a a Extra oefening ij hoofdstuk Plot van f Invoer: Y.X^ X Venster: Xmin en Xmax Ymin en Ymax Plot van g Invoer: Y (X +6X+99) Venster: Xmin 7 en Xmax 7 Ymin en Ymax Geruik op de grafishe rekenmahine: Opties: CALC, ZERO (TI) Opties: G-Solv, ROOT (Casio) Oplossing voor f geeft x 8,8 en x en x 8,8 De snijpunten met de assen zijn dus ( 8,8 ; ), (, ) en (8,8 ; ). De funtie g heeft net geen snijpunt met de x-as. Voor het snijpunt met de y-as geldt g( ) 99,. Het snijpunt met de y-as is dus ( ;,). Het laagste punt van f vind je met de rekenmahine door geruik te maken van Opties voor TI: CALC, MINIMUM. Opties voor Casio: G-Solv, MIN Dat levert de oördinaten (, ). Het ereik van f is dus[,. Voor het laagste punt van g vind je met de rekenmahine de oördinaten (, ). Het ereik van g is dus [,. f heeft een vertiale asymptoot voor x want dan is de noemer in de reuk nul. f heeft een horizontale asymptoot voor y want tot deze waarde nadert fx ()als x zeer groot wordt. Plot Invoer: Y +/(x ) Venster: Standaardvenster y y g(x) 6 7 8 9 f(x) y x x x 8 7 6 6 7 8 9 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel f(x)
6 f( ) +,. Het snijpunt met de y-as is dus ( ;,). fx () + oplossen geeft: x x x 8 x 9 x ; ( ) ; ; ; x 9, Het snijpunt met de x-as is dus (, ; ). a De lijn x is de vertiale asymptoot want dan is de noemer in de reuk nul. Het domein van f is het interval, en,. Dit zijn alle getallen, ehalve. Het ereik van f is, ] en [,. a Op de grond is h, dus R 6, 8,, km. Plot Invoer: Y.6 (X+.8) Y Venster: Xmin en Xmax Ymin en Ymax Op het snijpunt geldt R. Je vindt de waarde voor h met: Opties voor TI: CALC, INTERSECT. Opties voor Casio: G-Solv, ISCT Dit geeft h 69, m Controle: 6, 69, +, 8 Klopt. R( ) 6,, 8 88, km R( ) 6,, 8, km Het ereik neemt dus met,,88, km toe. a De x in g stelt als voorwaarde x en de x dat x. Samen eperken deze het domein van g tot [, ]. Er zijn randpunten als de waarde onder de wortel nul is. Dus voor x en x Voor het randpunt ij x geldt y, + +, dus het randpunt is (, ) Voor het randpunt ij x geldt y, + +, dus het randpunt is (, ) Extra oefening ij hoofdstuk Plot Invoer: Y. (X)+ ( X) Venster: Xmin en Xmax Ymin en Ymax y g(x) Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel x
d Met een tael vind je het maximum van,6 voor x,8. Met (, ) als randpunt wordt het ereik dus [ ;,] 6 Geruik ij de TI de funtie ZoomFit onder het Zoom-menu of ij de Casio de funtie AUTO onder het Zoom-menu om de rekenmahine de vensterinstelling voor de Y-as te laten epalen. a Plot Invoer: Y *^X Venster: Xmin en Xmax Ymin en Ymax Plot Invoer: Y (X+)/(X+) Venster: Xmin en Xmax Ymin en Ymax d Plot Invoer: Y X^ 9X^+ Venster: Xmin en Xmax Ymin en Ymax Plot Invoer: Y /(+ (X+)) Venster: Xmin en Xmax Ymin en Ymax. Extra oefening ij hoofdstuk Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel 7
a 8 Extra oefening ij hoofdstuk Voor Xmin en Xmax met Ymin en Ymax krijg je de funtie met de drie nulpunten goed in eeld. Voor de toppen ij de minima: ij de TI-rekenmahine: Kies CALC en dan MINIMUM. Zet de ursor iets links van de top en toets ENTER. Herhaal dit voor een punt iets rehts van de top. Na de vraag Guess? ENTER. ij de Casio rekenmahine: Kies G-Solv en dan MIN. Bij eide rekenmahines worden de oördinaten van de top nu automatish gevonden en kun je de oplossing aflezen. Je vindt (in twee deimalen nauwkeurig) de oördinaten (, ; ) voor het eerste minimum en (, ; ) voor het tweede minimum. Voor de top ij het maximum ij de TI-rekenmahine: Kies CALC en dan MAXIMUM. Zet de ursor iets links van de top en toets ENTER. Herhaal dit voor een punt iets rehts van de top. Na de vraag Guess? ENTER. ij de Casio rekenmahine: Kies G-Solv en dan MAX. Bij eide rekenmahines worden de oördinaten van de top nu automatish gevonden en kun je de oplossing aflezen. Je vindt de oördinaten (, ) voor het maximum. a Voer eide funties in als Y/(X+) en Y X +X+6 Geruik Cal > Interset (TI) of G-Solv > ISCT (Casio) om het snijpunt te vinden. De oplossing is x, ; x,66 of x,66 De oplossing is x 6,9 De oplossing is x,86 of x,9 d De oplossing is x, a 8p+ ( p+ ) ( p) 8p 6p+ 9 + p p+ 9 + p p 7 x + 7 x x : 7 x 7 of x 7 ( x+ )( x) 8 x 6x + x 8 6x + x a-formule met a 6, en geeft D a 6 96 x + D a + + 8 8 of x D a Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel
d x x a-formule met a, en geeft D a ( ) + 6 x + D a + 6 + 6 of x D a 6 e x + ( x + ) x + 8 x x x of x f 8x x x( x ) x of x x of x x of x g 8+ x x x + x x x x x ( x ) kwadrateren dus ontroleer je oplossing! x x x 8x+ 6 x 8x+ 6 7x 6 x 6 : 7 7 Controle: 8+ ( ) + 7 7 7,7... 6,8... Klopt niet! Er zijn geen oplossingen. Je kunt dit op twee manieren oplossen: e manier: Zoom in waar de grafieken elkaar lijken te snijden en onderzoek of dat het geval is, ijvooreeld met TRACE of Interset (ISCT). e manier: Bereken de snijpunten exat door fx () gx () op te lossen. Dus los op, x + x, x +, Dat geeft, x +, x, Dit is een kwadratishe vergelijking en het aantal oplossingen vind je door naar de disriminant te kijken. Met a,,, en, volgt D a,,,, De disriminant is groter dan nul, dus er zijn er twee oplossingen. De grafieken heen dus twee punten gemeenshappelijk. Extra oefening ij hoofdstuk Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel 9
