Eindige Elementen Methode Syllabus over het gebruik in de lineair elastische vaste stof mechanica; Cursus , Trimester 2.2

Transcriptie

1 Endge Eementen Methode Syabs over het gebrk n de near eastsche vaste stof mechanca; Crss -, rmester. r. J.H.P. de Vree echnsche Unverstet Endhoven Factet Werktgbowknde Materas echnoogy

2 Inhod Inedng Notateafspraken Staaf- en bakconstrctes. Een eenvodg voorbeed van de e.e.m. werkwje met staafeementen. Nmereke aspecten bj het opossngsproces.. Het n rekenng brengen van de randvoorwaarden... Hernmmerng van rjen en koommen; permtate... Aternateve verwerkng van de knematsche randvoorwaarden.. De verpaatsng as star chaam.. Egenschappen van de stjfhedsmatrx. Een -D bakeement as voorbeed van een strctree eement.. Een eenvodg tweeknoops staafeement.. Een eenvodg tweeknoops -D bgbakeement (Berno).. Een eenvodg torsebakeement..4 Een eenvodg -D frame-eement De geometrsch en fyssch neare eastctetstheore. Dscrete- verss contnümseementen. De -D contnümsformerng.. Knematca.. Consttteve vergejkngen.. De evenwchtsvergejkngen. Samenvattng van de geometrsch en fyssch neare eastctetseer n de contnümsmechanca.4 De toestandsbeschrjvng van het -D vakspannngscontnüm.4. Knematca.4. Consttteve vergejkngen.4. De evenwchtsvergejkngen.5 Samenvattng van de geometrsch en fyssch neare eastctetseer bj vakspannng Endge eementen dscretserng. Benaderngsfnctes voor het verpaatsngsved. De probematek van aanstng of compatbtet. Een vak drehoekg eement as eenvodg voorbeed.4 Een ncompatbe vak eement met 4 knooppnten.5 Een vak verhoekg 8-knoops soparametrsch eement met kromme randen.5. Geometre basseement..5. ransformate van het coördnatensysteem.5. Verpaatsng as star chaam en homogene deformate.5.4 Vormfnctes voor het verhoekge achtknoops eement Endge Eementen Methode n de vaste stof mechanca. verse: /4/ :59 PM

3 .5.5 De tdrkkng voor de koom met rekken.6 Isoparametrsche -D rmtejk eement met kromme randen 4 Berekenng van de knooppntsverpaatsngen t de evenwchtsvergejkngen 4. De evenwchtsvergejkngen 4. De gewogen afwjkngen formerng van het evenwcht 4. De baans van nterne en externe krachten op een eement 4.4 Afedng van de stjfhedsmatrx en de externe krachtenkoom van een eement 4.5 De bepang van de verpaatsngen, rekken en spannngen 4.6 Nmereke ntegrate van de eement stjfhedsmatrx 4.6. Probeemsteng en gobae werkwje 4.6. oepassng van nmereke ntegrate voor de berekenng van de stjfhedsmatrx en de externe krachtenkoom van een eement 4.7 De strctr van een endge eementen methode programma 5 Dynamca 5. De bewegngsvergejkngen 5.. De wakke formerng van de bewegngsvergejkngen 5.. Endge eementen dscretsate 5. Opossngsstrategeën 5.. Egenwaarde anayse voor het vrje ongedempte trngsgedrag 5.. ransent opossngen met de modae sperposte methode 5.. Steady state opossngen bj perodeke exctate 5... Harmonsche anayse op bass van modae anayse 5... Harmonsche anayse met de drecte methode 5..4 ransent opossngen met nmereke tjdsntegrate De expcete centrae dfferentemethode De mpcete trapemrege Geavanceerde ntegrateschema s Appendces A De steng van Gass Referentes Opgaven Antwoorden Utwerkngen Opdrachten met het programmapakket MARC Endge Eementen Methode n de vaste stof mechanca. verse: /4/ :59 PM

4 Inedng De doesteng van dee crss s het met begrp eren omgaan met een krachtg ngenersgereedschap, de Endge Eementen Methode (e.e.m.) n de vaste stof mechanca. De nadrk gt daarbj op begrp en de praktsche toepassng voor near eastsch materaagedrag. In dt vak wordt nmereke mechanca beoefend, voortbowend op de kenns de n voorgaande mechanca vakken s aangeboden met een accent op modevormng de geschkt s voor opossng met de compter. De naam van dt vak kan msedend werken. De wekt msschen de ndrk dat dee crss opedt tot vaardghed n het achter de compter opossen van mechancaprobemen. Het gaat er echter meer om ncht te verwerven n de maner waarop de mechancaprobemen gemodeeerd worden en door de compter worden opgeost dan om het verkrjgen van vaardghed n het gebrk van een of ander softwarepakket. In het bedrjfseven jn het vaak gerotneerde HS-ers of efs MS-ers de met de Endge eementen methode pakketten werken aan standaard neare probemen. Dee mensen hebben vaak na jarenange ervarng grote vaardghed n het werken met software-pakketten verworven maar kennen veea net of n eer beperkte mate de achtergronden daarvan. As ngener knt dan verantwoordejk jn voor de gebrkte modeerng en de daarmee samenhangende restaten. Bj de begeedng van stdenten bj stages en afstdeerprojecten bjkt steeds weer dat vrjwe ae foten voortkomen t een gebrek aan ncht n de modeerng en systematek van dee software-pakketten en net t een gebrek aan vaardghed n het gebrk ervan. Het vogen van de crss edt tot verwervng van : a. een mnmaa verest ncht n de werkng van de e.e.m. voor het merendee van de constrcters probemen en b. het knnen bestderen van de teratr n het geva van geavanceerdere berekenngen (bjvoorbeed net-neare met een compex constttef verband). De opgaven jn een mdde om tot ncht n de achterggende theore te komen omdat daarn de theore op dermate eenvodge systemen wordt toegepast, dat daarvoor het hpmdde, de compter, net nodg s. De software-pakketten jn net anders dan geavanceerde wordprocessors waarmee w probeem aan de rekenmachne aanbedt. Ze jn onderhevg aan voortdrende veranderngen en modeverschjnseen. De bass waarop e bersten verandert vee mnder sne. De Endge Eementen Methode e.e.m. s een methode voor het vnden van benaderngsopossngen voor steses van partëe dfferentaavergejkngen. Bnnen dee crss en dat de bewegngsvergejkngen van Newton jn de voor eder materee pnt bnnen de systeemgrenen moeten geden. De eerstof n dee crss s beperkt tot een grote maar eer specfeke kasse van probemen waar constrcters mee te maken knnen krjgen. Dt jn constrctes van sotroop en near eastsch materaa onder mechansche beastng. De temperatr speet hern geen ro. De e.e.m. s ook van toepassng op voestofstromng, warmtegeedng, dffse en combnates hervan. Dee onderwerpen en n andere crsssen aan de orde komen. De gepresenteerde theore s aeen gedg as overa n het beschowde systeem het materaagedrag near eastsch s (fyssch near gedrag) en de rekken en rotates van de matere overa ken jn (geometrsch near gedrag). Hoe ken dat s, a ater nader worden toegecht. Dt s ds een benaderng de aeen goed s as aan de voorwaarde van kene rekken en kene rotates as star chaam s vodaan. We begnnen met (qas-)statsche systemen. Dt jn systemen waarbj de beastng o angaam wordt aangebracht dat de tjd n de beschowng een te verwaaroen ro speet. De Endge Eementen Methode n de vaste stof mechanca. verse: /4/ :59 PM 4

