 e 3,6,8,4,, De som v de terme v ee meetkudige rij k gevode worde met de formule s MR q t q Drbij is t : de eerste term q: de rede Toegepst op het eerste voorbeeld: S 5 MR 0-5 30.7.3 Cijfervoorbeeld Ee bkistellig die sprdeposito's beheert, ket i de loop v éé burgerlijk jr ekelvoudige itrest toe tege ee werkelijke rete v 6% e bereket deze per hlve md of quizie. Op het eide v elk burgerlijk jr worde de itreste gekpitliseerd e bregt het bekome sldo rete voort op smegestelde itrest tege ee werkelijke rete v 8%. Ee persoo stort om de 4 dge, de eerste ml i de eerste week v juri, 5 euro op het depositoboekje e dit gedurede 0 jr. De ltste v deze stortige wordt uitgevoerd i de tweede helft v december v het 0 de jr. We zoeke het slotsldo wrover de persoo zl beschikke 0 jr. De eerste stortig geeft recht op 3 hlve mde itrest. Op 3 december bereikt deze stortig ls slotwrde 6,4375, l. 5 3 + 0, 06 -. 4 De tweede stortig (die uit de tweede helft v juri) bereikt op 3 december, hlve mde itrest, ls slotwrde 6,375, l. 5 + 0, 06 -. 4 BIJLAGE WISKUNDIGE OPFRISSING
Acdemi Press 0 9 Voor de derde stortig wordt dit 6,35 of 5 + 0, 06 -. 4 ez. De voorltste stortig uit het eerste burgerlijk jr is og éé hlve md retedrged e bereikt ls slotwrde 6,065 of 5 + 0, 06 -. 4 De ltste stortig uit het eerste jr levert gee rete meer op. Bijgevolg bedrgt het slotsldo éé burgerlijk jr: 3 + + + + + 5 4 + 0, 06. 4 De som 3 + + +... + 3 + + 76 is zó misschie mider gem om te berekee mr k ook gemkkelijk bereked worde wt de getlle RR vorme ee rekekudige rij. De som wordt d S 3 + - 3 76. Het slotsldo éé burgerlijk jr bedrgt dus 76 5 4 + 0, 06 67, 4. 4 Elk burgerlijk jr sprt de persoo dus 67,5 sme. Deze jrlijks bijee gesprde bedrge brege elk rete op tege 8% op smegestelde itrest. Hier verschijt ee veelvoudig gebruikte ficiële verrichtig m.. gelijke stortige met jrlijkse tussepoze. Het probleem bestt eri de slotwrde tege smegestelde itrest te berekee v deze opeevolgede stortige. De slotwrde uit het eerste burgerlijk jr bregt og 9 jre rete voort e groeit tot 67,5 x,08 9 33,8856. Het slotsldo v het tweede burgerlijk jr groeit og tot 67,5 x,08 8 4,4876 Het slotsldo v het tiede burgerlijk jr groeit iet meer. Bijgevolg bedrgt het slotsldo 0 jr 67,5 (,08 9 +,08 8 +,08 7 +... +,08 +,08 0 ). De getlle tusse hkjes vorme u ee meetkudige rij die ls we ze v chter r vore leze ls rede,08 heeft. MR Bijgevolg is de som S, 080 4, 48656., 08 N 0 jre spre beschikt de persoo uiteidelijk over 67,5 x 4,48656 8 94,83. Uiteidelijk zulle we deze som met uïteiteformules veel seller kue berekee. BIJLAGE WISKUNDIGE OPFRISSING
Acdemi Press 0 0.8 Oplosse v vergelijkige.8. Eerstegrdsvergelijkige Deze vergelijkige kue steeds oder de vorm x + b 0 gebrcht worde. b Door overbregig bekomt me d ls oplossig: x..8. Tweedegrdsvergelijkige Deze vergelijkige kue steeds geschreve worde ls x + bx + c 0. Voor de oplossig diet eerst de discrimit bereked: D b 4c. Als D < 0 is er gee oplossig D 0 is de oplossig x D D > 0 levert twee oplossige: l. x x - b + D b D BIJLAGE WISKUNDIGE OPFRISSING