Hoofdstuk 1 Introductie Analytische Meetkunde

Hoofdstuk 1 Introductie Anlytische Meetkunde 1.1 Wr ligt de scht? Op een zolder heb je een oude krt gevonden. Op een onbewoond Crïbisch eilnd is een scht begrven. De beschrijving is heel duidelijk: Loop in een rechte lijn vn de dikke eik nr de grote zwerfkei. Sl bij de grote zwerfkei ngekomen linksf (mk een rechte hoek) en leg eenzelfde fstnd nog eens f. Loop vervolgens in een rechte lijn nr de kleine zwerfkei. Sl bij de kleine zwerfkei ngekomen linksf (mk een rechte hoek) en leg de ltste fstnd nog eens f. De scht ligt precies midden tussen het punt dt je nu bereikt hebt en de dikke eik. 1 Jij gt op zoek nr de scht. De twee zwerfkeien zijn goed herkenbr, mr de dikke eik heeft de tijd niet overleefd. Onderzoek wr de scht ligt. 1

1. Crtesisch ssenstelsel Je ziet hiernst een pltje vn het crtesisch ssenstelsel Oxy. Drvoor geldt: de coördintssen stn loodrecht op elkr (dr kijk je niet vn op), de lengte-eenheden op de ssen zijn even lng (men spreekt wel vn een vierknt ssenstelsel; denk n de optie Zsqure op de GR), de oriënttie is positief (dt betekent: de driing om O in positieve richting over 90 o brengt de positieve x-s over nr de positieve y-s. In een ssenstelsel hebben meetkundige begrippen zols punt, rechte lijn, fstnd, loodrecht, cirkel, rechthoekig gebied, hyperbool,...een zogenmde nlytische voorstelling. Een punt krijgt coördinten, een lijn, cirkel en hyperbool krijgen een vergelijking, een gebied krijgt een ongelijkheid, fstnd wordt een getl en of lijnen loodrecht op elkr stn kn met lgebr worden gecontroleerd. Het vierknte krkter vn een crtesisch ssenstelsel komt mooi tot uiting ls je de roosterlijnen tekent. De verticle roosterlijnen worden nlytisch voorgesteld door een vergelijking vn de vorm x = k (met k = 0, ±1, ±, ±3, enzovoort). De horizontle roosterlijnen worden nlytisch voorgesteld door een vergelijking vn de vorm y = k (met k = 0, ±1, ±, ±3, enzovoort). Het snijpunt vn een horizontle en een verticle roosterlijn is een roosterpunt. In de figuur zie je de roosterpunten P (het snijpunt vn x = 1 en y = -1) en Q (het snijpunt vn x = 3 en y = ). We schrijven kortweg: P = (1, -1) en Q = (3, ). 1. Verklr dt geldt: d(q,p) = 13. d(q,p) betekent: de fstnd vn P en Q; d komt vn distnce. b. Er zijn in totl cht roosterpunten met de fstnd 13 tot P. Geef de coördinten vn de ndere zeven. Het midden M vn het lijnstuk PQ is geen roosterpunt.. Wt zijn de coördinten vn M? b. Wt zijn de coördinten vn het punt dt precies midden tussen de punten (10, 8) en (6, 0) ligt? En vn het punt midden tussen (100, -10) en (1000, 66)? c. Bedenk een lgemene regel voor de coördinten vn het midden vn twee punten. 3 Gegeven zijn de punten A = (, 17) en M = (3, 13). M is het midden vn lijnstuk AB. Bereken de coördinten vn het punt B. 4 P is het punt (3, 5).. Hoe groot is de fstnd vn P tot de lijn x = 10? En tot de lijn x = 10? b. Dezelfde vrg voor Q = (-8, -3) en de lijnen y = 5 en y = 8. y-s O x=0 P Q

5 Lt P het punt (x P, y P ) zijn. We willen de fstnd vn P tot de lijn l: x = 4 uitdrukken in de coördinten vn P. De fstnd vn punt P tot lijn l geven we n met d(p, l).. Hoe groot is d(p, l) in de volgende drie gevllen? ls P = (3, 7), dn d(p, l) =... ls P = (7, 3), dn d(p, l) =... ls P = (-3, 17), dn d(p, l) =... b. Wrom speelt y P drbij geen rol? c. Hoe groot is d(p, l) in de volgende drie gevllen? ls x P > 4, dn d(p, l) =... ls x P = 4, dn d(p, l) =... ls x P < 4, dn d(p, l) =... Je kunt de drie gevllen vn 5c onder één hoedje vngen met behulp vn bsolute wrde: d(p,l) = x 4. 6 Geef één formule voor de fstnd vn P tot de lijn k: y = 3. P 7 Noem S het snijpunt vn de lijnen l en k uit 5 en 6. Voor de fstnd d(p,s) geldt: Verklr deze formule. d(p,s) = x P 4 + y 3 Opmerking: Omdt in de formule kwdrten stn, kun je de bsoluut-strepen ook weglten. Een kwdrt is immers niet negtief! Je krijgt dn: x 4 + 3 P yp. d(ps)= ( ) ( ) Nog wt lgemener: ls P de coördinten (x P, y P ) heeft en Q de coördinten (x Q, y Q ), dn P 8 Bereken met deze formule de fstnd tussen de punten (-5, 11) en (3, -4). Ook tussen (49, 37) en (-50, 17) en tussen (115, 88) en (10, 88). 9 Wt gebeurt er met de fstnd vn (x P, y P ) en (x Q, y Q ) ls je de vier coördinten verdubbelt? Teken ook een pltje om je ntwoord te verklren. 10 Vn driehoek ABC zijn gegeven de hoekpunten A(,6) en B(,5) en C(3,-1). Bereken de oppervlkte vn driehoek ABC. 11 De verzmeling punten (x, y) wrvoor y - 5 1 vormen een gebied. Hoe ziet dt gebied eruit? 1 Vn een rechthoekig gebied is de nlytische voorstelling: x 4 én 1 y 3.. Hoe ziet dt gebied eruit? b. Geef een nlytische voorstelling vn het gebied met bsolute wrde. 3