5 bewegngsvergejkngen worden door afweghed van de dempngs- en traaghedstermen dentek aan de evenwchtsvergejkngen. Daarna worden ook dynamsche systemen beschowd met een tjdsafhankejke beastng en daarmee samenhangende respons. Ieder materee pnt van een eastsch chaam a onder nvoed van een aangebrachte mechansche beastng een verpaatsng ondergaan ten opchte van de onbeaste referenteconfgrate de eenddg n de rmte wordt vastgeegd. Men spreekt dan van een verpaatsngsved bnnen het domen van de constrcte. In een Cartessch assenstese heeft dt verpaatsngsved componenten n eder rmtejk pnt van de constrcte. De starre chaamsbewegng van een beschowde constrcte moet n verband met de eenddghed onderdrkt worden door het steen van voorwaarden aan het verpaatsngsved op de rand van het systeem. Voorwaarden opgeegd aan het verpaatsngsved worden knematsche randvoorwaarden genoemd. De krachten op het beschowde systeem worden met de dynamsche randvoorwaarden n rekenng gebracht. Onder krachten worden her verstaan: pntkrachten, krachten per engte- of oppervakte-eenhed (tractes of drkken), koppes en koppes per engte-eenhed. As het verpaatsngsved van de beaste constrcte voedg as fncte van de rmtejke coördnaten bekend s, dan gt daarmee va de rekverpaatsngsreates ook de rektoestand n eder pnt vast. De rektoestand wordt bj een gekoen coördnatenstese vastgeegd door 6 onafhankejke rekcomponenten. Bj een sotroop near eastsch materaa s het consttteve verband tssen dee rekcomponenten en de 6 onafhankejke spannngscomponenten door de wet van Hooke gegeven. In de statca en de spannngscomponenten vervogens aan de okae evenwchtsvergejkngen moeten vodoen. Het probeem s n dat het verpaatsngsved meesta net a pror bekend s en daarmede dan de prmare onbekende s. De stratege voor het opossen van statca probemen met de e.e.m. s de vogende:. Verdee de constrcte n deegebeden, ogenaamde eementen met eementranden en eementknooppnten op de randen.. Drk het onbekende verpaatsngsved bnnen de eementen met behp van benaderngsfnctes t n (dees onbekende) knooppnt-vrjhedsgraden. Dee vrjhedsgraden jn dan verpaatsngen of rmtejke afgeeden daarvan, waarn ae verpaatsngscomponenten jn t te drkken.. Drk de rekken bnnen de eementen vogens de rek-verpaatsngsreates t n de rmtejke coördnaten met de knooppnt-vrjhedsgraden as parameters. 4. Drk va de wet van Hooke de spannngen t n de knooppnt-vrjhedsgraden. 5. Sbstteer de gevonden spannngen tgedrkt n de knooppnt-vrjhedsgraden n de evenwchtsvergejkngen en wak de es van evenwcht af tot de es van (op een specae maner gewogen) gemdded evenwcht voor eder eement. Het a bjken dat va dee werkwje een near stese vergejkngen n de knooppntsvrjhedsgraden verkregen wordt, waart de onbekende knooppnt-vrjhedsgraden eenvodg opgeost knnen worden. De vergejkngen n dt stese worden ook we de gedscretseerde evenwchtvergejkngen genoemd. Vervogens knnen dan de benaderngen voor de rekken en de spannngen op de boven beschreven wje worden bepaad. Dt proces a ter strate voor een aanta eenvodge gevaen worden tgevoerd. Voor een aanta andere gevaen kan met behp van het geeerde eenvodg een ngang tot de teratr verkregen worden. Bj een aanta probemen, oas bjvoorbeed bj toepassng van (gekromde) schaaeementen s de afedng van het neare stese vergejkngen terst gecompceerd. In het pakket keevakken van de factet werktgbowknde worden daartoe specastsche crsssen aangeboden. Kenns van de nhod van de onderhavge crss a echter vodoende jn voor het knnen toepassen van ae soorten eementen voor near eastsch materaagedrag en geometrsch near gedrag van constrctes. Bj een dynamsche (tjdsafhankejke) beastng Endge Eementen Methode n de vaste stof mechanca. verse: /4/ :59 PM 5

6 de op een odange tjdschaa paatsvndt dat het systeem ervan n trng raakt knnen de dempngs-en traaghedstermen teraard net verwaaroosd worden en ontstaat er een stese vergejkngen waarn net aeen de knooppnt-vrjhedsgraden voorkomen maar ook hn eerste en tweede afgeeden naar de tjd. Dt worden dan de gedscretseerde bewegngsvergejkngen genoemd. De respons wordt vervogens bjvoorbeed va een nmerek tjdsntegrate-schema as fncte van de tjd bepaad. We en n de vogende hoofdstkken een en ander toechten aan de hand van reatef eenvodge voorbeeden. Generasate naar meer ngewkkede states jn daarna eenvodg voor te steen. Net atjd wordt tgegaan van de agemene -D eastctetstheore. Er jn namejk veere bjondere theoreën de betrekkng hebben op eer specfeke omstandgheden of kenmerken van constrctes en beastngen. Dee specae theoreën jn benaderngen van de agemene -D theore doordat er voorwaardejk gedge veronderstengen jn toegevoegd met het doe om een smpeere en sneere rekenwje te verkrjgen as de constrcte kan worden samengested t dergejke bassconstrctes. Zo bestaan er naast een aanta verschende soorten -D eementen nog verschedene andere soorten eementen Staafeementen bj de staventheore Bakeementen bj verschende bakbgngstheoreën orsestaafeementen bj verschende torsebaktheoreën Frame-eementen, bj gecombneerde staaf-bakbgng- en torsetheoreën Vakspannngs (of vakvervormngs)-eementen bj de vakspannngs- (of vakvervormngs-) theore Axsymmetrsche rngeementen bj axsymmetrsche constrctes en dto beastng Paateementen bj (mathematsch vaak eer gecompceerde) paatbgtheoreën Schaaeementen, bj gecombneerde membraan- en bgngstheoreën Bj een vrchtbaar gebrk van de verschende soorten eementen hoort een mnmae kenns van de achterggende theoreën. Zonder dee kenns knnen mnder, en mnder jste, concses worden getrokken t de restaten van berekenngen. De hee werkwje van de endge eementen methode kan het eenvodgst worden toegecht aan de hand van de staventheore oas dat ook n het eerste jaar n het boek Mechancs of Sods van Fenner s weergegeven. Daarom wordt daarmee begonnen. Het oefenen met een commercee e.e.m. programmapakket MARC n dverse states de representatef jn voor de probemen van de constrcter en het nterpreteren van de restaten maakt dee t van dee crss. Op het tentamen a w theoretsche kenns worden getoetst aan de hand van vraagstkken. Uteraard dent ook aan te tonen dat over de meest eementare vaardgheden n het gebrk van een software-pakket beschkt. Daarom wordt ook w vaardghed met een programmapakket getoetst wordt. Om hern te bekwamen knt oefenen met het pakket MARC/MENA. In de r per week de daar voor staan dent ds net aeen de oefenvraagstkken te maken maar ook de compteroefenngen te doen de en worden voorgested. U krjgt n de begeede efstde sesses tergkoppeng over de compteroefenngen. As te ang wacht tssen de demonstrates met MARC/MENA op het coege en het praktsch oefenen ermee dan komt n de probemen omdat dan net eders vragen n de perode vak voor het tentamen beantwoord knnen worden. Werk ds ongeveer synchroon met het onderwjsschema. Heronder s het gobae overcht van de crss weergegeven. Het kan jn dat moteven van praktsche aard n de oop van de crss een afwjkng van dt schema verooraken. Endge Eementen Methode n de vaste stof mechanca. verse: /4/ :59 PM 6

