DEEL II Integraalrekening + index 50

Transcriptie

1 INHOUDSOPGAVE DEEL II Itegrlrekeig + ide 5. Het erekee v de primitieve fuctie 5. Het terugvide v de evetuele costte 54. De susitutiemethode 56.. Lstigere vrite 59. Prtieël iterere 6.4 Cyclometrische fucties 64.5 Breuksplitsig 67.6 De eplde itegrl (deel ) 69.7 Riemsomme 7 4. De eplde itegrl (deel ) Gemiddelde fuctiewrde 8 4. Beplde itegrle e oppervlkte 8 4. Lstigere eplde itegrle Oppervlkte tusse twee fucties Oppervlkte tusse twee fucties, Itegrtie r y toe Ihoudserekeige: Omwetelige Ihoudserekeige: Slicig Ihoudserekeige: Omweteligsvlk tusse f() e g() Booglegte 9 4. Oppervlkte v lichme Zwrteput Areid 98 diverse opgve uit Getl e Ruimte VWO B4. 5

2 .. Het erekee v de primitieve fuctie Het proces v itegrtie is i de eerste plts het vide v de primitieve (oorsprokelijke) fuctie die hoort ij ee gegeve fgeleide fuctie. Het proces dt leidt v fgeleide tot primitieve fuctie oemt me itegrere. I de Egelse e Amerikse litertuur vidt je de term "tiderivte" e me defiieert de "tiderivte" d ook ls volgt: Ee fuctie F() is ee tiderivte v ee fuctie f() ls: F'() = f() voor lle i het domei v f. De verzmelig v "tiderivtes" oemt me de oeplde itegrl v f, met ichtemig v, voorgesteld door: f() Het -symool oemt me het itegrl-teke e de fuctie f() de itegrd e verrd de vriele wrr geitegreerd wordt. Algemee geldt de defiitie: f() = F() + C Vooreelde die dit illustrere: = + C, wt de fgeleide v is weer 6 = + C =.5 + C cos() = si() + C Feitelijk drie we het differetieer-proces u weer om: we kee de fgeleide e vrge os f welke fuctie ooit geleidt heeft tot deze fgeleide. De techiek die we hierij geruike is prim i regels te vtte, doch eige routie i het vide v de primitieve op grod v 'gezod verstd' regt os dikwijls seller tot het resultt. Voor de lstigere gevlle, geruike we ee 'echte techiek'. De ottie dy e zij fkomstig uit de differetilrekeig e het werke met differetile. We zulle er hier iet verder op i g. Hieroder (volgede pgi) vidt je de meest elgrijke oeplde itegrle: dwz ls ee fgeleide eked is, is hiermee de primitieve sel gevode. Het spreekt voor zich dt de eige cotrole is: opieuw differetiere. Itegrl-formules: C,, rtiol. e: C cos( k) si( k) C k si( k) cos( k) C k 5

3 Wt is de rol v de Costte? De costte moet ij het primitivere wel worde meegeome omdt er vele primitieve zij die differetiere dezelfde fgeleide oplevere. Dergelijke primitieve verschille i getlwrde die differetiere wegvlle. Om ij het itegrtie-proces dit i ogeschouw te eme, eemt me de costte mee, die lter middels ee eked put zo mogelijk ee wrde k krijge: Vooreeld: Itegreer de fuctie f() = + e epl de primitieve die teves door put (,) gt: Oplossig: f() = +... dus F(X) = C g door (,) => = C dus C = Ook ij dit proces est ekele regels zols we die eerder ij limiete gezie hee: Costte-regel: kf() = k f() Regel voor egtieve itegrle: - f() = - f() Som e verschilregel: [ f() + g() ] = f() + g() [ f() - g() ] = f() - g() Term-voor-term itegrtie: ( + + c) = ( ) + + c = (/) c + C Vooreeld ( 5) 5 C.5 C 5 C.5 5 C Vooreeld C Vooreeld ( ) C Vooreeld ( ) l( ) C 5

4 Oderstde oefeige moet je wel echt mke om het itegrtie-proces i de vigers te krijge.!! OEFENSTOF. Los de volgede itegrle op: ) = ) 6 = c) - 4 = d) (/) = e) (/) = f) -si() = g) (5/ ) = h) (- - (/ )) = i) ( ) =. Los de volgede itegrle op: ) ( ) t c) ( ) ) ( t ) dt d) ( ) e ) (4si ) y dy f ) ( cos( ) si( )) 5

5 . Het terugvide v de evetuele Costte: Iitil Vlue Prolems Uit deze itegrtievooreelde lijkt steeds ee Costte te otst; dt hee we eerder gezie. Idie st ee fgeleide fuctie ook ee (strt)put eked is, is het mogelijk ivullig te geve deze costte. Vooreeld Ee voorwerp vlt met ee versellig v 9,8 m/s. Als het voorwerp gee egiselheid hd (t t=, V=), wt is zij selheid t secode? dv 9,8 dt dv dt 9,8 dt dt V 9,8 t C. Agezie V()= C V 9,8t Vooreeld Ee fuctie heeft ls fgeleide dy/ =,4 +. Het origieel (de primitieve) gt door (,5). Vid deze. dy,4 dy (, 4 ) 4 y, C. Door(,5) 4 y,,9 Vooreeld Ee projectiel schiet me omhoog vf ee m hoog pltform. De vgsselheid = 6m/s. Hoe hoog komt dit projectiel secode? ds dv d s v, e dt dt dt d s ds gegeve: 9,8 m / s, () 6 m / s, s() m dt dt ds 9,8 dt dt dt ds ds 9,8 t C, () 6 C 6 dt dt ds 9,8t 6 dt Nu ogmls itegrere om s te vide. ds dt ( 9,8 t 6) dt dt s 4,9t 6 t C, s() s t t 4,9 6 N secode: s () 4,9() 6() 48,9 m 54

6 OEFENINGEN. Bereke de volgede 'iitil vlue-prolems' e los hu cotte op.. dy 5, y() 6. dy, y() c. dy, y() - d. dy, y() - e. dy /, y(-) -5 f. dr si( ), r() d g. d y dy 6, () 4, y() h. d y dy 6, () 6, y(). ds I oderstde formules zij de selhede v dt I oderstde opgve vidt je de selheid e iitiele positie v putmss's lgs ee rechte lij. Wr zitte deze mss's op tijdtip t? ) ds v 9,8t 5, dt s() ) ds v t, dt s(,5) 4 c) ds v si( t), dt s() d) ds t v cos( ), s( ) dt 55

7 . De sustitutiemethode Tot op dit momet zij we i stt om eevoudige itegrle terug te vide e op te losse. Het wordt lstiger ls i de itegrd ee product v twee fucties of stt, of de gegeve fgeleide het resultt is v het toepsse v de kettigregel. We egie met die ltste. Vooreeld: Zoek de primitieve v de fuctie: f() = (4 - ). () Het is duidelijk dt dit te leze ls u. met u = 4 - De primitieve v u ws ( eig deke...) f u u u.5 ( ), met 4 F( ) u C dus met igevulde u krijg je: F( ) (4 ) C Echter ls je dit differetieert. otstt: df.5 f ( ) (4 ) e dt stod er iet.. Eigelijk moete we het itegrtieproces zodig toepsse zodt de kettigregel weer wordt meegeome. dy dy du De kettigregel og eve.. du Dit eteket dt je de itegrl zó herschrijft dt wordt omgezet i du... Het vooreeld og ees... Zoek de primitieve v de fuctie: f() = (4 - ). Nu zegge we dit: Bereke de primitieve v f ( ) 4.5 () f ( ) u u, met u 4.5 () f ( ) u. du () Agezie: u=4- geldt: 4 e dus = du (G!!) 4.5 (4) Dus krijg je: F( ) u du (5) u du, 4 geeft 4 4 u du u met u 4 (6) Zó. De lstigheid zit 'm i het omzette v r du. Hierdoor wordt.h.w. de kettigregel recht ged e i omgekeerde volgorde weer 'verreket'. 56