a 8x x+ Los eerst de gelijkheid op: 8x x+ 6x 8 x 8: 6 Lees af dat de grafiek van 8x voor x samenvalt of hoger ligt dan de grafiek van x + De oplossing van de ongelijkheid is dus x In de intervalnotatie is dit [, x x Los eerst de gelijkheid op: x x x( x ) x x x x De a-formule met a, en geeft D a ( ) + x + D + + of x D a 6 6 a 6 6 Lees af dat de grafiek van x voor x en < x samenvalt of hoger ligt dan de grafiek van x De oplossing van de ongelijkheid is dus x en < x In de intervalnotatie is dit, ] en, ] x x 9< x + 9 Los eerst de gelijkheid op: x x 9 x + 9 x x 8 x x 6 ( x+ )( x ) x + of x x of x Lees af dat de grafiek van x x 9 tussen x en x lager ligt dan de grafiek van x + 9 De oplossing van de ongelijkheid is dus < x < In de intervalnotatie is dit, d Extra oefening ij hoofdstuk x + > Los eerst de gelijkheid op: x + x + x 8 x 8 : 6 x of x Lees af dat de grafiek van tussen x en x hoger ligt dan de grafiek x + van y Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel
De oplossing van de ongelijkheid is dus < x < In de intervalnotatie is dit, 6 6x+ y 7 y 6x+ 7 y x+ 8, x y y x y x+ Voor het snijpunt geldt x+ 8, x+. Oplossen geeft: x 7, x 7, :, De y-waarde hierij is volgens y x+ gelijk aan, + De oördinaten van het snijpunt zijn dus (, ; ) 7a De grafiek van fx () is een dalparaool. De sheve lijn y x snijdt de paraool niet als de lijn onder de paraool ligt. Ligt de lijn oven de paraool dan snijdt de lijn de paraool altijd op twee plaatsen. Als de lijn de paraool op één plaats snijdt dan moet de lijn de paraool raken. Om aan te tonen dat de lijn de paraool raakt moet er dus één snijpunt zijn tussen fx ()en de lijn. Los dus op:, x + x, x x+ x x+ ( x )( x ) x Er is inderdaad maar één oplossing, dus moet de lijn de grafiek van f raken. De y-waarde ij x is 9. De oördinaten van het raakpunt zijn dus (,9) Extra oefening ij hoofdstuk Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel
a Oefentoets hoofdstuk en hoofdstuk Bij het Budget-aonnement kost het lenen van oeken,8 +,7, euro. Bij het Basis-aonnement kost het lenen van oeken, +,, euro. Het Budget-aonnement is dus iets voordeliger. Bij gelijke kosten voor het Budget-aonnement en het Basis-aonnement geldt:, 8 +, 7, +, Oplossen geeft, 9, 9, :, 7 oeken Het leengeld per oek is ij het Basis-aonnement lager dan ij het Budgetaonnement, dus als je meer dan 7 oeken leent is het Basis-aonnement voordeliger. Als je een Basis-aonnement het kun je dus het este overstappen naar een Budget-aonnement als je minder dan 7 oeken per jaar leent. Als 6-plusser kost het Groot-aonnement 8, euro per jaar en het Basisaonnement, euro per jaar. Het vershil is 8,, 7, euro. Bij het Basis-aonnement kan meneer Jansen daar 7, :, 8,7 oeken voor lenen. Omdat hij kiest voor het Groot-aonnement omdat dat voordeliger voor hem is moet hij meer dan 8,7 ofwel meer dan 9 oeken per jaar lezen. Voor zijn vijfenzestigste verjaardag was het Basis-aonnement het voordeligst. Hij leent dus minder dan 79 oeken. a Je kunt niet alle getallen voor x invullen want er moet gelden x onder het wortelteken. Daaruit volgt x x x x In de intervalnotatie is dit, ] Voor x is de waarde onder het wortelteken nul, dus ij x is een randpunt. De y-waarde hierij is fx () +. De oördinaten van het randpunt zijn dus (, ) Los op: fx () + x x x (kwadrateren, dus ontroleer je oplossing!) x x Controle: +, klopt De oördinaten van het snijpunt met de x-as zijn dus (, ) d fx ()< + x < Los eerst de gelijkheid op: + x x x (kwadrateren, dus ontroleer je oplossing!) x x : 7 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel
e a Controle: + 7 + +, klopt Kies een geldig getal groter dan x 7, ijvooreeld x. De funtiewaarde hiervoor is f( ) +. Dat is kleiner dan zoals volgens de ongelijkheid moet gelden. Getallen groter dan x 7 voldoen dus, maar wegens de epering van het domein van f mogen ze niet groter zijn dan. De oplossing van de ongelijkheid is dus 7 < x of in intervalnotatie 7, ] Plot Invoer: Y + ( X) Y X Venster: Standaardinstellingen x 9 8 7 6 fx () gx () + x x Los eerst de ongelijkheid op: + x x x x x ( x) x (kwadrateren, dus ontroleer je oplossing!) x + x ( x )( x+ ) x of x + x of x Controle: voor x moet gelden +, klopt niet! voor x moet gelden + ( ) +, klopt Alleen x is dus een oplossing. In de grafiek vind je hierij ook het enige snijpunt. Lees de oplossing van de ongelijkheid verder uit de plot af. Je vindt x of in intervalnotatie, ] Met Xmin, Xmax, Ymin en Ymax krijg je de grafiek zo in eeld. Opties voor TI: CALC, MAXIMUM en CALC, MINIMUM Opties voor Casio: G-Solv, MAX en G-Solv, MIN Maximum: (, 8) Minimum: (, 8) f(x) Oefentoets hoofdstuk en hoofdstuk Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel g(x) y 7 6 6
