Tentamen CT2031. ConstructieMechanica 3

Transcriptie

1 Sbfclteit iviele echniek Vermeld op blden vn w werk: onstrctiemechnic SUDIENUER : N : entmen onstrctieechnic 9 febrri vn 9: : r ls de kndidt niet voldoet n de voorwrden tot deelnme wordt het tentmenwerk niet beoordeeld. Dit tentmen bestt it opgven. Werk elke opgve it op een fzonderlijk bld. Vermeld op elk bld rechtsboven w nm en stdienmmer In de beoordeling vn het werk wordt ook de netheid vn de presenttie betrokken GS toestellen mogen niet n stn tijdens het tentmen k gebrik vn het formlebld dt op de ltste pgin stt fgedrkt

2 OPGVE : Krchtenmethode ( c min ) In het hieronder weergegeven rmwerk hebben lle stven dezelfde bigstijfheid. Vervorming door normlkrcht wordt verwrloosd. In knoop komen drie stven smen die hier momentvst n elkr verbonden zijn. D lle stven x z Gegeven : knm, m 6 kn Vrgen : ) eken de te verwchte vervormde constrctie en geef drbij de vervormingstekens n. b) epl de krchtsverdeling in deze constrctie m.b.v. hoekvernderingsvergelijkingen. c) eken voor de gehele constrctie de momentenlijn en de dwrskrchtenlijn. Vermeld drbij lle relevnte wrden en de vervormingstekens. ontroleer vervolgens met dit resltt het ntwoord op vrg ). d) epl de oplegrecties - -

3 OPGVE : Krchtenmethode (vervolg) ( c min ) De constrctie it de vorige opgve is een klein beetje gemodificeerd. De vste onderstening in is een horizontle rol geworden. Overige gegevens zijn identiek n de vorige opgve. D lle stven x z Gegeven : kn/m, m 6 kn Vrgen : ) eken de vervormde constrctie. Wt verndert er in de berekeningsmethodiek t.o.v. het vorige vrgstk? Voor de berekening vn de krchtsverdeling wordt een schrnier ngebrcht in stf, direct links vn. Er ontstt dn een sttisch bepld hoofdsysteem wrbij de inklemming in wordt gehndhfd. b) eken dit sttisch beplde hoofdsysteem en geef drbij de sttisch onbeplde(n) n. c) ormleer de vormvernderingsvoorwrde(n). d) Los de sttisch onbeplde(n) op. e) eken voor de gehele constrctie de momentenlijn. f) epl de verpltsing vn pnt D. - -

4 OPGVE : Verpltsingenmethode ( c min ) Vn de onderstnde rmwerkconstrctie wordt gevrgd de krchtsverdeling te beplen met behlp vn de verpltsingenmethode. lle stven in de constrctie hebben een bigstijfheid en een lengte. De belsting bestt it een gelijkmtig verdeelde belsting q op de bovenregel en een pntlst op de tssenregel, hlverwege de overspnning. De knoopnmmers en de stfnmmers (tssen hkjes) die ngehoden moeten worden zijn in de figr weergegeven. q () lle stven bigstijfheid () () () ½ Voor de stven in dit rmwerk kn gebrik worden gemkt vn de volgende elementstijfheidsmtrix : ( ) K e l Hierin is de bigstijfheid vn de stf en l de lengte vn de stf x z Gegevens:,* kn/m ; 6 kn; q kn/m; m Vrgen: ) Stel voor ieder element de elementstijfheidsmtrix en de elementkrchtenvector op. b) ssembleer de systeemstijfheidsmtrix en de systeemkrchten- en systeemverpltsingenvector. c) Geef in dit stelsel n wt de onbekenden zijn en redceer het stelsel. d) Los de onbekenden op. ( controle : in bsolte zin zijn een deel vn de onbekenden,* - ) e) ereken voor lle stven de elementkrchten f) eken voor de gehele constrctie de momentenlijn. Vermeld drbij lle relevnte wrden en de vervormingstekens. g) epl de oplegrecties in knoop en geef de richting n wrin deze werken. - -