1.3 Terug nr de scht Het invoeren vn een geschikt ssenstelsel brengt ons de oplossing. Nmelijk: kies de grote kei ls oorsprong O en neem de kleine kei op de positieve x-s. Zeg dt de kleine kei op het punt K = (,0) ligt. We nemen een willekeurig strtpunt P = (-,b); hierbij is een positief getl. De nwijzingen zeggen dt je de route POTKQ moet lopen, met PO = OT, POT = 90º, TK = KQ en TKQ = 90º. P T S Q A O B K C 1. Wt zijn de coördinten vn T en Q, uitgedrukt in en b? b. Wt zijn de coördinten vn het midden S vn PQ? c. Hoe zie je n de coördinten vn S dt je de plts vn de oude eik niet hoeft te weten om de scht te vinden? d. Je hebt nu gevonden wr de scht ligt, uitgnde vn de keien in de punten (0,0) en (,0). Hoe ligt de plek vn de scht ten opzichte vn de keien? e. Wr zou de scht liggen ls je in de beschrijving vn 1.1 twee keer rechsf zou gn in plts vn linksf. Het invoeren vn een ssenstelsel heeft ons geholpen met het vinden vn de oplossing. Zo n combintie vn meetkunde en een ssenstelsel noemen we nlytische meetkunde. Nog een voorbeeld. In een driehoek ABC zijn M en N de middens vn de zijden AC en BC. Dn is MN evenwijdig n AB en is MN hlf zo lng ls AB. (Men noemt MN wel een middenprllel vn driehoek ABC). M C N Dit is een bekende stelling uit de meetkunde. Als we de driehoek in een ssenstelsel pltsen - we mogen de ssen zelf kiezen - is de stelling gemkkelijk te bewijzen. We mken dus weer gebruik vn coördinten; zo werkt nlytische meetkunde. A C B We kiezen de oorsprong in A en B op de x + -s. Zeg dt B = (b,0) en C = (c,d). M N. Wt zijn de coördinten vn de middens M en N? b. Hoe zie je n deze coördinten dt MN evenwijdig is n AB? c. Hoe lng is MN? Klopt dt met de bewering dt MN hlf zo lng is ls AB? B 4

1.4 Het begrip vergelijking We bestuderen een vergelijking met twee onbekenden erin, bijvoorbeeld: x + y = 5. Willekeurig gekozen wrden vn x en y voldoen ntuurlijk in het lgemeen niet n deze vergelijking. Toch heeft deze vergelijking oneindig veel oplossingen. Immers, we kunnen een wrde vn x kiezen en drn uitrekenen hoe groot y moet zijn, opdt x + y = 5 geldt. 1. Neem x = 3 en bereken y (twee oplossingen). Neem y = -4 en bereken x. Neem x = en bereken y. Elk vn die getllenpren (x,y) horen bij een punt in een crtesisch ssenstelsel. b. Teken de zes punten die je in vrg. hebt berekend. Niet bij elke wrde vn x is er een wrde vn y zo dt voldn is n x + y = 5. c. Bij welke wrden vn x hoort ten minste één wrde vn y? Er zijn oneindig veel getllenpren (x,y) die n x + y = 5 voldoen. d. Heb je enig idee welke figuur gevormd wordt door lle punten (x,y) die n x + y = 5 voldoen? Kun je bewijzen dt dt zo is? Not bene Met het tekenprogrmm CABRI kun je op de computer cirkels tekenen in een ssenstelsel en de bijbehorende vergelijking opvrgen. Wt we gedn hebben We hdden een vergelijking. We hebben lle punten (x,y) in een ssenstelsel gezocht die n de vergelijking voldoen. Tezmen vormen l die punten een figuur. Zo'n figuur kn vn lles zijn (elke deelverzmeling vn het vlk is in principe mogelijk). Vk zl het een kromme lijn zijn. Wij spreken dn vn een kromme. Dt hij krom loopt, is heleml niet belngrijk. De figuur kn best een recht stuk hebben (of zelfs een rechte lijn zijn); ook die figuren vngen we onder de nm "kromme". We bekijken eerst enkele vergelijkingen, wrbij je de kromme gemkkelijk kunt vinden. Zoek de kromme bij de volgende vergelijkingen. x+3y = 1 b. x+7 = 0 c. y = 4 d. x = y e. (x+3)(y-) = 0 f. x + (y-) = 0 g. x = y h. (y-x) = 1 i. y/x = 4 5

3 Soms is een kromme K de grfiek vn een functie, bijvoorbeeld: y + x = 0 of Schets de bijbehorende krommen. x y + y = 5. De punten (,b) en (-,-b) liggen gespiegeld ten opzichte vn de oorsprong. Een kromme is puntsymmetrisch ten opzichte vn (0,0) ls geldt: bij elk punt (,b) op de kromme, ligt ook (-,-b) op de kromme. (,b) O (-,-b) 4 We bekijken de kromme K met vergelijking x + 5y = 13. Het punt (, 1) ligt op de kromme K, zols je eenvoudig kunt ngn.. Kun je, dit wetende, nog drie punten noemen die op K liggen? Als je een punt (,b) op de kromme kent, ken je er meer (meestl drie ndere, soms één nder punt). b. Leg dt uit. c. Is K puntsymmetrisch? 5 We bekijken de kromme L met vergelijking x + 3xy + 5y = 7. Het punt ( 1, 1) ligt op de kromme L, zols je eenvoudig kunt ngn.. Kun je, dit wetende, nog een nder punt noemen dt op de kromme L ligt. b. Toon n dt de kromme L puntsymmetrisch is ten opzichte vn O. Begin zo: Stel dt het punt (, b) op L ligt. Lt zien dt het punt (-, -b) dn ook op L ligt. 6 Het punt (,b) ligt op de kromme x xy + 1 = 0. Bewijs dt het punt ( 1, b) ook op die kromme ligt. 6

Hoofdstuk Meer over lijnen.1 Vergelijkingen vn een rechte lijn Je weet dt y = mx + q een vergelijking is vn een rechte lijn. Hierin is m de richtingscoëfficiënt en (0,q) is het snijpunt met de y-s. Als je vn een rechte lijn de richtingscoëfficiënt en een punt kent, kun je onmiddellijk een vergelijking vn die lijn opschrijven: y-y 0 = m (x-x 0 ). Hierin is m de richtingscoëfficiënt, en (x 0,y 0 ) is het bekende punt. Dt is ls volgt in te zien: In figuur 1 is (x 0, y 0 ) het bekende punt en is (x, y) een y (x,y) lopend punt op de lijn, ongelijk n (x 0, y 0 ). y-y 0 is de verticle verpltsing x-x 0 is de horizontle verpltsing vn (x 0, y 0 ) nr (x, y). y y 0 y y0 Er geldt dus: m = x x en hieruit volgt : y-y 0 0 = m (x-x 0 ). (x 0,y 0 ) x x 0 Als er twee punten (x 0,y 0 ) en (x 1,y 1 ) vn een lijn gegeven y1 y0 zijn, bereken je eerst de richtingscoëfficiënt en je x1 x0 kunt vervolgens een vergelijking vn de lijn opschrijven: y1 y0 y-y 0 = (x-x 0 ). x1 x0 1 Geef een vergelijking vn de volgende lijnen. Schrijf de vergelijkingen eerst in de vorm y-y 0 = m (x-x 0 ). Vereenvoudig je ntwoorden tot de gednte: y = mx + q.. De lijn met richtingscoëfficiënt -0,1 die gt door (10, -7) b. De lijn met richtingscoëfficiënt die gt door ( 3, 6) c. De lijn die gt door de punten (44, 53) en (47, 50) d. De lijn die gt door de punten (18, 53) en (51, -) e. De lijn die gt door de punten (-17, 53) en (1000, 53) Welke formule vind je - n vereenvoudiging - ls je het bovenstnde gebruikt voor een lijn met richtingscoëfficiënt m, die door het punt (0, q) gt? 3. Welke formule vind je - n vereenvoudiging - ls je het bovenstnde gebruikt voor een lijn die door de punten (p, 0) en (0, q) gt? x y b. Lt zien dt je die formule ook kunt schrijven ls + = 1 (ngenomen dt p en q p q niet 0 zijn). 4. Wrom lukt het niet met bovenstnde mnieren een vergelijking op te stellen voor de lijn die gt door (3,5) en (3,-)? b. Geef een vergelijking vn die lijn. Dt verticle lijnen een uitzonderingspositie innemen is niet fri. Er is een type vergelijking dt voor lle rechte lijnen werkt, ook voor de verticle: x + by = c. 5. Schrijf de vergelijking 3x +y = 5 in de gednte y = mx + b. b. Schrijf de vergelijking x +by = c in de gednte y = mx + b (mits b 0). x 7