8 Ee mkkelijk vooreeld: 5 ( ) zou je kue herschrijve tot: 5 ( u) met: du u ( ) du D wordt de oplosre itegrl: ( ) ( ) u du u C C Ee der vooreeld 5 zou je kue herschrijve tot: u met: du u ( 5) du D wordt de oplosre itegrl: ( 5) u u du udu u C C 8 Nog ee vooreeld: cos( ) zou je kue herschrijve tot: cos( u) met: du u ( ) du D wordt de oplosre itegrl: cos( u) cos( u) du cos( u) du si( u) C si( ) C Nog ee vooreeld: si( ) si( ) zou je kue herschrijve tot: si( u) met: du D wordt de oplosre itegrl: u du u u du u du u c c si( ) si( ) si( ) cos( ) cos( ) Het is duidelijk dt dit mooie gevlle zij. Immers i het vooreeld hierove rk je op ee elegte mier de fctor kwijt zijde het restproduct v de kettigregel. 57

9 Ee dere vorm (ook og erg (...veel te... )gustig eigelijk).. ( ) ( ) zou je kue herschrijve tot: u du omdt: du D wordt de oplosre itegrl: u ( ), dus du ( ) du ( ) ( ) 6 6 u du u du u C u C C Lstigere vorme eise veel meer keis v lger e v stdrd oplossige. Meestl komt het erop eer dt me de itegrl proeert te herschrijve zodt deze oplosr wordt. Als dt lles iet meer lukt, is llee de umerieke ederig og mogelijk Het recept voor de sustitutiemethode is dus deze:. Defiieer welk fuctie-deel u() is e differetieer deze prt.. Eeml vstgesteld wt u() is, is eked wie du/ is e dus hoe je door du k vervge.. Losse fctore k me uite de itegrtie hle; zeker dige ls pi. 4. Itegreer de fuctie. VOORBEELD Itegreer ( 5) du u dus du ( 5), : e dus =, of og mooier: 4 du =. ( 5) 4 u du e dt is: 4 4 u ( 5) Proeer ees zelf: OEFENINGEN ) ( 4) ) c) 8 ( ) d) ( t 4t )( t t) dt e) ( 4) ds f ) ds g) l(4 ) 5s 4 r h) r dr 8 i) l( ) j) 5 58

10 .. Lstigere vrite Gegeve de fuctie t(). Deze k je herschrijve tot de reuk si()/cos(). We g lte zie hoe me t() k primitivere. y t( ), vidt: t( ) si( ) du () t() =, u = cos(), si( ), -du si( ) cos( ) si( ) () Dus: t( ) du cos( ) cos( ) () e du l cos( ) c cos( ) De truc zit hem i het slim splitse. Hieroder ee vooreeld dt het mechisme duidelijk mkt; het feitelijke gevl is veel mkkelijker te primitievere. 4 y vidt:. Simpel twoord: c. 4 du () e dus: u =,, du=,,5du= (),5 udu 4 () e ws,5(,5u ) met u= geeft: c. Vooreeld: Bereke cos ( ). tw: cos ( ) cos( ) cos ( ) cos( )( si ( )) Dus: Noem u=si() e du cos ( ) cos( )( si ( )) ( ) u u c, = si( ) (si( )) c 4 =cos(), du=cos(). u du Bereke zelf : ) t( ) ) si ( ) c) d) e e) si ( )cos( ) f) l( ) 59

11 .. Prtieel itegrere. Deze gevceerde mier v itegrtie is ee pssed twoord op het terugdrie v de product e quotiet-regel. Hoewel vele itegrle toch llee umeriek oplosr zij, e ee lgerisch twoord uitgeslote is, k met deze methode og wel het e.e.. ereikt worde. Veroderstel dt we moete primitievere: y=e ( + 4). Het moge direct duidelijk zij dt sustitutie hier iet de orde is. Immers zulle de eide fctore iet elkrs fgeleide kue zij. Beschouw: y=u v. Bereke de primitieve. d(u v) dv du () y= u v, u v, e dus ook: dv d(u v) du u v u dv d( uv) v du () Primitiveer lle lede liks e rechts: u dv d( uv) v du u dv u v v du Het prtiële zit hem i dt me slechts deels itegreert. Dus ls je ee fuctie ls ove moet itegrere, stelt je ee lijstje op v u, dies fgeleide, v e dies fgeleide. D ps je deze omgewerkte productregel toe. Bereke e ( 4) u 4, du v e, dv e Regel toepsse: u dv u v v du ( 4) e ( 4) e e = ( 4) e e = ( 4) e e c So fr, so good. Je moet wel slim kieze wie je voor f eemt e wie d dg/ wordt. Doe je het verkeerd om, d zl de tweede itegrl eroerder zij d wr je mee ego. Bereke e ( 4) u e, du e v 4, dv ( 4) Regel toepsse: u dv u v v du ( 4) ( 4) ( 4 ) e e e e toe... 6

12 Nog ee die lstiger is: Bereke l( ) u l( ), du 4 v, dv 4 Regel toepsse: u dv u v v du, Bereke primitieve v l() 4 4 l( ) l( ) = l( ) = l( ) c 4 6 Opdrcht: Cotroleer dit twoord door te differetiere. Opdrcht: Kies f e g epres verkeerd om e otdek wt er mis gt. Teslotte: Meerdere prtiele stppe kue odig zij... Dt is ee kwestie v goed kieze é geduld... Bereke de primtieve v e Bereke u e dus du = v=,5e wt dv = e. dus:. e,5e,5e og 's... e u e dus du v,5 e wt dv,5 e. dus: e,5e, 5e, 5e =,5e,5 e,5 e =,5e,5 e, 5 e c Met deze methode k me eevoudige itegrle oplosse: Los op: l( ) () Geruik u dv u v v du é l() = l() () u=l(), du= v= dv= () l( ) l( ) du = l( ) 6

13 Ee listige e lstige... Itegreer de volgede fuctie: f()=l(). l( ) () Voor de sustitutiemethode zoek je steeds r ee vorm wri u e zij fgeleide is te vide: du kies: u =,5du () slimme: l() =,5l( )!!! G dt dit klopt! () Nu kue we dus schrijve: du l( ),5l( ) e met sus v,5 e u:,5l( u) du,5 l( u) du Wete dt l( u) du u l( u) u...,5( u l( u) u) c. (4) Terugsustitutie:,5( l( ) ),5 l(),5 (5) Dus othoudt: c c l( ),5 l(),5 c Ditzelfde hd ook simpeler gekud met prtiele itegrtie: dv du l( ) We geruike: u u v v dv u l( ), dus = e = dus v=,5 l( ) l( ),5,5,5 l( ),5 Je ziet dt itegrere soms op ee simpele, soms omslchtige mier tot std komt. Bereke zelf: ) f ( ) cos( ) ) f ( ) l( ) c) f ( ) l( ) e) f ( ) l ( ) (pittige!!) f) ( )si( ) l( ) g) l( ) h) c. 6