7 Week nr. Eerste coege-ren Rooster r efstde. Opgaven (± 5%) Oefenngen met MARC n open shop weede coege-ren Coege (theore) vraagstkken maken Coege (theore) Coege( nmerek/marc) vraagstkken maken Begeede oefenng c.q MARC oefenng ergkoppeng MARC vraagstkken maken Begeede oefenng oefenngen c.q MARC oefenng 4 Coege (theore) vraagstkken maken Coege (theore) c.q MARC oefenng 5 Coege( nmerek/marc) vraagstkken maken Begeede oefenng c.q MARC oefenng 6 ergkoppeng MARC vraagstkken maken Begeede oefenng oefenngen c.q MARC oefenng 7 Coege (theore) vraagstkken maken Coege (theore) c.q MARC oefenng 8 Coege( nmerek/marc) vraagstkken maken Begeede oefenng c.q MARC oefenng 9 ergkoppeng MARC vraagstkken maken Begeede oefenng oefenngen c.q MARC oefenng Notate-afspraken In dee syabs geden de vogende notate-afspraken: Skaare varabeen jn crsef, bjvoorbeed: a, α, A. (N.B. Sommge prnters drkken heaas geen crseve grekse symboen af, en daarom staan de tegen mjn w n dt docment dan net crsef.) Koommen jn crsef met een sangetje onder het symboo, bjvoorbeed: a, α, A Matrces jn crsef met een streepje onder het symboo, bjvoorbeed: a, α, A Cjfers jn normaa, bjvoorbeed :, Endge Eementen Methode n de vaste stof mechanca. verse: /4/ :59 PM 7

8 Hoofdstk Staaf- en bakconstrctes. Een eenvodg voorbeed van de e.e.m. werkwje met staafeementen We begnnen met een eer eenvodg concreet voorbeed. Beschow de constrcte bestaande t staven de scharnerend met ekaar en de btenwered jn verbonden oas weergegeven n onderstaande fgr.,8m y x,m 5kN Dee constrcte bestaat t twee staafeementen en. De constrcte heeft knooppnten, en. De gegevens jn as vogt samen te vatten. Knooppntgegevens (S.I. eenheden) Knoopnr. coördnaten Voorgeschreven verpaatsngen Voorgeschreven krachten x y x-rchtng y-rchtng x-rchtng y-rchtng,8, -5 Eementgegevens (S.I. eenheden) Eementnr. Opp. A van de dwarsdoorsnede E-mods Verbndngsknooppnten Eement engte $ De hoek α met de x-as $,5* -4,7*,6-56,,5* -4,7*, $ e berekenen t de coördnaten van de verbndngsknooppnten. We beschowen de eementen as -D staafeementen. Voor een tweeknoops -D staafeement defnëren we de knooppntsverpaatsngen en knooppntskrachten oas n onderstaande fgr s weergegeven. Endge Eementen Methode n de vaste stof mechanca. verse: /4/ :59 PM 8

9 y E,A, v y Y v α x Y X α x X Knooppntsverpaatsngen Knooppntskrachten Ut de eerstejaars vakken mechanca s bekend dat voor o n eement dat een hoek α maakt met de horontae posteve x-as gedt: EA c cs c cs cs s cs s c cs c cs cs s cs s $ v v $ X Y = met c = cos α en s= sn α X Y $ 6 6 Hern s E de eastctetsmods van het materaa, A het oppervak van de dwarsdoorsnede en de engte van het staafeement. We defnëren de stjfhedsmatrx K, de koom met knoopntsverpaatsngens en de koom met knooppntskrachten f as: K = EA c cs c cs cs s cs s c cs c cs cs s cs s $ = v v $ De rechtboven ndces dden het knooppntsnmmer aan. En hermede knnen we het neare stese vergejkngen bj eder eement kort schrjven as: K= f We bepaen dee steses vervogens voor ae eementen n de constrcte. In ons concrete voorbeed bepaen we ds f = X Y X Y $ e e e K = f e=, De nksboven ndex geeft het eementnmmer weer. De stjfhedsmatrx van eement kan dan geschreven worden as: Endge Eementen Methode n de vaste stof mechanca. verse: /4/ :59 PM 9

10 K = K K K K 4 K K K K4 K K K K 4 K4 K4 K4 K44 $ of K K K K $ K K K K K K K K K K K K We knnen het stese ook as vogt n geëxpandeerde vorm opschrjven: K K K K4 K K K K4 K K K K4 K4 K4 K4 K44 $ De nksboven ndex a ddt op de gobae nmmerng van de knooppntsgrootheden n de geassembeerde constrcte. De stjfhedsmatrx van eement s: a v v v $ = X Y X Y $ K = K K K K 4 4 K K K K K K K K $ K K K K Het stese bj eement et er n geëxpandeerde vorm as vogt t: K K4 K K K4 K44 K4 K K K4 K K K K K K 4 4 As we n de twee geëxpandeerde steses van de eementen en bj ekaar opteen (assemberen) krjgen we: $ a v v v $ = X Y X Y $ Endge Eementen Methode n de vaste stof mechanca. verse: /4/ :59 PM

11 K K K K4 K K K K4 K K K + K K4+ K4 K K K4 K4 K4 + K4 K44 + K44 K4 K4 K K4 K K K K4 K K $ a v v v $ = X Y X Y + X + Y X Y $ We noemen de som van de geëxpandeerde matrces de geassembeerde stjfhedsmatrx a K. In dt geva dt dee: a K = K K K K4 K K K K4 K K K + K K4+ K4 K K K4 K4 K4 + K4 K44 + K44 K4 K K K4 K K K K K K In dt geva dt de ogenaamde geassembeerde verpaatsngskoom a a = a v v v $ en de geassembeerde krachtenkoom a f a f = a X Y X Y X Y $ = X Y X + X Y + Y X Y $ 4 4 $ Ds knnen we het totae geassembeerde stese schrjven as: a a a K = f As we ae bekende nmereke waarden nven vogt hert: Endge Eementen Methode n de vaste stof mechanca. verse: /4/ :59 PM

12 7 *, 9569, 45, 9569, 45, 45, 59, 45, 59, 9569, 45 6, 56, 45 5, 66, 45, 59, 45, 59 5, 66 5, 66 $ a v $ a = 5* X Y X Y $ We jn ds met de kenns over de vrjhedsgraden (verpaatsngen) waarmee ek eement geassoceerd s, n staat om de componenten van de stjfhedshedsmatrces van ae eementen op de jste paats n het totae stese te paatsen. Het s evdent dat dt proces voor vee eementen geatomatseerd wordt. Zonder gebrk te maken van een programmeertaa s het betrekkejk astg om het assembage proces symbosch te beschrjven. Met een hogere programmeertaa oas bjvoorbeed PC- Matab s dat verrassend eenvodg. Het voor de opossng van de onbekende verpaatsngen reevante dee van het geassembeerde stese s n dt concrete voorbeed: 7 * en hert vogt: a v $ a 6, 56, 45, 45, 59 v = 5* $ =,, 4 $ $ Vervogens knnen de onbekende reactekrachten worden tgerekend met a X Y X Y $ 7 =, 9569, 45, 45, 59 5, 66 a $ v $ $ 4 = -,6667,5,6667 Ut de n bekende knooppntsverpaatsngen knnen de rekken n ae staven berekend worden, ds ook ae spannngen en staafkrachten. In de vogende paragraaf wordt het n rekenng brengen van de knematsche en dynamsche randvoorwaarden agemener behanded. $ Endge Eementen Methode n de vaste stof mechanca. verse: /4/ :59 PM