6. Voor welke wrden vn, b en c gt de lijn x +by = c door de oorsprong? b. Voor welke wrden vn, b en c is de lijn x +by = c verticl? c. Voor welke wrden vn, b en c is de lijn x +by = c horizontl? d. Welke figuur stelt x +by = c voor ls = b = c = 0. e. Welke figuur stelt x +by = c voor ls = b = 0 en c 0. 7 Bekijk de vergelijking y = 3x + p. Door in deze vergelijking voor p verschillende wrden in te vullen ontstt steeds een vergelijking vn een lijn. Tezmen vormen die lijnen een bundel. p is een zogenmde prmeter. In elk vn de volgende bundels hebben de lijnen iets gemeenschppelijks. Wt?. y = 3x + p b. y = px + 3 c. y 5 = p( x ) d. 3x = p 8 Bepl een vergelijking vn de lijn door het punt (,3) die evenwijdig is met de lijn 4x + 5y - 11 = 0. 9 Liggen de punten (, 3), (3, -1) en (1, 6) op één lijn? 10 Bepl een vergelijking vn het spiegelbeeld vn y = 3x 5 ten opzichte vn de x-s b. de y-s c. de oorsprong. Bepl een vergelijking vn het spiegelbeeld vn y = mx + n ten opzichte vn d. de x-s e. de y-s f. de oorsprong. 8

. Ligging vn twee lijnen ten opzichte vn elkr x + 4y = is een stelsel vn twee vergelijkingen met twee onbekenden. Beide vergelijkingen stellen een lijn voor in een coördintenstelsel. De lijnen snijden elkr in een punt. De 6x y = coördinten vn het snijpunt geven de oplossing vn het stelsel: dt zijn de getllen x en y die n beide vergelijkingen tegelijkertijd voldoen. We zeggen dt dt getllenpr (x,y) de oplossing is vn het stelsel vergelijkingen. 1. Bereken de oplossing vn het stelsel. 3x y = 1 b. Bereken ook de oplossing vn. 6x 5y = 4 3x y = 1. Voor welke wrde vn p heeft het stelsel geen oplossing. 6x + py = 3x y = 1 b. Voor welke wrden vn p en q heeft het stelsel oneindig veel oplossingen. 6x + py = q Merk de prllel op tussen de meetkunde en de lgebr. Meetkunde: twee lijnen hebben 0 of 1 gemeenschppelijk punt; of ze hebben lle punten gemeenschppelijk (dt is het gevl ls de lijnen smenvllen ; (dn is er dus eigenlijk mr één lijn). Algebr: een stelsel vn twee vergelijkingen met twee onbekenden heeft 0 of 1 getllenpr (x,y) ls oplossing; of ze hebben oneindig veel oplossingen (dt is het gevl ls de twee vergelijkingen op hetzelfde neerkomen: ls een pr (x,y) n de ene vergelijking voldoet, voldoet het ook n de ndere vergelijking. Dus: Als k en l lijnen zijn, dn zijn k en l snijdend: er is 1 snijpunt of zijn k en l evenwijdig: er is geen gemeenschppelijk punt; k // l of zijn k en l dezelfde lijn: lle punten zijn gemeenschppelijk; k = l Een stelsel vergelijkingen heet onfhnkelijk ls het precies één oplossing heeft. Een stelsel vergelijkingen heet strijdig ls het geen oplossing heeft. Een stelsel vergelijkingen heet fhnkelijk ls elk pr dt n de ene vergelijking voldoet, ook voldoet n de ndere vergelijking. x y = q 3 We bekijken het stelsel. x + py = 6. Voor welke wrden vn p en q is het stelsel strijdig, fhnkelijk en onfhnkelijk? b. Kies p = en druk de oplossing uit in q. c. Kies q = 0 en p - en druk de oplossing uit in p. 9

x + by = c 4 We bekijken het stelsel met en b niet beide 0 en p en q niet beide 0. px + qy = r Veronderstel dt b 0 en q 0.. Wt is de richtingscoëfficiënt vn elk vn de bijbehorende lijnen? b. Toon n dt geldt: het stelsel is onfhnkelijk precies dn ls bp q. Veronderstel dt b = 0 of q = 0. c. Toon n dt ook dn geldt: het stelsel is onfhnkelijk precies dn ls bp q. x + by = c 5 We bekijken weer het stelsel met en b niet beide 0 en p en q niet beide 0. px + qy = r In opgve 4 heb je gezien dt het stelsel onfhnkelijk is ls bp q. Als bp = q, dn is het stelsel fhnkelijk of strijdig.. Toon n dt geldt: het stelsel is fhnkelijk precies dn ls cp = r. b. Toon n dt geldt: het stelsel is strijdig precies dn ls cp r. 6. Toon n dt de lijnen px + (p+1)y = 0 en (p+)x + (p+3)y = 10 voor elke wrde vn p snijdend zijn. b. Voor welke wrde vn p zijn de lijnen px + (p+)y = 0 en (p+)x + (p+3)y = 10 evenwijdig? 7 Voor welke wrde vn en b is x + (b-1)y = 3 dezelfde lijn ls bx + (+3)y = 6? 8 Gegeven zijn de punten P(1,1) en Q(3,3). Men trekt door P en Q twee evenwijdige lijnen die de x-s snijden in twee punten die op fstnd 4 vn elkr liggen.. Mk een tekening vn de situtie. b. Bepl vergelijkingen vn deze lijnen. (twee oplossingen) 9 Gegeven zijn de punten O(0,0), A(,6) en P(4,3). Dit zijn drie vn de vier hoekpunten vn een prllellogrm.. Mk een tekening vn de situtie. (drie mogelijkheden) b. Bereken de coördinten vn het vierde hoekpunt. Een zwrtelijn vn een driehoek gt door een hoekpunt en het midden vn de overstnde zijde. Een driehoek heeft drie zwrtelijnen; die gn door één punt, het zogenmde zwrtepunt. 10 Gegeven zijn de punten O(0,0), A(,6) en P(4,3).. Stel een vergelijking op vn elk vn de zwrtelijnen vn de driehoek. b. Bereken het snijpunt vn twee vn deze zwrtelijnen. Dt is dus het zwrtepunt vn de driehoek. c. G met een berekening n dt het zwrtepunt ook op de derde zwrtelijn ligt. 10