14 Som e v hiervoor toch mr eve uitgewerkt... Itegreer l ( ). dv du () We geruike: u u v v e l( ),5 l( ),5 c du () u=l ( ), (l( )) l ( ) dv Dus v,5 dv du () u u v v geruike: l ( ) l ( ),5,5 l ( ) l ( ),5,5 l ( ). (4) Het proces og ees herhle met de tweede itegrl: du dv v (5) u=l ( ), (l( )) l( ) Dus,5 dus... igevuld: (6) l ( ),5,5 l ( ) = l ( ),5,5 l ( ), 5,5 l( ) = l ( ),5,5 l ( ),5 l( ) = l ( ),5,5 l ( ),5,5 l( ),5 c = (7) l ( ) l ( ) l( ) c pffff Eigelijk zou ee derde itegrtiestp odig zij voor die ltste itegrl. Gelukkig ws dt imiddels ee 'oude' ekede. 6

15 .4 Cyclometrische fucties..4.. Iverse fucties. Iverse fucties kue llee est, ls me de rol v y e k vewissele. Immers is ee fuctie llee v toepssig ls ij elke keuze v slechts éé wrde v y hoort. Ee fuctie v y= heeft ls iverse y. Ee siuscurve k me wel spiegele i de lij y= (rolverwisselig) mr mits ie het domei -pi/ tot pi/. De iverse v si() is rcsi(). De iverse v cos() is rccos(). De iverse v t() is rct(). Iversefucties zij overiges iet de fucties: t( ) etc.. Verwrrede ottie: t - () is de iverse v t() e (t()) - eteket We espreke rct() gedefiieerd tusse y=-pi/ e pi/. We poge de reuk te primitivere. dt, =t(t) => t ( t), => = t ( t) dt t ( t) dus: ( t ( t) dt) ( dt) dt t ( t) t ( t) e dt t. Dus sustitutie v door t(t) levert t op. Agezie we =t(t) hee geoemd, moet t rct() zij. Coclusie: dt rct( ) c. De primitieve v deze reuk leidt tot rct(t). t( ) Othoudt: t( u) du l(cos( u)) c Othoudt: Othoudt: Othoudt: u du rct u u du rcsi u u du rccos u u Voorl de eerste twee kome we og wel ees tege. Zo guw wortels i de reuk ee rol spele, wordt het lstiger. 64

16 Wt vooreelde v differetierig Differetieer f()= rct(,5) du opl: u=,5, dus,5, f(u)= rct(u) df,5 = u (,5 ) Differetieer f()=rct( ) du, f(u)=rct(u) df = 4 u ( ) opl: u=, dus Wt vooreelde v itegrtie Er zij twee miere v werke: () Werk de reuk om tot, l zo: 5 Bereke () ( ) 9 ( ) = = 9 9 ( ) du u= ) e, dus du 5 5 dus krijg je: du rct 9 u 9 u 5 rct () Met de gegeve formule: 5 5, ( ) ( ) dus u=(-) e =, met formule: u du rct u 5 5 Dus otstt: rct( ) rct klr. 65

17 Bereke. 4 () Herschrijf de fuctie zodt de vorm otstt... u () dus: 4,5 4 du (4) u =,5,,5 du (5) du 6 du,5 u u (6) 6rct(,5)+c. (7) Cotrole:Differetieer 6rct(,5) = 6,5 (,5 ), 5( ) 4 u Bereke. Allee u seller met formule: du rct 4 u () Herschrijf de fuctie zodt de vorm otstt... u () dus: 4 (4) e dus otstt rct( ) c 6rct(,5)+c. Ee vergelijkre pk geld voor rcsi e rccos. Oefee Itegreer: Itegreer: ) ) c) d) e)

18 .5. Breuksplitsig Als ltste zou het hdig zij om veel voorkomede reuke te herkee e om te zette i stdrd itegrle. Er zij vier type reuke: I De oemer is te schrijve ls ( ) p q II De oemer is te schijve ls ( p) III De oemer is te schrijve ls ( p)( q). IIII De oemer is v ee lgere mcht d de teller e k dus worde uitgedeeld. I Het eerste type: I) 45 Nu splitst me de reuk, zodt sustitutie k: 4 5 ) ) Het eerste deel wordt du, met du ( 4) e wordt u dus l( 45) 4) Het tweede deel: 5 (5rct( )) ( ) 5) Dus de hele oplossig wordt: l( 4 5) (5rct( )) ( ) c II) Het tweede type: ( ) ( ) ( ) 5 ( ) ( ) 5 ( ) ( ) l( ) 5 c 67

19 Bij de derde mier moet me de oemer kue schrijve ls ee product v twee fctore. (+p)(+q). III Het derde type: re-rrge... I) 4 Nu splitst me de reuk, i eevoudigere reuke: ) 4 Ofwel: ( ) ( ) e, dus moet gelde: ( )( ) ( )( ) (+)+(+)=-, dus +++=-, (+)++=-. Coclusie: +=, +=- Ee eevoudig stelsel met =-,5 e =,5. (los zelf op!) Los u op:,5,5 ( ) ( ),5l( ),5l( ) C IV Het vierde type: 4 Bereke :. 6 4 dele door, levert op: ++, dus 4 6,5 6 l( ) C Opgve: (komed uit G&R, deel VWO B4 (editie 7) Itegreer : ) ) c) d)

20 .6 De eplde itegrl (deel ) I dit hoofdstuk kijke we r de eplde itegrl: de itegrl die.h.w. is opgeslote tusse twee greze. We lichte dit toe dhv ee vooreeld: Uit de medische wereld is eked hoe me het volume loed k eple dt het hrt per miuut k wegpompe. Het is duidelijk dt deze hoeveelheid epld wordt door de omstdighede wri de ptiet verkeert: Coditie, ctiviteit, hrt-toestd ed. Me ijecteert i de loed ee vloeistof, juist voordt het hrt wordt ereikt: i de ders dus. Deze vloeistof k me hrt-pssge mete e zodig i-eeld rege zodt de cocetrtie v deze test-stof gedetecteerd wordt. Veroderstel dt ee megsel i éé ijectie ls prop wordt igercht; verloop v tijd meet me de cocetrtie v deze test-vloeistof ls iets-uitgesmeerde curve: verschil i stroomselheid e ee zekere 'retetie-tijd' mke deze curve-vorm e dies tijdstip v verschije. Horizotl zie we de tijd i secode. Vertikl de cocetrtie i mg/liter loed. Hoe kome we u te wete welke 'slgkrcht', gemete i liters per miuut het hrt heeft? Me hteert de volgede formule: 'Crdic-output' = 6 hoeveelheid teststof i mg oppervlkte oder de curve Uitgewerkt: met ls oppervlkte: mg. l - sec: 6 mg 6 l sec l l sec sec mi sec mi mg l Veroderstel verder dt de tel de volgede wrde heeft ( fleze) secods: mg. secods mg Me k u de oppervlkte vststelle door i de curve.h.w. kleie rechthoeke te kieze die de curve zo goed mogelijk volge: 69

21 (de streepjes kome iet geheel overee met de telwrde..) De totle oppervlkte oder de curve is dus voor te stelle ls de som v de kleie rechthoekjes. Horizotl zij de rechthoekjes groot, vertikl geldt hu fuctiewrde. We hee os u edied v rechthoekjes die zo zij eergezet dt de ovezijde i het midde op de juiste hoogte is. Me k er ook voor kieze steeds de likerkt of rechterkt ls hoogte te houde. Dit leidt logischerwijs tot over- e oderschttige v de oppervlkte. Totle oppervlkte is hier f(6) + f(8) +... f() = 57.6 mg.sec/liter Dit gegeve k me fleze de grfiek; f(6)=,4 e vermeigvuldigd met levert dt,8 op. etc... Zo vid me 57,6 mg sec/liter Ageome dt me met 5.6 mg stof ego e dit igevuld i de eerder geoemde formule geeft: = 5.8 liter/miuut 57.6 Wt leert os dit vooreeld? Dt me i sommige situties de oppervlkte oder ee curve odig heeft e deze diet te edere met kleie rechthoekjes. Deze techiek ekijke we iets preciezer. Beked is dt de fgelegde weg v ee projectiel met selheid v, te vide is door: S = v t. Om ee idruk te krijge v de fgelegde weg v ee projectiel gedurede de eerste secode kue we per secode kijke hoevér het projectiel is. Me schiet ee projectiel de lucht i met de formule: v = 6-9,8t. We geruike deze lkjes methode om te zie of we de fgelegde weg gedurede de eerste drie secode kue vide. We eme eerst de likergreze. () Er zij drie itervlle = sec. () Afstd = f() ofwel (6-9,8()) = 6m Afstd = f() ofwel (6-9,8()) = 5,m Afstd = f() ofwel (6-9,8()) = 4,4m Sme: 45.6m. Zou me u iet de likergreze mr de rechtergreze v dt itervl eme: () Afstd = f() ofwel (6-9,8()) = 5,m Afstd = f() ofwel (6-9,8()) = 4,4m Afstd = f() ofwel (6-9,8()) =,6m 7

22 Sme: 4.m. Dt scheelt ogl erg veel.. Het mkt u og VEEL uit of je de fuctiewrde liks of rechts v itervl kiest. I oderstde tel zie we de uitkomste v deze erekeig ij het verkleie v het itervl. Dus ipv secode,,5 secode etc... Atl suitervlle Legte likergres gehoude rechtergres gehoude 45,6 4. 6,5 44,5 48,55,5 49,58 4, 4,5 47,74 44,6 48,6 46,8 44,98 96, 46,6 45,44 9,6 46, 45,67 Het zl iet verze dt me ij og kleiere itervlle i eide kolomme gelijke wrde zl vide. Dit proces zl covergere r de wrde 46 m. Vooreeld. Het vide v de ihoud v ee ol door plkke te eme die op 'dmschijve' lijke. We g uit v de formule: f()=(6 - ), hetgee ee hlve cirkel is. Het domei loopt d v -4 tot 4., =. Wt we erekee geldt voor de totle ol! Zie figuur: De ihoud v elke schijf: is (f(c)) (loog r ) De som v l deze ihoude zl zij ( = ): ij c: (6-(-4) )= ij c: (6-(-) )=7 ij c (6-(-) )= ij c4: (6-(-) )=5 ij c5: (6-() )=6 ij c6: (6-() )=5 ij c7: (6-() )= ij c8: (6-() )=7 Sme: 84. De echte ihoud is 4 r , Coclusie: Door het kieze v itervlle, mkt het i het egi uit of je de liker- of rechtergres eemt ls (fuctie)hoogte. 7

23 Als me steeds kleiere itervlle kiest, is dit verschil steeds kleier e me k zich voorstelle dt i ee limiet-situtie dit verschil zelfs ul is. Dit ltste is ee grote verdieste geweest v de Duitser Riem. Op deze mier k me trouwes ook de gemiddelde wrde v ee fuctie vststelle op ee zeker trject. Vooreeld: We zoeke de gemiddelde fuctiehoogte v de prool y = op het itervl [-,]. We verdele het stuk i zesse e eme steeds het midde! v elke stf. Elk itervl is / reed; dus Gemiddelde wrde: {(-5/6) + (-/6) + (-/6) + (/6) + (/6) + (5/6) }/6 =7/6=,4 Welu: Om ee lg verhl te ekorte: de eerder geoemde wiskudige Riem heeft zich met de wiskudige chtergrod v de som v rechthoeke ezig gehoude e hiervoor de itegrlrekeig flik gevuld. I essetie zit de zk zo i elkr:. Me stelt vst dt de oppervlkte oder ee curve diet te worde epld e geruikt hierij de rechthoek-pk.. Me verdeelt het trject i stroke met eezelfde reedte. Elke rechthoek is zo gekoze dt het midde erv de curve rkt/sijdt. Die hoogte is dus f(k). Vermeigvuldigd met levert de opppervlkte v die rechthoek 4. Er otstt ee som v rechthoeke f() met ls reedte e f() ls hoogte. Voor de som eme we het teke. Oppervlktev deze rechthoeke wordt d k f ( ) k 7

24 .7 RiemSomme. k f ( ) k Me oemt deze uitdrukkig ee Riemsom. Dit is de leidig om te kome tot de eplde itegrl zols we l zge. Toch is het werke met de Riemsom iet llee leidig; het toot i tl gevlle hoe het mechisme i elkr steekt. Me cummuleert de producte v fuctiewrde met ijehorede reedte. Stel me moet de som eple v de oppervlkte oder de prool y = - op het domei [-,] met itervlreedte =,: We eme d de fuctiewrde hlverwege die stfreedte dus f(,) e f(,) De totle oppervlkte zl ogeveer zij: f(-,9) + f(-,7) +... f(,9) I de GRM reket me die zó uit: sum(seq(f()*,, strt, ed, )) sum(seq(( - )*.,, -.9,.9,.)) Atwoord:,4 De sleutelwoorde sum e seq, vidt me i de 'ctlog' v de GRM. We kue u de Riem som geruike voor de eplig v oppervlkte e de ectere itegrl; hetgee eigelijk het limietgevl is v die Riemsom. OEFENSTOF I l deze gevlle is het hdig de situte eve te schetse of te plotte met de GRM.. Geruik de GRM om de Riemsom te eple v: De oppervlkte tusse de curve: y = + e de lij y =. Geruik ee =,.. Geruik de GRM om de Riemsom te eple v: De oppervlkte tusse de curve: y = (5- ) - 4 e de -s. Geruik ee =,. Je het de selheidsfuctie v(t) = t - t Vidt de fgelegde weg v de eerste 5 secode door de Riemsom te eme v die eerste vijf secode. Kies =,5 e eem de fuctiehoogte egied ij,5 e d steeds,5 verder. (de ltste zit dus op 4,75) 4. Me ijecteert ee ptiet ee hoeveelheid v 5 mg kleurstof teeide de eerder geoemde 'crdic output' te wete te kome. Me meet de volgede gegeves: secods ij. kleurstof coc secods ij. kleurstof coc De resultte st i de grfiek hieroder. 7

25 ) Verid zelf de pute tot ee vloeiede kromme. Om de crdic output te vide, moet je dus de reedte v de kolom (hier : ) vermeigvuldige met het midde v elke kolom. Mk dus ee schttig v deze fuctiewrde i het midde v elke kolom. Deze optellig levert som v rechthoekjes die ij ederig gelijk is de hoeveel mg kleurstof. hoeveelheidmgkleurstof Deze oppervlkte A vul je i de formule : crdic output = 6 OppervlkteA ) Doe dt. 5 Om de ihoud v ee ol te vide k je geruik mke v de cirkel: y 6. Hiermee epl je de fuctiehoogte voor ee kwrtcirkel. Neem reedte v,5 e kies zo 8 stroke. ( de cirkel heeft r=4). ) De ihoud estt uit 'dmschijve', met strl f() e ihoud (f()) Bereke de ihoud v de ol ) Vergelijk je twoord met (4/)r ls klopped twoord. ================================================================ De Riemsom heeft ee kemerkede vorm. k f ( ) k I het volgede deel g we de stp mke r de eplde itegrl; eigelijk eme we de limiet v de Riemsom door het itervlletje r te lte dere. 74

