Eindige Eementen Methode Opgaven bij de crss Gebrik in de ineair eastische vaste stof mechanica ; Crss -, rimester. ir. J.H.P. de Vree echnische Universiteit Eindhoven Facteit Werktigbowknde Materias echnoogy
Inhod Opgaven Antwoorden van de even opgaven. Uitwerkingen van de oneven opgaven Opdrachten met het programmapakket MARC Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM
Opgaven De antwoorden staan achterin. Opgave. Gegeven de vakke staafconstrctie bestaande it de staven,, en tssen de knooppnten,, en zoas in onderstaande figr weergegeven. De afmetingen staan in de figr aangegeven. Ae staven hebben een oppervak van de dwarsdoorsnede A en zijn van een materiaa met easticiteitsmods E. De knooppnten en zijn scharnierend met de vaste wered verbonden. In knooppnt is horizontaa een kracht F naar inks en vertikaa een verpaatsing v omhoog voorgeschreven. In knooppnt is een kracht F voorgeschreven onder een hoek π/ met de horizontaa omhoog (zie figr). De verpaatsingen worden kein verondersted ten opzichte van. F v F De okatiematrix met de gobae knooppntnmmers Eement nmmer Eement knoop-pnt nmmer Eement knoop-pntnmmer a. Bepaa de stijfheidsmatrices K t/m K van de staven t/m behorend bij de eementverpaatsingskoommen zoas in het diktaat gedefinieerd. b Bepaa de totae stijfheidsmatrix a K van de constrctie behorend bij de totae verpaatsingskoom en krachtenkoom f gedefinieerd vogens bz. - van het diktaat. c. Schrijf het reevante stese vergeijkingen voor het bepaen van de onbekende verpaatsingen op. d. Drk de onbekende verpaatsingen van de constrctie it in F, v, E, A en. e. Drk de onbekende reactiekrachten it in F, ν, E, Aen. Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM
Opgave. Gegeven een vakwerk met staven beast met kracht F zoas in onderstaande tekening weergegeven. v A,E F,5 a. Bereken met de kassieke methode van het eerste jaar de horizontae en vertikae verpaatsingen en v van het koppepnt van de staven. b. Bereken de totae stijfheidsmatrix van dit vakwerk en reken en v it met behp van de eindige eementen methode. Bepaa van ieder eement de stijfheidsmatrix. Assembeer de stijfheidsmatrices. Ste het op te ossen stese vergeijkingen op. Verdisconteer de dynamische en kinematische randvoorwaarden. Los het stese op Opgave. Gegeven de onderstaande -D bakconstrctie die in A ingekemd is en bij B scharnierend met de vaste wered verbonden is. De twee baken AB (oppervakte van de dwarsdoorsnede A, engte, bigstijfheid EI, ) en BC (oppervakte van de dwarsdoorsnede A, engte / en stijfheid EI) zijn in B aan ekaar geast. In C werkt een horizontae kracht F van N. F N y C EI,/,A A EI,,A B x 5 Neem as data: A m, m, E GPa, I m a. Bepaa de horizontae verpaatsing van pnt C met de vergeetmijnietjes. b. As we de constrctie in twee eementen AB en BC verdeen, hoe iden dan de stijfheidsmatrices van de eementen AB en CD in het gobae xy assenstese? Gebrik hierbij de normae definities van krachten en verpaatsingen zoas die in het diktaat zijn beschreven. Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM
Hint: Bepaa eerst de stijfheidsmatrices in een okae assenstese met de okae x -as angs AB respektieveijk BC en bepaa vervogens van CD de stijfheidsmatrix in het gobae x-y assenstese. c. Bepaa de totae stijfheidsmatrix van de constrctie. d. Bepaa het reevante op te ossen stese voor de bepaing van de onbekende verpaatsingen. e. Bepaa de totae koom met verpaatsingen. f. Bepaa de reactiekrachten via vermenigvdiging van de stijfheidsmatrix met de verpaatsingskoom en controeer of aan evenwicht is vodaan. Opgave. Onderstaande aan weerszijden ingekemde vakke bakconstrctie ABC bestaat it twee aan ekaar geaste baken met engte m en vierkante dwarsdoorsnede b b met b, m (inker figr). De constrctie wordt beast met een vertikae kracht van F8 N. Vanwege de symmetrie behoeven we aeen bak AB te modeeren. De easticiteitsmods van het materiaa is E N/m. F B F B A 5 5 C A C a. Bepaa de stijfheidsmatrix van bak AB. b. Bepaa de vertikae verpaatsing van pnt B t.g.v. de vertikae kracht ter paatse. c. Bepaa de vertikae verpaatsing ook as we AB as een staafconstrctie modeeren. (zie rechter figr) en bepaa de procentee afwijking. d. Hoe groot wordt die procentee afwijking as de bakengte twee maa zo groot is. Opgave 5. Beschow een infinitesimaa kein kbsje in een cartesisch assenstese xyz assenstese met ribben evenwijdig aan de coördinaatassen en initiëe afmetingen dx, d y en dz en vome dv. Onder invoed van een azijdige drk p treedt eastische deformatie op( easticiteitsmods E en constante van Poisson ν ) en worden de afmetingen dx, d y en dz en het vome dv. Laat zien dat de vomerek, gedefinieerd as d V d V, bij keine rekken benaderd kan worden dv door p ν6. E Opgave 6. Bij ineair eastisch materiaagedrag idt het constittieve verband tssen de spanningen en de rekken vogens de wet van Hooke: σ D ε met definities: σ σ xx σ yy σ zz τ xy τ yz τ zx ε ε xx ε yy ε zz γ xy γ yz γ zx en Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 5
D 6 ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν6 ν ν E ν6 + ν6 ν6 6 Bij vakspanningsprobemen, met spanningen op een vakje met bitennormaa in de z-richting geijk aan n, wordt evenwe gewerkt met andere koommen met spanningen en rekken: σ σ xx σ yy τ xy en ε εxx ε yy γ xy a. Bewijs dat bij vakspanning gedt: ε νν ε ν ν ε zz xx yy b. Hoe ziet de matrix D er bij vakspanning it, as ook dan gedt :σ D ε? Opgave 7. We beschowen een constrctie waarin een zodanige vakvervormingstoestand heerst, dat gedt: ε zz γ yz γ zx. De koommen met reevante spanningen en rekken σ en ε zijn: σ σ xx σ yy τ xy en ε εxx ε yy γ xy Leid voor eastisch materiaagedrag (easticiteitsmods E en constante van Poisson ν ) de matrix D bij vakvervorming af, as gedt: σ D ε? Opgave 8. In een rotatiesymmetrisch beaste rotatiesymmetrische paat gedt bij benadering de vakspanningstoestand (in een rechtsdraaiend orthogonaa r, θ, z assenstese met radiae coördinaat r en axiae coördinaat z) d.w.z.: σ σ σ σ τ τ τ σ σ rr θθ zz rθ θz zr rr θθ en ε ε ε ε γ γ γ ε ε ε rr θθ zz rθ θz zr rr θθ zz a. Verkaar de nen. Voor rotatiesymmetrische vakspanning met rotatiesymmetrische beasting zen we voor de eenvod de vogende definities voor koommen met rekken en spanningen hanteren: σ σ rr σ θθ en ε ε rr ε θθ Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 6