x 8x 9 Geruik op de rekenmahine Invoer: Y X^ 8X Y 9 Opties: CALC, INTERSECT (TI) Opties: G-Solv, ISCT (Casio) Je vindt op twee deimalen nauwkeurig de oplossingen x 6,, x, en x 776, d x 8x< Geruik op de rekenmahine Invoer: Y X^ 8X Y 9 Opties: CALC, INTERSECT (TI) Opties: G-Solv, ISCT (Casio) Je vindt op twee deimalen nauwkeurig de oplossingen x 798,, x, 9 en x 9,. Het interval waar de grafiek lager ligt dan de lijn is de oplossing. Je leest af de oplossing ; 7, 98 en 9, ;,9 e Los op fx () x 8x xx ( 8) x of x 8 x of x 8 x of x 8 of x 8 a K( ) +, euro per passerdoos. d a Oefentoets hoofdstuk en hoofdstuk Totale kosten aantal passerdozen kosten per passerdoos, euro Als p heel groot wordt nadert de reuk tot nul en lijft over. Dat is het vaste edrag, dus euro. Los op: Kp ( ), +, p p,, p p :, Bij passerdozen zijn de gemiddelde produtiekosten e, Ligt A op (,) dan is de x-oördinaat. Punt K ligt er reht oven en op de lijn en heeft als y-oördinaat +. De oördinaten van K zijn dus (,) en van B (,). De rehthoek OAKB heeft lengte OA en reedte AK, dus oppervlakte Punt B ligt op de y-as, dus heeft altijd als x-oördinaat de waarde nul. De y-oördinaat van B is de y-oördinaat die ij punt K hoort, en dat is de y-waarde die ij de x-oördinaat van punt A hoort en is gelijk aan x + De oördinaten van B zijn dus (, x + ) Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel
De rehthoek OAKB heeft lengte OA x en reedte AK x +. De oppervlakte is dus O() x x( x+ ) x + x d Ox ()is een ergparaool en deze is ij de top zo groot mogelijk. De top ligt op de grafiek in het midden tussen de twee nulpunten. De nulpunten zijn er voor x( x+ ) ofwel ij x en x. De top en de grootste oppervlakte van OAKB zijn er dus ij x 6a fx ()is een geroken funtie en hoort ij de hyperool A. gx () is een kwadratishe funtie en hoort ij de paraool B. hx ()is een exponentiële funtie en hoort ij grafiek C. De vertiale asymptoot geldt als de noemer van de reuk nul is, dus als x 6 ofwel voor x De horizontale asymptoot geldt voor grote waarden van x. De reuk nadert dan tot nul en van fx ()hou je over. De lijn y is dus de horizontale asymptoot. fx () Los eerst de gelijkheid op: x 6 6 x x 6 ( x 6) x + x 7 x 7: Uit de plot lees je de oplossing af waar fx () lager ligt dan de lijn y. Je vindt, ] en, d Er zijn geen oplossingen van fx () p als p de waarde van de horizontale asymptoot heeft. Dus voor p. e Geruik op de rekenmahine Invoer: Y X 6X+9 Y (,)^X Venster: standaardinstellingen voor het e snijpunt: Xmin, Xmax, Ymin en Ymax 8 Opties: CALC, INTERSECT (TI) Opties: G-Solv, ISCT (Casio) Je vindt de oördinaten (,7;,8), (,9;,6) en (,7; 89,) Oefentoets hoofdstuk en hoofdstuk Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel
6 Extra oefening ij hoofdstuk a 7 7, ( ) 8 8, 9 ( ) ( ) 9 t t t t ft () ( ) 9 ( ) t. De eginhoeveelheid is 9 en de groeifator is. t t t gt () () + () () ( ) () t t t () () 8 (). De eginhoeveelheid is 8 en de groeifator is. t t t t t ht () ( ). De eginhoeveelheid is en de groeifator is. t a 9 t t ( ) t 8 ( ) t t t t 6 ( ) t > Los eerst de gelijkheid op: ( ) t () t t ( ) t t t Test of de funtie onder of oven deze waarde van t aan de ongelijkheid voldoet. Neem ijvooreeld als waarde oven t de waarde t. Daarvoor geldt ( ) wat niet aan de ongelijkheid voldoet. Dus alle waarden onder t voldoen wel. De oplossing is dus t < of in de vorm van een intervalnotatie, d, x < Los eerst de gelijkheid op:, x, x () x x ( ) x x Test of de funtie onder of oven deze waarde van t aan de ongelijkheid voldoet. Neem ijvooreeld als waarde onder t de waarde t. Daarvoor geldt, wat niet aan de ongelijkheid voldoet. Dus alle waarden oven t voldoen wel. De oplossing is dus x > of in de vorm van een intervalnotatie, Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel
a,% afname per minuut etekent een afname met een fator, De groeifator per minuut is dus,,997 De eginhoeveelheid is 8 mg. De funtie H wordt dus Ht () g t 8, 997 t 6 uur 6 minuten dus t 6. Invullen geeft 8, 997 7 mg Los op: Ht () 8, 997 t Plot de grafieken op je rekenmahine en vind het snijpunt. Geruik Invoer: Y 8*.997^X Y Venster: Xmin en Xmax Ymin en Ymax Je vindt 8 minuten d De helft van de eginwaarde is 8 : mg, dus los op: Ht () 8, 997 t Plot de grafieken op je rekenmahine en vind het snijpunt. Geruik Invoer: Y 8*.997^X Y Venster: Xmin en Xmax Ymin en Ymax Je vindt minuten a In dagen groeit het aantal zieke vogels keer. In dag groeit het aantal zieke vogels keer. In 7 dagen groeit het aantal zieke vogels ( ) 7 7 keer. 7 De groeifator per week is dus, 898 Een maand estaat uit dagen, dus de groeifator per maand is ( ), 9 De eginhoeveelheid is. Na één maand zijn er, 9 zieke vogels. Dat zijn er geen, dus het antwoord is nee. De eginhoeveelheid draaggas is m. De groeifator is, in dagen. De groeifator is (,), 9 in dag. Als % van het gas is verdwenen is er nog 8 m over. Los dus op:, 9 t 8 Plot de grafieken op je rekenmahine en vind het snijpunt. Geruik Invoer: Y *.9^X Y 8 Venster: Xmin en Xmax Ymin en Ymax Je vindt,8 dag. Het luhtship kan dus ijna vijf dagen in de luht lijven. Extra oefening ij hoofdstuk Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel 7