5 OPGVE : Stbiliteit vn de verend onderstende bigzme stf ( c min ) In de nwezige hndboeken op het ingeniersbre ontbreekt een bsis-knikformle voor het onderstnde knikprobleem. U offert w lnch op om hier een oplossing voor te zoeken. l k y αl αl ρ ρ ρ ρ ρ ) eken op bsis vn w kennis over stndrd-knikgevllen de itbigingsvormen wrtssen de itbigingsvorm vn het bovenstnde probleem zl moeten liggen en geef drbij n tssen welke wrden de kniklengte zl moeten liggen. b) oon n dt voor dit knikprobleem de onderstnde trnscedente vergelijking moet worden opgelost : ( αl) kl tn α l αl met : ρ () ρ Vn het knikprobleem zijn de volgende gegevens bekend : knm ; k kn/m; l, m evens is er een grfische weergve gegeven vn de trnscedente vergelijking voor verschillende wrden vn ρ. Hierdoor is het mogelijk de volgende vrgen te bentwoorden : c) epl de knikkrcht en de kniklengte voor de hierboven vermelde gegevens. d) Lt zien dt de bovenstnde itdrkking () tot de jiste oplossingen leidt voor de itersten die onder ) heeft beschreven. - -

6 OPGVE : ezwijken door instbiliteit ( c min ) Vn de onderstnde constrctie zijn de beide stijlen oneindig stijf. De regels hebben een bigstijfheid. Stf D is schrnierend verbonden met de beide regels, stf heeft een volplstisch moment p. De fmetingen en de belstingen zijn in de onderstnde figr weergegeven. E H D str str, p Gegevens :, m; knm; p 6 knm; kn; H kn; Vrgen: ) epl de evenwichtsvergelijking voor deze constrctie voor zowel de elstische ls de plstische fse. b) epl de kniklst. c) epl de eerste orde verpltsing vn pnt voor H kn. d) epl de eerste orde bezwijkbelsting H p en de verpltsing p wrbij de regel plstisch wordt. e) epl de tweede orde verpltsing vn pnt voor de gegeven H en. f) epl de kritieke belsting c wrbij bezwijken door instbiliteit optreedt. g) eken voor H kn het lst-verpltsingsdigrm voor de horizontle verpltsing vn pnt en geef lle relevnte pnten en wrden hierin n. Geef ook n hoe deze lijn zich verhodt tot de kniklst

7 - 7 -

8 ORULE LD Elerse knikvergelijking: echnic relties: π dw d k κ κ l dx dx k Enkelzijdig verend ingeklemde knikstf: k + r l π l lk l + ρ rl met : ρ Differentilvergelijkingen: w'''' + α w'' en S lgemene oplossing : w( x) ds : ( x) ( x) ' w' ( x) S ( x). z z [ α cosαx + α sinαx] met : α + x + cosαx + + α sinαx α cosαx sinαx Ongeschoorde n twee zijden verend ingeklemde knikstf: r l η + ; ρ ( η + η ) π ρ k met : η ( ) l r l η η + η η + ; ρ ρ Geschoorde n twee zijden verend ingeklemde knikstf: ( + ρ )( + ρ ) π k. ( + ρ )( + ρ ) l rl rl met : ρ ρ Regel vn erchnt: c H c + H k p Gonio itkomsten: π tnαl αl αl,9,7-8 -