We wien het verband tssen σ en ε gaan afeiden. b. Bepaa σ rr en σ θθ itgedrkt in ε rr en ε θθ. c. Bepaa ook ε zz itgedrkt in σ rr en σ θθ en itgedrkt in ε rr en ε θθ d. Hoe ziet de * matrix D er it die het verband aangeeft tssen σ σ D ε? en ε vogens: b e. As verder gegeven is: de radiae verpaatsing ar+ met a en b constanten, bepaa dan r de koom met rekken ε as fnctie van r. f. Bepaa de koom met spanningen σ as fnctie van r. Opgave 9. Beschow een rotatiesymmetrisch beaste cirkevormige dnne schijf met centraa gat, binnenstraa R i, bitenstraa R, dikte t6, r easticiteitsmods E, dwarscontractiecoëfficiënt ν, in een orthogonaa ciindrisch r, ϕ, z assenstese en veronderste een vakspanningstoestand. Hierin is de r richting de radiae richting en de z-richting oodrecht op het vak. De radiae verpaatsing van een pnt op straa r noemen we. a. Bepaa de koom ε ε ε rr θθ met reevante rekken in de radiae en de tangentiëe richting as fnctie van r en. b. Bepaa de koom met reevante spanningen σ σ σ rr θθ as fnctie van r en. c. Bepaa de evenwichtsvergeijking in de radiae richting itgedrkt in de componenten van σ door beschowing van het evenwicht van een segmentje d ϕ, d r it de paat. Verifieer dat die van de vogende vorm is: 6 6 d tσrr σrr σ + θθ t dr r Verifieer dat as t constant is deze differentiaavergeijking in onderstaande differentiaavergeijking in de radiae verpaatsing kan worden omgezet: d d + dr r dr r Dit is een zogenaamde differentiaavergeijking van Eer die opgeost wordt door te proberen Cr n. De exacte opossing voor de verpaatsing is dan van de vorm C C Cr + en ds gedt voor de spanningen σ rr C + r r en σ θθ C C r d. Drk Cen C it in Cen C. e. Bepaa de exacte opossing voor, σ rr en σ θθ in het geva: Ri R en R R met een onbeaste bitenrand en een gegeven verpaatsing a van de binnenrand in positieve radiae richting. Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 7
Opgave. Voor een drie-dimensionae configratie is in een Cartesisch coördinatensysteem gegeven het verpaatsingsved: x v + 8 xy w z xy 8 Bepaa de rekkoom ε en bij eastisch gedrag, de spanningkoom σ in pnt x x y z. Opgave. De middenijn AB van een staaf, met A in de oorsprong van een cartesisch xyz coördinatensysteem, igt initiee op de x-as en roteert in het xy vak over een grote hoek ϕ om pnt A. Er is geen rotatie om de as AB. We beschowen n een wiekerig pnt P van de staaf op de x-as met coördinaten x,,. y ϕ A P B x a. Drk de de verpaatsing van pnt P x,, x 6 it in ϕ en x. b. Bepaa de rek ε xx in P van de staaf met de reatie ε xx. x c. Vindt het niet vreemd dat deze rek niet geijk aan is? Weke concsie knt hieraan verbinden? Opgave. De cartesische componenten van de spanning in een eastisch ichaam zijn gegeven: σ y+ z ; σ x+ z; σ x+ y xx yy zz τ xy z ; τ yz y ; τ zx x Bepaa de koom met vomekrachten q. Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 8
Opgave. Bij bak biging in het xy-vak van een carthesisch coördinatenstese met de afspraken gemaakt voor de knooppntsverpaatsingen vogens: y v v x z ϕ z en voor de knooppntskrachten vogens: ϕ z y V V x z M z M z kan voor de stijfheidsmatrix worden afgeeid: K EI z 6EI z EI z 6EI z 6EI z EI z 6EI z EI z EI 6EI EI 6EI 6EI z EI z 6EI z EI z z z z z Daarbij gedt K f met v ϕ v ϕ en f V M V M z z z z. a. Bepaa f bij een wiekerige verpaatsing as star ichaam. b. Hoe kan je aan deze stijfheidsmatrix zien dat aan evenwicht van de knooppntskrachten vodaan is? c. Laat in het geva van een aan de inkerzijde ingekemde bak met M z dat voor de eastische energie gedt: Eeast K en V F zien Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 9
Opgave. Bij biging om de okae y-as knnen we een koom met knooppntsverpaatsingen en een koom met knooppntskrachten definiëren met: w ϕ w ϕ y y y z x w w ϕ y ϕ y en f W M W M y y z y x W W M y M y Hierin zijn w en w respectieveijk W en W de knooppntsverpaatsingen en de knooppntskrachten in de z-richting, en zijn ϕ y en ϕ y respectieveijk M y en M y hoekverdraaiingen en bigende momenten om de y-as in de knooppnten en. Vokomen anaoog aan het geva met biging om de z-as vinden we n weer: K f Leidt met de vergeetmijnietjes af dat gedt: K EI 6EI EI 6EI 6EI y EI y 6EI y EI y EI y 6EI y EI y 6EI y 6EI y EI y 6EI y EI y y y y y Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM
Opgave. 5. Gegeven een trekstaaf met engte zoas in onderstaande figr weergegeven. Aan de rechterzijde op x werkt een homogene constante trekspanning σ xx σ en daar gedt ook τ τ. Aan de inkerzijde bij x gedt: xy xz 6 6, v,, z, w, y, y x σ σ xx Bepaa x, y, z6 vx, y, z6 wx, y, z6 voor de trekstaaf. Zo dat ook knnen as de trekstaaf bij x gehee ingekemd zo zijn? Opgave 6. Een tweeknoops staafeement met engte heeft as knooppntsverpaatsingen. x We voeren een dimensieoze okae parameter ξ in met ξ ; ξ. We wien het verpaatsingsved binnen het eement schrijven as 6 ξ N6 ξ N 6 ξ N 6 ξ. a. Bepaa N 6 ξ en N 6 ξ. d dn b. Bepaa de rek it ε dx dx. c. Hoe idt de matrix B in dit geva. N Matrix B is hier gedefinieerd as: B d ten behoeve van ε B. dx d. Hoe groot is in dit geva de determinant van Jacobi J? Opgave 7. Een drieknoops staafeement met engte heeft as knooppntsverpaatsingen. x x We voeren een dimensieoze okae parameter ξ in met ξ ; ξ. x Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM
We wien het verpaatsingsved binnen het eement kwadratisch in ξ interpoeren via : 6 ξ N6 ξ N 6 ξ N 6 ξ N 6 ξ. 6 6 6 a. Bepaa N ξ, N ξ en N ξ d dn b. Bepaa de rek it ε dx dx. c. Hoe idt de matrix B in dit geva gedefinieerd as: B N d dx worden ε B. d. Hoe groot is in dit geva de determinant van Jacobi J? Opgave 8. Gegeven een bakeement zoas in onderstaande figr weergegeven. y waarmee geschreven kan ϕ z v v,ei x x We voeren een dimensieoze okae coördinaat ξ in met ξ ; ξ. De vertikae verpaatsing v as fnctie van ξ drkken we as vogt it met de knooppntsverpaatsingen as parameters : v ϕ z 6 6 6 6 6 v ϕ z 6 ξ 6 ξ 6 ξ 6 ξ as gegeven is dat v ξ v ξ N N ξ N ξ N ξ N ξ a. Bepaa N N N N 6 een derdegraads poynoom is. d v b. In de bakentheorie gedt bij een constante dwarsdoorsnede: EI qx dx 6 x een kracht per engte-eenheid in de y-richting. Wat impiceert het feit dat v6 ξ een derdegraads poynoom is, voor de aard van de verdeede beasting q( x) die met dit bakeement kan worden gemodeeerd.? v c. De rek wordt bij baken bepaad door de kromming κ z d dx Bepaa de matrix B6 ξ waarmee de rek gedefinieerd wordt m.b.v. de vergeijking κ z ξ B ξ 6 6 d. Weke spanningsgrootheid past bij deze rekgrootheid? ϕ z Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM
Opgave 9 (vervaen). Het bakeement it de vorige opgave wordt aan de inkerkant bij ξ ingekemd en heeft een constante verdeede beasting in de positieve y-richting q. a. Weke vervangende knooppntskrachten aan de rechterkant bij ξ everen aan die kant dezefde verpaatsingen as die t.g.v. de verdeede beasting? Kopt de hoekverdaaiing bij ξ dan ook nog? b. Koppen de verpaatsingen en hoekverdraaiingen tssen de knooppnten ook? c. We verdeen een aan de inkerzijde ingekemde horizontae bak met engte en met een constante verdeede kracht per engte-eenheid q in de negatieve -richting, in eementen met geijke engte. We vervangen de verdeede beasting door knooppntsgrootheden. Hoe knnen we dat dan doen as we de knooppntsverpaatsingen jist wien berekenen? Opgave.Bij vakspanning wordt de verpaatsingskoom ξ, η v ξ, η as Nξ, η6 met (bij een vierknoops eement): N N N N N ξ, η N N N N 6 en v v v v 6 6 geschreven y v v (-,) η (,) v v v (-,-) (,-) ξ 6 voor ae? x Waarom gedt N ξ, η ξ Opgave. Voor -D probemen wordt de verpaatsingskoom met v geschreven as Nξ, η6 ( is de koom met vrijheidsgraden van het eement) met bij een vierknoops eement: N ξ, η6 N N N N N N N N en v v v v Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM
Waarom gedt ξ η6 voor ae ξ en η? N i, i v (-,) η (,) ξ (-,-) (,-) Opgave. Een horizontaa tweeknoops -D bakeement heeft derdegraads interpoatiefncties in de axiae coördinaat x voor de transversae verpaatsing v6. x De knooppnten iggen op x en x Voor de koom met knooppntsverpaatsingen (met verpaatsingen en hoekverdraaingen van de knooppnten) v v ϕ ϕ gedt : α met α <<. a. Schets de initiëe en verpaatste positie van de bak in één figr. Wat stet deze verpaatsing voor? b. Waarom is de kromming κ voor ae waarden van x? Opgave. Onderstaand rechthoekig eement heeft in het gobae x-y assenstese afmetingen zoas in de figr weergegeven.de isoparametrische coördinaten zijn ξ + en η +.en behoeve van de nmerieke integratie moet de determinant van Jacobi J detjξ, η6 bepaad worden. Hoe groot is J en weke dimensie heeft J? η y η - ξ,5 m ξ, m x - Opgave. Het onderstaande paraeogramvormige vierknoops eement heeft in het gobae xy-assenstese afmetingen zoas in de figr weergegeven. De isoparametrische coördinaten zijn ξ + en η +. Hoe groot is de determinant van de matrix van Jacobi J detjξ, η6 en weke dimensie heeft die? y η cm cm ξ x Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM
Opgave 5. Beschow weer de rotatiesymmetrisch beaste cirkevormige dnne schijf met centraa gat, binnenstraa R i, bitenstraa R, dikte t6, r easticiteitsmods E, dwarscontractiecoëfficiënt ν, in een orthogonaa ciindrisch r, ϕ, z assenstese it opgave 9. We hebben gezien dat gedt ε εrr ε θθ. De enige reevante verpaatsing is hier de radiae verpaatsing 6. r We verdeen de paat in axiaasymmetrische ringeementen (met dikte t ) met okae knooppnten en op r r respectieveijk r r. Deze eementen hebben een engte r r. Het radiae verpaatsingsved wordt gediscretiseerd met interpoatiefncties die ineair zijn in r r8 de coördinaat ξ met ξ. Er gedt dan ds N met de koom met knooppntsverpaatsingen a. Bepaa de matrix B waarmee we de rekken knnen schrijven as ε B σ rr b. Hoe iden de spanningen σ itgedrkt in Ben (zie opgave 9). σ θθ Opgave 6. Een -D vak vierknoops isoparametrisch eement met rechte randen heeft knopen,, en op pnten (-,), (,-), (,) en (,) in het x-y vak. a. Schets het eement en bepaa it de vergeijkingen voor de isoparametrische transformatie x y x x N Nx y x y de matrix van Jacobi en met behp hiervan de matrix B, waarmee we knnen schrijven B m.a.w. de rekken knnen itdrkken in de knooppntsverpaatsingen. ε ξ r r ξ ξ r r r r r r. Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 5
Opgave 7. Beschow een tweeknoops staafeement met engte dat angs de x-as igt tssen x en x. De easticiteitsmods is E en het oppervak van de dwarsdoorsnede Ax 6 is een ineaire fnctie van x met Ax 6 A en Ax 6 A. De axiae verpaatsing van de knooppnten en zijn en. Knooppnt is aan de vaste wered geknoopt en knooppnt is vrij. Op knooppnt werkt een axiae kracht F en op knooppnt werkt ds een reactiekracht R. x Er wordt en dimensieoze coördinaat ξ genomen waarvoor gedt ξ. We discretiseren het verpaatsingsved met 6 ξ N6 ξ met waarbij N ineaire fncties in ξ bevat. R x ξ ξ ξ De opossing van het probeem, de bepaing van de verpaatsing van het rechter iteinde en de grootte van de reactiekracht R is anaytisch spersimpe maar we bepaen n op een betrekkeijk ingewikkede manier een opossing in het kader van de e.e.m.. a. Hoe idt de itdrkking A6 ξ as fnctie van ξ? b. Hoe idt N6 ξ? c. We gaan it van de okae evenwichtsvergeijking d N (waarom is dat zo?) met N de dx normaakracht. I dn De gewogen afwijkingen formering hiervan idt: wx 6 x x w 6 d d x Hoe idt de zwakke formering hiervan en eidt af dat met discretisering van de weegfnctie vogens Gaerkin gedt: I 6 d N d dx EA x N dx d N R x N F N d. We definiëren de matrix B met B d en schrijven daarmee het gediscretiseerde stese dx evenwichtsvergeijkingen as: K f met K B EA6 R x Bd x en f F I We integreren nmeriek met integratiepnt op ξ. F Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 6