8 a Bij deze vensterinstelling kun je de volledige aan zien. De steen valt nooit lager dan Y. De snijpunten met de x-as volgen uit de nulpunten, dus los op ht (). t t t( 9 t) t of 9 t t of t 9 De top ligt in het midden tussen de nulpunten dus ij t, seonden wordt de maximale hoogte ereikt. Tussen t, en t 9 valt de steen naar eneden. Op t, is de hoogte h(,),,, m. De gemiddelde snelheid v is de gemiddelde verandering van de hoogte gedurende het tijdsinterval. d e f Extra oefening ij hoofdstuk h() 9 h(,) Dus v,, meter per seonde. De gemiddelde 9,, snelheid waarmee de steen omlaag valt is dus, m/s Voor het interval [, 9] is h h() 9 h() 7 m/s. t 9 7 Voor het interval [, 9] is h h() 9 h() m/s. t 9 Voor het interval [7, 9] is h h() 9 h() 7 7 m/s. t 9 7 Voor het interval [8, 9] is h h() 9 h() 8 m/s. t 9 8 Plot Invoer: YX X Y X+9* Y X+9* Y X+9* Y X+9* Venster: Xmin en Xmax Ymin en Ymax De snelheid waarmee de steen de grond raakt is de helling van de raaklijn in het punt voor t 9. Deze helling is nog iets steiler dan het hellingsgetal h van de lijn voor het interval t [8,9]. Een shatting is m/s, dus m/s naar eneden. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel
a Plot Invoer: Y (X)+ Venster: Xmin en Xmax Ymin en Ymax 6 Op het interval [ ;,] is het differentiequotiënt y f(, ) f( ),., x,, De raaklijn moet een helling vertonen van,. a fx () x 7 6 6 f'( x) 7x x 7 fx () + x 6 6 f'( x) + 7x 7x fx () 8x f'( x) 8 x 6x d gt () 8t g'( t) 8 8 6 e hu ( ), u + h'( u), 6u + u f jx () 7 j'( x) a Punt A: Het punt ligt op de x-as, dus los op fx (). 6 x + x + 7 x 7 x ( 7) De oördinaten van A zijn dus (, ). Punt B: Het punt ligt op de y-as, dus de y-oördinaat is f( ). De oördinaten van B zijn dus (, ). De helling in de punten ereken je met de afgeleide. f'( x) x + x 6 De helling in A is f '( ),. De helling in B is f '( ). Extra oefening ij hoofdstuk Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel 9
Een punt met x-oördinaat x dat op de lijn ligt heeft y-oördinaat +. Dat zijn dezelfde oordinaten als van punt A dus de lijn gaat door A. De helling van de lijn is de afgeleide. De afgeleide van x + is. Dat is dezelfde helling als ij vraag in punt A werd erekend. a De totale afstand is s( ),, 6, km. Extra oefening ij hoofdstuk Zijn gemiddelde snelheid tijdens de toht is s s() s() 6,, km per t kwartier. Dat is, km/h. De snelheid op een tijdstip is de helling van st (), dus vt () s'( t), t, t t, t. Zijn snelheid aan het egin is v( ) km/kwartier km/h. Zijn snelheid aan het eind is v( ), km/kwartier km/h. In de plot kun je dit ook zien: de grafiek aan het egin en eind loopt ijna horizontaal. De helling is dus nul ofwel de snelheid is nul. De snelheid op een tijdstip is de helling van st (), dus zijn snelheid was het grootst daar waar de grafiek de grootste helling heeft. Met de afgeleide ereken je de helling, dus vt () s'( t), t, t t, t. Maak hiervan een plot op je rekenmahine en zoek de maximum waarde op het interval [, ] via het Cal (TI) of G-Solv (Casio) menu. Je vindt t,89 kwartier ofwel,89 minuten. Zijn snelheid is dan v(, 89) s'(, 89) 89,, 89,, 9 km/kwartier,9 7,7 km/h. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel
a a Met lenen tegen,% rente per maand moet je, voor een geleend edrag K, na één maand, K terugetalen. Na twee maanden moet je, (, K) terugetalen, en na een jaar, K, 67 K. Dat is dus tegen 6,7% rente per jaar en geen 6%. Bij 6% rente per jaar is de groeifator per jaar,6. De groeifator per maand is dan 6,, 87, ofwel een rente per maand van,87%. Het differentiequotiënt van f op [, ] is y f( ) f() x Neem voor de enadering van f voor x het interval [ ;,]. Oefentoets hoofdstuk en hoofdstuk Dat geeft y f(, ) f( ),,. x,, Je kunt op vershillende manieren het onderzoek uitvoeren waar de helling, is. Bij alle manieren werk je met de rekenmahine volgens de Knoppenursus aan het egin van de Helpdesk. Je vindt daar een gedeelte over hellingen voor de TI en de Casio rekenmahines. Manier voor de TI: Manier voor de Casio: Plot voor de TI Invoer*: YnDeriv( (X+),X,X,.) Y. Venster: Xmin en Xmax Ymin en Ymax *) Voer nderiv in via MATH, 8:nDeriv Met nderiv (TI) of d/dx (Casio) plot je de hellinggrafiek. Via Cal > Interset (TI) of G-Solv > ISCT (Casio) vind je het snijpunt waar de hellinggrafiek de waarde, voor x,. Hierij hoort een y-waarde van f(,), +. De grafiek heeft dus een helling van, in het punt (, ; ). a fx () x + f'( x) x + x 6 f '( ) De helling in (, 8 ) is gp ( ), ( p ) g'( p), ( p ), p g'( ), ( ), De helling in ( ;,) is, Benader dit op de rekenmahine in het asissherm. TI: Voer in: nderiv(*^x,x,,.) Voer nderiv in via MATH, 8:nDeriv Casio: Voer in: d/dx( ^X,,.) Voer d/dx in via OPTN, Cal, d/dx Je vindt als antwoord 6,9. De helling in (, 6) is 6,9. 6. Plot voor de Casio Invoer*: Yd/dx( (X+),X,.) Y. Venster: Xmin en Xmax Ymin en Ymax *) Voer d/dx in via OPTN, Cal, d/dx Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel
Hoofdstuk Oefentoets hooffdstuk - Ruimtefiguren en hoofdstuk d kq ( ) ( q 6)( q+ ) kq ( ) q + 6q 6q 8 q 8 k'( q) q q k'( ) De helling in (, 8) is. a Toename tussen. en. uur is 7,, keer., Toename tussen. en. uur is,, keer. 7, Toename tussen. en. uur is 9,, keer., De groeifator per uur is nagenoeg onstant, dus de groei is exponentieel. De groeifator per uur is, en per uur, 79,. De eginwaarde op t is, m. Met, als de groeifator per uur wordt het t funtievoorshrift St (),,. d Voor. uur geldt t. De snelheid is de helling van St ()op t, dus ereken S'( ) op je rekenmahine. TI: Voer in: nderiv(.*.^x,x,,.) Voer nderiv in via MATH, 8:nDeriv Casio: Voer in: d/dx(..^x,,.) Voer d/dx in via OPTN, Cal, d/dx Je vindt als antwoord, De oppervlakte neemt dus toe met, m per uur. e Los op: St () 78,. Geruik de rekenmahine met Invoer: Y.*.^X Y78. Zoek met Interset het snijpunt. Je vindt,87 uur ofwel uur en minuten na. uur. Dat is om. s nahts de volgende dag. a Van fx () x + is de afgeleide f'( x) x. Van gx () 7x is de afgeleide g'( x) x. De helling van f voor x is f '( ). De helling van g voor x is g'( ). Beide hellingen zijn dus gelijk voor x. Voor de waarden van x waar de hellingen gelijk zijn geldt f'( x) g'() x. Oplossing: x x x x x( x ) x of x x of x x of x : De andere waarde is dus x. Door te veranderen in een ander getal vershuif je de grafiek omhoog of omlaag. De helling aan de grafiek voor een waarde van x verandert daardoor niet. Je kunt dat ook zien aan de afgeleide. Die lijft voor f steeds x. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel
d 6a 7a d Als je de 7 ij g verandert in een getal tussen en 7 gaat de paraool vlakker of minder spits lopen. Als je de helling ij een epaalde waarde van x ekijkt neemt deze daardoor af. Omdat de grafiek van f toenemend stijgend is en niet verandert, zal het punt waarij eide grafieken even sterk stijgen dus eerder optreden. Het antwoord ij vraag wordt dus kleiner. t t t t t t Kt () ( ) 9 ( ) ( ) ( ) 6 6 6 6 De exate waarde van is 9 6 De exate waarde van g is 6 Kt () 9 ( ) t 6 6 ( ) t : 9 6 6 ( ) t 6 6 t ( 6 ) 6 6 t 6 t t Plot de grafieken op de rekenmahine, vind het snijpunt en lees de oplossing af. Invoer: Y(+9/6)*(/6)^X Y Venster: Xmin en Xmax Ymin en Ymax 6 Het snijpunt vind je voor x,. De oplossing van de ongelijkheid is t <, Als je steeds 9% van de oplossing weggiet hou je telkens % van het middel over. Bij de tweede verdunning lijft er % van de milligram over, dat is, milligram. Bij elke volgende verdunning hou je weer deel over. Hiermee wordt de tael aantal keer verdunnen hoeveelheid geneesmiddel in milligram,,,, Oefentoets hooffdstuk en hoofdstuk Van het middel lijft % ieder keer over. Dat is iedere keer een vermenigvuldiging met, dus er is sprake van een exponentiële afname met groeifator,. Daaruit t volgt de funtie Mt (),. Bij, lijft er % van het middel over en wordt 9% van de oplossing verwijderd. Bij,7 lijft er 7% van het middel over en wordt % van de oplossing verwijderd. Bereken Kt ()<. Na keer verdunnen zit er mg van het middel in het flesje. Na keer verdunnen zit er 7, 7, mg van het middel in het flesje. Na keer verdunnen zit er 7, 8, mg van het middel in het flesje. Na keer verdunnen zit er 7,, mg van het middel in het flesje. Na keer verdunnen zit er 7, 8, mg van het middel in het flesje. Na keer verdunnen zit er 7, 8, mg van het middel in het flesje. 6 Na 6 keer verdunnen zit er 7, 8, 9 mg van het middel in het flesje. Dus na 6 keer verdunnen zit er minder dan milligram van het middel in het flesje. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel
a a Extra oefening ij hoofdstuk Het lihaam estaat uit vijf lagen. De onderste laag heeft vier rehte hoeken, de volgende lagen drie, twee, één en geen rehte hoeken. voor rehts Aan het winkelhaakteken ij S kun je zien dat T loodreht oven S komt als je het onderste flap rond AB draait. Top T op de rehterflap komt ook altijd op AB als je die flap ver genoeg rond BC draait want BC staat loodreht op AB. De twee toppunten T kunnen daarom alleen samenvallen loodreht oven S. A T S T C B Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel T
a a De zijvlakken ADHE en BCGF zijn evenwijdig. Als een vlak deze eide zijvlakken snijdt moeten er twee evenwijdige snijlijnen ontstaan. Omdat AE en KG niet evenwijdig zijn, kan AKGE geen doorsnede van een vlak met deze figuur zijn. d E A E A ) ) A E A T, m H D G C F E A F B M M I C III M K A G C G ) H E A C F F B Extra oefening ij hoofdstuk A, B C A S, T B A S B, C zijaanziht m ovenaanziht, m, m m vooraanziht Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel L M G II C T m
6 ) Extra oefening ij hoofdstuk A C ) De doorsnede door A, M en H is een vierkant met zijde m. ) E III A 9 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel F M
a KF KE + EF ( ) + 6 6, + 6,, dus KF, 6, m De zijden FL, DL en DK heen dezelfde lengte. KFLD heeft vier gelijke zijden, dus deze doorsnede is een ruit. Bereken de lengte van de eide diagonalen van de ruit: KL AC 6 + 6 7, dus KL 7 88, m DF BD + BF ( AB + AC ) + BF 6 + 6 + 97, dus DF 97 98, m d a Extra oefening ij hoofdstuk 6 F K L D De oppervlakte van de ruit KFLD ereken je door de ruit te verdelen in vier driehoeken. De oppervlakte van één driehoek is asis hoogte 7 97, m De oppervlakte van de ruit is,,8 m Doorsnede KFLD is geen vierkant want de diagonalen van de ruit zijn niet even lang. De oppervlakte van het grondvlak is m. Omdat inhoud hoogte oppervlakte grondvlak volgt hieruit hoogte, hoogte 7 hoogte hoogte 7 : m. De nieuwe piramide is vergroot met een fator ten opzihte van de eerste piramide. De inhoud van de nieuwe piramide is dus 6 maal zo groot als de inhoud van de eerste piramide, dus 6 8 m. a De glasak kan worden opgevat als een alk van, ij, ij, meter. Bij de vier hoeken zijn er (omgekeerde) piramides afgehaald. Deze piramides heen als grondvlak een rehthoekige driehoek met twee rehthoekszijden van, m. De hoogte van elke piramide is, m. De inhoud van de glasak de inhoud van de alk de inhoud van een piramide,, l, (,, ),, m Het grondvlak heeft een oppervlakte,,,96 m. Het ovenvlak is gelijk aan het grondvlak, maar er zijn vier driehoeken afgehaald. De oppervlakte van het ovenvlak is,96,,,88 m De vier trapeziumvormige zijvlakken heen elk een oppervlakte,, (,, ), m De driehoekige vlakken met de stippen zijn gelijkenig. Stel de korte zijde is a en de lange zijde is : Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel 7