.3 Loodrecht Twee lijnen in een ssenstelsel zijn evenwijdig ls ze eenzelfde hellingsdriehoek (en dus dezelfde richtingscoëfficiënt) hebben. Je hoeft de hellingsdriehoek vn de ene lijn mr te verschuiven om een hellingsdriehoek vn de ndere lijn te vinden. Hoe zit dt bij lijnen die loodrecht op elkr stn? Dt gn we in deze prgrf behndelen. 1. Onderzoek met behulp vn de nevenstnde figuur hoe je bij de hellingsdriehoek vn de ene lijn een hellingsdriehoek vn de ndere lijn mkt. b. Stel dt de richtingscoëfficiënt vn de ene lijn 7 is. Wt is dn de richtingscoëfficiënt vn de ndere lijn? c. Hoe mk je in het lgemeen vn de richtingscoëfficiënt vn de ene lijn die vn een lijn die er loodrecht op stt? y O y O x x Stelling Twee lijnen (niet verticl en niet horizontl) stn loodrecht op elkr ls het product vn hun richtingscoëfficiënten -1 is. d. Wrom stt in de stelling de toevoeging niet verticl en niet horizontl? Vn de rechthoek ABCD zijn gegeven de punten A(,6) en B(3,5), terwijl het hoekpunt C op de lijn 3x - 4y = ligt. Bepl de coördinten vn D. 3 Vn driehoek ABC zijn gegeven de hoekpunten A(,6) en B(14,15) en C(0,17). Bereken de oppervlkte vn driehoek ABC. 4 Vn een rechthoekige driehoek ABC zijn gegeven de punten A(1,4) en B(3,10). Hoekpunt C ligt op de y-s.. Bereken de coördinten vn C in het gevl de rechte hoek in A zit. b. Stel dt de rechte hoek in C(0,c) zit. Druk de richtingscoëfficiënt vn CA en vn CB uit in c en bereken c. 11

5 Vn de driehoek ABC zijn gegeven de hoekpunten A(3,), B(5,0) en C(11,6).. Stel een vergelijking op vn de middelloodlijn vn AB en vn de middelloodlijn vn AC. b. Bereken het snijpunt vn deze middelloodlijnen. c. G met een berekening n dt dt snijpunt ook op de middelloodlijn vn BC ligt. 6 Er zijn oneindig veel lijnen die loodrecht op de lijn x+3y-5 = 0 stn. Die lijnen hebben lleml een vergelijking vn een bepld type. Geef de lgemene vergelijking vn zo'n lijn (gebruik een prmeter). 1

.4 De fstnd tussen een punt en een lijn Lt k een rechte lijn zijn die niet door O gt en die de x-s snijdt in P(p, 0) en de y-s in Q(0, q). OR is hoogtelijn in driehoek OPQ De oppervlkte vn driehoek OPQ kun je op twee mnieren berekenen: Opp OPQ = 1 OP OQ en Opp OPQ = 1 PQ OR k Q R Hieruit volgt p q = OR p + q. De fstnd vn de oorsprong O tot de lijn k is gelijk n: p q. p + q O P 1.. Bereken de fstnd vn O tot de lijn 3x + 4y = 4. b. Hoe volgt uit het ntwoord op vrg. de fstnd vn O tot de lijn 3x + 4y = 40. c. Wt is de fstnd vn O tot de lijn 3x + 4y = 8? d. Wt is de fstnd vn O tot de lijn 3x + 4y = -8? e. Wt is de fstnd vn O tussen de lijnen 3x + 4y = 8 en 3x + 4y = 4? Gegeven is de lijn k: x + by = 10, met en b beide niet 0.. Druk de fstnd vn O tot k uit in en b. b. Lt zien dt deze fstnd kn worden geschreven ls 10. + b c. G n dt deze ltste formule ook juist is ls = 0 of b = 0, (mr niet beide 0). Als k: x + by = c, met en b niet beide 0, dn d(o,k) = c + b. 3. Bereken de fstnd vn O tot elk vn de lijnen x + y = 0, x + y = 5 en x + y = -5. b. Bereken de fstnd tussen de lijnen x + y = 0 en x + y = 5. Bereken ook de fstnd tussen de lijnen x + y = 0 en x + y = -5. 4 x + by = 10 en x + by = 33 zijn twee evenwijdige lijnen ( en b zijn niet beide 0).. Leg uit dt de fstnd tussen deze lijnen is: 3. + b b. Wt is de fstnd tussen de lijnen x + by = 10 en x + by = -33? c. Geef een formule voor de fstnd tussen de lijnen x + by = c en x + by = d. 5 Stel een vergelijking op vn de middenprllel vn de evenwijdige lijnen 3x + 4y = -8 en 3x + 4y = 1. Dt is de lijn die op gelijke fstnden, midden tussen deze twee lijnen loopt. 6. Stel vergelijkingen op vn lijnen die een fstnd hebben tot de lijn 3x + 4y = -8. 13

7. Stel vergelijkingen op vn de beide lijnen door (6,0) die een fstnd 3 hebben tot de oorsprong O. 8 Gegeven zijn de punten P(1,0) en Q(3,). De punten P en Q hebben gelijke fstnden tot een lijn l met vergelijking x + y =. Bereken. In opgve 4 heb je een formule opgesteld voor de fstnd tussen twee evenwijdige lijnen. Hiermee kunnen we een formule opstellen voor de fstnd tussen een punt en een lijn. Eerst een concreet voorbeeld. 9 Lijn l heeft vergelijking x + 3y = 14 en punt P heeft coördinten (5, 4).. Stel een vergelijking op vn de lijn m door P, die evenwijdig is n l (schrijf de vergelijking in de vorm x + by = c). b. G n dt d(p, l) = d(l, m) en bereken deze fstnd. Nu het lgemene gevl. 10 Lijn k heeft vergelijking x + by = c en punt P heeft coördinten (p, q).. Stel een vergelijking op vn de lijn n door P, die evenwijdig is n k. (schrijf de vergelijking in de vorm x + by = c). p + bq c b. Lt zien dt d(p, k) = d(k, n) =. + b p + bq c Als P(p, q) een punt en k: x + by = c, met en b niet beide 0, dn d(p, k) =. + b 11 Bereken in de volgende gevllen de fstnd tussen punt en lijn.. P(3, -1) en k: x y = 7 b. Q(-5, 10) en l: 3x + 4y = 5 c. R(7, -3) en m: y =,5x 6 d. S(-, 4) en n: y = 3x 1 Vn een driehoek ABC zijn gegeven de punten A(, 1) en B(6, 4). Hoekpunt C ligt op de lijn met vergelijking y = x 3. De oppervlkte vn driehoek ABC is 5. Bereken de coördinten vn C. (er zijn twee mogelijkheden) 13 Punt P ligt op de lijn x = 4 en heeft gelijke fstnden tot de lijnen met vergelijkingen x + y = 5 en x y = 1. Bereken de y-coördint vn P. (er zijn twee mogelijkheden) 14