6. Leid dan af dat voor de stijfheidsmatrix gedt: K E A A + e. Leid it het stese K f af dat gedt: F E A + A 6 en R F. Opgave 8. Voor een rotatiesymmetrische cirkevormige dnne schijf met constante dikte kan de vogende okae evenwichtsvergeijking worden afgeeid (zie opgave 9): 6 6 d σ rr σ rr σ + θθ dr r a. Beschow een eement met binnenstraa r en bitenstraa r. Hoe idt de gewogen afwijkingen formering van deze aatste differentiaavergeijking voor dit eement? Neem hierbij as weegfnctie w6. ξ b. Om de orde van de afgeeiden van te veragen gebriken we partiëe integratie toe en verkrijgen daarmee de zogenaamde zwakke formering van het evenwicht. Hoe ziet die zwakke formering er in dit geva it? c. Laat zien dat we de zwakke formering n knnen schrijven as: I Ve K f met K B DBd V dv π rtd r en f πrtn σ rr7 r r De matrix B is hierbij iteraard gedefinieerd vogens het antwoord op opgave 5, de matrix D is gedefinieerd vogens het antwoord op opgave 8c. Opgave 9. In opgave 9 zochten we anaytisch een opossing voor een ronde paat met diameter 6R, dikte t en een centraa gat met een diameter van R, waarbij de radiae verpaatsing van de binnenrand a bedraagt. Deze opossing was: en σ rr 6 6 6 ν ar r 9R + ν a + + 8ν + 8ν r Ea 9EaR Ea 9EaR σ θθ + 8 ν R + 8 ; + ν r + 8 ν R + 8 ν r 6 6 6 6 We knnen ook een eindige eementen methode opossing genereren met behp van het restaat van opgave 8. We verdeen daartoe de paat in ring-eementen. Voor eement gedt R r R en voor eement gedt R r R. 5 We nemen: R, m; t, 5 m; a m; E Pa; ν ; Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 7
a. Bepaa de stijfheidsmatrices van eement en eement. Gebrik hierbij een nmeriek integratieschema met integratiepnt op ξ. b. Ste het geassembeerde stese a K a a f op. d. Bepaa de opossing van het stese (d.w.z. bepaa de koom met radiae knooppntsverpaatsingen, en bepaa daarmede de radiae en tangentiëe spanningen in de integratiepnten van eement en. e. Schets de anaytische opossing en de e.e.m. opossing in één figr. f. Hoe zo de spanningen in de knooppnten knnen berekenen? Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 8
Opgave. Schets de vogende fncties van ξ op het interva ξ en bereken de integraa f ξ dξ exact en met -pnts, -pnts en -pnts nmerieke integratie. Vergeijk de opossingen met de exacte opossingen en ever daarop commentaar. Ligging van de integratiepnten en de gewichtsfactoren bij Gass integratie Aanta pnten Locatie van ξ Gewicht 6 ±,577569896 -,775966698 +,775966698. f ξ + ξ + ξ + ξ. f 6 ξ ξ ξ 8 πξ. f ξ6 cos. f 6 ξ + ξ 5. f 6 ξ ξ, ξ < + ξ, ξ,555555555556,888888888889,555555555556 I 6 Opgave. Drk de totae kinetische energie van een eement it in de massamatrix en de koom met knooppntssneheden. Opgave. Een niforme staaf met engte, oppervak van de dwarsdoorsnede A, easticiteitsmods E en dichtheid ρ is vastgezet aan de inkerkant en vrij aan het rechter iteinde. De bak is gemodeeerd met één -knoopseement met ineaire vormfncties. De axiae knooppntsverpaatsingen zijn en. De matrix met vormfncties is N + ξ6 ξ6 ξ ξ ξ a. Bepaa de kinematisch consistente massamatrix itgedrkt in de massa mρa. b. Vervaen Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 9
c. Bereken de benaderingen van de aagste eigentrivorm en de eigenfreqentie itgedrkt in m en k EA. d. Normeer de eigentriingskoom met de massamatrix as kern. Opgave. Een niforme staaf met engte, oppervak van de dwarsdoorsnede A, easticiteitsmods E en dichtheid ρ is vastgezet aan de inkerkant en vrij aan het rechter iteinde. De bak is gemodeeerd met twee geijke -knoopseement met ineaire vormfncties. De axiae knooppntsverpaatsingen zijn, en. a. Bepaa de kinematisch consistente massamatrix itgedrkt in de massa mρa. b. Bereken de benaderingen voor de eigentriingsvormen en de eigenfreqenties itgedrkt in m en k EA en teken ze. c. Vergeijk de opossingen met de exacte opossing waarbij voor de eigenfreqenties gedt: 6,,,..., π ω i k i m i en voor de op genormeerde bijbehorende eigentriingsampitdos bij eigentriingsvorm i: 6 πx i66 x sin i i,,,... Hierin is x de axiae coördinaat met de oorsprong x bij het inker vaste pnt. Opgave. De staaf vogens opgave is bij het vrije iteinde voorzien van een pntmassa M waarvoor gedt m<< M. a. Bepaa de exacte opossing voor de aagste eigenfreqentie bij verwaarozing van de massa van de staaf. b. Bepaa de massamatrix bij verwaarozing van de massa van de staaf. c. Bereken vervogens met de e.e.m. de aagste eigentrivorm en de eigenfreqentie itgedrkt in M en k EA. d. Normeer de eigentriingskoom met de massamatrix as kern. Opgave 5. Een niforme staaf met engte, oppervak van de dwarsdoorsnede A, easticiteitsmods E en dichtheid ρ is aan beide zijden vastgezet. De staaf is gemodeeerd met geijke ineaire eementen. a. Bereken de benadering voor de eigenfreqentie met behp van de kinematisch consistente massamatrix. Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM
b. Vergeijk het restaat met de exacte opossing voor de aagste eigenfreqentie: E ω π ρ Opgave 6. Een niforme staaf met engte, oppervak van de dwarsdoorsnede A, easticiteitsmods E en dichtheid ρ is aan beide zijden vastgezet. De staaf is gemodeeerd met geijke ineaire eementen. a. Bereken de benaderingen voor de eigenfreqenties met behp van de kinematisch consistente massamatrix. b. Vergeijk ze met de exacte opossing: E ωi iπ i, ρ Opgave 7. Een -knoops kwadratisch staaf eement met massa m heeft as vrijheidsgraden de axiae knooppntsverpaatsingen, en. De matrix met vormfncties is N ξξ 6 ξ 8 ξ+ ξ6 ξ ξ ξ Bepaa de kinematisch consistente massamatrix itgedrkt in de massa m. Opgave 8. Herhaa opgave c met het -knoopseement van opgave 7. Vergeijk de itkomsten ook met die van opgave en de exacte opossing in opgave. De stijfheidsmatrix van dit eement is (verifieer dat ): K EA 7 8 8 6 8 8 7 Gebrik de consistente massamatrix it opgave 7. Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM
Opgave 9. Bepaa de kinematisch consistente massamatrix van het onderstaande -D vierknoops eement. De interpoatiefncties daarvan zijn: N ξ η + ξ 6 η 6 + ξ 6+ η 6 ξ 6+ η 6 ξ 6 η6 + ξ 6 η 6 + ξ 6+ η6 ξ 6+ η6 Verder gedt: N v v v v v dikte t η b ξ y a x Opgave. Bepaa een schatting voor de aagste twee eigenfreqenties en de eigentriingsvormen van een aan de inkerkant ingekemde horizontae bak door te modeeren met één -knoops bakeement. De exacte opossing voor de twee aagste eigenfreqenties is: EI EI ω, 5 en ω, 8 m m De massamatrix van een knoops bak is : Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM
56 5 m M 5 56 Vergeijk de nmerieke benadering met de exacte opossing. Opgave. Op de staaf van opgave werkt op het rechter knooppnt een kracht F F cosω t6. Bereken de stationaire verpaatsingsrespons van dat knooppnt met behp van de modae anayse techniek. Opgave. Op de staaf van opgave werkt op het middeste knooppnt een kracht F Fcosα t6. en op het rechterpnt een kracht F Fsinβt6. Bereken met de directe methode de stationaire verpaatsingsrespons van de knooppnten en neem daarbij aan dat gedt: α β ω ω EA met ω m Opgave. Op de staaf van opgave gemodeeerd met het -knoops eement van opgave 7 en 8 werkt op het middeste knooppnt een kracht F Fcosα t6. en op het rechterpnt een kracht F Fsinβt6. (α en β zijn zoas in opgave ) Bereken de stationaire verpaatsingsrespons van de knooppnten met de directe methode. Opgave. Een horizontae aan de inker kant ingekemde staaf met engte, oppervak van de dwarsdoorsnede A,easticiteitsmods E en massa m wordt gemodeeerd met twee geijke ineaire eementen. De staaf is initiee in rst en spanningsoos op tijdstip t. Een eenheidsstapfnctie in de beasting wordt vervogens op het rechteriteinde gezet. Gebrik modae sperpositie om een opossing voor de knooppntsverpaatsingen in de tijd te berekenen. Gebrik hierbij de opossing van opgave. Opgave 5. Gegeven de scaaire differentiaavergeijking voor een vrij triend massa-veer systeem: m + k De exacte opossing hiervan is zoas bekend harmonisch. Ga na dat de differentievergeijking bij de expiciete centrae differentie methode in dat geva wordt: n+ + ω t6 9 n + n k met ω m Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM
Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM
Antwoorden even opgaven Antwoord. Voor het horizontae eement : K EA Voor eement gedt: K EA De totae stijfheidsmatrix is a K, 7, 57, 7, 57, 57, 79, 57, 79, 7, 57, 7, 57, 57, 79, 57, 79 EA Het op te ossen stese is, 7, 57, 7, 57, 57, 79, 57, 79, 7, 57, 7, 57, 57, 79, 57, 79 EA, 7, 57 F, 57, 79 v F v EA 9, 6 Kassieke weg: evenwicht van knooppnt, bepaing staafkrachten it evenwicht, spanningen, rekken, verengingen en meetknde. Antwoord. Restaat:v bak vb 7.9 6 v staaf vs 8 6 procentee_afwijking % Bij gedt: procentee_afwijking,5 % Antwoord 6. σ σ τ xx yy xy ν E ν ν ν ε ε γ xx ν E D ν ν ν yy xy Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 5
Antwoord 8. a. Ae spanningscomponenten op een vakje met normaa in de z-richting zijn n wegens de definitie van vakspanning. De spanning τ r θ omdat er geen beasting in omtreksrichting is. E E b. σ rr ε rr + νε θθ 6 en σ θθ εθθ + νε ν rr6 ν c. ε d. zz σθθ 6 ν σrr + E E ν E ν σ ε ν ν D ν ν e.de rekkoom ε idt : b a ε r b + a r f. De koom met spanningen idt n: b ν + + b a a E σ r r ν b a + ν r + a b r Antwoord. ε,, 6 Antwoord. De evenwichtsvergeijkingen iden: q x+ y 5 E σ + ν 5 Uitwerking 6. a. Verpaatsingsved: 6 ξ N6 ξ N 6 ξ N 6 ξ ξ6 ξ 6 + b. Rek: ε c. Er gedt ds B dx d. J dξ Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 6
Antwoord 8. ξ + ξ ξ ξ + ξ N 8 8 8 8 + ξ ξ + + ξ ξ ξ 8 8 8 8 b.het verpaatsingsved is bij q exact. 6ξ d v d v + ξ c. De rek is gedefinieerd as κ z6 ξ B dx dξ 6ξ + ξ d. Omdat de spanning varieert in de dwarsdoorsnede, wordt een geïntegreerde maat voor de spanning genomen, het moment M ξ EIκ ξ. z 6 z 6 Antwoord. Op de eementrand tssen de knooppnten en (waar gedt η ) moeten de verpaatsingen compatibe zijn en die mogen dan ds niet afhankeijk zijn van de verpaatsing van knooppnt. Daarom moet daar geden N ξ, η ξ 6 voor ae. Antwoord. De gegeven koom representeert een starre rotatie van α radiaen om knooppnt. De transversae verpaatsing is een derdegraads fnctie van x : v a + bx + cx + dx met a,b,c, en d constanten. Voor de hoekverdraaïng ϕ z knnen we dan schrijven ϕ z b+ cx+ dx. Inven van de randvoorwaarden α α α evert a c d ; b α. De verpaatsing is derhave ineair in x en de kromming Antwoord. J geeft okaa de verhoding van het wekeijke eement-oppervak en het dimensieoze basiseement-oppervak weer en heeft ds de grootte cm. Antwoord 6. i ϕ i x i ξ J i ϕ i x η i i i B i ϕ i y ξ i Ds J ϕ i y η en J ϕ ϕ ϕ ϕ x x x x ϕ ϕ ϕ ϕ y y y y ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ y x y x y x y x en J detj5 Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 7
6+ η + ξ + η ξ 6+ η + ξ η ξ B η + ξ + η ξ η + ξ + + η ξ η + ξ 6+ η + ξ + η ξ + η ξ η + ξ 6+ η + ξ + + η ξ η ξ Antwoord 8. a. De gewogen afwijkingen van het evenwicht idt: r I dσ rr σ rr σθθ6 w + πrtdr w dr r r b. oepassing van partiëe integratie evert de zwakke formering van het evenwicht: r I dw d dr r σ w t r w rt rr σθθ π π σ r + r rr6 r Antwoord. Samenvatting fnctie Aanta integratiepnten exacte opossing + ξ + ξ + ξ,6666666667,6666666667,66666666667 ξ ξ 8,,666666667,6666666667 cos πξ + ξ ξ, ξ < + ξ, ξ,978,77,795,85,75986,887,5765,86668 Concsies: Bij derdegraads poynomen evert de nmerieke integratie reeds met integratiepnten zeer nawkerige restaten. De nawkerigheid hangt sterk van de aard van de fnctie af. De vierde fnctie heeft een asymptoot in het domein bij ξ, dat vraagt om probemen bij de nmerieke integratie. De vijfde fnctie heeft een discontinïteit in de eerste afgeeide. Het is dan beter om de integraa te spitsen in deeintegraen over domeinen waarin geen discontinïteiten voorkomen. Antwoord. a. De kinematisch consistente massamatrix is: M m 6. Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 8
b.de mped massamatrix is dan M m. def EA k c. Met k en ω m vogt: ω, 7ω De eigentriingskoom is ds of bij wegating van de onderdrkte vrijheidsgraad. d. Met wegating van de voorgeschreven vrijheidsgraad is de geredceerde genormeerde eigenkoom m Antwoord. De massamatrix is n M m 6 M M + k De opossing voor idt: ω M Dit is iteraard de exacte opossing voor een massa-veer-systeem met massa M en veerconstante k. De geredceerde eigentriingskoom is:. Genormeerd met de massamatrix as kern is dat met M M Antwoord 6. Eigenfreqenties: ω, 86ω ω 7, 85ω en eigenkoommen: b. De exacte eigenfreqenties zijn ω πω ω πω. Antwoord 8. k k.768 ω, 5767 ω 5.678 m m. -.68.. k k (De exacte opossingen zijn: ω, 578 ω, 7 m m ) Hieronder zijn de exacte opossing en de benaderingsopossing in één figr weergegeven. Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 9
Mode Ampitde opg exact * benadering mode De aagste mode wordt met eement a goed gerepresenteerd. Antwoord. Voor de eigenfreqenties en eigenkoommen vinden we : ω,57ω ω,869ω met ω EI m Antwoord. α met ω,,,775 7,65 β en vogt ω r F i F r,59 k i 5,,79 k 7,79 F F t t,7697 k +,877 cosα 5,56 k,87 sinβ 5 Antwoord. EA In opgave is voor dit systeem met k gevonden: Er gedt:,5 k k,58 ω, 6 ; ω 5, 69 m m m,887 ; m x -,5 Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM
qi i it i i η i i ω cos ω ; i 6 6 De respons is ds: 5 %, & k cos ', 6 k m t, 6, 855 + cos 5, 69 k m t,, 6 ( ) * Het restaat, een statische itwijking ps een gewogen som van eigentriingen. Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM
Uitwerkingen oneven opgaven Uitwerking Voor een staafeement onder een hoek α met de horizontaa gedt bij de gemaakte afspraken: K En met EA cos α sinαcosα -cos α -sinαcosα sinαcosα sin α -sinαcosα -sin α -cos α -sinαcosα cos α sinαcosα -sinαcosα -sin α sinαcosα sin α α π π π ; α ; α ; α K K EA EA K b. a K ; K EA ½ -½ -½ ½ ¼ -¼ -¼ ¼ -½ ½ ½ -½ EA -½ ½ ½ -½ -¼ ¼ ¼ -¼ -¼ ¼ ¼ -¼ ½ -½ -½ ½ ¼ -¼ -¼ ¼ + ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ + ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ +¼ ; EA c. Het stese vergeijkingen idt ds: + ¼ ¼ ¼ ¼ EA ¼ + ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ +¼ v v F F -F V U V U V 6 Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM
Het reevante dee van het stese is dan: EA + ¼ ds: EA v EA + ¼ + v F F - F + v F F -F EAv d. Na opossen vogt: F/ EA + v, v F / EA en v e. Sbstittie van de n bekende verpaatsingen in () evert de oorspronkeijk onbekende knooppntskrachten: V vea /, U, V - vea /, U, V -F ds f F F F vea / vea / F vea / vea / Controe: De som van de krachten in horizontae en vertikae richting en de som van de momenten om een as oodrecht op het vak van de constrctie is n. Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM
Uitwerking. a. Beschow bak AB met onbekende krachten P en H (in pnt B.,5F H P Uit f B vogt P 5, F P, 75F EI EI F F F De hoekverdraaiing rechtsom bij B is ϕ B, 5 rad EI EI 8 EI De verpaatsing bij C naar rechts is dan: F F F fc + 5, 7 m 8 EI EI 8 EI b. Voor de stijfheidsmatrix in het okae (en gobae) coördinaten systeem van eement AB noteren we : AB AB K K EA EA EA EI 6EI EI 6EI 6EI EI 6EI EI EA EI 6EI EI 6EI 6EI EI 6EI EI Voor de okae stijfheidsmatrix van eement BC in het okae coördinaten systeem noteren we: BC K EA EA 96EI EI EI 8EI 96EI EI EI EI EA EA 96EI EI EI EI 96EI EI EI 8EI Voor het eement BC gedt: R x R y R z Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM
Het reevante dee van de rotatiematrix idt (wegaten van derde, vierde, vijfde, negende, tiende en efde rij en koom van de voedige rotatiematrix zoas in het diktaat vermed ): R R Voor de stijfheidsmatrix van eement BC in het gobae stese vinden we n: K R K R BC BC 9 96EI EI 96EI EI EA EA EI 96EI EI EA 8EI EI EI EI 96EI EI EA EI EI 8EI De geassembeerde stijfheidsmatrix van de constrctie is: a K EA EA EI 6EI EI 6EI 6EI EI 6EI EI EA EA 96EI EI 96EI EI + EI 6EI EI EA 6EI EA + 6EI EI EI 6EI EI 8EI EI EI + 96EI EI 96EI EI EA EA EI EI EI 8EI Het reevante op te ossen stese is: EI 8EI EI + EI 96EI EI EI EI EI EA 8EI ϕ v B C C ϕ C F Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 5
De opossing idt: ϕ B C v C ϕ C 5, rad, 7 m m rad Voor de reactiekrachten vinden we: 6 f K a a a 6 6 6 6 + 96 96 6 + * 6 * 6 6 96 96 * * 8 * 5,, 7 N Nm N N Nm N N Nm N Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 6
Uitwerking 5. dv dxdydz dx + εxx dy + εyy dz + εzz dv + εxx + εyy + εzz p dv ν5 E p ds εvome ν5. E 6 7 6 7 Uitwerking 7. Bij ineair eastisch materiaagedrag geden vogens de wet van Hooke bij vakvervorming de vogende drie vergeijkingen: ε xx σ xx νσ yy νσ zz7; ε yy σ yy νσ zz νσ xx7; E E ε zz σ zz νσ xx νσ yy7 en ds σ zz νσ xx + σ yy7 E Sbstittie van de derde vergeijking in de twee eerste evert: E εxx ν σ xx ν ν6 8 + ν6σ ( % σ yy9 E K K ν ν ε Eν ν ν ε xx xx + yy + 6 6 + 6 6 ) & ε yy ν 8σ yy ν K K + ν6σ Eν xx9 * K ' K σ E ν ν ε E ν6 ν ν ε yy xx + yy + 6 6 + 6 6 E Verder gedt ook: τ γ ν γ xy G xy xy + 6 Voor de matrix D vogt dan: ν6 ν ν + ν6 ν6 + ν6 ν6 ν6 ν E D E + + ν6 ν ν6 ν6 ν6 ν6 + ν6 ν6 ν6 ν + ν ν Uitwerking 9. d a. ε dr r σ ν b. σ σ θθ ν ν d rr E dr ν E r d. Er gedt d C C en C C + dr r r r En voor de spanningen vinden we dan: 6. d + ν dr r d + ν r dr 6 Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 7
σ rr E d ν ν d r + r E ν C C ν C C E + ν C C ν r r % + & + 6 6 ν r Hierit vogt ds dat C EC EC en C ν + ν ' e. Uit R a CR C 5 vogt + a () R en it σ rr R6 vogt : ν ν + ν6 6 6 C C C 6 r + ν 9R C Sbstittie van () in () evert Voor C ν6r + ν69r C ν6 C + ν69 6 6 C Ra + ν + a C 9 en sbstittie hiervan in () evert: R + 8ν 9Ra + ν ν a R + 8ν + 8ν6R C vogt dan Ea -9EaR en C + 8ν R + 8ν en C 6 Hiermede vinden we ds en σ rr 6 6 6 6 6 ν ar r 9R + ν a + + 8ν + 8ν r Ea 9EaR Ea 9EaR σ θθ + 8 ν R + 8 ; + ν r + 8 ν R + 8 ν r 6 6 6 6 5 Uitwerking. a. De verpaatsingen van pnt P zijn x cosϕ v xsinϕ w b. ε xx cosϕ x c. Ja, we verwachten iteraard bij een starre rotatie dat ae rekken geijk aan zijn. Bij grote rotaties is deze rekdefinitie kenneijk onzinnig. ( ) * Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 8
Uitwerking. a. Een wiekerige starre ichaamsbeweging knnen we beschrijven met a ϕ a+ ϕ ϕ en daarmee gedt: f EIz 6EIz EIz 6EIz 6EIz EIz 6EIz EIz EI 6EI EI 6EI 6EIz EIz 6EIz EIz b. Voor wiekerige z z z z en z z gedt atijd: V + V M + M + V c. De eastische energie is geijk aan Eeast Fv V Mz F a ϕ a+ ϕ ϕ f K K v ϕ 9 Uitwerking 5. a. We nemen vooropig even aan dat de vogende homogene spanningstoestand gedt σ σ, σ σ τ τ τ. xx yy zz xy yz zx Dit spanningsved vodoet aan de evenwichtsvergeijkingen en de dynamische randvoorwaarden op x en het onbeaste bitenoppervak. σ xx σ νσ Ds dan gedt: ε xx εyy εzz,. E E E As verpaatsingsved gedt dan: σ E x v E y w νσ νσ,, E z en dit vodoet aan de kinematische randvoorwaarden op x. b. neen Uitwerking 7 a. Eenvodig is te zien dat voor het verpaatsingsved gedt: ξ N ξ N ξ N ξ N ξ ξ ξ ξ ξ ξ + 6 6 6 6 6 6 6 b. En voor de rek: Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 9
6 6 6 d d dξ d N ξ N ξ N ξ ε dx dξ dx dξ d. Er gedt ds B ξ ξ ξ +. dx e. J dξ ξ ξ ξ + Uitwerking 9. a. We verdeen de totae beasting q in twee vertikae krachten van,5q op het inker en rechter knooppnt. Op het rechter knooppnt zetten we ook een moment M rechtsom. Er moet dan vogens de vergeetmijnietjes geden 5, q EI M q q + M. EI 8EI 5, q Dit evert dan (bij toeva) ook de goede hoekverdraaiing op: ϕ EI q EI q 6EI b. ssen de knooppnten kopt het verpaatsingsved niet omdat we n een derdegraads verpaatsingsved hebben terwij bij een constante q een vierdegraads verpaatsingsved hoort. c. We knnen dan een verdeing maken as vogt: q q q q 8 q 8 De knooppntsverpaatsingen worden dan exact berekend. Uitwerking. Om de beweging as star ichaam goed te knnen beschrijven. Uitwerking. De determinant J is hier geijk aan de verhoding van het werkeijke oppervak van het eement en het oppervak van het basiseement in het isoparametrische vak. Ds 5,, J, 5 m. Uitwerking 5. a. We knnen schrijven N N N + ξ ξ. d d dξ De radiae rek is ds ε rr r ξ r d d d Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM
ξ + ξ De tangentiëe rek is εθθ r r + r + ξ r + r + ξ We knnen n schrijven : ε B ξ + ξ r + r + ξ r + r + ξ ξ + ξ r + r + ξ r + r + ξ b. De spanningen knnen we met gebrikmaking van de restaten van opgave 9 schrijven as: σ σ σ rr ν E DB ν ν ξ + ξ r + r + ξ r + r + ξ θθ Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM
Uitwerking 7. a. Aξ6 A ξ6 + A + ξ67. b. Nξ6 ξ + ξ I N c. Partiëe integratie van wx 6 d dx dx evert: I dw d dx N x x wn 6 Discretisering vogens Gaerkin betekent: N en w N w w N Sbstittie hiervan in de zwakke formering evert: w en ds ook: I I 6 d N dx EA x d N x w N N w dx d d N dx EA x d N dx d 6 x N N N N N N ξ 6 ξ 6 ξ 6 ξ 6 N R N N N F N d. sbstittie van B d N N x d dξ x d d dξ d d ξ evert: E E x K B EA x B x EB B A x x Ax x A I I I d 5 d 5d 5d 6 ξ d d ξ ξ I Integratie met integratiepnt op ξ evert: 6 6 K EA + A EA A +. e. Opossing van het stese E A A + 6 F en R F. E A + A 6 R F evert: Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM
Uitwerking 9. Voor de stijfheidsmatrix van eement,met r R en r R schrijven we: I I I r r 7 7 7 r r dr K B DB πrtd r B DBr πtdr B DBr πt dξ d ξ % & ' B DB t r r r π π RtB DB ξ dξ ξ 5π 8 B DB7 + + ξ d ξ ( ) * 7 Voor de matrix B gedt in het integratiepnt ξ (zie antwoord opgave 5): B Voor de matrix D gedt: D ξ + ξ r + r + ξ r + r + ξ E ν ν ν ξ Ds de stijfheidsmatrix van eement idt: K 5π 8 9 8 7 9 π R,95,95,95, 7 En voor eement gedt voor de matrix B in het integratiepnt ξ : B ξ + ξ r + r + ξ r + r + ξ %&' ( )* ξ ξ 5 5 5 K B DB r r + + ξ π t 5 dr 8 π B DB7ξ dξ Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM
K 5 5 5 π 5 8 5 5 5 7 75, π 5 De geassembeerde stijfheidsmatrix idt: a K De verpaatsingskoom idt: 5 5 5, 95, 95, 95, 7 +, 6, 6965, 6965, 75 9 9 De geassembeerde krachtenkoom idt: Het op te ossen stese is: 9 a 9 a f De opossing idt: 5, 5959, 869, 6, 6965, 6965, 75 f f f, 95, 95, 95, 59, 6965, 6965, 75 5 f, 95, 95, 95, 59, 6965, 6965, 75 en f 5, 89 Voor de koom met spanningen in de integratiepnten van eement en gedt: σ σ rr σ DB θθ rr σ σ σ DB θθ 5 f 5 7, 5959 5,5 8,989 5 5 5 7, 5959, 869,88,5 Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM
Hieronder zijn de anaytische opossing getrokken en de nmerieke opossing (voor de verpaatsingen aeen in de knooppnten en voor de spanningen aeen in de integratiepnten) met een + weergegeven. Verder weten we dat in de e.e.m. benadering de verpaatsingen binnen het eement ineair veropen. Het vat hierbij op dat de nmerieke benadering van het verpaatsingsved en de spanningen reeds met eementen zeer goed is. De spanningen in de knooppnten zoden we eenvodig knnen berekenen door de matrix B in de knooppnten te berekenen en vervogens op identieke wijze te werk gaan. Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 5
Uitwerking. I De kinetische energie is geijk aan V ρ d en discretisatie evert: I I I V V ρ dv ρ N NdV ρn NdV M V Uitwerking. Voor de stijfheidsmatrix en de massamatrix vinden we n: K k M m V EA met k en m ρa met vogt: k det m ω of λ λ λ ω k m k Hierit vogt ω, 6 en ω 5, 69 m k m (De exacte opossingen zijn: ω k, 578 ω, 7 m k m ) Voor de eigenkoommen vinden we:, 577, 577, 865, 865 Voor de genormeerde eigenkoommen (met de massamatrix as kern) vinden we dan:,5 M,58 ; M m,887 m -,5 Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 6
Genormeerd op ampitde in knooppnt zijn de eigenkoommen: Eerste eigenkoom en exacte opossing.5 ampitde -.5 weede eigenkoom en exacte opossing -...6.8 x Uitwerking 5. a. De stijfheidsmatrix en de massamatrix zijn: K k M m Er zijn eementen, eement met knooppnt inks en rechts, eement met knooppnt inks en rechts. De knooppnten en zijn vastgezet. Ds assembage evert: m k k ω ω ω, 6ω met ω ρ m k EA m A De nmeriek gevonden waarde komt wat hoger it dan de exacte waarde ω πω van de eigenfreqentie. b. De mped massamatrix is: M m Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 7
Dit evert dan na assembage de vogende vergeijking met opossing op: m k ω ω 8ω, 88ω De nmeriek gevonden waarde vat n ager it dan de exacte opossing. Uitwerking 7. De massamatrix is: IV ρa M ρn NdV 8 m 6 I 6 8 6 ξ ξ ξ ξ + ξ De mped massamatrix is dan: M m 6 Uitwerking 9. a.de massamatrix is 6 8 6 ξ ξ ξ ξ + ξ dξ met I ρ d M N N V V N ξ η + ξ 6 η 6 + ξ 6+ η 6 ξ 6+ η 6 ξ 6 η6 + ξ 6 η 6 + ξ 6+ η6 ξ 6+ η6 Ds M Ia Ib a b abt x y 6 ρ ξ η ρtd d ξ + ξ η+ η dξdη 6 II ρabt m + ξ + η dξdη + ξ + η dξdη 6 6 II m m + ξ + η dξd η 6 9 II 6 5 7 7 II 7 7 7 7 7 7 met m ρabt Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 8
Op soortgeijke wijze bepaen we de andere componenten van M. samengevat: α β δ γ α β δ γ β α γ δ M m II β α γ δ dξdη 6 δ γ α β δ γ α β γ δ β α γ δ β α met II II II II 7 7 7 7 α + ξ + η en + ξ + η dξd η 7 7 7 7 β ξ + η en ξ + η dξdη 7 7 7 7 γ + ξ η en + ξ η dξdη 7 7 7 7 δ ξ η en ξ η dξdη evert dit tensotte: M m 6 Uitwerking. 6 9 8 9 8 9 9 De genormeerde eigentriingsampitde van het vrije iteinde is a. Met modae anayse techniek: De beasting op het rechter knooppnt is F F cosωt5. * ds m Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 9
5 De modae beasting is q m F cos ωt De vergeijking voor de participatiecoëfficiënt is: 5 EA η + η cos ω m m m F t of 5 k η + ωη F cos ωt ω m m Voor de stationaire toestand gedt: η m F cosωt5 ω ω Het inschakeverschijnse is ds biten beschowing gebeven. Voor de opossing van de verpaatsing op het iteinde knnen we ds schrijven: * m F ω ω 5 cos ωt F m m ω ω 7 5 cos ωt Uitwerking. Voor de systeemmatrices gedt: M m 6 K k -8 6-8 met k -8 7 7-8 EA En de op te ossen steses zijn dan ds: en met 6-8 -8 7 6-8 α ω -8 7 α ω β ω 6 r r 6 i i β en vogt dan ω F k - F k Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 5