13 . Nmereke aspecten bj het opossngsproces.. Het n rekenng brengen van de randvoorwaarden In het voorgaande s geschetst hoe de eementenmethode kan worden toegepast om voor een eenvodg probeem een opossng te bepaen. Het stese knooppntsvergejkngen dat tendejk werd gevonden dt: a a a K = f Ook bj geavanceerdere toepassng van de endge eementen methode voor het vnden van benaderngsopossngen en we n de vogende paragrafen en dat het probeem tendejk wordt beschreven met een near stese vergejkngen van deefde vorm. Hern s a de koom met de verpaatsngscomponenten van ae systeemknooppnten, a f de koom met de componenten van de twendge knooppntskrachten en a K de symmetrsche systeemstjfhedsmatrx. In dee paragraaf en we ons beghoden met enge aspecten van het (nmereke) proces, van beang voor de opossng van de de onbekende verpaatsngscomponenten. Bj de afedng van het bovenstaande stese systeemvergejkngen hebben we nog geen rekenng gehoden met de knematsche randvoorwaarden, ds met voorwaarden de tot tdrkkng brengen dat voor bepade knooppnten de verpaatsngen een voorgeschreven waarde (gejk of ongejk aan n) hebben. Voor de knooppnten s de randbeastng onbekend; dt s de beastng, de nodg s om de voorgeschreven verpaatsngen te reaseren. In bovenstaand stese komt dt tot tdrkkng doordat een aanta componenten van de koom a een bekende waarde krjgt terwj de corresponderende componenten van koom a f onbekend jn. Herdoor s het net mogejk om met de gebrkejke procedres voor het opossen van standaard-vorm neare vergejkngen te hanteren. We moeten daarom op een andere maner te werk gaan en het stese vergejkngen overvoeren n een stese waarbj n het rechterd tstend bekende grootheden voorkomen.... Hernmmerng van rjen en koommen; permtate Door de hernmmerng van de componenten van a kan ervoor worden georgd dat a overgaat n een koom h, waarn ae bekende componenten gegroepeerd jn n de staart, terwj ae onbekende componenten aan de kop jn gerangschkt. Formee knnen we schrjven: h = p s $ Endge Eementen Methode n de vaste stof mechanca. verse: /4/ :59 PM

14 Herbj bevat koom ae onbekende verpaatsngscomponenten, ae bekende p verpaatsngscomponenten ongejk aan n en de onderdrkte componenten. De s componenten van a f worden op preces deefde maner hernmmerd: h f = f f p f s De koommen f $ p componenten van f en f s bevatten as componenten de onbekende reactekrachten. De jn bekend en bepaad t de voorgeschreven beastng de vertaad wordt naar knooppntskrachten. De hernmmerng van de componenten van a en a f heeft teraard ook gevogen voor de stjfhedsmatrx a K. In een matrx-prodkt van de vorm a a K mogen component en component j van a verwssed worden, as gejktjdg verwsseng paatsvndt van koom en koom j van de matrx a K. Verder gedt dat component en component j van a f verwssed mogen worden, as gejktjdg rj en rj j van a K verwssed worden. De hernmmerng van de componenten van a en a f moet ds gepaard gaan met een overeenkomstge hernmmerng van de koommen en de rjen van de matrx a K. Dt edt tendejk tot het ogenaamde gepermteerde en vervogens geparttoneerde stese: h h h K = f tgeschreven vogens: K K K p s K K K p pp ps K K K f f = p p. $ f s $ s$,, en,, 6 deematrces. Aangeen de matrx a K, oas we n s sp ss Hern jn Kj = p s j = p s het vervog en en net oas n het eenvodge voorbeed met staven, symmetrsch s en de Endge Eementen Methode n de vaste stof mechanca. verse: /4/ :59 PM 4

15 matrx h K ontstaat door de rjen en de koommen van a K op preces deefde wje te hernmmeren, a ook de gepermteerde matrx h K symmetrsch jn. Derhave gedt: K = K = ps,, en j=, ps,. j j7 6 We knnen het geparttoneerde stese sptsen n dre steses vergejkngen en we vnden dan de onbekende verpaatsngen t de opossng van het stese: K = f K. p p Vervogens knnen de onbekende reactekrachten n f p f = K + K en f = K + K. p pp s sp p p s p en f s eenvodg bepaad worden t: De voorgaande besprekng o de ndrk knnen wekken dat atjd eerst de matrx a K bepaad moet worden en dat daart vervogens door hernmmerng van rjen en koommen de deematrces Kj =, p, s en j =, p, s6 bepaad worden. Bj het samensteen van de eementstjfhedsmatrces tot de systeem-stjfhedsmatrx kan echter eenvodg rekenng gehoden worden met dee hernmmerng en knnen de deematrces drect worden bepaad. Herdoor kan bj verwerkng op een rekenmachne vee gehegenrmte worden bespaard en dat s een groot voordee. Zodra bekend s, jn ae componenten van de koom h bekend. Dt mpceert dat de verpaatsngscomponenten voor eder systeemknooppnt (en ds ook voor eder knooppnt van ek eement) bekend jn. Ook knnen dan bj bekende of veronderstede verpaatsngsveden bnnen de eementen, de verpaatsngen en de rekken n eder pnt bnnen ek eement bepaad worden. Vervogens knnen met de consttteve vergejkngen de reevante spannngsgrootheden worden berekend. Inden gewenst, knnen bovenden andere grootheden bepaad worden, oas de koom van de nwendge krachten op de knooppnten van een eement, jnen waarop een spannngsgroothed (bjvoorbeed de deëe spannng) constant s etc..... Aternateve verwerkng van de knematsche randvoorwaarden De knematsche randvoorwaarden knnen ook op een andere maner verwerkt worden. Dt a aan de hand van een voorbeed worden toegecht. Ste dat we aanvankejk het vogende stese van 6 vergejkngen hebben: 6 K K K K K K44 K55 K K 6 66 $ $ = f f 4 5 $ Endge Eementen Methode n de vaste stof mechanca. verse: /4/ :59 PM 5

16 4 De knematsche randvoorwaarden jn ds : = ; = 7. Er wordt dan op de e en de 4 e paats op de hoofddagonaa van de stjfhedsmatrx een extreem groot geta α geet, de koom met vrjhedsgraden wordt gehee onbekend verondersted en op de e en de 4 e paats van de koom n het rechterd wordt α respectevejk 7α geet. De derde en verde vergejkng en er dan as vogt t: α + δ = α met δ << α 4 α + δ = 7α met δ << α 4 waarmee de knematsche randvoorwaarden worden benaderd door het stese: K K K6 K α α K55 K K 6 66 $ $ α = 7α 5 $ met een gehee onbekend nkerd en een gehee bekend rechterd. De onbekende koom n het nkerd kan n rechtstreeks bepaad worden. Vervogens knnen met de e en 4 e 4 vergejkng t het oorspronkejke stese de onbekende reactekrachten f en f bepaad worden... De verpaatsng as star chaam De mogejkhed om de onbekende verpaatsngscomponenten te berekenen staat of vat met de regartet van de verkante symmetrsche matrx K. Dee matrx s reger dan en sechts dan as voor edere koom ( s een koom met nen) gedt K. Anders geegd: K s net reger (ds snger) as er een koom bestaat odang dat K =. We nemen n aan dat ae voorgeschreven verpaatsngscomponenten gejk jn aan n ( p een ege koom). Voor de gedghed van de n vogende beschowngen met betrekkng tot de regartet van K s dt geen beperkng. Er gedt n: K = f. As er een bestaat waarvoor K = en ds f =, dan jn er ds verpaatsngen van de knooppnten mogejk terwj er voor het reaseren van de verpaatsngen geen twendge beastng nodg s. De constrcte voert dan (ondanks het onderdrkken van ae verpaatsngscomponenten n, ds ondanks het opeggen van de voorwaarde = ) een s s s Endge Eementen Methode n de vaste stof mechanca. verse: /4/ :59 PM 6