.5 Lijnenpren 1. x - 4y = 0 bestt uit twee lijnen. Welke? b. Beschrijf de figuur met vergelijking x -3xy + y = 0 c. Beschrijf de figuur met vergelijking y = y +6 Bekijk de vergelijking x - 6xy + py = 0 voor elke wrde vn p.. Beschrijf de figuur voor p = 8, voor p = 9 en voor p = 10. b. Voor welke wrden vn p bestt de figuur met vergelijking x - 6xy + py = 0 uit twee lijnen? 3 Stel een vergelijking op vn het lijnenpr dt bestt uit de lijnen 3x+5y = 6 en x = 4. 4 Stel de lgemene vergelijking op vn een lijnenpr wrvn de lijnen richtingscoëfficiënt 1 en -1 hebben. Gebruik twee prmeters. 5 Bekijk de vergelijking x + qxy + y = 0 voor elke wrde vn q.. Lt zien dt de vergelijking kn worden herschreven tot ( x + qy) + ( 1 q ) y = 0 b. Voor welke wrden vn q bestt de figuur met vergelijking x + qxy + y = 0 uit respectievelijk twee lijnen, één lijn of één punt? 15

.6 Prmetervoorstelling vn een rechte lijn Een punt beweegt in een ssenstelsel. De plts vn het punt op tijdstip t wordt gegeven door: x = t-1 en y = t+3. Hierbij kn t lle reële getllen nnemen. We willen de bn vn het bewegende punt weten. Als je voor enkele tijdstippen t de bijbehorende punten tekent, zie je l guw dt de punten op één lijn liggen. We vinden een vergelijking vn deze lijn (dt is een directe formule voor x en y, zonder "tussenkomst" vn t) door t te elimineren. We vinden: t = x+1 en dus y = (x+1) +3, vereenvoudigd: y = x+5. Hiermee is ngetoond dt de bn vn het bewegende punt een rechte lijn is. 1. De plts vn een bewegend punt op tijdstip t wordt gegeven door: x =3t+ en y = 4t+3. Hierbij neemt t lle reële getllen n vn - tot 1.. Stel een vergelijking op vn de bn vn het bewegende punt en teken de bn. b. Wt verndert er n de bn ls x = -6t+ en y = -8t+3? Nog steeds is - t 1. Toepssing Gegeven zijn de lijnen l en m die loodrecht op elkr stn. A is een vst punt op l. Voor elke punt P op lijn m beplen we het punt Q zo dt AP = PQ, AP PQ en de driing om P vn A nr Q is in negtieve richting (met de wijzers vn de klok). Gevrgd wordt de bn vn Q, ls P de lijn l doorloopt. Een tekening doet vermoeden dt Q een rechte lijn beschrijft. Oplossing met nlytische meetkunde Kies ls x-s de lijn m en ls y-s de lijn l. Zeg dt het vste punt A = (0,) en het vribele punt P =(t,0). y A. Wt zijn de coördinten vn Q, uitgedrukt in t en. Voor het punt Q geldt dus: x = t+ en y = t. b. Elimineer t hieruit. Welke directe formule voor y en x vind je, uitgedrukt in? c. Is het vermoeden juist dt Q een rechte lijn beschrijft? Welke hoek mkt die lijn met de lijn m? t P Q t x 16

Oplossing met meetkunde We gebruiken dezelfde figuur. Het spiegelbeeld vn A in de lijn m noemen we A' en de loodrechte projectie vn Q op l noemen we B. Dn geldt: BQ = t+ en ook BA' = t+. Dus is BQA' een gelijkbenige rechthoekige driehoek. Hieruit volgt dt BA'Q = 45º voor elke wrde vn t. Het punt Q ligt ltijd op de lijn door A, die een hoek vn 45º mkt met de lijn l. l A B t P Q t m A' 3. Bepl een vergelijking vn de bn ls de dririchting om P vn A nr Q positief is. 4 Gegeven zijn de vste punten A(4,0) en B(0,). Lngs de x-s beweegt zich een punt P nr rechts en lngs de y-s een punt Q nr boven, zo dt steeds AP = 3BQ. De lijn door P met richtingscoëfficiënt -1 snijdt de lijn door Q met richtingscoëfficiënt 1 in S.. Onderzoek wt voor soort figuur de bn vn S is ls Q de y-s doorloopt. b. Stel een vergelijking op vn die bn. Begin zo: stel Q = (0,+t), dn is P = 5 Gegeven zijn de bewegende punten P = (t,1) en Q = (3,-4t), wrbij -1 t 3.. Teken de bnen vn P en Q. M is het midden vn PQ. b. Stel een vergelijking op vn de bn vn M. 6 Een punt P beweegt zich vnuit de oorsprong over de x-s nr rechts. Recht boven P ligt een punt Q dt even ver vn de x-s ligt ls vn de lijn m met vergelijking y = x.. Onderzoek wt voor soort figuur de bn vn Q is. b. Hoe wordt deze bn gewoonlijk ngeduid (in reltie met de beide lijnen)? c. Stel een vergelijking op vn de bn vn punt Q. Begin zo: stel P = (, 0) en Q = (, b). 17

