Etra oefening - Basis B-a 6 9 ( )( + ) of + = of = ( g + )( g ) = 7 g g = 7 g g ( g 6)( g + ) g 6 of g + g = 6 of g = c r = 6r 6r + r r( r + ) r of r + r of r = d 8 v( v + ) = 8 v 0v = v 0v + 00 v + v 0 ( v )( v + 0) v of v + 0 v = of v = 0 e a = ( a ) a = a + a + a a + 6a 7 ( a 6)( a + ) a 6 of a + a = 6 of a = f ( s + )( s ) 6 = s s 6 = s s s = s = of s = B-a D = 8 = 6 8 = 6, dus D > 0 en er zijn twee snijpunten. = 8 + 6 of = 8 6 8+ 8 = = = of = = = 6 De paraool snijdt de -as in de punten (, 0) en ( 6, 0). c D = ( 7) = 9 8 =, dus D > 0 en er zijn twee snijpunten. d D = 6 = 6 8 =, dus D < 0 en er zijn geen snijpunten. e D = ( ) = 8 8, dus D en er is één snijpunt. B-a D = ( ) = + = 6 = + 6 of = 6 = + = of = = = D = = 96 76 n = + 0 of n = 0 n = + 0, 6 of n = 0, 8 6
c D = ( 6) 6 = 6 + 00 = 96 d f = 6 + 96 of f = 6 96 6+ 6 f = = = 6 of f = 6 6 = 0 = 8 8 8 8 z( z 6) = 6 z z + 6 D = ( ) 6 = 9 = z = + of z = Dit kan niet, want de wortel uit een negatief getal estaat niet. B-a ( d ) = 9 d = 7 of d = 7 d = of d = f = f f + f f ( f + ) f of f + f of f = c ( m + )( m ) = m + m 6 = m + m D = = + 6 = 7 m = + 7 of m = 7 m = + 7, 6 of m = 7, 6 d w 6w w 6w 0 w w ( w + )( w ) w + of w w = of w = B-a De grafiek is een dalparaool. De kleinste uitkomst krijg je als. Invullen van geeft f ( 0) + + =. De coördinaten van de top zijn (0, ). De grafiek is een dalparaool. De kleinste uitkomst krijg je als +, dus als =. Invullen van = geeft g( ) = ( + ). De coördinaten van de top zijn (, 0). c De grafiek is een ergparaool. De grootste uitkomst krijg je als, dus als =. Invullen van = geeft h( ) = ( ) + = 0 + + =. De coördinaten van de top zijn (, ). d De grafiek is een ergparaool. De grootste uitkomst krijg je als. Invullen van geeft i( 0) = 0 =. De coördinaten van de top zijn ( 0, ). 6
e De grafiek is een dalparaool. De kleinste uitkomst krijg je als +, dus als =. Invullen van = geeft j( ) = ( + ) =. De coördinaten van de top zijn (, ). f De grafiek is een ergparaool. De grootste uitkomst krijg je als. Invullen van geeft k( 0) = 0 + 7 + 7 = 7. De coördinaten van de top zijn ( 0, 7 ). B-6 In Amsterdam is de evenwichtsstand, C, de periode maanden en de amplitude 8, C. In Irkutsk is de evenwichtsstand 6 C, de periode maanden en de amplitude C. In Santiago is de evenwichtsstand C, de periode maanden en de amplitude 6 C. B-7a/ g() = + O O B-8a 6 8 0 6 8 f () = 8 c Bij de nieuwe grafieken horen de functievoorschriften F( ) = 0, G( ) = + en H( ) = +. c 6 8 0 6 8 O 66 0 0 0 0 0 h () = Als je de grafiek eerst met vermenigvuldigt, dan wordt de dalparaool een ergparaool die even reed is. Als je daarna met vermenigvuldigt, dan wordt de paraool ingedrukt omdat er met een getal tussen 0 en vermenigvuldigd wordt. O 6 c a Als je de grafiek eerst met vermenigvuldigt, dan wordt de dalparaool een ergparaool die even reed is. Als je daarna met vermenigvuldigt, dan wordt de paraool uitgerekt omdat er met een getal groter dan vermenigvuldigd wordt. Zie de tekening hieroven.
B-9a c Je moet dan met de factor vermenigvuldigen. Door de grafiek van f ten opzichte van de -as met de factor te vermenigvuldigen ontstaat de grafiek van F( ) = ( ) oftewel F( ) = +. Je moet de grafiek vervolgens 6 naar eneden verschuiven, want dan krijg je de grafiek van g( ) = + 6 oftewel g( ) =. Je moet de grafiek van f dan eerst naar oven verschuiven, want dan krijg je de grafiek van F( ) = + oftewel F( ) = +. Daarna moet je de grafiek ten opzichte van de -as met de factor vermenigvuldigen, want dan krijg je de grafiek van g( ) = ( + ) oftewel g( ) =. Etra oefening - Gemengd G-a D = ( 8) = 6 8 = 6 = 8 + 6 of = 8 6 = 8 + 8 = = 6 of = = = De snijpunten van deze grafiek met de -as zijn (6, 0) en (, 0). 8 + = 8 + 6 D = ( 8) 6 = 6 6, dus deze grafiek heeft één snijpunt met de lijn = en de top van deze grafiek ligt op de lijn =. c 8 + = 0 8 8 D = ( 8) 8 = 6 76 =, dus D < 0 en de grafiek die ij a = hoort heeft geen snijpunten met de lijn = 0. d 8 + D = ( 8) = 6 7 = 8, dus D < 0 en de grafiek die ij a = hoort heeft geen snijpunten met de horizontale as. e 6 0 O 6 7 0 g() = 8 + 8 8 6 67
G-a ( n ) = 7 n = 7 of n = 7 n = + 7 of n = 7 ( + ) = 0 ( + ) = + = of + = = + of = c ( v + )( v ) = 0 ( v + )( v ) = v = v = 6 v = 6 of v = 6 d ( r + 8)( r ) r + 8 of r r = 8 of r = r = of r = e 6 + 7u = u 6u 6u + u + 6 u + u + ( u + )( u + ) u + of u + u = f ( p) 9 ( p) = 9 p = of p = p = of p = 8 p = of p = G-a = 6 98 D = 98 = + 76 = 0, dus D > 0 en de grafiek van Yanicke heeft twee snijpunten met de lijn = 6. D = = + 0 = 79 = + 79 of = 79 = + 7 7 = = 7 of = = = 6 6 6 6 De coördinaten van de snijpunten zijn (7, 0) en (, 0). c De smmetrieas ligt ij =. Invullen van = geeft f ( ) ( ) = = 8 7 = 60. De coördinaten van de top van de grafiek zijn (, 60 ). G-a 8q + 0q 88 q q + 6 ( q )( q ) q of q q = of q = De coördinaten van de snijpunten van de grafiek van W met de horizontale as zijn (, 0) en (, 0). Bij 00 = 00 verkochte Blu-ra spelers en ij 00 = 00 verkochte Blu-ra spelers is de winst voor het edrijf 0 euro. c De smmetrieas ligt ij q = 7. Bij 7 00 = 70 verkochte Blu-ra spelers maakt het edrijf maimale winst. d Invullen van q = 7 geeft W = + 8 ( 7 ) 0 7 88 = 0 + 900 88 = 6. De maimale winst die het edrijf kan maken is 6 000 = 6 000 euro. 68
G-a R in m 0 0 0 0 00 90 80 70 60 0 0 0 0 0 0 0 R,008 s R,007 s 0 0 0 0 0 60 70 80 90 00 0 0 s in km/uur Bij een snelheid van 00 km/uur hoort een remspoor van 0, 007 00 = 7 meter. Bij een remspoor van 08 meter hoort een snelheid van zo n 0 km/uur. De politie ekeurt de automoilist omdat hij te hard reed. c Zie de tekening hieroven. d Bij een snelheid van 00 km/uur hoort een remspoor van 0, 008 00 = 8 meter. Ja, de automoilist zou dan ook zijn ekeurd. G-6a Invullen van = geeft f ( ) = ( ) = 9. Dat vermenigvuldigen met geeft = 9 = 7. Nee, het punt (, 7) ligt niet op de nieuwe grafiek. Of: Bij de nieuwe grafiek hoort de functie F( ) =. Invullen van = geeft F( ) = ( ) = 7. Nee, het punt (, 7) ligt niet op de nieuwe grafiek. De grafiek van f ten opzichte van de -as met een factor k vermenigvuldigen geeft de functie g( ) = k. Daarna naar eneden verschuiven geeft de functie h( ) = k. Invullen van = en = 9 geeft 9 = k oftewel 9 = 6k. Dat geeft 6k = dus k =. Bij deze grafiek hoort het functievoorschrift h( ) =. G-7a 0 8 6 O 6 De top van de grafiek van g is (0, ). De top van de grafiek die ontstaat moet op de lijn = 0 liggen. De grafiek van g wordt met de factor k = vermenigvuldigd. 69
Complee opdrachten C- De grafieken heen geen punten gemeenschappelijk met de -as als de discriminant van de vergelijking 0, + + c negatief is. Oplossen van D = 0, c geeft 6 c oftewel c = 6, dus c = 8. Voor c = 8 raakt de grafiek de -as. Voor c > 8 heen de grafieken geen punten gemeenschappelijk met de -as. C- Invullen van = in de eerste vergelijking geeft ( ) ( = + ) oftewel ( 8 ) = ( ) en dat klopt niet. Invullen van = in de tweede vergelijking geeft ( 7 ) ( = + ) oftewel ( ) = ( ) en dat klopt. Invullen van = in de tweede vergelijking geeft ( 7 ) = ( + ) oftewel ( 6 ) = ( 6 ) en dat klopt. De oplossingen = en = horen ij de tweede vergelijking. Invullen van = in de eerste vergelijking geeft ( ) ( = + ) oftewel ( ) = ( ) en dat klopt. Invullen van = 7 in de eerste vergelijking geeft ( 7 ) = ( 7 + ) oftewel ( 0 ) = ( 0 ) en dat klopt. De oplossingen = en = 7 horen ij de eerste vergelijking. C- Bij a en ij a = 0 hoort h. De formule is dus van de vorm h = pa( a 0 ). Voor de grootste hoogte geldt h = 0 en a. Invullen van h = 0 en a geeft 0 = p 0 ( 0 0) oftewel 0 = 00p, dus p =. 0 De gezochte formule is h = a( a ) en zonder haakjes is dat h = a + a. 0 0 C- ( + )( ) + of = of = De smmetrieas ligt ij =. Invullen van = geeft f ( ) = = 8 = 9. De top van de paraool is het punt (, 9). Invullen van = en = 9 geeft + p = 9 oftewel + p = 9, dus p =. C- De vergelijking + + 6 = oftewel + + 0 moet één oplossing heen. De discriminant van deze vergelijking is D = 0 oftewel D = 0. Er moet gelden D en dan moet gelden 0 oftewel = 0. De oplossing daarvan is = 0 of = 0. Omdat 0 = 6 = 6 = 8 kun je dat eenvoudiger schrijven als = 8 of = 8. 70 0
C-6 Het hellingsgetal van de grafiek van het oude salaris is 800 000 = 800. 60 0 0 Het hellingsgetal van de grafiek van het nieuwe salaris is 99 = 880 =. 60 0 0 Er is vermenigvuldigd met de factor : 0 =, en de salarissen worden met 0% verhoogd. De edragen van e.000,- en e.800,- met 0% verhogen levert e.00,- en e.980,- op. De salarissen worden daarna nog met e,- verhoogd. C-7 De amplitude van grafiek A is en de amplitude van grafiek B is 0,. Verder is grafiek A gespiegeld om grafiek B te krijgen. Je moet grafiek A dus eerst ten opzichte van de -as met de factor 0, vermenigvuldigen. Daarna moet je de grafiek nog omhoog schuiven. C-8 Tussen 0 en 6 snijdt de grafiek de -as keer. Tussen 78 = 6 en 0 6 snijdt de grafiek de -as ( 0 ) = keer. Het laatste snijpunt ligt net voorij = 8. Tussen = 78 en = 8 snijdt de grafiek de -as = keer. Tussen 0 en 6 heeft de grafiek toppen. Tussen 78 en 0 heeft de grafiek toppen. De laatste top ligt net voorij = 8. Tussen = 78 en = 8 heeft de grafiek toppen. Technische vaardigheden T-a = 6 0 = 00 c : = d % van 00 is e 0% van 0 is 0 f 7 % van 800 is 00 T-a 0 8 7 0 0 0,00 0,0 0,0 0, 0, 9 7 g = 7 7 7 h + = i = 0 c 0 7,89 6,9,97,7, 8,9,66 kan niet kan niet T-a De kans op een hartenkaart is = en dat is %. De kans op een aas is = en dat is ongeveer 7,69%. c De kans dat de kaart een klaveren of een schoppen is is 6 = en dat is 0%. d De kans op een plaatje is = en dat is ongeveer 0,77%. e De kans op de schoppenaas is en dat is ongeveer,9%. 7 7 7
