x D In de punten A en B grijpt respectivelijk een vertikale constante kracht F 1 en F 2 aan.

Transcriptie

1 VRIJE UNIVERSITEIT RUSSE FUTEIT TOEGEPSTE WETENSHPPEN NYTISHE MEHNI I Tentamen 1ste Kandidatuur urgerlijk Ingenieur cademiejaar januari 00 Vraag : F1 γ β F ovenstaand stelsel bestaat uit twee identieke staven, en, met lengte. eze twee staven zijn onderling verbonden door middel van een scharnier in het punt. Staaf is in punt verbonden met een gladde vertikale wand door middel van een roloplegging en staaf is op dezelfde wijze verbonden met een tweede gladde vertikale wand in punt. Het scharnierpunt is verbonden door middel van een roloplegging met een gladde horizontale vloer tussen de twee vertikale wanden die zich op een afstand van elkaar bevinden. In de punten en grijpt respectivelijk een vertikale constante kracht F 1 en F aan. X beschrijft de horizontale afstand tussen de vertikale wand door en het scharnierpunt. e massa van de staven mogen verwaarloosd worden. Gevraagd: 1. epaal het aantal vrijheidsgraden van dit systeem.. uidt de uitwendige reaktiekrachten aan op de tekening.. epaal de evenwichtsbetrekking voor de afstand X in functie van F 1, F,, en bepaal de grootte van de uitwendige reaktiekrachten in de punten,, en in functie van F 1, F,, en X. Gebruik hiervoor de methode van het uitdrukken van de evenwichtsvoorwaarden ( R ; ).

2 Vraag oplossing: R F1 γ R β F R 1. antal vrijheidsgraden: zie tekening. R tot c inkerstaaf c R F1 R R + R + F + R cosγ F sin γ + F sinβ R 1 cosγ F sin γ 1 cosβ (1) () () (4) verband tussen, γ en β: sin γ sinβ cosγ cosβ 1 ( ) 1 ( ) (5) (6) (4) en (5) (1) en (7) R R F1 F1 R (7) (8) ( ) R F1 F F1 (), (4), (6) en (8) F ( ) ( ) (9) (10)

3 Vraag : In bovenstaande tekening is een homogeen voorwerp (te beschouwen als volume) weergegeven met massadichtheid ρ. Een X,Y,Z-assenstelsel ligt met zijn oorsprong in het midden van het grondvlak van het voorwerp waarbij de X-as en de Z-as in dit grondvlak gelegen zijn en de Y-as er loodrecht op. Het voorwerp heeft een constante dikte volgens de Z-richting en de vorm van het voorwerp is bepaald door het zijvlak. it vlak is samengesteld uit volgende stukken: Een horizontale (volgens X-richting) lijn met lengte. Een kwart ellips waarvan de kleine halve as R en de grote halve as H bedraagt. Een horizontaal lijnstuk met lengte R+. Een schuine lijn die de figuur terug sluit. R 1m ; H m ; ρ 7000kg / m ijfergegevens: Gevraagd: epaal a.d.h.v. symmetrie elementen en/of de stelling van Guldin en/of rechtstreekse integratie het massamiddelpunt van dit voorwerp in het gegeven assenstelsel. Volgende gegevens kunnen eventueel nuttig zijn: Oppervlakte van een ellips met halve grote assen a en b: S πab Oppervlakte van een bol met straal r : S 4πr 4 Volume van een bol met straal r : V πr Volume van een kegel met hoogte h en straal van het grondvlak r : V r h Volume van een ellipsoïde met drie halve assen a, b en c : V abc 4 π 1 π

4 Vraag oplossing: Het XY-vlak is een symmetrievlak dus is Z G 0 Voor de ander twee coördinaten volstaat het om het massamiddelpunt van het vlak te bepalen. it vlak splitsen we op in drie delen: 1. riehoek. Rechthoek. Kwart ellips 1. Massamiddelpunt van een homogene rechthoekige driehoek met basis b en hoogte h door toepassing van de stelling van guldin door omwenteling rond de hoogte 1 bh b π b h π G G ndere coördinaat analoog. Massamiddelpunt van een homegene rechthoek ligt in het midden van de figuur wegens symmetrie. Massamiddelpunt van een homogene kwart ellips met halve assen a en b door toepassing van de stelling van guldin door omwenteling rond halve as a πab 4b πabb π G G 4 π ndere coördinaat analoog. Samenstelling van de drie onderdelen: y G G RH ( + RH (H R πrh 4R ) + H(0) + ( + ) 4 π RH πrh + H + 4 H πrh 4H ) + H( ) + (H ) 4 π RH πrh + H + 4

5 Vraag 4: F β α Mg ovenstaand stelsel bestaat uit twee identieke massaloze staven, en, met lengte. e twee staven zijn onderling verbonden door een scharnier in het punt. Staaf is verbonden met een gladde horizontale vloer in het punt door middel van een roloplegging en staaf is op dezelfde wijze verbonden met een gladde vertikale wand in het punt. e vertikale wand ligt op een horizontale afstand van het punt dat zich op de horizontale vloer bevindt. In het punt grijpt een kracht aan afkomstig van een lineaire veer die tussen de punten en gespannen is. eze veer heeft veerconstante k en rustlengte nul. (de grootte van de kracht die de veer genereerd is dus k ) In het punt hangt een massa in het zwaarteveld met massa M en in het punt grijpt een constante vertikale kracht F aan. α en β beschrijven de hoek tussen de horizontale en respectievelijk staven en. Gevraagd: 1. epaal het aantal vrijheidsgraden van dit systeem.. uidt de uitwendige reaktiekrachten aan op de tekening.. epaal met de methode van de virtuele arbeid de waarden van de veerconstante k en de grootte van de kracht F bij evenwicht in functie van α, β,, M en g.

6 Vraag 4: R F ' β+δβ Mg ' α+δα Fv R ' 1. antal vrijheidsgraden: zie tekening. we voeren even coördinaat in. de arbeidsvergelijking voor de verplaatsing op de tekening wordt: F v.' + Mg.' + F.' met (assenstelsel met -as horizontaal en oorsprong in vast punt ) F v ( k,0) Mg (0, Mg) F (0,F) O (,0) O (,sinα) O (,sinα + sinβ) ' ( δ,0) ' (,cosαδα) ' (,cosαδα + cosβδβ) verband tussen, α en β: cosα cosβ δ sinαδα + sinβδβ uitwerking van de arbeidsvergelijking geeft: kδ Mgcosαδα + F(cosαδα + cosβδβ) k( cosα cosβ)(sinαδα + sinβδβ) Mgcosαδα + F(cosαδα + cosβδβ)

7 groeperen naar δα en δβ en beide coëfficiënten nul stellen omdat δα en δβ onafhankelijk en willekeurig klein zijn: k( cosα cosβ)sinα Mgcosα + Fcosα k( cosα cosβ)sinβ + Fcosβ (1) () (1) sinβ () sinα () en () Mg cosαsinβ F sin( β α) Mg cosαcosβ k sin( β α)( cosα cosβ) ()