9 EKNOPE UIWERKING OPGVE : Krchtenmethode ) De vervormde constrctie is hieronder getekend. D lle stven x z De vervormingstekens vn de stfdelen zijn ngegeven. Didelijk is te zien dt de knopen niet verpltsen. b) De constrctie is tweevodig sttisch onbepld. Het sttisch beplde hoofdsysteem is hieronder weergegeven. De krcht in D wordt vervngen door een koppel en een krcht op. Deze ltste speelt voor de bepling vn de momentenverdeling geen rol (!) en is weggelten. ls sttisch onbeplde worden gekozen : - het moment in - Het moment in stf in Opmerking : De richting vn de momenten wordt gekozen.h.v. de geschetste vervormingstekens. Voor het oplossen vn de sttisch onbeplden zijn twee vormvernderingsvoorwrden nodig : Let op: Er knnen slechts twee sttisch onbeplden gekozen worden! Knoop moet in evenwicht zijn, vn de ngegeven momenten is er hier ds slechts één onbekend! - 9 -

10 Uitwerken vn de v.v.v. levert : Uit het knoopevenwicht volgt : + Dit invllen in de bovenstnde v.v.v. levert : knm 6 knm Uit het evenwicht vn knoop volgt: 8 knm De gevonden ntwoorden zijn llen positief, de ngenomen richting vn de momenten ws ds jist. c) Invllen vn de gegevens en verder itwerken levert de onderstnde -lijn en V-lijn. 6, 8, 8,,6 -lijn in knm V-lijn in kn,, erk op dt de vervormingstekens overeenkomen met die vn vrg ). d) De oplegrecties, zols ze in werkelijkheid werken, zijn hieronder weergegeven: H V H V, kn,6 kn, kn 9,6 kn, knm erk op dt de krcht in knoop n wel meegenomen moet worden bij de bepling vn de verticle oplegrectie in! - -

11 OPGVE : Krchtenmethode (vervolg) ) Door de rol in kn de constrctie nr rechts verpltsen. We spreken ds n vn een constrctie met verpltsbre knopen. De nog onbekende horizontle verpltsing is een extr onbekende t.o.v. het probleem in de voorgnde opgve. De vervormde constrctie is hieronder weergegeven. lle stven D b) Het sttisch beplde hoofdsysteem is hieronder weergegeven. Stf kn horizontl verpltsen. Deze verpltsing moet ook stf in ondergn. In knoop moeten de stfdelen en ook dezelfde rottie ondergn. Immers deze stven zitten momentvst n elkr verbonden. Uiterrd geldt ook hier dt knoop in evenwicht moet zijn. Er is ds in één moment onbekend. - -

12 c) et behlp vn de vergeet-mij-nietjes op het formlebld kn n de krchtsverdeling worden bepld : Knoopevenwicht vn levert : + d) Hierit volgt : knm 7 6 knm 7 De horizontle verpltsing in kn worden bepld met een vergeet-mij-nietje : ( ), m 7 e) De momentenlijn voor de gehele constrctie is hieronder weergegeven :,88 8,,88/ 8,/ θ -lijn in knm geredceerde -lijn in /m θ,,/ f) Voor het beplen vn de verpltsingen vn knoop D kn gebrik worden gemkt vn de geredceerde momentenlijn. Deze is in dit gevl gelijkvormig n de geschetste - lijn, zie hiervoor ook de stof vn het e jr. D θ *, m w D θ * + θ * +, m 7 Deze oplossing kn ook gevonden worden m.b.v. vergeet-mij-nietjes mr let er dn wel op dt voor de verticle verpltsing het kwispeleffect niet wordt vergeten! - -

13 Een lterntief voor deze berekening is de npk met behlp vn de gemengde methode wrbij door het nbrengen vn schrnieren in de knopen er een mechnisme ontstt met één vrijheidsgrd θ. θ Het systeem heeft onbekende momenten en één onbekende verpltsing, θ. Om deze drie onbekenden op te lossen zijn er twee hoekvernderingsvergelijkingen nodig en één evenwichtsvergelijking : de virtele rbeidsvergelijking voor het mechnisme. Let er drbij op dt de strre rottie θ vn stf in de hoekvernderingsvergelijkingen moet worden verwerkt. ) + θ 6 ) θ 6 ) δ + δθ + δθ Uit het knoopevenwicht volgt : + Hiermee kn () en () worden herschreven tot: 8 6 θ / θ / + Uit () volgt: Hiermee wordt iteindelijk dezelfde krchtsverdeling en de verpltsing gevonden :, knm, knm,88 knm, θ,8 rd 6 6 θ, m - -