26 TOEVOEGING: Riemsomme met de GRM Otdek eve hoe je GRM i dit verd werkt: De fuctie seq ( ) (sequece) seq (,,,4,) geeft ls uitkomst de rij {,,,,4} seq (,,,4,) geeft ls uitkomst de rij {,,4,9,6} seq (,,,,) geeft ls uitkomst de rij { 8,7} Dus ls je dát sommeert met de fuctie sum: sum (seq (,,,4,)) geeft ls uitkomst sum (seq (,,,4,)) geeft ls uitkomst sum (seq (,,,,)) geeft ls uitkomst 5 e dt klopt ook ls het gt om de optellig v de eerdere getlle. Als het gt om ee fuctie wroder je oppervlk wil wete, zij deze uitkomste te hoog! Bekijk de eerste: y =. Je wil wete wt de oppervlkte is oder deze curve v = tot =4.. De stroke zij reed = e hoog f(), dus egied ij = tot =4 sum (seq (,,, 4,)) = (teveel!). De stroke zij reed =,5 e hoog f(), dus egied ij =.5 tot =.75 sum (seq (*,5,,.5,.75,.5)) = 8 (goed). De stroke zij reed =, e hoog f(), dus egied ij =. tot =.9 sum (seq (*,,,.,.9,.)) = 8 (goed) 4. De stroke zij reed =, e hoog f(), dus egied ij =. tot =.99 sum (seq (*,,,.,.99,.)) =... lg deke lijft dus 8. OPM Dt de ltste uitkomste steeds 8 geve. is omdt de fuctie mooi rechtlijig is. Bij iets ls of of zo, zl dt ders ligge.. OPM Besef je dt de strook die reed is, strt ij strtput +,5 e eidigt ij eidput -,5. Hoe kleier je eemt. hoe ecter. 75

27 4. De eplde itegrl (deel ) I dit deel v de theorie, mke we de stp v de Riem-sommtie r de eplde itegrl. We zoude dit klkkeloos kue meedele, iets dt i os wiskudeoek toch vk geeurd, mr hier poog ik iets meer egrip te creere voor de chterliggede gedchte.. Zoder ewijs is de som v de eerste gehele getlle, kwdrte e derde mchte: i. ii. k iii. k ( ) k k k k ( )( 6 ( ) De formule ii vertelt os de som v de eerste kwdrte e de formule iii de som v de eerste derde-mchte. Deze hee we l eve odig! De verdieste v Riem zij dt hij deze wiskude heeft uitgeouwd e otdekte dt ls me de limiet m v dergelijke somme, me steeds dezelfde oppervlkte vod, ogecht of je ij de rechthoekjes u de likerkt, het midde, dwel de rechterkt ls hoogte kiest. Zowr ee opzierede uitkomst! Voorwrde (kemerked voor het limiet-deke) is dt me zich de reedte v de rechthoekjes zo klei mogelijk (dered r ) voorstelt. De formele defiities he ik u weggelte mr i essetie zegt me: Als de 'reedte' v het rechthoekje P (de orm gehete) kleier is d ee zekere, d is het verschil v deze gevode som v l die rechthoeke met de echte oppervlkte I kleier d ee zekere e (epsilo). I vkjrgo: P f ( c) I k Weer ders gesteld: Als je de reedte v die rechthoekjes gewoo hééél klei eemt, zl de fwijkig v wt je op deze mier uitreket ij iks fwijke v de echte wrde... We oeme I de eplde itegrl v f over het trject [,] e zegge dt f itegreerr is over [,] e zegge dt de Riemitegrl covergeert r ee vste wrde I. Nottie: lim f ( c) f ( ) P k Dus i gewoo Nederlds: De som v de oppervlkte oder ee curve op ee vst e zeker trject [,] k me zie ls de eplde (vwege het vste trject) itegrl over [,] f(). Weéér ders: Als je dus ee oppervlkte oder ee curve wil wete, k je de Riem-som geruike, mr ook de zogemde 'eplde itegrl'. 76

28 Vooreeld I Me eplt de fgelegde weg vuit de selheidsfuctie v(t) = 6-9,8t Welke weg is fgelegd v t= tot t=? Er zij u drie miere v pk mogelijk: I Het is meetkudig ee trpezium, dus losse we het u meetkudig op. Opp,5( )( f ( ) f ( )),5( )((6 9,8() 6 9,8()) (6 9,8() 6 9,8() 8,8 m. II III We geruike de Riemsom Breedte strookjes:, strtput,, eidput,9, dus: sum( seq((6 9,8 ),, X,,,,9,,) Oplossig: 8,8m. We geruike de eplde itegrl e psse de methode toe: F() - F(). Die legge we hier geheel uit! Opp (6 9,8 t) dt 6t 4,9t C (6() 4,9() 6* 4,9() C C m Het is klip e klr duidelijk dt de meetkudige oplossig vk iet zl lukke; zo mooi zij de curves dikwijls iet. Ook k je wel egrijpe dt zelfs methode é het vk lte fwete, omdt er gee formule eked is die ee eplde curve eschrijft. me mkt d óf ee model dt redelijk goed pst, of me vervlt tot umerieke ederigsmethode. Vooreeld II Zoek de oppervlkte oder de curve f() = op het trject [,]. Oplossig: () We oeme o =, e = () We eme steeds de rechtergres ls fuctiewrde voor de zijkt v ee rechthoek. (reket mkkelijker) 77

29 () Noem c =, c =, c =, c = ez (4) De fuctie ws: f() = dus de eerste oppervlkte is: f(c) = f() = () = () = () (5) De tweede oppervlkte is: f(c) = f() = () = () (6) De -de oppervlkte is d: f(c) = f() = () = () (7) De som v deze oppervlkte is d: S f ( c ) k ( ) k k k ( ) k ( )( ). omdt = met ls legte tl rechth. 6 ( )( ). 6 ( ) We kome d tot de slotsom dt de oppervlkte S te schrijve is ls: S. 6 Geruik mked v de defiitie v de eplde itegrl: f ( ) lim f ( c ) P k 78

30 vide ls oppervlkte oder de curve: lims lim. 6. lim 6.( ) 6 Agezie we egoe met het trject ij =, e eidigde ij =, vlt u op dt me voor de oppervlkte k eme te eerste de primitieve e wel op het put. Oppervlk oder y= loped v = tot = is dus (/) Als je deze hele procedure herhlt voor de oppervlkte oder deze curve v = tot ee zekere =, d krijg je uiterrd de uitkomst: (/) Dit eteket dt ls me de oppervlkte wil hee oder ee curve f()= loped v = tot =, me k volst door de primitieve F() te vermidere met F(). Immers ws de primitieve v de fuctie (/). f ( ) lim S F( ) F( ) Dus dit eteket i de prktijk dt de oppervlkte sel wordt gevode door:. itegrtie. formule opstelle F() e F() e. v elkr ftrekke. F() - F(). Ook i dit verhl, wr we proere het e.e.. wt meer te toe, ediee we os teslotte iet v deze limiet-defiities e sommtieregels voor oppervlkte. Het is wel dkzij Riem dt we kue eschikke over de ee tl veelgeruikte itegrtieregels. Merk op dt de itegrtiecostte ij deze eplde itegrle iet v elg is: me vidt de oppervlkte door F() + C -(F() + C) dus F() - F(). te doe. De Costte vlle tege elkr weg. Uit dit vooreeld lijkt vrij duidelijk dt de eplde itegrl v r, mkkelijk k worde gevode door de primitieve fuctie F te eple voor F(). Immers lijkt Oppervlkte = F() -. Als ook zo de oppervlkte voor r k worde gevode (F() - ) d k me emelijk mke dt de oppervlkte v r dus te vide is door: 79

31 F() - F() uit te rekee. 8

32 OEFENSTOF. Bereke de wrde v deze eplde itegrle: 4 ). 5 ). c). d) si( ). Bepl de oppervlkte dt is igeslote door: ) de -s, de lij =4 e f ( ) ( ) ) de y-s, de -s, de lij = e f ( ) cos( ) c) de y-s, de -s, de lij = e f( ) d) de y-s, de -s, de lij = e f ( ). Geruik de GRM om de volgede fucties te plotte. Zoek ij elk v he uit wt de gevrgde oppervlkte is oder de curve op het gegeve trject. 5 ) f ( ) 5, Bepl f ( ) 4 4 ) f ( ), Bepl f ( ), f ( ), f ( ) / c) f ( ) si( ), Bepl f ( ) d) f ( ) l( ), Bepl f ( ) 4. Gegeve de prool: y = Bepl f ( ). Wt gt er mis? 5. Dit wetede.. og ees.. 4 ) ( ), Bepl ( ) f f 4 ) ( ), Bepl ( ) f f ) ( ), Bepl ( ) c f f 8

33 Itegrl regels. ) f ( ). ) f ( ). - f ( ). ) k. f ( ). k. f ( ). 4) f ( ). g( ). ( f ( ) g( )). 5) f ( ). g( ). ( f ( ) g( )). c 6) f ( ). f ( ). f ( ). c 4. Gemiddelde fuctiewrde. Me k de gemiddelde fuctie wrde v ee curve uitrekee door i gedchte de oppervlkte ode de curve te verdele i eideloos veel strookjes met reedte e de volgede gemiddelde te eple: f ( c ) f ( c) f ( c)... f ( c) gemwrde f ( ck ) k f( c ) k k f( c ) f ( c ) De epressie f ( c ) geldt ls Riemsom Nu geldt ook: k k k k v(f) = f ( ck ) f ( ) k k Ee wiskudig theorem zegt ook dt er op het trject [,] ltijd ee f(c) zl zij die ect gelijk is de gevode gemiddelde wrde v(f). k 8

34 Ee eis is wel dt we prte over cotiue fucties. Met deze keis is het mogelijk vst te stelle wt de gemiddelde wrde is v ee fuctie verloop e drmee geldt ook de volgede stellig: f(c) ( - ) = f ( ) Bereke voor de oderstde fucties voor welke hu gemiddelde fuctiewrde gelijk is die f(c). ) f ( ), op itervl [, ] ) f ( ), op itervl [,] c) f ( ) si( ), op itervl [, ] d) f ( ) 4, op itervl [, ] 8

35 4. Beplde itegrle e de totle oppervlkte. Idie me de oppervlkte ereket v het vlk oder de curve v cos() tusse de greze e /, mv de volgede itegrl, vide we: / / cos( ) [si( ) C] si( / ) si( / ) () / / Merk op dt doordt we ee vlk oder de -s eple, we ee egtieve oppervlkte krijge. Geometrisch is metee duidelijk dt dt ls moet worde geleze. Toch schuilt hieri ee gevr. Bereke de oppervlkte oder de curve cos() v tot. cos( ) [si( ) C] si( ) si() () Toch is die oppervlkte ook. Door het 'tege elkr wegvlle' v positieve e egtieve oppervlkke, otst rre twoorde. Me diet dus te itegrere tot de ulpute: / cos( ) cos( ) cos( ) / [si( ) C] si( / ) si() / [si( ) C] si( ) si( / ) / OEFENING Bereke de volgede eplde itegrle; los eerst de ulpute op:,5 4 ) ( 4) ) ( ) 4 c) ( ) d) ( 6 8) 4 e) ( ) f ) -4 7 u g) dv h) 4 v v du 5,5 u i) ( ) j) ( ) t k) ( ) dt - t 8 84

36 4. Lstigere eplde itegrle De techiek is die v hierove, de itegrtietechiek v eerdere prgrfe. ez. Bereke ect: ) ) c) d) e) f ) 6 6, g) Gegeve de fuctie f()= ( i) Bereke de opp v het vlkdeel dt wordt igeslote door f, de -s e de lij =. (ii) Het vlkdeel W wordt igeslote door f, de -s e de lij =p met p>, zodig dt Oppervlkte(W)=. Bereke p. h) Bereke ect i) Bereke ect i) Bereke ect

37 4.4 Oppervlkte tusse twee fucties. Gegeve de fucties y = e de lij y = +. Me teket deze i éé grfiek. Nu wille we de oppervlkte wete die tusse de grfieke i ligt. Me eige vereeldig k me zich ideke dt die gevode k worde door de oppervlkte oder de lij te vermidere met die oder de prool. Uiterrd moete we rekeig houde met de sijpute ls itegrtiegreze. Uitgewerkt: Opp l( ) f ( ) ( ),5 () ( ),5() () {,5( ) ( ) 8 4 {,5 }. (,666) 4,5 Belgrijke opmerkige.. Me moet goed zie welke fuctie me v welke ftrekt.. Me itegreert het verschil v de fucties.. Me itegreert v sijput r sijput, ook rekeig houded met evetuele tusseliggede ulpute. Het is du goed mogelijk dt me het trject - i meer d stukke moet hkke om de juiste oppervlkte te vide. OEFENEN ) f ( ), e g( ) -s e y-s f g ) ( ) cos ( ), e ( ) -s c f g 4 ) ( ), e ( ) -s e y-s d) f ( ), e g( ) 4 -s e y-s 86

38 4.5 Oppervlkte tusse twee fucties, Itegrtie r y toe. Soms is het hdig, soms zelfs oodzkelijk om te itegrere r y toe i plts v r toe. Me diet d de fucties om te zette ls ee fuctie v y r i r y. Vooreeld: Vrg: Vid de oppervlkte tusse de wortelfuctie de rechte lij e de -s!! f() = e g() = - ; Zie opgve hiervoor voor het twoord. Als we deze fuctie zoude schrijve ls ee fuctie r y: f(y)= = y e g(y) = = y + ; De oppervlkte die tusse de fucties e de - e y-s ligt:. Het v toepssig zijde sijput : y = y + -> =4,y=.. Stel itegrl r y op: Opp ( y y ) dy [,5y y y ] 8 4 Wrom ko dt iet op de 'ormle' mier?. Het woord is te zie i de ovestde grfiek. Me k est het stuk ove de -s uitrekee door oppervlkte oder de wortelfuctie te vermidere met die oder de rechte lij. Immers is het stuk odr de lij ee driehoek met ee ij fleesre oppervlkte. Vooreeld Neem de fuctie y = 8l() e y = 4(); Vidt de geslote oppervlkte tusse de eide grfieke e de -s. (zie grfiek) 87

39 Omzette r fuctie v y e d verschil v de fucties itegrere: y y /8 y 8l( ) l( ) e 8 y y y Sijput : (.4,5.7) umeriek epld. 5.7 y /8 y Opp ( e ) dy 6 y /8 5.7 [8 e y ] OEFENINGEN. Zoek de hdigste mier om de oppervlkte te eple: ) f() =, g( ).5, lij y y ) y=, c) f() =, g( ) 4, -s. Het vlkdeel V wordt igeslote door de grfiek v f() = e de lij y = 6 - e de y-s. ) Bereke ect de oppervlkte v V. ) De lij =p verdeelt V i twee gelijke dele met gelijke oppervlkte. Bereke p i twee decimle. Gegeve de fuctie: f( ). Het vlkdeel V wordt igeslote door de grfiek v f e de lij y=-,5 ) Bereke de oppervlkte v V. ) De oppervlkte v vlkdeel W, igeslote door f, lij y=+ e de lije = e =p met p>, is totl gelijk. Wt is de wrde v p Het vlkdeel V wordt igeslote door de grfiek v f( ), de -s de y-s e de lije =8 e y=8 Lij = verdeelt vlk V i twee stukke i de verhoudig : (likerdeel is groter d rechterdeel). Bereke lgerisch de wrde v Gegeve de fucties: f ( ) e g( ) 4 g de -e y-s e de lij =. ) Bereke oppervlkte V. Vlk V wordt egrest door f, 88

40 4.6 Ihoudserekeige: Omwetelige I dit hoofdstuk kijke we r de ihoudseplig v lichme. De ihoud v deze lichme kue op verschillede miere worde ereked. Zodr het gt om mooie geometriche lichme, zij er stdrd formules voor hde zols voor cylider, kegel, etc... Zodr de lichme ee grilliger vorm krijge zulle we de itegrlrekeig moete geruike om deze ihoude og te erekee. Voorwrde is wel dt de fucties cotiue zij op het te itegrere itervl, de uitwedige vorm ee fuctie is hetzij v, hetzij v y. Ee simpel vooreeld. Me ereket de ihoud v ee cylider die op zij kt ligt: Feitelijk ee soort uis die de -s cetrl ls s heeft. De uis is 4 cm reed, 5 cm lg. De -s i deze impressie komt 'r je toe' e de y-s gt omhoog. De figuur k me zich voorstelle ls ee vlk egrest door de lij y=, de -s e de lij =5: die me rod wetelt rod die -s. Door het rodwetele otst ee lichm dt dezelfde ihoud heeft ls i figuur. De ihoud zou me mkkelijk kue vide met hr = 5 =. Als we itegrlrekeig geruike, stelt me zich voor dt de ihoud is opgeouwd uit cirkelvormige plkjes die 'oeidig' du zij e hu volume sme zl eveees die v de cylider zij: Ihoud = r f ( ) ( ( )) () 4 Zou de lij y= schuier lope, zols y =,+, d otstt ee kegel zoder top ls omweteligslichm (zols dt heet). 5 ) G dt de ihoud hierv is: 5 5,4 (, ) (, 4, ),, 667 ) Cotroleer dt met je meetkudekeis v kegels. 89

41 Feitelijk is ee omweteligslichm te vide door ls strl de fuctiewrde te kieze op elke i dt itervl. De itegrl estt eigelijk uit vele cirkelvormige plkjes die tesme het omweteligslichm mke. Ihoud omweteligslichm: f ( ) (,5 ) g( ) (,7 ) Omwetele : p I ( f ( )) ( g( )) Vooreeld Bewijs dt de ihoud v elke kegel, met hoogte e grodstrl r gevode k worde door de formule Gh/ te geruike. De eschrijvede is te zie ls y =. (>) Bewijs: () Hoogte h loopt lgs de -s. Strl r = h => = r/h () Klopt. h h h h ( r) ( f ( )) ( ) h r h h h r h Vooreeld Welk ihoud heeft het lichm dt otstt ls me de wortelfuctie y = roteert om de - s. Me eme het trject v tot 4. Atwoord: 4 4 ( ) =.5 8 Vooreeld Zelfde vrg, mr u wil me het vlk tusse de fuctie e de lij y= lte rotere Er otstt u ee soort hol voorwerp met ee gt eri. (G!) Vidt opieuw de ihoud.. Vergeet iet dt de lij y= de wortelfuctie sijdt i (,) dus het itegrtie-itervl wordt [,4] ipv [,4]. Atwoord: 4 Ihoud ( ) () 4 ( ) [,5 ] 4 OEFENSTOF 4. Bereke de ihoud v de curve y = () die me lt rotere om de -s, op het trject [,4]. Bereke de ihoud v het omweteligslichm (6- ) op het trject [,4] om de -s. Welke vorm otstt? 9

42 . Bewijs dt de ihoud v ee ol met formule: overeekomt met 4 r y r tusse greze -r e r, door middel v omwetelig rod de -s. 4. Bereke de ihoud die otstt ls me () lt wetele om de lij y=. Neem het trject [,4]. Teke de situtie Psop! Nu wordt de itegrl ( ) 4. Me heeft de fuctie y = /. Me wil het vertikle deel v de fuctie wetele om de y-s!! Dus de fuctie wordt = /y e de itegrl: 4 ( ) y Mk de erekeig verder f. 5. Me roteert de prool =y om de lij =. op trject [,] De itegrl wordt dus: ( y ) dy Mk de erekeig verder f. 6. Bereke de ihoud v het olsegmet B dt wordt eslote door vlk V te wetele om de -s. V ligt tusse de ol e rechts v de lij. Formule v de ol: y r 7. Wr moet me ee (kogelrode) ol sijde om 7 ihoude te krijge die ect eve groot zij. Me mg llee de ol vertikl i plkke sijde. Neem de formule: y r, met r =.(Ntiole Weteschpsquiz) 8. Het vlkdeel V wordt igeslote door de lij y=,5, de -s, e de lije =8 e =p. Me kiest p : <p<8. Door V te wetele om d e-s otstt ee fgekotte kegel. Voor welke wrde v p is dies ihoud gelijk 78? 9. Bereke het volume dt wordt epld door het rodwetele v het vlk rod de y-s dt zit tusse de y-s, de fuctie, e de lije y= e y=4. Teke eerst y de situtie!. Me roteert ee vlk dt wordt epld door de prool: =y +. Rottie-s is de lij =. Het edoelde vlk loopt v = tot =. Je mkt u geruik v ( ) ( ) I y dy Leg uit e voer uit. 9

43 4.7 Ihoudserekeige: SLICING. Feitelijk dezelfde pk; llee er is gee sprke v rottie. Als me i ee lichm ee reltie k legge tusse de doorsede op eig put e de ijehorede -wrde, k me ook met de itegrl de ihoud eple. Neem de pyrmide met de put i de oorsprog. Zie figuur Als we eme dt ij =c geldt: legte grodvlk =reedte grodvlk =. D zl de oppervlkte A zij. Dus ij eige =h: A = (f(c)) D wordt de ihoud: h h h ( A) ( ) h Aloog Gh V elg is hier tuurlijk hoe schui je de lije kiest. Het idee hierchter is dt iet elke ihoud otstt door rodwetelig v vlkdele, mr opgeouwd is uit ee som v oppervlkte. Stel ee liggede prool voor i het y vlk. Op elke reedte stelt me ee gelijkzijdige driehoek op: Wt is de ihoud v het volume dt otstt ls me zo v = tot =4 de prool 'vult' met deze driehoeke? () De prool otstt uit =y, y () De legte v de grodlij v elke driehoek is dus () Elke gelijkzijdige driehoek met zijde heeft opp: A( ) 4 (4) 4 4 Alle oppervlkte sme zij d: d ( 4 ) 4 4 d 4 9