Hoofdstuk 3 Kwdrtische vergelijkingen 3.1 Cirkels en lijnen Een cirkel is de figuur bestnde uit lle punten in het vlk die op een beplde fstnd r vn een zeker punt M liggen. M heet het middelpunt en r de strl vn de cirkel. Een cirkel wordt volledig bepld door zijn middelpunt en strl. In coördinten ziet het er ls volgt uit bij een cirkel met middelpunt M = (, b) en strl r > 0. P(x, y) ligt op de cirkel, precies dn ls d(p, M) = r. Dit betekent dt ( x ) + ( y b) = r ofwel ( x ) + ( y b) = r. Deze schrijfwijze noemen we de stndrdvorm vn een cirkel. An de stndrdvorm zie je vrijwel meteen dt je te mken hebt met een cirkelvergelijking en wt het middelpunt en de strl vn de desbetreffende cirkel zijn. 1 Stel een vergelijking op vn de cirkel. met middelpunt (-, 1) en strl 3. b. met middelpunt (1, 3), die door het punt (,5) gt. c. die gt door de punten (-, 0), (4, 0) en (6, ). d. die gt door de punten (-3, -1), (3, -1) en (0, 4). Neem de cirkel met middelpunt (3, -1) en strl 4. De stndrdvorm vn deze cirkel is x 3 + y + 1 =. Uitwerken vn de hkjes geeft: x 6x + 9 + y + y + 1= 16 en dus ( ) ( ) 16 x 6x + y + y = 6. Als de hkjes in de stndrdvorm uitgewerkt zijn, dn is niet meer direct duidelijk wt het middelpunt en de strl vn de cirkel zijn. Het is zelfs niet direct duidelijk of de vergelijking bij een cirkel hoort. Hoe kun je n een vergelijking zonder hkjes zien of deze een cirkel kn voorstellen? Met behulp vn kwdrtfsplitsen kunnen we de stndrdvorm vn een cirkelvergelijking weer terugvinden. Neem bijvoorbeeld de vergelijking x + 4x + y 6y = 4. We mken zowel vn de termen met x ls vn de termen met y kwdrten: ( + 4x + 4) + ( y 6y + 9) 4 9 = 4 x. Herschrijven geeft de gezochte stndrdvorm ( + ) + ( y 3) = 17 x. 3 Geef middelpunt en strl vn de cirkels behorende bij de volgende vergelijkingen.. x + x + y + y = 5 b. x x + y + 6y = 11 c. ( x + ) + y = x + y + 6 d. ( x + y) = ( x + ) ( y + 1) Een cirkel en een lijn kunnen twee, één of geen punten gemeenschppelijk hebben. Het berekenen vn de coördinten vn de eventuele snijpunten gt door middel vn substitutie. In de volgende opgve wordt dit n de hnd vn een voorbeeld uitgelegd. 18

4 Gegeven is de cirkel met vergelijking ( ) + ( y + 1) = 5 x en de lijn y = x.. Substitueer y = x in de cirkelvergelijking en los die vervolgens op nr x. b. Bereken vervolgens de coördinten vn de snijpunten vn cirkel en lijn. 5 Bereken in elk vn de volgende gevllen de (eventuele) snijpunten vn cirkel en lijn.. Cirkel: x + y = 17 en lijn: 3x + 5y = 17. b. Cirkel: ( + 3) + ( y + 1) = 10 x en lijn: y = 3x. c. Cirkel: ( + ) + ( y 3) = 5 x en lijn: y = x + 1. Hoeveel snijpunten een cirkel en een lijn gemeen hebben, kun je ook vinden door de fstnd tussen middelpunt en lijn te berekenen en deze te vergelijken met de strl vn de cirkel. 6 Controleer op deze mnier het ntl snijpunten voor de drie gevllen in opgve 5. We kijken eens preciezer nr het bijzondere gevl, wrin cirkel en lijn precies één punt gemeenschppelijk hebben. De lijn rkt dn n de cirkel. Het snijpunt heet dn ook wel het rkpunt n de cirkel. In zo n gevl stt de strl vnuit het middelpunt nr het rkpunt loodrecht op de lijn. Dit feit kunnen we gebruiken om rklijnen n een cirkel te vinden die gn door een gegeven punt (buiten de cirkel). In de volgende opgve wordt dit uitgewerkt. 7 Gegeven is de cirkel met vergelijking x + y = 0 en het punt P(6, ), dt buiten de cirkel ligt. We nemen een punt Q(x, y) op de cirkel en gn proberen uit te vinden onder welke voorwrden de lijn PQ de cirkel rkt.. Druk de richtingscoëfficiënt vn strl MQ uit in x en y. b. Druk de richtingscoëfficiënt vn lijnstuk PQ uit in x en y. c. G n dt MQ PQ precies dn ls x + y = 6x + y. Combintie vn x + y = 6x + y en de cirkelvergelijking x + y = 0 geeft 6 x + y = 0. Blijkbr liggen de rkpunten vnuit P n de cirkel op de lijn met vergelijking 6 x + y = 0 of vereenvoudigd 3 x + y = 10. d. Bereken nu de twee rkpunten vn de rklijnen door P n de cirkel. e. Stel vergelijkingen op vn de beide rklijnen. 8 Gegeven zijn de cirkel met vergelijking x + y = 00 en het punt P(15, 5).. Bereken de rkpunten vn de rklijnen door P n de cirkel. b. Stel vergelijkingen op vn deze rklijnen. 19

3. Prbolen, ellipsen en hyperbolen 1 Gegeven is de lijn k: y = -1 en het punt E(0, 1). Stel een vergelijking op vn de figuur bestnde uit lle punten P(x, y) die even ver vn lijn k ls vn punt E fliggen. Als het goed is gegn, dn heb je bij opgve 1 de vergelijking 1 x 4 y = gevonden, de vergelijking vn een prbool. Zols bekend (boekje 9, prbolen en hyperbolen) liggen de punten die even ver vn een gegeven lijn k ls vn een punt E f liggen op een prbool. De lijn k noemen we de richtlijn en het punt P het brndpunt vn de prbool. We gn de fstnd tussen de richtlijn en het brndpunt vriëren. Voor elk positief getl is gegeven de lijn l: y = - en het punt F(0, ). We zijn op zoek nr een vergelijking vn de prbool vn lle punten P(x, y) die even ver vn lijn l ls vn punt F fliggen.. Lt zien dt de coördinten vn zulke punten P voldoen n de vergelijking y = 1 x. b. Voor welk getl vinden we de stndrdprbool y = x? Verndering vn de fstnd tussen brndpunt en richtlijn verndert de grootte, mr niet de vorm vn de figuur. Dit stemt overeen met een bekend feit: lle prbolen zijn immers onderling gelijkvormig. Bij een verticle rklijn worden de rollen vn x en y verwisseld. Interessnter wordt het wnneer we niet een horizontle of verticle richtlijn nemen, mr bijvoorbeeld een met richtingscoëfficiënt 1. De figuur die we krijgen is ntuurlijk weer een prbool, mr nu een die schuin ligt. 3 Gegeven is de lijn m: x + y = - en het punt F(1, 1). Stel een vergelijking op vn de prbool met F ls brndpunt en m ls richtlijn. We hebben tot nu toe figuren bekeken, die bestn uit lle punten P met d(p, E) = d(p, k), wrbij k een lijn is en E een punt dt niet op k ligt. Deze figuren wren lleml prbolen. We gn nu bij een gegeven lijn k en een punt E (niet op k) de figuren bekijken die bestn uit lle punten P met d(p, E) = e d(p, k), wrbij e een positief getl is. Behlve prbolen (bij e = 1) blijken er dn ellipsen en hyperbolen te ontstn, zols we in het vervolg zullen zien. 4 Gegeven is de lijn l: x = -5 en het punt F(3, 0). We bekijken de figuur L bestnde uit de punten P wrvoor d(p, F) = 5 3 d(p, l).. Lt zien dt voor zulke punten P = (, b) geldt: 16 4 + 5b = 0. We gn nu lten zien dt de gevonden vergelijking 16x 4x + 5y = 0 hoort bij een ellips. Dit doen we door de figuur L ten opzichte vn de y-s met een beplde fctor te vermenigvuldigen. In dit gevl nemen we (om redenen die lter duidelijk worden) de fctor 4. De nieuwe figuur, die zo ontstt noemen we K. 5 b. Leg uit dt een punt (p, q) op K ligt, precies dn ls ( 4 5 p, q) op L ligt. c. Toon n dt de punten (p, q) op K voldoen n de vergelijking: p 1 p + q = 0. 4 0

d. Lt zien dt K een cirkel voorstelt door de vergelijking in stndrdvorm te schrijven. e. Kun je nu uitleggen wrom we de vermenigvuldigingsfctor 5 4 hebben gekozen. Dt de figuur in opgve 3 vi een geschikte lijnvermenigvuldiging kon overgn in een cirkel, ws te dnken n het feit dt de coëfficiënten vn x en y in de vergelijking vn L hetzelfde teken hdden, nmelijk +16 en +5. De zogenmde excentriciteit e blijkt hierbij een crucile rol te spelen. Dit wordt geïllustreerd door de volgende opgve. 5 Gegeven is de lijn k: x = -1 en het punt E(1, 0). De kromme K bestt uit lle punten, wrvoor d(p, E) = e d(p, k) voor zeker getl e > 0.. Lt zien dt voor punten P(x, y) op K geldt: ( 1 e ) x ( + e ) x + 1 e + y = 0. b. Lt zien dt de coëfficiënten vn x en y in de vergelijking vn K hetzelfde teken hebben, precies dn ls 0 < e < 1. Dt de richtlijn in opgve 5 verticl ligt, doet voor de vorm vn de figuur niet terzke. We kunnen dus concluderen: Voor 0 < e < 1 is de kromme bestnde uit lle punten P met d(p, E) = e d(p, k) een ellips. 6 Gegeven is de lijn l: x + y = en het punt E(1, 1). Stel een vergelijking op vn de ellips met richtlijn l, brndpunt E en excentriciteit 1. Blijft over het gevl wrbij de excentriciteit e > 1. De krommen die hierbij horen worden hyperbolen genoemd. De bekende hyperbolen met vergelijking x y = c (met c een constnte) vllen hier ook onder, zols blijkt uit de volgende opgve. 7 Gegeven is de lijn m: + y = x en het punt M ( ),. Lt zien dt de kromme bestnde uit lle punten P wrvoor d(p, M) = d(p, m) voldoet n de hyperboolvergelijking x y = 1. 8 Als we de richtlijn en het brndpunt vn opgve 6 over +45 om de oorsprong drien, krijgen we bij gelijke excentriciteit ntuurlijk een gedride hyperbool. De nieuwe richtlijn noemen we n en het nieuwe brndpunt noemen we N.. Bepl een vergelijking vn lijn n en de coördinten vn punt N. b. Lt zien dt de nieuwe kromme voldoet n de vergelijking y = x +. 1

Antwoorden 1. Crtesisch ssenstelsel 1. Stelling vn Pythgors: PQ = +3 = 13, dus PQ = 13. Q 3. M = (, 1 ) b. (8, 14) ; (550, 8) P c. De x-coördint vn het midden is het gemiddelde vn de x-coördinten. De y-coördint vn het midden is het gemiddelde vn de y-coördinten. 3 B = (4,9) 4. 7 ; 13 b. 30 ; -3 5. 1 ; 3 ; 7 b. Omdt de lijn l verticl loopt, wordt de fstnd tussen P en l horizontl gemeten en heb je dus niets met de y-coördint te mken. b. x-4 ; 0 ; 4-x 6 d(p,k) = y P - 3 Q 7 Stelling vn Pythgors: PQ = (x P -x Q ) + (y P -y Q ). De bsolute-wrdestrepen stn er omdt je niet bij voorbt weet welke getl y P of y Q het grootst is en welk getl x P of y Q het grootst is. 8 8 + 15 = 17 ; 99 + 0 = 101 ; 5 P x P -x Q y P -y Q 9 Dn wordt de fstnd PQ ook twee keer zo groot. OP' = OP en OQ' = OQ, PQ pst twee keer op P'Q'. P' P Q Q' 10 AB: x = ; d(c,ab) =. Dus oppervlkte ABC =. O 11 Dt is een oneindig lnge horizontle strook vn breedte. 1. Dt is een rechthoek vn 6 bij 4. b. x-1 3 en y-1 1.3 Terug nr de scht 1. T = (b,) ; Q = (+, -b) b. S = ( 1 (- + +), 1 (b + -b) ) = (1,1)

c. S hngt niet f vn en b. Voor elk strtpunt P kom je dus ltijd op dezelfde plek uit. d. Mk een vierknt met OK ls digonl. De scht ligt dn op het hoekpunt vn dt vierknt, "boven" de lijn OK. e. Om op het ndere hoekpunt uit te komen moet je bij de route (zie 1.1) twee keer rechtsf sln in plts vn linksf.. M = ( 1 c, 1 d) ; N = ( 1 c + 1 b, 1 d) b. M en N hebben dezelfde tweede coördint. c. De fstnd MN = 1 b en de fstnd OB is b. Dus MN = 1 OB. 1.4 Het begrip vergelijking 1. y = 4 of y = -4 ; x = 3 of x = -3 ; y = 1 of y = - 1 c. -5 x 5 d. Een cirkel met strl 5 en middelpunt O (x,y) ligt op die cirkel precies dn ls de fstnd vn (0,0) en (x,y) gelijk n 5 is, dus ls x + y = 5 (volgens de stelling vn Pythgors of vi de fstndsformule).. rechte lijn, richtingscoëfficiënt - 3, snijpunt met y-s: (0,4) b. verticle rechte lijn: x = -3 1 c. twee horizontle lijnen: y = en y = - d. twee lijnen: y = x en y = -x e. twee lijnen: x = -3 en y = f. één punt: (0,) g. hlve lijn: y = x met x 0 h. twee lijnen: y = x+1 en y = x-1 i. een lijn met gtje: y = 4x met x 0 3 Je kunt de formules schrijven ls: y = -x en y = 5. x + 1 4. (-, 1), (, -1) en (-, -1). b. Als (,b) op de kromme ligt, is + 5b gelijk n 7. Dn zijn ook (-) + 5 (-b), + 5 (-b) en (-) + 5 b gelijk n 7. Dus liggen ook (-,-b), (,-b) en (--b) op de kromme. c. J, wnt ls (,b) op de kromme ligt, dn ligt ook (-,-b) op de kromme (zie b). 5. (- 1, -1) b. Als een punt (,b) op de kromme L ligt, is + 3b + 5b gelijk n 7. Dn is ook (-) + 3 - -b + 5 (-b) gelijk n 7, dus dn ligt ook (-,-b) op de kromme L. 6. Gegeven is dt - b + 1 gelijk is n 0. is zeker niet 0 (wnt dn zou - b + 1 gelijk n 1 zijn geweest), dus mg je delen door b 1. Dn krijg je dt 1 - + gelijk is n 0. Ofwel ( ) 1-1 b + 1 is gelijk n 0. En dt betekent dt ( 1, b) op de kromme ligt. 3