8, +, 8, dus a 8, m, +, 8, dus 8, m Voor de hoogte h van de driehoek geldt: h + ( a) ; h + ( 8, ), 8; h +,, 8 ; h 6, ; h 6, m De oppervlakte van één driehoek is a h 8,, 6 7, m De totale oppervlakte van de glasak is dus,96 +,88 +, +,7, m a a De straal r van de grondirkel is : m, dus de omtrek is π r π π, 7 m De straal a van de oorspronkelijke irkel is r + h + m Het deel van de oorspronkelijke irkel is Extra oefening ij hoofdstuk omtrek grondirkel r omtrek oorspronkelijke irkel π r a a π deel deel van de oorspronkelijke irkel etekent dat de kegelmantel een middelpuntshoek heeft van 6 88 88 m De oppervlakte van de kegelmantel is deel van de oppervlakte van de oorspronkelijke irkel. Dat is π r π π 7 m Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel
a D m D m A m B m C D D A P Q BC AB + AC + m, BD AB + AD + m CD AC + AD + 66, m d m D A C m,66 m Driehoek BCD is een gelijkenige driehoek. Om de hoogte van de driehoek te erekenen kies je punt M in het midden van CD, zodat hoogte MB BC MC ( ) 7 m oppervlakte BCD asis hoogte CD MB 7, 66 m a De oppervlakte van de irkel is π π π De oppervlakte van de kegelmantel is het deel van de oppervlakte van de irkel, 6 dus πr π π 77 6 6 De omtrek van de grondirkel is het deel van de omtrek van de irkel, dus 6 πr π π 6, 8 6 6 De omtrek van de grondirkel is πa en ook gelijk aan π. Oefentoets hoofdstuk en hoofdstuk 6 r Daaruit volgt de straal a π voor de grondirkel. π h h 66, d inhoud G h ( πa ) h π 69 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel B C 9
a a 8 m 9 m, m Inhoud alk 8, 8 m a a Oefentoets hoofdstuk en hoofdstuk 6 Inhoud prisma 8 7 98 m Inhoud twee piramides ( 7): 8 6 m Inhoud van het huis 8 + 98 + 6 67 m Hieronder staan tekeningen van eide soorten dakdelen. a 7 +, 8,, dus a 8, m a +, 8, + 6,,, dus, m, 6 8,, dus 8, m De oppervlakte van het dak is ( 7 8, ) + ( 8, ) + ( 8 8, ), m De straal van de ol is : m. De oppervlakte van de ol is π r π 6π, m De inhoud van de ol is π r π π, m De straal van de ilinder is : m en de hoogte is m De oppervlakte van de ilinder opp. grondvlak + opp. grondvlak + opp. ilindermantel π r + π r + π r h π + π + π π 7, m De inhoud van de ilinder is π r h π 6π, m De straal van de grondirkel van de kegel is : m en de hoogte is m De oppervlakte van de kegel opp. grondirkel + opp. kegelmantel π r + π r r + h π + π +, 9π 7, m De inhoud van de kegel is G h π r h π π 68, m De ovenste shijf estaat uit een piramide met vierkant grondvlak van m en hoogte m. De inhoud van de ovenste shijf is dus G h 6 m De totale piramide estaat uit 8 shijven zodat de totale hoogte 8 maal zo groot is als de ovenste shijf. De vorm van de totale piramide is ook 8 maal zo groot als de ovenste shijf dus de vergrotingsfator is 8 maal. Hierij hoort een 8 maal zo grote inhoud. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel
d e De vergrotingsfator voor de piramide die estaat uit de eerste en de tweede shijf is. De inhoud van deze tweeshijfs-piramide is dus 8 maal de inhoud van de eerste shijf. Haal voor de inhoud van alleen de tweede shijf de inhoud van de eerste shijf eraf, dan hou je 8 7 maal over. De vergrotingsfator voor de piramide die estaat uit de eerste, tweede en derde shijf is. De inhoud van deze drieshijfs-piramide is dus 7 maal de inhoud van de eerste shijf. Haal voor de inhoud van alleen de derde shijf de inhoud van de tweeshijfs-piramide eraf, dan hou je 7 8 9 maal over. De inhoud van de onderste shijf inhoud totale piramide inhoud 7-shijfspiramide 6 7 6 6 6 69 6 m 6a De vergrotingsfator voor de rat is :. Het gewiht van de rat is afhankelijk van de inhoud van de rat en deze is ( ) 7 maal groter dan de muis. Het gewiht is van de rat is dus ongeveer 7 gram De muis is maal kleiner dan de rat. Het lihaamsoppervlak is dus ( ) 9 maal kleiner dan van de rat, dus : 9 9 m De staart van de rat is maal groter dan de muis, dus 8 6,7 m lang. 7a Inhoud erg zand G h πr h π 6 8π, 8 m Er zijn,8 :, minuten verstreken. Het storten is dus minuten voor. uur egonnen. Dat is om 8.9 uur Als de hoogte, m is en de erg zand ehoudt dezelfde vorm, dan is de erg vergroot met een fator, :,. De inhoud is dus, maal groter. Dat is,,8,7 m Voor de hoogte van, m is er,7,8 6,9 m meer gestort. Dat duurt 6,9 :, minuten. Het tijdstip is dus. uur. d Om. uur is er 6 minuten lang zand gestort. Er is dus, 6 9 m zand gestort ij de erg die er om. uur was. De totale inhoud van de erg om. uur is dus,8 + 9,8 m dat is,8 :,8,6 maal zo groot als de erg om. uur. De vergrotingsfator k wordt erekend uit k,6 De vergrotingsfator k van de erg om. uur is dus 6,, 7 maal. De hoogte van de erg om. uur is,7 de hoogte om. uur. Dat is,7,68 m De straal van de grondirkel om. uur is,7 de straal van de grondirkel om. uur. Dat is,7 6 7, m Oefentoets hoofdstuk en hoofdstuk 6 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel
Extra oefening ij hoofdstuk 7 a Een groei van % per minuut etekent een groeifator g van, per minuut. Een verdueling vindt dus plaats als geldt,t. Oplossen van, t geeft log t 7, minuten,7 6 seonden log, Na t minuten is het aantal gistellen maal zo groot, dus geldt, log Dat is na t 68, minuten log, x a x log log x, log x x log log x 6, log, t 6, t log 6 log 6, t log 6 t log, log t d 8 t log 8 8 t log log t log log 8 a f: voor het domein moet gelden x >. Het domein is, g: voor het domein moet gelden x > dus x <. Het domein is, h: voor het domein moet gelden x > dus x >. Het domein is, Alle drie funties kunnen elke waarde op de y-as ereiken, dus het ereik van f, g en h is fx () log x x () gx () log( x) x x hx () log( x ) x () x In de grafiek lees je diret de nulpunten af en je vindt de ijehorende funtie uit vraag. Je vindt: f hoort ij B, g hoort ij A en h hoort ij C. d Bij spiegeling van een funtie in de x-as keer je het teken van de y-waarde om. Je krijgt dat door de funtie met te vermenigvuldigen, dus kx () gx () log( x) log( x) Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel t
a d log( x + ) x + 8 x 8 x log x x x : log( x ) x x log( x ) x x 6 x 6 : a + log( x + ) < 6 Los eerst de gelijkheid op: + log( x + ) 6 log( x + ) log( x + ), x +,, x 6, De oplossing van de ongelijkheid lees je af voor < x <,6 De ondergrens geldt vanwege de eis dat je alleen de logaritme van een positief getal kunt nemen, dus x + moet positief zijn. + log( x + ) < 6 Los eerst de gelijkheid op: + log( x + ) 6 log( x + ) x + 8 x 7 De oplossing van de ongelijkheid lees je af voor < x < 7 De ondergrens geldt vanwege de eis dat je alleen de logaritme van een positief getal kunt nemen, dus x + moet positief zijn. Extra oefening ij hoofdstuk 7 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel
d log( x) > Los eerst de gelijkheid op: log( x ) x x x : 7, 87 8 De oplossing van de ongelijkheid lees je af voor x <,87 log( x ) Los eerst de gelijkheid op: log( x ) x 8 x x De oplossing van de ongelijkheid lees je af voor x < De ovengrens geldt vanwege de eis dat je alleen de logaritme van een positief getal kunt nemen, dus x moet positief zijn. e + log( x) > Los eerst de gelijkheid op: + log( x ) log( x ) x x 6, f Extra oefening ij hoofdstuk 7 De oplossing van de ongelijkheid lees je af voor x > 6, log( x) Los eerst de gelijkheid op: log( x ) x () x Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel
6a De oplossing van de ongelijkheid lees je af voor < x log+ log log( ) log log log + log6 log + log6 log( 6) log 8 8 8 8 8 8 8 log8+ log log8+ log log( 8 ) log d 7 7 7 7 7 7 loga+ log( a+ ) loga + log( a+ ) log( a ( a+ )) log( a + a ) e + logp + log p log+ log p log + log p log9+ log p log( 9p) f log zonder grondtal geshreven heeft grondtal + log( x) + log( x) log + log( x) log + log( x) log( x) log( x) log( x) Extra oefening ij hoofdstuk 7 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel
6 a Zorg ervoor dat je rekenmahine op radialen staat. sin x 7, Plot de grafieken: Y sin x en Y, 7op [ π, π]. Bepaal de x-oördinaten van de snijpunten. De oplossingen op het interval [ π, π] zijn x 7, ; x 78, ; x 9, en x, os x, Plot de grafieken: Y os x en Y, op [ π, π]. Bepaal de x-oördinaten van de snijpunten. De oplossingen op het interval [ π, π] zijn x 66, ; x 66, ; x, en x 8, + sin x Plot de grafieken: Y + sin x en Y op[ π, π]. Bepaal de x-oördinaten van de snijpunten. De oplossingen op het interval [ π, π] zijn x, ; x, ; x 7, ; x, ; x 8, en x 66, d os x, Plot de grafieken: Y os x en Y, op [ π, π]. Bepaal de x-oördinaten van de snijpunten. De oplossing op het interval [ π, π] is x 6, a De periode is π 8 π 6π 6π 8 8 8 De sinusfuntie is vermenigvuldigd met dus de amplitude is. De oplossingen op het interval, zijn x 7, en x, Op het interval [, 6π] doorloopt fx ()één periode en heeft fx () twee oplossingen. Op het interval [, π] passen p: 6p perioden van fx (). Er zijn dus oplossingen. a Periode π dus π π De osinusfuntie is vermenigvuldigd met dus de amplitude is. Op het interval [, ] doorloopt fx ()één periode en snijdt de x-as op twee plaatsen. Op het interval [, 6] passen 6 : perioden van fx () en snijdt de x-as dus keer. d Extra oefening ij hoofdstuk 8 Voor de top met de maximale waarde geldt fx (), dus los op os πx Dat geeft os πx ; os πx os π ; πx π ; x Voor de top met de minimale waarde geldt fx (), dus los op os πx Dat geeft os πx ; os πx os ; πx ; x De periode is, dus de top met minimale waarde herhaalt zih op het interval ook nog ij x De oördinaten van de toppen zijn dus (, ), (,) en (, ) Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel
a De periode is π π seonden Met de rekenmahine vind je de tijdstippen t 7,, t 8,, t 7, of t 8, seonden Evenzo vind je op de tijdstippen t 7,, t 8,, t 7, of t 8, seonden een uitwijking van, m naar de andere kant, dus voor u, a Aflezen in de grafiek: de periode van f is p en de amplitude is, Een halve periode van g is p dus de hele periode is 6p. De amplitude van g is, Voor f geldt dat π, dus fx (), sin x π Voor g geldt dat π. Geruik de osinusfuntie omdat g voor x een top 6π heeft. De funtie wordt dan gx (), os x Extra oefening ij hoofdstuk 8 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel 7
8 Oefentoets hoofdstuk 7 en hoofdstuk 8 a De eginhoeveelheid is, miljard. De groeifator is,. De evolking groeit exponentieel, dus de formule wordt t Ct (),, met C in miljarden mensen en t in jaren vanaf januari 999. juli ligt, jaren na januari 999, dus t,, De evolking estaat dan uit,,, 7 miljard mensen. Los op:,, t, 67, t, 67 :,, log, t, 7 jaar log, Het aantal zal,7 jaar na januari 999 ereikt zijn, dat is ongeveer halverwege 9. d Voor het jaar is t en voor is t 6. De evolkingstoename over het jaar is C() 6 C(), 6,, 9 miljard 9 miljoen mensen. e Het inwoneraantal zal verdueld zijn als, t. log Oplossen geeft t 9, 9 jaar, ofwel na ijna jaar. log, f januari 999 is jaar na januari 99. Dat is van de jaar verduelingstijd, 8 8 dus op januari 999 zijn er 8 9, 6 miljoen mensen, ofwel,96 miljard. g Uit de verduelingstijd in jaren volgt de groeifator per jaar, 9 voor de evolking in India. De formule wordt dus t It (), 96,9 met I in miljarden mensen en t op januari 999. Extra: t Je kunt ook als formule It (), 8,9 nemen met het tijdstip t op januari 99. De formules zijn identiek: vershuif je het tijdstip t naar jaar later dan krijgt uit t+ t It (), 8,9, 8,9,, 967, t de andere formule weer terug. h Los op: C() t It () t t,,, 96, 9 (ij deze formules geldt t voor hetzelfde tijdstip) Plot Invoer: Y.*.^X Y.96*.9^X Venster: Xmin en Xmax Ymin en Ymax Na, jaar, dus in het jaar. a Per kg evat de walvis een miljoenste milligram, ofwel 6 mg. De walvis weegt kg en evat dus 6, 6, mg, mg C. Na elke periode van 68 jaar is de hoeveelheid C gehalveerd, dus de groeifator per jaar is g () 68, 99987. Als er nog % over is dan geldt g t, (( 68 ) ) t, log, Oplossen geeft t 8 jaar 68 log(( ) ) Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel
Het skelet evatte diret na de dood van de mammoet 6 mg C. Met deze eginhoeveelheid vind je het aantal jaren uit de oplossing van 6 68 t (( ) ), Oplossen met de rekenmahine geeft t. Dus ijna jaar geleden. a Voor de groeifator per jaar geldt g, g T ; T g log d e a Met de TRACE-funtie van de rekenmahine vind je ij Y ongeveer X. Als g steeds meer tot nadert neemt de groei steeds meer af: je vermenigvuldigt immers met een fator die steeds dihter ij ligt. Om toh nog een verdueling te krijgen neemt de tijd die hiervoor nodig is sterk toe. Als g is er geen verdueling meer mogelijk. De grafiek heeft hiervoor een vertiale asymptoot. T 8 6 8 6 x 6 7 8 9 Zoek met de rekenmahine de snijpunten van de plot met de lijn Y. Je vindt snijpunten voor x, en x 9,8. Het groeiseizoen is de tijd hiertussen als de temperatuur oven de C ligt, dat is 9,8, 7,7 maanden dagen. Zoek met de rekenmahine de snijpunten van de plot met de lijn Y6. Je vindt snijpunten voor x, en x 9,6. Het groeiseizoen is de tijd hiertussen als de temperatuur oven de 6 C ligt, dat is 9,6, 7, maanden dagen, dus 7,7 7,, maanden dagen korter voor dit gewas. a f: Tussen en π lees je één periode af, dus de periode is π. De amplitude is g: Tussen π en π lees je één periode af, dus de periode is π. De amplitude is h: Tussen π en π lees je een halve periode af, dus de periode is 8π. De amplitude is Oefentoets hoofdstuk 7 en hoofdstuk 8 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel 9
De grafiek van f heeft de vorm van een sinusfuntie die gespiegeld is in de x-as. De periode is π dus π en de amplitude is,. π De funtie wordt dus fx () sin x De grafiek van g heeft de vorm van een sinusfuntie. De periode is π dus π π en de amplitude is. De funtie wordt dus gx () sin x De grafiek van h heeft de vorm van een osinusfuntie. De periode is 8π dus π en de amplitude is 8π. De funtie wordt dus hx () os x d Los op: sin x Plot de funties Ysin(X/) en Y. op het interval [ 8, 8]. Met Interset (ISCT) vind je de snijpunten ( 7,98;,), (,7;,) en (,9;,). 6a fx () + gx () log6x + log x log6x log + log x (geruik de rekenregel g loga+ g log g log a ) log6x log( x) log 6x hx () + gx () log 9 x + log x log 9 x + log x (werk de om naar een logaritme met grondtal ) log 9 x log + log x log 9 x log + log x (geruik de rekenregel g loga p p g log a ) log 9 x log + log x log 9 x log 9 + log x (geruik de rekenregel g loga+ g log g log a ) log x log( x) log x 7a Oefentoets hoofdstuk 7 en hoofdstuk 8 9 9 9 Plot Invoer: Y 8(sin(X)) Venster: Xmin en Xmax Ymin en Ymax π y π x Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel
De funtie heeft een uitwijking van rond de evenwihtsstand, dus de amplitude is en a De periode is π dus π π Plot Invoer: Y 8(os(X)) Venster: Xmin π en Xmax π Ymin en Ymax De grafiek is hetzelfde als ij vraag a alleen is ze nu gespiegeld in de x-as. De funtie is dus hetzelfde als ij vraag alleen vermenigvuldigd met. Dat geeft a en. Oefentoets hoofdstuk 7 en hoofdstuk 8 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel