Tentmen Toegepste elsticiteitsleer (4A450) Theoriedeel Dtum: 5 oktober 004 Tijd: 4:00 7:00 uur Loctie: Auditorium zl 3 en 6 Dit tentmen bestt uit drie opgven: twee theorie-opgven en één numerieke opgve, lle vn ongeveer gelijke omvng. De numerieke opgve krijg je uitgereikt bij inlevering vn de uitwerkingen vn het theoretische deel. Bij dit theoretische deel is het gebruik vn dictt, oefeningenbundel of notebook niet toegestn. Wel mogen het ngehechte formulebld en een rekenmchine gebruikt worden. Succes! Opgve We beschouwen in deze opgve de kbelbn fgebeeld in figuur (), en meer in het bijzonder één vn de kbels wrlngs de op de foto fgebeelde gondel zich beweegt. Figuur (b) toont een schemtische weergve vn een klein gedeelte vn deze kbel. Het beschouwde segment is dermte kort dt het bij bendering recht verondersteld kn worden. De oriënttie vn het segment wordt gegeven door de vector e. Ten opzichte vn de Crtesische bsis { e, e, e 3 } ligt de vector e in het vlk opgespnnen door e en e 3 en mkt hij een hoek α met e ; zie ook de figuur. PSfrg replcements d σ e 3 e α ρg e e () Figuur : Spnningstoestnd in kbel: () kbelbn in bedrijf en (b) segment vn de kbel met veronderstelde uniforme xile spnning. Het kbelsegment wordt homogeen verondersteld, met een cirkelvormige doorsnede en dimeter d, en wordt belst door een uniforme, xile spnning σ > 0. Dit betekent dt de spnningstoestnd in het segment geschreven kn worden ls σ = σ e e Het eigengewicht vn de kbel wordt in eerste instntie verwrloosd.. Schrijf de gegeven spnningstensor σ in termen vn de bsis { e, e, e 3 }. b. Geef de hoofdspnningen σ i en hoofdspnningsrichtingen M i behorende bij σ. c. Bepl de mximle schuifspnning τ mx in het kbelsegment. d. Bepl de schuifspnning σ ns werkend op een horizontle doorsnede vn de kbel, dt wil zeggen: op het vlk dt wordt opgespnnen door e en e. (b)
We betrekken nu wel het eigengewicht vn het kbelsegment in de nlyse. Dit leidt tot een verdeelde (volume-) belsting die gelijk is n ρ q = ρg e 3 met ρ de dichtheid vn het kbelmteril en g de grvittieversnelling. e. G n of er voor de gegeven spnningsverdeling en gewichtsbelsting sprke is vn een evenwichtstoestnd. Opgve Figuur toont een koppelstuk tussen twee ronde buizen vn verschillende dimeter, links in zijn oorspronkelijke, onvervormde toestnd en rechts n bevestiging tussen de buizen. De onvervormde binnenen buitenstrl vn het koppelstuk zijn respectievelijk en ; de breedte is ook gelijk n. Zols f te lezen vlt uit de figuur gt het bevestigen geprd met het opwijden vn de rechterzijde vn het koppelstuk; verondersteld wordt dt de dikte hierbij constnt blijft en dt er lleen verpltsing in rdile richting pltsvindt. PSfrg replcements buis e r (θ) P buis e r (θ) P s O e z O e z Figuur : Initiële en gedeformeerde geometrie vn een koppelstuk.. Geef het verpltsingsveld u( x) dt de vervorming vn het koppelstuk beschrijft, in termen vn de cilindrische bsis { e r (θ), e θ (θ), e z } zols fgebeeld in de figuur. b. Bepl de verpltsingsgrdiënt u en de infinitesimle rektensor ε in het koppelstuk. In het volgende beschouwen we het punt P op de binnenrnd vn het koppelstuk, zie figuur. In dit punt zijn de hoofdrekken gelijk n ε = 0.030 ε = 0.00 ε 3 = 0.00 en de bijbehorende hoofdrekrichtingen N = e θ N = ( e r + e z ) N 3 = ( e r e z ) Verder is gegeven dt het mteril wrvn het koppelstuk gemkt is zich isotroop en liner elstisch gedrgt en een elsticiteitsmodulus en dwrscontrctiecoëfficiënt heeft vn respectievelijk E =.6 GP en ν = 0.30. De vloeispnning vn het mteril bedrgt σ y = 00 MP. c. Geef de rektensor in P in termen vn de cilindrische bsis { e r, e θ, e z }. d. Bepl de hoofdspnningen in het punt P. e. G n of het Von Mises vloeicriterium wordt overschreden in het punt P.