17 verpaatsng t, gerepresenteerd door terwj f =. We knnen hert concderen dat K reger s dan en sechts dan as de beschowde constrcte na het voorschrjven van de verpaatsngscomponenten, de jn opgesagen n a, geen enkee verpaatsng meer kan tvoeren as star chaam. Voor het knnen opossen van de onbekende vrjhedsgraden moeten ds tenmnste ovee verpaatsngscomponenten worden voorgeschreven dat edere starre verpaatsng wordt onderdrkt. Dt s een eer essentee aspect bj de toepassng van de eementenmethode voor de anayse van het statsch gedrag van constrctes... Egenschappen van de stjfhedsmatrx We verondersteen n hetgeen vogt dat de matrx K reger s. Anders geegd: we verondersteen dat het chaam geen starre verpaatsng kan tvoeren. De stjfhedsmatrx a K s, oas we ater en aantonen, atjd symmetrsch. De door de knoopntskrachten verrchte arbed edt atjd tot een posteve eastsche energe. Ds gedt: f = K a a a a a Hert bjkt ds dat we op weswaar fyssche gronden knnen steen dat a K ook sempostef defnet s. Daart vogt onmddejk dat K ook mnstens sem-postef defnet s, m.a.w. dat gedt: K Aangeen K reger s (ds K voor ae ) vogt bovenden dat K net sechts sem-postef defnet maar efs postef defnet s, met andere woorden: K >. Samenvattend knnen we steen dat met betrekkng tot K gedt: K s symmetrsch K s reger K s postef defnet K s een bandmatrx met een bandbreedte de afhankejk s van de nmmerng van de knooppnten. Van dee egenschappen kan met vee voordee gebrk worden gemaakt bj het opossen van. In dee crss s het net de bedoeng om tgebred n te gaan op de vee opossngsprocedres de beschkbaar jn voor het opossen van neare steses vergejkngen waarn dee egenschappen worden tgebt. Endge Eementen Methode n de vaste stof mechanca. verse: /4/ :59 PM 7

18 . Een -D bakeement as voorbeed van een strctree eement In vee gevaen wordt net atjd tgegaan van de agemene dre dmensonae eastctetstheore maar van een bjondere theore waarbj a pror bepaade veronderstengen gemaakt worden over het verpaatsngsved en/of het spannngsved. Zo n bjondere theore evert dan dankj de veronderstengen een eenvodge opossng. Zo s n paragraaf. tgegaan van een staventheore. In dee paragraaf wordt tgegaan van de bgbakentheore en de torsestaventheore, en n het vogende hoofdstk en we de vakspannngstheore tegenkomen. Zo jn er nog vee andere bjondere theoreën oas de vakvervormngstheore, de paten- en schaentheore, de theore voor axsymmetrsche constrctes met axsymmetrsche beastng, en. Bj eder van dee theoreën hoort een endge eementenformerng. Het voert te ver om a dee theoreën bnnen het kader van dee crss te behandeen maar de meest gebrkte en eenvodge en we behandeen. We keen n dee paragraaf voor -D bakenconstrctes en de afedng van de endge eementenformerng voor een -D bakeement. Dt eement wordt een strctree eement genoemd omdat o n eement n het agemeen een op ch ef staand constrcte-onderdee vormt. Een -D bakeement s een prsmatsch eement waarvan de engte vee groter s dan de afmetngen oodrecht daarop, en dat stjfhed heeft met betrekkng tot trek en drk, bgng en torse. Daarom en achtereenvogens de endge eement formerngen voor een staafeement, een bgbak en een torsestaaf worden afgeed. Vervogens worden dee voor een -D bakeement gecombneerd. verpaatsngen en hoekverdraaïngen krachten en momenten Endge Eementen Methode n de vaste stof mechanca. verse: /4/ :59 PM 8

19 .. Een eenvodg tweeknoops staafeement We beschowen een -D staafeement met engte en knooppnten n een okaa Cartessch x, y, assenstese. We postoneren het staafeement met jn engteas angs de x- as, knooppnt op x = en knooppnt op x =. De eastctetsmods van het materaa s E. De oppervakte van de dwarsdoorsnede van de staaf s A. De koom met knoopntsverpaatsngen van de knooppnten en n de posteve x-rchtng s gedefneerd as x = $ De koom met knooppntskrachten op de knooppnten en n de posteve x-rchtng s gedefneerd as f = X X $ X x X Eenvodg s met eerstejaars mechanca af te eden dat er een neare reate s tssen de koom met knooppntsverpaatsngen en de koom met knooppntskrachten: f = K met K = EA $.. Een eenvodg tweeknoops -D bgbakeement (Berno) We beschowen een -D bakeement met engte en knooppnten n een Cartessch x, y, assenstese. We postoneren het staafeement met jn engteas angs de x- as, knooppnt op x = en knooppnt op x =. De eastctetsmods van het materaa s E. De kwadratsche oppervaktemomenten om de y-as respectevejk de -as jn I y en I. We gaan er vant dat de y-en de -as hoofdassen jn en dat ds gedt: I y =. Beschow eerst bgng om de -as (n het xy- vak. Endge Eementen Methode n de vaste stof mechanca. verse: /4/ :59 PM 9

20 Bgng om de -as We defnëren een koom met eementknooppntsverpaatsngen waarn naast de verpaatsngen v en v n de y-rchtng van de knooppnten en ook de hoekverdraangen om de -as ϕ en ϕ n de knooppnten as vrjhedsgraden voorkomen: = v ϕ v ϕ $ y ϕ x v ϕ v Verder defnëren we de koom met eementknooppntskrachten waarn naast de vertkae krachten n de y-rchtng n de knooppnten en, Y en Y ook de momenten n de knoopppnten M en M voorkomen: f = Y M Y M $ y M x Y M Y Met behp van de vergeetmjnetjes en we dan onmddejk dat gedt: = v v ϕ Y EI EI ϕ ϕ $ M EI EI $ En nverterng van dee matrxreate evert: Y EI 6EI v v ϕ 6EI 4EI M $ = $ ϕ ϕ $ Vanwege het evenwcht van krachten en momenten gedt ook: $ Endge Eementen Methode n de vaste stof mechanca. verse: /4/ :59 PM

21 Y M $ Y = M + Y % & K ' K = = $ EI 6EI 6EI 4EI EI 6EI 6EI EI $ EI 6EI $ + v v ϕ ϕ ϕ $ ( ) K $ * K Voor de koom met eementknooppntskrachten gedt dan ds: Y M Y M $ = of anders geschreven: Y M Y M $ = EI 6EI 6EI EI EI 6EI 6EI 4EI $ v v ϕ ϕ ϕ EI 6EI EI 6EI 6EI 4EI 6EI EI EI 6EI EI 6EI 6EI EI 6EI 4EI $ We defnëren de eementstjfhedsmatrx K met: $ v ϕ v ϕ $ v v ϕ ϕ ϕ $ Endge Eementen Methode n de vaste stof mechanca. verse: /4/ :59 PM