T-a 6 = 6 6 = 96 en 7 = 9 7 = 6, dus 6 is groter. 6 = 6 6 = 96 en 6 = 6 = 08, dus 6 is groter. c ( ) = = = 9 = en ( ) = = = = 7, dus ( ) is groter. T-a Het hellingsgetal is 9 6 = =. De formule is van de vorm = +. Invullen van = en = 9 geeft 9 = + 9 = + = De formule van lijn l is = +. Het hellingsgetal is 7 = =. De formule is van de vorm = +. Invullen van = 7 en = geeft = 7 + = + = De formule van lijn m is = +. c De formule is van de vorm = +. Invullen van = en = geeft = + = + = De formule van lijn n is = +. d Lijn p gaat door de punten (, 6) en (, ). Het hellingsgetal is 6 = 9 =. De formule is van de vorm = +. Invullen van = en = 6 geeft 6 = + 6 = + = 9 De formule van lijn p is = + 9 e Het hellingsgetal is = 7 =. De formule is van de vorm = +. Invullen van = en = geeft = + = + = 8 De formule van lijn q is = 8.. 7
T-6a f ( ) = ( + )( ) + + 6 f ( ) = + 6 g( ) = ( ) + g( ) = c h( ) = + ( + )( + 7) +7 +7 + + + h( ) = + + 9 + h( ) = + 9 + 8 T-7a zijde kwadraat AB = 9 AC = 6 + BC =... De lengte van lijnstuk BC is = cm. zijde kwadraat KL = LM =... + KM = 69 De lengte van lijnstuk LM is = cm. zijde kwadraat PQ = 76 QR = 6 + PR =... 0 De lengte van lijnstuk PR is 0, 66 cm. zijde kwadraat ST 00 SU = + TU = 9 8 Er geldt 00 + = 8, dus STU is rechthoekig. zijde kwadraat XY = XZ = + YZ = Er geldt + <, dus XYZ is stomphoekig. d k( ) = ( )( + 6) +6 7 + 8 k( ) = 7 + e l( ) = ( 7)( + 7) +7 +7 7 7 9 l( ) = 9 f m( ) = ( + )( ) + ( 6) + + 0 6 8 m( ) = 0 + 8 m( ) = 9 0 7
T-8a ( )( 6) of 6 = of = 6 + = 90 + 90 ( 9)( + 0) 9 of + 0 = 9 of = 0 c + 6 + 8 ( + )( + ) + of + = of = T-9a Van rij A is de modus, de mediaan 7, en het gemiddelde 80 : 8 = 0. Van rij B is de modus, de mediaan 6 en het gemiddelde 67 : 7, 9. De kleinste is 7 cm lang en de spreidingsreedte is cm, dus de grootste is 7 + = 89 cm lang. Het eerst kwartiel is cm en de kwartielafstand is 8 cm, dus het derde kwartiel is + 8 = 7 cm. c T-0a d + 6 7 ( )( + 7) of + 7 = of = 7 c d 0 0 0 60 70 80 90 lengte in cm e ( + ) = + = of + = = of = 7 f ( ) = 6 = 6 of = 6 = 0 of = = of = Het derde kwartiel ligt ij 7 cm, dus ongeveer % van de rugklassers is langer dan 7 cm. Dat zijn ongeveer 9 rugklassers. Bij deze tael hoort een eponentiële formule, want de getallen in de onderste rij worden telkens met 0, vermenigvuldigd. De eginhoeveelheid is 0. t De formule is h = 0 0,. Bij deze tael hoort een lineaire formule want ij de getallen in de onderste rij komt steeds 0 ij. Het hellingsgetal is 0 : = en het startgetal is 0 =. De formule is h = t. Bij deze tael hoort een lineaire formule want ij de getallen in de onderste rij komt steeds 7 ij. Het hellingsgetal is 7 en het startgetal is 7 7 =. De formule is h = 7t. Bij deze tael hoort een eponentiële formule, want de getallen in de onderste rij worden telkens met 0, vermenigvuldigd. De eginhoeveelheid is 60 : 0, = 60. t De formule is h = 60 0,. g h ( ) = = ( + )( ) + of = of = ( + ) = + = + ( )( + ) of + = of = 7