6-8 -8 7 6-8 -8 7 Hierit vogt: r r 6 6 i 5 i r r i i F k - F k F,7 F k,95 k F F,7 t t k +,885 cos α,865 k,65 sin β Uitwerking 5. De differentiaavergeijking idt: m + k,955,55 5 5 Het differentieschema bij de centrae differentiemethode is i. h. a. (zie afeiding in het diktaat): % & ' ( ) * M + t t C f K + M + t t C n n In dit -dimensionae geva wordt dit: m k + m t t n+ n n n of anders geformeerd 6 9 n+ n n + ω t + J + n n n n ; @ L Niets overgenomen it andermans of eigen via een itgever gepbiceerd werk Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 5
Opdrachten Er zijn 6 coeges van r over de theorie, 6 coeges van r over het practisch werken met een programmapakket en 6 keer r begeeide oefeningen bij dit vak. Voor het practische dee zijn 6 oefeningen ( bij hoofdstk ; bij de hoofdstkken, en ; en bij hoofdstk 5. Deze oefeningen knt in de zefstdietijd op het SOL of eders itvoeren. Op het practische dee van het tentamen knt soortgeijke opdrachten verwachten. Opdracht. Beschow een haakse -dimensionae portaaconstrctie ABCD zoas in onderstaande figr weergegeven, bestaande it baken AB, BC en CD van ieder m ang en een vierkante dwarsdoorsnede met een oppervak van cm. De patte vakken van de baken zijn evenwijdig aan of staan oodrecht op het vak van tekening. De baken zijn bij B en C aan ekaar geast en de constrctie is bij A star en in D via een roopegging met de vaste wered verbonden. In pnt D werkt een horizontae kracht van N op de constrctie. De easticiteitsmods van het materiaa is Pa. B C A D N a. Modeeer het portaa met bakeementen. Neem hiervoor het -D bakeement nr.5 b. Hoe groot is de verpaatsing van pnt D. c. Noteer de axiae spanningen in ieder van de eementen bij de knooppnten in het middenvak van de dwarsdoorsnede en op de iterste vezevakken. d. Bereken it de restaten van vraag c de snedegrootheden (normaakracht, dwarskracht en bigend moment) in de knooppnten van ieder eement. Geef dideijk de door gekozen tekenafspraken aan. e. Controeer het evenwicht van ek eement, het evenwicht van de constrctie as gehee en de wet van actie is reactie ter paatse van de knooppnten. f. Modeeer het portaa met bakeementen nr.5 (-D eastic beam). g. Noteer de snedegrootheden van ae knoopnten van ae eementen. Geef de tekenafspraken weer dideijk aan. ( voor eementen in knooppnten snedegrootheden) en vergeijk de restaten met de restaten van vraag d. Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 5
Opdracht Gegeven onderstaand vakke vakwerk opgebowd it vierkante kokerprofieen van meter engte dat aan de inkerzijde via een scharnier en aan de rechterzijde via een horizontae roopegging met de vaste wered is verbonden. De dnwandige kokers hebben itwendige maten * mm en een wanddikte van mm. De kokers zijn zodanig aan ekaar geast dat de vakken van de onderste en bovenste staven evenwijdig aan en oodrecht op het horizontae vak staan. De schine staven zijn onder verstek gezaagd zodat ze zonder gaten aan de horizontae staven geast knnen worden. Op het iterste knooppnt inksboven (A) werkt een vertikae kracht F naar beneden. De zakking f van pnt B is gevraagd. De easticiteitsmods van het materiaa is Pa. F A Neem F N. a. Modeeer de constrctie met staven (eement 9) en bereken f. b. Modeeer de constrctie met baken (eement 5) en bereken f. c. Bepaa het procentee verschi tssen de antwoorden a en b. We doen hierna twee berekeningen waarbij de itwendige maten van de vierkante kokerprofieen mm zijn en de wanddikte mm. d. Modeeer de constrctie met staven (eement 9) en bereken f. e. Modeeer de constrctie met baken (eement 5) en bereken f. f. Bepaa het procentee verschi tssen de antwoorden d en e. g. Wat kan geconcdeerd worden it de antwoorden op c en f? B f Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 5
Opdracht Beschow het gedrag van verschiende eementtypen bij de anayse van een eenzijdig ingekemde staen bak,.engte m en met een vierkante dwarsdoorsnede van,*, m. Het ondervak van de bak is evenwijdig aan het horizontae vak, het vak van tekening is vertikaa. De easticiteitsmods is N/m, de dwarscontractiecoëfficiënt, en de dichtheid 785 kg/m. ϕ, m a. Het vrije iteinde van de bak krijgt een voorgeschreven hoekverdraaiing ϕ 6, rad. Bereken met de vergeetmijnietjes het koppe M op het vrije iteinde dat hiervoor nodig is, en de zakking f in het geometrische middepnt van het vrije iteinde die daarvan het gevog is. (verwaaroos het eigen gewicht van de bak) Vergeijk f en σ max t.g.v. het eigen gewicht met f en σ max t.g.v. de voorgeschreven hoekverdraaiïng. b. De bak wordt vervogens gemodeeerd met: b ineair achtknoops D-eement (type 7). b ineair vierknoops vakvervormingseement (type ). b ineair vierknoops vakspanningseement (type ). b even grote ineaire vierknoops vakspanningseementen over de engte. b5 even grote ineaire vierknoops vakspanningseementen, over de engte. b6 6 even grote ineaire vierknoops vakspanningseementen, over de engte. b7 6 even grote ineaire vierknoops vakspanningseementen, 8 over de engte. b8 kwadratisch twintigknoops D-eement (nr ). b9 kwadratisch achtknoops vakspanningseement (nr 6). b D-bakeement (type 5). b D-bakeementen. m, m Maak een tabe met daarin het eementnmmer, het aanta eementen en f. Schets indien mogeijk de verdeing van de axiae spanning over de hoogte bij de inkemming voor deze modeeringen. Verkaar bondig de eventee afwijkingen van de anaytische opossing. c. Op de bak wordt n in paats van de voorgeschreven hoekverdraaiïng een over de knooppnten op het eindvak verdeede vertikae dwarskracht omaag ter grootte van het gewicht van de bak gezet. Het eigen gewicht wordt n ook meegenomen in de anayse. De bak wordt gemodeeerd met: c 6 even grote ineaire vierknoops vakspanningseementen, 8 over de engte. c even grote kwadratische achtknoops vakspanningseementen over de engte. c D-bakeementen. Bereken bij deze modeeringen f en schets indien mogeijk de verdeing van de axiae spanning over de hoogte bij de inkemming voor deze modeeringen. f Eindige Eementen Methode in de vaste stof mechanica. opgaven /9/ : PM 5