22 K = EI 6EI EI 6EI 6EI 4EI 6EI EI EI 6EI EI 6EI 6EI EI 6EI 4EI $ Dan knnen we de reate tssen de knooppntskrachten en de verpaatsngen voor dt eement weer schrjven as: K= f Bgng om de y-as Bj bgng om de okae y-as knnen we eveneens een koom met knooppntsverpaatsngen en een koom met knooppntskrachten defnëren met: = f = w ϕ w ϕ $ y y$ y y Z M Z M y y x x w ϕ y Z M y Hern jn w en w knooppntsverpaatsngen n de -rchtng en ϕ y en ϕ y hoekverdraangen om de y-as. Vokomen anaoog aan het geva met bgng om de -as vnden we n weer: K= f Maar n dt geva gedt dan: w ϕ y Z M y Endge Eementen Methode n de vaste stof mechanca. verse: /4/ :59 PM

23 K = EI 6EI EI 6EI 6EI 4EI 6EI EI EI 6EI EI 6EI 6EI EI 6EI 4EI y y y y y y y y y y y y y y y y $.. Een eenvodg torsebakeement Ook voor een eenvodg torsebakeement vogens De SantVenant s de stjfhedsmatrx eenvodg af te eden. Beschow hertoe een torsebakeement n een x, y, assenstese. We postoneren het bakeement met jn engte-as angs de x- as. Knooppnt op x = en knooppnt op x =. Het effecteve poare oppervaktemoment s J t en de gjdngsmods s G. We defnëren n een knooppntsverpaatsngskoom waarn de axae hoekverdraangen ϕ x en ϕ x van de knooppnten om de posteve x- as voorkomen: ϕ x x = ϕ x $ ϕ x ϕ x We defnëren de knooppntskrachtenkoom waarn de torsemomenten M x en M x om de posteve x- as op de knooppnten voorkomen: f = M M x x $ M x M x x Eenvodg s n af te eden dat voor de reate tssen en f gedt: K= f met K GJ t =..4 Een eenvodg -D frame-eement $ De theore oas de n het eerstejaars mechanca boek/dctaat s behanded. Endge Eementen Methode n de vaste stof mechanca. verse: /4/ :59 PM

24 Een -D frame-eement s een combnate van een staafeement, een -D bgbakeement en een torse-eement De verpaatsngskoom s n gedefneerd as: v w ϕ ϕ ϕ v w ϕ ϕ ϕ = x y x y en de overeenkomstge krachtenkoom as x y x y f = X Y Z M M M X Y Z M M M Er gedt n weer een neare reate tssen en f vogens K= f Eenvodg s n te en dat n gedt: K = EA EA EI EI EI EI 6 6 EI EI EI EI y 6 y y 6 y GJ GJ t t 6EI EI EI EI y 4 y 6 y y 6EI 4EI 6EI EI EA EA EI EI 6 EI 6EI EI 6EI EI 6EI y y y y GJt GJt 6EIy EIy 6EIy 4EIy 6EI EI 6EI 4EI Zo n -D frame-eement s meesta geegen n een gobaa Cartessch x, y, rchtngen net samenvaen met de okae ; x, assen t de vorge paragrafen. Daarom oden we het frame-eement egenjk n een okaa x, y, een verpaatsngskoom en een krachtenkoom f n dat okae assenstese. Er gedt dan teraard $ waarvan de moeten formeren met Met K K= f, en f dentek aan bovenstaande tdrkkng voor K, en f en vervangen door x, y en. maar met de ndces x,y Endge Eementen Methode n de vaste stof mechanca. verse: /4/ :59 PM 4

25 We wen n verband met de atere assembage van de eementen tot de te anayseren bakenconstrcte teraard ae grootheden betrekken op het gobae assenstese. Bj de overgang naar een gobaa assenstese defnëren we per eement een rotatematrx R vogens: R = $ met = c c c c c c c c c xx yx x xy yy y x y $ en = Hern s bjvoorbeed de component c xy de cosns van de hoek tssen de gobae x-as en de okae y -as, etc. De ontbndng van de componenten van n de okae x, y en rchtngen evert de componenten van vogens: = R Voor de krachtenkoom n het gobae x,y, assenstese gedt: f = R f Er gedt ds: f = R K = R KR We defnëren n de stjfhedsmatrx n het gobae assenstese K as: $ K = R KR Dan gedt ds tendejk n het gobae assenstese: K= f Endge Eementen Methode n de vaste stof mechanca. verse: /4/ :59 PM 5

26 Hoofdstk De geometrsch en fyssch neare eastctetstheore. Dscrete- verss contnümseementen Inden we een probeem net knnen modeeren met dscrete eementen, bjvoorbeed bakeementen, dan wordt de contnümsmechanca as tgangspnt gekoen voor de endge eementen formerng. We en ons herbj beperken tot de twee meest voorkomende gevaen. Dt jn de agemene -D contnümsformerng en de vakspannngsformerng, n de neare eastctetseer.. De -D contnümsformerng.. Knematca Beschow een wekerg deevome van een constrcte n de rmte met een orthonormaa Cartessch assenstese {x,y, }. Ieder materee pnt wordt geïdentfceerd met de postekoom x = x y n de onvervormde referenteconfgrate. Voor eder materee pnt x s de momentane toestand op tjdstp t voedg bepaad door de koom met postes x x, t x y =. De rmtejke gradënt van dee postes s bepaend voor de rekken ε x, t, en met de consttteve vergejkngen knnen de spannngen σ x, t n de rekken worden tgedrkt. De koom met verpaatsngen van een materee pnt n respektevejk de x, y en rchtng s gedefneerd as: x, t = v w = xx, t x Hdge confgrate met vome V x x Referenteconfgrate met vome V x y Het dakje betekens. boven de ddt er op dat dee groothed afhangt van x.het symboo krjgt ater een hee andere Endge Eementen Methode n de vaste stof mechanca. verse: /4/ :59 PM 6

27 De 6 rekcomponenten worden vogens de n de neare eastctetseer ( d.w.. kene deformates en kene rotates) gebrkejke defntes n een koom ε geet vogens: xx yy xy y x ε = ε ε ε γ γ γ = Hern s de matrx met gradëntoperatoren gedefneerd as: = x yo y x y x $.. Consttteve vergejkngen De 6 spannngscomponenten worden n een koom met spannngen σ geet vogens: σ = σ xx σ yy σ τ xy τ y τ x Hern s σ xx de normaaspannng op een vakje met btennormaa n de x-rchtng en τ xy een schfspannng n de x-rchtng op een vakje met btennormaa n de y-rchtng of vanwege het momentenevenwcht preces omgekeerd. Vogens de wet van Hooke voor near eastsch sotroop materaa gedt: ε ε ε ε ε ε xx yy xy y x $ = ν ν E E E ν ν E E E ν ν E E E G G G $ = σ σ σ τ τ τ xx yy xy y x $ Endge Eementen Methode n de vaste stof mechanca. verse: /4/ :59 PM 7