Tentmen Toegepste elsticiteitsleer (4A450) Numeriek deel Dtum: 5 oktober 004 Tijd: 4:00 7:00 uur Loctie: Auditorium zl 3 en 6 Bij dit gedeelte vn het tentmen mg je gebruik mken vn je notebook, dictten en ntekeningen. Iedere vorm vn (netwerk-)communictie is echter verboden. Tip: let op de juiste eenheden. Opgve 3 Figuur toont nogmls het koppelstuk dt we ook in de vorige opgve hebben beschouwd. Links in de figuur is het koppelstuk fgebeeld in zijn oorspronkelijke, onvervormde toestnd en rechts n bevestiging tussen de buizen. De binnenstrl, breedte en dikte vn het koppelstuk zijn in de onvervormde toestnd lle gelijk n = 0 mm. Het bevestigen leidt tot een rdile verpltsing vn s = 0.4 mm op de gehele rechterrnd. De binnen- en buitenrnd (r = en r = ) zijn vrij. Het mteril wrvn het koppelstuk is gemkt is isotroop en liner elstisch, met een elsticiteitsmodulus vn E =.6 GP en een dwrscontrctiecoëfficiënt vn ν = 0.30; de vloeispnning vn het mteril bedrgt σ y = 00MP. PSfrg replcements buis e r (θ) P buis e r (θ) P s O e z O e z Figuur 3: Initiële en gedeformeerde geometrie vn een koppelstuk. We modelleren het koppelstuk om te beginnen met één enkel bilineir element (qud4, elementtype 0). De verpltsing vn de linker- en rechterrnd dient drbij volledig te worden voorgeschreven. Merk verder op dt het hier een xisymmetrische nlyse betreft.. Construeer het model zols hierboven beschreven in MSC.Mrc Mentt en run de nlyse. Geef de mximle wrden vn de rekcomponenten γ rz en ε θθ (respectievelijk component en 33 in Mentt) zols berekend door MSC.Mrc. b. Mk een grfiek ( pth plot ) vn de Von Mises equivlente spnning lngs de binnenrnd vn het koppelstuk. Schets het verloop vn deze grfiek en geef de minimle en mximle wrden n. c. Treedt volgens het criterium vn Von Mises ergens in het koppelstuk plstische vloei op? We pssen nu meshverfijning toe en verdelen de dwrsdoorsnede vn het koppelstuk drtoe in 0 0 elementen (nog steeds vn type 0). De rndvoorwrden en ndere onderdelen vn het model dienen drbij zo ngepst te worden dt ze nog steeds in overeenstemming zijn met figuur 3. z.o.z.
d. Ps het model n en herhl de berekening. Schets de vervormde toestnd vn het koppelstuk en geef n hoe deze fwijkt vn de schets in figuur 3. Geef de verpltsingsvector vn het punt P met positievector (in de onvervormde toestnd) x P = 0 e r + 7 e z mm. e. Mk opnieuw een grfiek ( pth plot ) vn de Von Mises equivlente spnning lngs de binnenrnd vn het koppelstuk. Schets het verloop vn deze grfiek en geef de minimle en mximle wrden n. Treedt er volgens deze nlyse plstische vloei op? f. Welke eindige-elementenberekening beschouw je ls meer betrouwbr, die met één element of met 00 elementen? Verklr je ntwoord.