44 4.8 Ihoudserekeige: Omweteligsvlk tusse f() e g() Merk op dt er ee groot verschil is tusse: ( f ( ) g( )) e ( ( )) ( ( )) f g Allee de tweede geeft het juiste omweteligslichm om de -s. G dt!! De eerste geeft ee der resultt: l de omwetelig v ee fstd die het verschil is tusse f() e g(). Er otstt d ook gee 'hol' lichm.! Dus de tweede pk levert os het juiste omweteligslichm. Vooreeld: f ( ) (,5 ) g( ) (,7 ) Omwetele : p I ( f ( )) ( g( )) Bereke zelf de ihoud v deze odemloze loempot.. OEFENSTOF. Bereke de ihoud v het omweteligslichm tusse de fucties f()= e g() =, op trject [,4]. Idem voor f()=l() e de lij y= op trject [,]. Idem voor f() = e -,4 e de lij y= op trject [,sijput] 9

45 4.9 Booglegte Nu we veel meer wete v itegrle wordt het ook rdig om ees dere dige met itegrle uit te rekee. Zo k me de legte v ee kromme eveees eple met ee juiste itegrl. Ndeel is dt deze itegrle vk umeriek moete worde opgelost. Techiek: Uit dit simpele pltje lijkt dt de ooglegte over het kleie trjectje v ederd k worde door ( +y ). Pythgors dus. Vooreeld: Wt is de ooglegte v de fuctie y=f() op trject [,]? Oplossig: () Bederig v de ooglegte mv Pythgors: ( +y ). Dit klopt eter rmte me steeds kleier kiest. dus ooglegte g = ( +y ) () y y y Dus lle ooglegte sme: f '( ) Deze itegrle zij meestl llee umeriek oplosr. Je eplt dus eerst de fgeleide v deze fuctie. D los je de itegrl op. Vooreeld: Bereke de ooglegte v y=-/8 + op [-,] () dy/ = -/4 () g = (+(-,5 ))= (+/6 )= () Met GRM fit (f(),x,odergres,ovegres) = fit ((+/6 ),X,-,) =, 94

46 e Vooreeld: Bereke de ooglegte v de fuctie y = l() tusse = e =. Opl: y=l() geeft dy/ = /, dus Legte = ( ) 9,4 Me voert deze fuctie i op de GRM e eplt de itegrl met FIt OEFENSTOF. Bepl de ooglegte v de fuctie y=si() op trject [,]. Bepl de ooglegte v de fuctie y=,5 op trject [-,4]. Bepl de ooglegte v de fuctie y=(6- ) op trject [-4,4] Cotrole: het moet ee hlve cirkel zij! 4. Bepl de ooglegte v de fuctie y=+ op trject [,6] 4. Oppervlkte v lichme. Net zols de ooglegte mkkelijk te vide is, k me ook g wt de oppervlkte is v ee lichm. Me deke zich i dt ee lichm is 'gesede' i ee tl plkke met dikte. De legte v de wd: is de fuctie f() e k worde ederd ls ooglegte. Feitelijk is dt de 'hoogte 'v de plk. Me vidt de wd v deze plk ls rh dus ls Riemsom: De Riemsom v l deze plkjes wordt: f ( k) ( f '( k)) ofwel ls limiet: k Oppervlk f ( k) ( f '( k)) Leze ls: Alle plkjes met cirkelomtrek: f()ooglegte: e hoogte=f() (=f()) e dikte ooglegte. Odks dt de wd v zo' plk iet mooi recht lijkt te zij, vlt dit ezwr weg door met ee zeer kleie te werke wrdoor je eigelijk ee plk v ee rechte uis lijkt uit te rekee. 95

47 OEFENSTOF. Bereke de oppervlkte v de vorm die otstt ls me y=,5 omwetelt op trject [,4]. Bereke de oppervlkte v de vorm die otstt ls me y=si() omwetelt op trject [,] 96

48 4. Zwrteput. Het is mogelijk om met ehulp v itegrle het zwrteput v pltte vorme ect te eple. Ook v ruimtelichme k het zwrteput worde epld. Voor het eple v het zwrteput he je twe ederige odig. I I het zwrteput deke me zich i dt lle mss zich cocetreert i dt ee put. I de figuur lijkt dt Z te zij. II Het krchtmomet M is het product v Xz e Oppervlkte V. Immers dekt me zich de gehele oppervlkte v vlk V gecocetreerd i Z. Dit levert de volgede epressie op: M O( v) f ( ) z z Me k de gehele oppervlkte ook verdele i stroke met ee reedte e hoogte f(). Elke strook heeft zij eige Momet: M = f(). De som v l die stroke levert ee Riem-chtige epressie op, die idie me de strookreedte lt dere tot, overgt i deze itegrl: M f ( ) Als me eide epressie elkr gelijk stelt, vid me voor Xz: f ( ) f ( ) z z f ( ) f ( ) Uit deze etrekkig vid me de -coordit v het zwrteput. Op dezelfde wijze k me de y-coordit v het zwrteput vide. Dit ltste is mider werk; de oppervlkte v vlk V heeft me l l. Dus eerst rolverwisselig e y, e d: y dy dy y z z dy dy Vooreeld Bepl zwrteput v het vlk ove de curve y= e de lij y=4. Oppervlkte = (4 ) Nu deze itegrl: 8 97

49 f ( ) (4 ) (4 ) Drmee wordt de -coordit v het zwrteput: 4 Xz 5 4 Op vergelijkre wijze vide we voor de y-coordit: y y dus tusse e ,5,5 :,8,5 Dus y dy y y dy y dy y,8 De oppervlkte ws: 5, dus Yz=,4 5, De coordite v dit zwrteput zij dus u (,75,4) Bij omweteligslichme gt de werkwijze op loge mier. Me dekt zich i dt het gehele volume gecocetreerd is op éé put. Hier geldt ee loge pk: ( f ( )) ( f ( )) z ( f ( )) y ( f ( )) y z e voor de y coordit y y ( f ( y)) dy y dy ( f ( y)) dy dy z Opgve:. Bepl het zwrteput v het omweteligslichm v het vlkdeel igeslote door de fuctie y 4 e de - e y-s.. Mk opgve p 48, 49 uit Getl e Ruimte deel VWO B4 98

50 4.. Areid. Teslotte ee stukje uit de tuurkude. Areid W is te zie ls ee krcht F die i de richtig v de verpltsig s werkt. W = Fs. W i Joule, F i Newto, s i m. Als me werkt met cotstte krchte, d is deze formule mkkelijk ruikr. Zodr de iwerkede krcht fhkelijk is v dere fctore, zols de fstd v elkr trekkede lichme, wordt de zk ders. Krcht F werkt over ee weglegte s. F() Me verdeelt het te doorlope trject i fije deelstppe e mkt de som v wisselede krchte F; Zo ostt de Areid ls itegrl v Krchtesom fhkelijk v de plts. F( ) Ee lichm wordt getrokke door ee mgeet; De fstd is cm. Voor de krcht i die situtie geldt: F ( ) (,5) F( ). (,5) Numeriek edert levert dit, Joule. 99

51 4. Meervoudige itegrle.