28 met E de eastctetsmods, ν de dwarscontractecoëffcënt en G de gjdngsmods. De bovenstaande symmetrsche matrx de het neare verband tssen de rekken en spannngen karakterseert noemen we de compantematrx of fexbtetsmatrx H : H = ν ν E E E ν ν E E E ν ν E E E G G G $ = E 5$ ν ν ν ν ν ν + ν5 + ν5 + ν We schrjven het bovenstaande consttteve verband vogens Hooke n as ε = H σ As ν dan s H reger en heeft dan een nverse de we de okae stjfhedsmatrx D noemen. Eenvodg s t D = H af te eden dat gedt: D = 5$ ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν5 ν ν E ν5 + ν5 ν5 5 Met D knnen de spannngen n de rekken worden tgedrkt vogens: σ = Dε Endge Eementen Methode n de vaste stof mechanca. verse: /4/ :59 PM 8

29 .. De evenwchtsvergejkngen Ut het evenwcht van een nfntesmaa ken bokje materaa n eder pnt van de constrcte n de hdge confgrate kan eenvodg worden afgeed dat moet geden: met = σ+ q = n V x y y x y x $ en q de koom met de krachten per vome-eenhed n de hdge toestand. Omdat de vervormngen en de rotates as star chaam eer ken verondersted worden, mogen we vervangen door en knnen we q ook betrekken op de referentetoestand. We mogen dan voor de formerng van het evenwcht schrjven: V σ+ q= n of tgedrkt n het verpaatsngsved: 4 D 9+ q= n V Voor de eenddge opossng van dt stese tweede orde partëe dfferentaavergejkng en jn rmtejke randvoorwaarden nodg. In het agemeen hebben we een set ogenaamde knematsche randvoorwaarden en een set dynamsche randvoorwaarden. Met knematsche randvoorwaarden bedoeen we dat op een randgedeete Γ verpaatsngen jn voorgeschreven en met dynamsche randvoorwaarden bedoeen we dat op een randgedeete Γ σ de externe beastng s voorgeschreven. We oeken ds een opossng voor x de overa n V aan het stese dfferentaavergejkngen en op de rand tevens aan de randvoorwaarden vodoet. Dt s meesta eer moejk tot onmogejk as de constrcte een onregematge vorm heeft. Daarom jn er benaderngsmethoden ontwkked en daar s de endge eementenmethode er een van. Door, oas we n het vogende hoofdstk en en, bepaade veronderstengen te doen over het verpaatsngsved jn we meesta n staat om overa n de constrcte een goede Endge Eementen Methode n de vaste stof mechanca. verse: /4/ :59 PM 9

30 benaderng voor het verpaatsngsved en daart vervogens va dfferentate een benaderng voor het rekved te vnden. oepassng van de wet van Hooke evert dan vervogens weer een benaderng voor het spannngsved.. Samenvattng van de geometrsch en fyssch neare eastctetseer n de contnümsmechanca Vedgrootheden (met x V ) = x ε = ε x σ = σ x Aanta Vergejkngen gedg voor ae x V Rek-verpaatsngsreates ε = 6 Consttteve vergejkngen σ = Dε 6 Evenwchtsvergejkngen σ+ q = otaa 5 otaa 5 Voor dt stese oeken we een benaderngsopossng met de e.e.m..4 De toestandsbeschrjvng van het -D vakspannngscontnüm.4. Knematca Aanta Beschow een wekerg deevome van een vakke constrcte met constante dkte t n de rmte met een orthonormaa Cartessch assenstese {x,y, }. Het mddenvak van de constrcte gt op =. De constrcte wordt beast door krachten n de x- en y-rchtng, gejkmatg over de dkte verdeed. Wat de verpaatsngen betreft wordt aangenomen dat ek recht jntje oodrecht op het mddenvak (en ds evenwjdg aan de -as) na vervormng recht en evenwjdg aan de -as s gebeven. Dt betekent dat de verpaatsngen en v (n x-en y- rchtng) geen fncte jn van maar aeen afhankejk jn van x en y. 6 6 mddenvak = y x dkte t Endge Eementen Methode n de vaste stof mechanca. verse: /4/ :59 PM

31 De verpaatsng w n de - rchtng wordt verder net n de beschowng betrokken. De koom met verpaatsngen s derhave: v = $ De koom met reevante rekgrootheden s n dt geva ε = ε ε γ = xx yy xy met x = y yo x $.4. Consttteve vergejkngen t De spannngsgrootheden σ, τ y en τ x voor onder-en bovenvak =± jn gejk aan t t n en aangenomen wordt dat dat ook het geva s tssen onder-en bovenvak < <. Voor de spannngstoestand jn aeen σ xx, τ yy en τ xy reevant; aangenomen wordt dat dee spannngen constant jn over de dkte van de paat hetgeen mpceert dat e aeen een fncte jn van x en y. De koom met reevante spannngscomponenten σ s n dt geva: σ = σ xx σ yy τ xy De wet van Hooke voor near eastsch sotroop materaa gedt n dt geva weer: ε = H σ maar n gedt: H = E ν E ν E E G $ Endge Eementen Methode n de vaste stof mechanca. verse: /4/ :59 PM

32 Inverteren van de compantematrx of fexbtetsmatrx H evert as de okae stjfhedsmatrx voor vakspannng D: D = E νe ν ν νe E ν ν G $ We schrjven het bovenstaande consttteve verband vogens Hooke weer as σ = Dε.4. De evenwchtsvergejkngen Ut het evenwcht van een nfntesmaa ken bokje materaa n een wekerg pnt van de constrcte n de hdge confgrate kan weer eenvodg worden afgeed dat onder de voorwaarde van geometrsche neartet moet geden : V σ+ q= n met q de koom met de beastng per vome-eenhed q x q y..5 Samenvattng van de geometrsch en fyssch neare eastctetseer bj -D vakspannng Vedgrootheden (met x V ) = x ε = ε x σ = σ x Aanta Vergejkngen gedg voor ae x V Rek-verpaatsngsreates ε = Consttteve vergejkngen σ = Dε Evenwchtsvergejkngen σ+ q = otaa 8 otaa 8 Voor dt stese oeken we een benaderngsopossng met de e.e.m. Aanta Endge Eementen Methode n de vaste stof mechanca. verse: /4/ :59 PM

33 Hoofdstk De endge eementen dscretserng. Benaderngsfnctes voor het verpaatsngsved Met de endge eementenmethode wordt een benaderng geocht voor de opossng van de dfferentaavergejkngen de het mechansche (of eventee anderssoortge) probeem beschrjven. Een van de maatregeen de we hertoe nemen s het voorschrjven van de aard van de benaderngsfnctes voor de verpaatsngen. We deen hertoe de constrcte op een een groot aanta deevomes, eementen genaamd. Bj toepassng van de -D theore jn dat vome-eementen en bj toepassng van de vakspannngstheore jn dat vakke eementen met een bepaade dkte. Zo heeft edere bjondere theore bjbehorende eementen. De randen van de vome-eementen jn n het agemeen (gekromde) randvakken (faces) de ekaar snjden vogens randkrommen n de rmte (edges). Verder ggen er ogenaamde knooppnten op of bnnen de rand van het eement. Ze ggen meesta, maar net noodakejk, op de randkrommen, en daarbj meesta op de hoekpnten, dat jn de snjpnten van de randkrommen. Bnnen ae eementen wordt een verpaatsngsved aangenomen tgedrkt n de coördnaten en een aanta parameters. As we de parameters op de een of andere maner knnen berekenen dan s het benaderde verpaatsngsved bekend. Ut het benaderde verpaatsngsved knnen dan vervogens de benaderde rekken en spannngen worden bepaad. Over het vome van de constrcte wordt een ogenaamd netwerk van eement geegd. We noemen dt dan een mesh. De generate van o n mesh gebert meesta atomatsch met een programma dat we een meshgenerator noemen. Zo n meshgenerator s weer een onderdee van een ogenaamde preprocessor de meesta samen gaat met een postprocessor waarmee de restaten van de endge eementen methode berekenngen grafsch worden gerepresenteerd.. De probematek van aanstng of compatbtet Bj het toepassen van de eementenmethode wordt dat n de onvervormde toestand van een eement, de vorm vastgeegd met de specfcate van de coördnaten van de knooppnten, de a dan net op de eementranden ggen. As de knooppntsverpaatsngen gegeven jn, a ook de vorm van o'n eement n de vervormde toestand bekend jn. De eementformerng dent odang te jn dat, owe n onvervormde as n vervormde toestand, aangrenende eementen preces tegen ekaar passen onder dat speten tssen de eementen voorkomen en onder dat overappng optreedt: de eementen denen compatbe te jn. Door de knooppnten op een gemeenschappejke jde te aten samenvaen s n eder geva de contnïtet van de verpaatsngen n de knooppnten gewaarborgd (e onderstaande fgr). Voor de contnïtet tssen de knooppnten n, denen extra voorenngen getroffen te worden. Voor de eenvod wordt een en ander toegecht aan -D eementen. Extrapoate naar -D eementen kan men ch dan verder eenvodg voorsteen. Endge Eementen Methode n de vaste stof mechanca. verse: /4/ :59 PM