Door elkaar D-a Invullen van = 6 en = geeft = a oftewel = a, dus a = 9. 6 8 = 6 O c Een constante functie is van de vorm f ( ) = c. De grafiek van de constante functie gaat door het punt (, ), dus het functievoorschrift is f ( ) =. Invullen van = en = geeft = a oftewel = a, dus a = 0. 6 D-a André heeft in totaal 9 + + + = 9 doelpunten gescoord. In totaal heeft hij 7 + 9 + + + = wedstrijden gespeeld. Hij heeft gemiddeld per wedstrijd 9 : 0, 8 doelpunten gescoord. c De afwijkingen van het gemiddelde zijn 9 9 0 =, 9 =, 9 =, 9 = en 9 =. De gemiddelde afwijking van het gemiddelde is 9 ( 7 + 9 + + + ) : = 9 : 0, 8 doelpunten. d De mediaan is 0, doelpunten, de modus is 0 doelpunten en het gemiddelde is ongeveer 0,8 doelpunten. Hij kan dan het este het gemiddelde geruiken. D-a Eén ard is 9, cm, dus de hoogte van het reuzenrad is 7 9, =, 68 cm. De omtrek van het reuzenrad is π, 68 8 cm. afstand in meters 000,8 tijd in minuten 60 0,06,6... Eén rondgang van het reuzenrad duurt ongeveer minuten. De periode is 60, 6... 0 seconden, de evenwichtsstand is de helft van de hoogte en dat is 7 : = 7, ard of, 68 : = 670, 8 cm en de amplitude is de helft van de hoogte en dat is 7 : = 7, ard of, 68 : = 670, 8 cm. D-a Een oppervlakte van 6 km is 6 000 000 m en 6000 000 = 000 000 m. Voor het aanleggen van deze eilanden is miljoen m zand geruikt. De muur zou dan een lengte van 000 000 : 8 = 9 7 000 meter heen. De diameter van de aarde is 6 00 000 = 800 000 meter. De omtrek van de aarde is π 800 000 0 86 meter. Ja, het klopt ongeveer. 7
D-a c f() = + 8 + 9 8 7 6 0 O 8 6 6 Voor positieve waarden van p is de grafiek een dalparaool. Voor negatieve waarden van p is de grafiek een ergparaool. Voor p = is de grafiek even reed als de grafiek die je ij opdracht a het getekend. Voor < p < 0 en voor 0 < p < is de ijehorende grafiek reder dan de grafiek die je ij opdracht a het getekend. Voor negatieve waarden van p is de grafiek een ergparaool. Voor p < is de ijehorende grafiek een ergparaool die smaller is dan de grafiek ij opdracht a. D-6a L = 70 + 60 + 0 + 0 + 0 + 0 = 60 en A = 70 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 00 De zijden worden achtereenvolgens 60 +, 0 +, 0 +, 0, 0 en 0 + lang, dus L = 60 + + 0 + + 0 + + 0 + 0 + 0 + oftewel L + 8. c Er geldt A = ( 60 + ) + 0 + ( 0 + ) + 0 + 0 + 0 oftewel A = 60 + + 0 + 0 + + 0 + 0 + 0, dus A +. d 0 + 8 = 6 8 = 96 = A + = 60 + 76 = 6 e 0 + = 6 + 0 6 + 66 ( 6)( + 6) 6 of + 6 = 6 of = 6 Alleen = 6 voldoet. L + 8 6 + 8 = 68 D-7 De grote wijzer gaat in uur rond en de kleine wijzer in uur. De grote wijzer zal de kleine wijzer dus tussen.00 uur en.00 uur keer passeren. Als dit voor de eerste keer geeurt is de kleine wijzer 60 :, 7 gedraaid. Vanaf uur zijn dan 60 : 6, minuten verstreken. Op dat tijdstip is het ongeveer uur en, minuten. D-8 De kwadraten van de even getallen zijn =, = 6, 6 = 6, enzovoort. Daarvan kunnen alleen en 6 voorkomen als de som van het aantal ogen op de drie doelstenen. Je kunt de som krijgen met + +, met + + en met + +. Je kunt de som 6 krijgen met 6 + 6 +, met 6 + + 6, met + 6 + 6, met 6 + +, met + 6 + en met + + 6. In totaal zijn er 9 gunstige mogelijkheden. Voor het gooien met drie doelstenen zijn er in totaal 6 = 6 mogelijkheden. 9 De kans dat je ij dit spel wint is =. 6 76