14 - - OPGVE : Verpltsingenmethode ) Elementstijfheidsmtrix lle stf-elementen hebben dezelfde lengte vn, m :,,* (e) K Elementkrchtenvector: lleen voor de stven () en () is er een ndeel t.g.v. de elementbelstingen. De primire momenten t.g.v. deze elementbelstingen knnen worden bepld met behlp vn de vergeet-mij-nietjes vn het formlebld. De stfkrchten per element knnen worden bepld met : : : : : () () () () () () () () ) ( ) ( ) ( ) ( stf stf stf stf f K f e prim e e e b) ssemblge vn het stelsel levert : + c) De fndmentele onbekenden zijn de rotties in de knopen en. Uiterrd zijn ook de oplegrecties in knoop, en nog onbekend, deze knnen worden bepld ndt de onbekende rotties zijn bepld. Het op te lossen stelsel wordt n redctie : d) Oplossen levert : e) De elementkrchten in knm zijn hiermee te beplen : ; ; ; () () () () () () () () Let op : Vergeet bij deze stp niet de invloed vn de elementbelsting, zie hiervoor vrg b).

15 f) De momentenlijn voor de gehele constrctie is hieronder weergegeven. q 8 -lijn in knm knm R H kn 7, R V kn g) De oplegrecties in knoop zijn : R kn R H V kn knm De richtingen vn deze oplegrecties zijn in de bovenstnde figr weergegeven. - -

16 OPGVE : Stbiliteit vn de verend onderstende bigzme stf ) Stndrd gevllen () voor k en (d) voor koneindig b) Oplossen m.b.v. de D.V. en de r.v.w : ) () ) w( l) ) S z () H k. w() ) ( l) Uitwerken (zie formlebld) levert: ) α ) + l + sinαl ) k ) + α cosαl Dit levert het homogene stelsel: l + sin sinαl l k αl k + α cosαl cos α αl Een niet-trivile oplossing kn lleen gevonden worden indien de determinnt nl is: α l α cosαl sinαl tnαl αl met : α k k kl tnαl αl ( αl) stel : ρ kl ( αl) tnαl αl ρ c) De knikkrcht kn worden bepld door voor ρ, it de grfiek de αl f te lezen : kl k l ρ, αl, ( αl), k 968 kn π lk l,l,7 m, d) De twee gevllen die gecontroleerd knnen worden zijn : π k tnαl αl αl,9 lk,7l,7 k tnαl αl π l k l - 6 -

17 OPGVE : ezwijken door instbiliteit ) De lgemene evenwichtsvergelijking wordt gevonden it de e.v. in de verpltste stnd voor de linker en de rechter (vrijgemkte) stijl: deel :. + H. S. deel : + S. 6 6 Hierit volgt met : θ Voor de elstische fse : Voor de plstische fse :. + H. (). + H. p () b) Voor H wordt de kniklst gevonden : kn k c) De eerste orde verpltsing vn pnt wordt gevonden met () voor : 7, m d) De eerste orde bezwijkbelsting wordt gevonden met () voor : p p H p kn en p, m 6 e) De tweede orde verpltsing voor kn en H kn : H.,87 m 9 n controle : 8,7 mm, klopt! n f) De kritieke belsting wr voor H kn bezwijken door instbiliteit optreedt : 6 c 6,87 kn, H c 6,87 controle : + +,7 +,6,, klopt! H p k g) Zie onderstnde figr [kn] 6 stbiel H kn lbiel Kniklst, netrl Horizontle verpltsing vn pnt in mm - 7 -