34 net-compatbe compatbe en behoeve van de compatbtet a n eder geva geëst moeten worden dat de vorm van een eementrand (n onvervormde of vervormde toestand) voedg wordt bepaad door de (oorspronkejke of hdge) coördnaten van de knooppnten op de eementrand. De correcte aanstng van eementen onderng stet een aanta esen aan de bj de eementformerng behorende geometrebeschrjvng. Met een aanta andere esen dent echter eveneens rekenng gehoden te worden. Wanneer de knooppntsverpaatsngen een verpaatsng as star chaam representeren, dent het verpaatsngsved odang te jn dat het gehee eement as star chaam verpaatst en dat derhave de bjbehorende rekken gejk jn aan n. evens dent het verpaatsngsved de mogejkhed te beden dat homogene rekveden (constante rekken) optreden opdat voor een bepaade constrcte bj eementverfjnng convergente naar de exacte opossng optreedt. ensotte s het gewenst dat de stjfhed van een eement onafhankejk s van de stand t.o.v. het coördnatensysteem. De kee van de geometrebeschrjvng s beperkt doordat bj voorker aan een aanta voorwaarden vodaan moet jn om een fyssch reëe opossng te krjgen. Samengevat:. Compatbtet. De aanstng van de eementen moet gegarandeerd jn.. Ieder eement moet een bewegng as star chaam knnen representeren.. Bnnen eder eement moet een constant rekved gerepresenteerd knnen worden. 4. De stjfhed moet ongevoeg jn voor de rmtejke orëntate. Het s soms eer moejk, o net onmogejk, om aan a dee esen te vodoen. Onder bepaade condtes s dat overgens ook net gehee noodakejk om tot nvoe restaten te komen. Het s bjvoorbeed best mogejk dat meshverfjnng met ncompatbee eementen convergente naar de exacte opossng opevert.. Een vak drehoekg eement as eenvodg voorbeed We nemen as voorbeed het vogende -knoops drehoekg eement. y v x Endge Eementen Methode n de vaste stof mechanca. verse: /4/ :59 PM 4

35 We maken vanwege de geometrsche neartet geen ondersched tssen koommen met verpaatsngen x, y6 en xy, 6 en gebrken n het vervog xy, 6 of x 49 We verondersteen dat de verpaatsngen 49 x en vx 49 neare fnctes van x en y jn. We knnen dan schrjven: c c x o y o c = Mc v x y c $ = $ = 4 c 5 c waarbj de van x en y afhankejke matrx M s gedefneerd met: M = x o y o x y $ 6 $ en de koom c met coëffcënten c = c c c c c c Er jn 6 vrjhedsgraden, de verpaatsngen van de knooppnten n x-en y-rchtng, en ook 6 coëffcënten. Het gt ds voor de hand dat we gaan proberen de coëffcënten t te drkken n de vrjhedsgraden van het eement. De consstente-es stet dat de koom met knooppntsvrjhedsgraden: = v v v as vogt kan worden tgedrkt n de koom met coëffcënten c : v v v $ = x y x y x y x y x y x y en met de defnte van de regere 6*6 matrx G vogens: G = x y x y x y x y x y x y $ $ c c c c c c $ (regere 6*6 matrx) Endge Eementen Methode n de vaste stof mechanca. verse: /4/ :59 PM 5

36 schrjven we de consstente as: = Gc en daart vogt: c = G Hermede schrjven we voor de koom met verpaatsngen voor een wekerg pnt van het eement: = MG We defnëren een matrx met ogenaamde nterpoatefnctes N gedefneerd as: N = MG waarmee we de koom met verpaatsngen voor een wekerg pnt van het eement schrjven as: = N In verband met de grote hoeveehed rekenwerk aten we de berekenng van G achterwege en vermeden we sechts dat N de vogende vorm heeft: N = N N N N N N Bj eder knooppnt hoort een nterpoatefncte N, near n x en y. Uteraard moet geden: j N 4x 9= δ met j δ j = as j en δ j = as = j $ We en n controeren of het ads benaderde verpaatsngsved vodoet aan de ver esen de we aan benaderngsveden hebben gested. Omdat de verpaatsngen angs de rand van een eement (tssen twee knooppnten) near veropen en twee aangrenende pnten de op twee, n onbeaste toestand aangrenende, eementranden ggen, aebe deefde verpaatsng ondergaan en na vervormng nog steeds aan ekaar grenen. Ook en de randen na vervormng recht bjven. De formerng edt ds tot een compatbe verpaatsngsved. As ae knooppnten deefde verpaatsng hebben dan hebben ook ae randen deefde verpaatsng en dan hebben ds ook ae nterne pnten deefde verpaatsng. De bewegng as star chaam wordt ds goed beschreven. Bj een starre rotate hoort een near verpaatsngsved n x en y. Ds as de Endge Eementen Methode n de vaste stof mechanca. verse: /4/ :59 PM 6

37 knooppnten om een bepaad pnt n de rmte roteren dan roteren de pnten bnnen het eement om hetefde pnt. Omdat rekken bnnen het eement atjd constant jn s aan de es dat een constante rek moet knnen worden gerepresenteerd atomatsch vodaan. Langs eder wekerg jntje veroopt de verpaatsng near en s de rek constant, onafhankejk van de orëntate van het eement. Dt eement vodoet ds aan ae esen. Bj een constrcte met een sterk heterogeen rekved bjken n de praktjk echter noga vee eementen nodg te jn om o n ved goed te beschrjven. We knnen de rekken eenvodg bepaen: ε = ε ε γ xx $ = = N = N N N x x x N N N y y y N y N x N y N x N y N x yy xy Hern s de matrx B gedefneerd as: B = N N N x x x N N N y y y N y N x N y N x N y N x $ $ = B Zonder tvoerng van a het het bjbehorende rekenwerk vermeden we dat bj dt eement gedt: B = A y y y y y y x x x x x x x x y y x x y y x x y y met het oppervak A van de drehoek: A= x x y y x x y y De nmmerng,, moet tegen de kok n jn opdat A postef s. We merken op dat B her (bj tonderng) constant s en ds de koom met rekken ook. De per eement constante koom met spannngen vnden we eenvodg t σ = Dε = DB $ Endge Eementen Methode n de vaste stof mechanca. verse: /4/ :59 PM 7