Uitwerkingen Tentmen Toegepste elsticiteitsleer (4A450) Dtum: 5 oktober 004 Tijd: 4:00 7:00 uur Loctie: Auditorium zl 3 en 6 Opgve. Uit de figuur vlt eenvoudig f te lezen dt e = cos α e + sin α e 3 Substitutie vn deze uitdrukking in de gegeven spnningstensor levert n uitwerking σ = σ cos α e e + σ sin α cos α e e 3 + σ sin α cos α e 3 e + σ sin α e 3 e 3 b. De gegeven uitdrukking voor σ is l in spectrle vorm. De hoofdspnningen kunnen dus rechtstreeks worden fgelezen ls σ = σ σ = σ 3 = 0 De hoofdrichting bij σ is gelijk n e. De ndere twee richtingen bij de dubbele hoofdspnning nul kunnen vrij gekozen worden zolng ze loodrecht stn op e. Een voor de hnd liggende keuze is M = e M = e M 3 = e e ofwel in termen vn de bsis { e, e, e 3 }: M = cos α e + sin α e 3 M = e M 3 = sin α e + cos α e 3 c. De mximle schuifspnning is gegeven door τ mx = (σ σ 3 ) = σ d. De normlvector behorende bij een horizontl vlk is n = e 3. De spnningsvector p op het vlk is dus p = σ n = σ e e e 3 = σ sin α e Deze spnningsvector vlt te ontbinden in een component p n = ( p n) n = σ sin α e 3 loodrecht op het vlk en een component p s = p p n = σ sin α cos α e in het vlk. De gevrgde schuifspnning is de lengte vn deze ltste vector: σ ns = p s = σ sin α cos α
e. Als er sprke is vn een evenwichtstoestnd moet voldn zijn n de impulsblns σ + ρ q = 0 De eerste term in het linkerlid is gelijk n nul ngezien de gegeven spnning niet vn de plts fhngt. Invullen vn de gegeven uitdrukking voor ρ q in de tweede term levert voor het linkerlid σ + ρ q = ρg e 3 Deze uitdrukking is niet gelijk n de nulvector en er is drom dus niet n evenwicht voldn. Opgve. Er is lleen sprke vn een verpltsing in rdile richting en deze verpltsing is lineir in z. Verder is ze gelijk n nul voor z = 0 en bereikt ze het mximum s voor z =. Hiermee moet dus: u = s z e r b. De verpltsingsgrdiënt u volgt door uitwerken vn de grdiënt-opertor in de cilindrische bsis volgens: u u = e r r + r e u θ θ + e u z z = s z r e θ e θ + s e r e z De rektensor is nu gelijk n het symmetrische deel vn u: ε = ( u + u T ) = s z r e θ e θ + s ( e r e z + e z e r ) c. De rektensor ε kn gevonden worden door middel vn uitwerken vn de spectrle representtie ε = ε N N + ε N N + ε 3 N 3 N 3 Dit leidt tot ε = 0.030 e θ e θ + 0.00 ( e r e z + e z e r ) d. Isotrope lineire elsticiteit betekent dt de spnningstensor berekend kn worden volgens σ = λtr(ε)i + µε Invullen vn de spectrle representtie vn de rektensor in deze reltie leidt rechtstreeks tot de spectrle representtie vn de spnningstensor: σ = ( (λ + µ)ε + λε + λε 3 ) N N + ( λε + (λ + µ)ε + λε 3 ) N N + ( λε + λε + (λ + µ)ε 3 ) N 3 N 3 Aflezen vn de hoofdspnningen en invullen vn de elstische constnten λ =.5 GP en µ =.0 GP resulteert nu in σ = 05 MP σ = 85 MP σ 3 = 5 MP
e. Uit bovenstnde hoofdspnningen kn de devitorische spnningstensor eenvoudig bepld worden volgens σ d = 40 N N + 0 N N 60 N 3 N 3 MP De Von Mises vergelijkspnning volgt hiermee ls 3 σ vm = σ d : σ d = 9 MP Deze wrde is lger dn de vloeispnning vn 00 MP en dus wordt het vloeicriterium niet overschreden. Opgve 3. De mximle wrden vn γ rz en ε θθ zijn γ rz = 0.040 en ε θθ = 0.035. b. De Von Mises spnning verloopt liner lngs de binnenrnd: Inc : 0 job Time : 0 Equivlent Von Mises Stress (x00) 0 0 Arc Length (x0) An de linkerrnd is de spnning miniml en gelijk n σ vm = 67 MP; het mximum vinden we n de rechterrnd, wr σ vm = 94 MP. c. De mximle Von Mises spnning, σ vm = 94 MP, is lger dn de vloeispnning vn 00 MP, dus er zl geen vloei optreden. d. De vervormde toestnd vn het koppelstuk ziet er ls volgt uit: Inc: 0 Time: 0.000e+000 Y Z X job 3
In plts vn recht zijn de binnen- en buitenrnd gekromd. De verpltsingsvector in P is gelijk n u P = 0.0 e r + 0.8 e z mm e. Het verloop vn de Von Mises spnning lngs de binnenrnd is nu niet meer lineir: Inc : 0 job Time : 0 Equivlent Von Mises Stress (x00) 0 0 Arc Length (x0) De mximle en minimle wrden zijn nu respectievelijk σ vm = 66 MP en 46 MP. De mximle wrde overschrijdt de vloeispnning σ y en dus is er inderdd sprke vn plstische vloei. f. Kleinere elementen leiden in het lgemeen tot een nuwkeuriger oplossing. De som met 00 elementen is dus nuwkeuriger. 4