.1 Vergelijkingen vn een rechte lijn 1. y = -0,1x - 6 b. y = x c. y = -x + 97 d. y = -1 3 x + 83 e. y = 53 y - q = m (x - 0), en dt kun je schrijven ls y = mx + q. q 3. y - q = 0 (x - 0), en dt kun je schrijven ls y = - p pq x + q. 0 b. Deel beide knten vn de ltste vergelijking door q; dt geeft: q y = - p x + 1. Tel dn n beide knten p x op en je krijgt de gewenste vergelijking. 4. Omdt de x-coördinten vn de twee punten gelijk zijn, zou je in de formules moeten delen door 0, hetgeen onmogelijk is. b. x =3 3 5 5. y = - x + c b. y = - x + b b 6. ls c = 0 en 0 of b 0 b. ls b = 0 en 0 c. ls = 0 en b 0 d. het hele vlk e. niets: de lege verzmeling 7. De lijnen hebben dezelfde richting. b. De lijnen gn lleml door het punt (0,3). c. De lijnen gn lleml door het punt (,5). d. De lijnen zijn lleml verticl. 8 y = - 54 x + 4 5 3 of 4x + 5y = 3 9 De lijn door de eerste twee punten heeft vergelijking y = -4x + 11. Het derde punt ligt niet op de lijn, wnt 6-4 1 + 11. 10. y = -3x + 5 b. y = -3x 5 c. y = 3x + 5 d. y = -mx n e. y = -mx + n f. y = mx n. Ligging vn twee lijnen ten opzichte vn elkr 1. (,5) 4

b. (1,). p = - b. p = - en q = 3. strijdig ls p = - en q 3 fhnkelijk ls p = - en q = 3 onfhnkelijk ls p - b. x = 1 1 + 1 q, y = 1 1-1 q 6 6 c. x =, y = + p + p 4. - b en - q p b. Een stelsel in onfhnkelijk precies dn ls de richtingscoëfficiënten verschillend zijn. Dus ls - b - q p, dus ls (vermenigvuldig met bq) q bp. c. Bijvoorbeeld ls b = 0. Dn is de eerste lijn verticl. Het stelsel is dn onfhnkelijk ls de tweede lijn niet verticl is, dus ls q 0. Ook 0, wnt gegeven is dt en b niet beide 0 zijn. Dus bp = 0 en q 0, dus bp q. Het omgekeerd geldt ook: ls bp q en b = 0, dn is bp = 0 en dus q 0. Dus q 0. Dus is de tweede lijn niet verticl, terwijl de eerste dt wel is. Dus zijn de twee lijnen niet onfhnkelijk. 5. Bijvoorbeeld ls 0. x + by = c ( x + by ) = c p p bp cp px y = + cp cp px + qy =. En r = precies dn ls cp = r. Dus de lijnen vllen smen ls cp = r. b. Een zelfde redenering ls bij. geeft: de lijnen zijn evenwijdig ls cp r. 6. p(p+3) = p +3p en (p+1)(p+) = p +3p+. Deze twee zijn verschillend voor elke p (ze verschillen nmelijk constnt. b. Het zijn in elk gevl verschillende lijnen, wnt (0,0) ligt op de eerste lijn en niet op de tweede. De lijnen zijn evenwijdig ls p(p+3) = (p+), dus ls p +3p = p +4p+4, dus ls p=-4. 7 Als b = en +3 = (b-1). Dit is het gevl ls +3 = (-1), dus ls = 1. Dn is b = 5. Q 8. Trek PA // x-s en PA = 4. Dus A = (5,1) of A = (-3,1) b. Als A = (5,1), dn zijn de lijnen: y = -x + 6 en y = -x +. Als A = (-3,1), dn zijn de lijnen: y = 31 x + en y = 31 x + 3. 9. b. (6,9), (-,3), (,-3) 1 10. y = 1 x, y = 3, x = A O P A P A O 5

b. (,3) c. Dt klopt..3 Loodrecht 1.. Dri de hellingsdriehoek vn de ene lijn een kwrtslg. b. - 7 c. Omkeren en het tegengestelde nemen. Dus ls de ene richtingscoëfficiënt b is, is de ndere - b d. Anders bestt de richtingscoëfficiënt vn een vn de twee lijnen niet. AB heeft rc. -1. BC heeft dus rc 1. BC: y = x +. Snijden met 3x - 4y = geeft C = (-10, -8). Hieruit volgt D = (-11,-7). 1 3 AB: y = 43 x + 4 ; hoogtelijn uit C op AB: y = - 34 x +17. Snijpunt is (6,9). Bsis AB is 16, hoogte is 10; dus oppervlkte ABC = 80. y O x 4. rc AB = 3. Dus rc AC = - 31. Dus AC: y -4 = - 31 (x-1). Snijden met x=0 geeft C = (0,4 31 ). c 10 c 10 b. rc CA = 4-c en rc CB =. CA CB ls (4-c) = -1, dus ls c = 7 + 6 en ls 3 3 c = 7-6. 5. Middelloodlijn vn AB: y = x - 3, middelloodlijn AC: y = -x + 18 b. (7,4) c Middelloodlijn BC: y = -x + 11 ; (7,4) ligt inderdd op deze lijn. 1 6 y = 1 x + p of 3x - y = c.4 De fstnd tussen een punt en een lijn 1. Snijpunt met de x-s is (8,0) en snijpunt met de y-s is (0,6). Dus =8 en b=6 en 8 6 + b = 10. Dus de fstnd is = 4,8 10 b. Die fstnd is 10 keer zo groot (dt kun je meetkundig inzien). Je kunt het ook begrijpen met de formule. Drin worden p en q beide 10 keer zo groot, dus de teller wordt 100 keer zo groot. En de noemer wordt 10 keer zo groot. Dus de fstnd wordt netto 10 keer zo groot. c. Die is eenderde vn de fstnd uit., dus 1,6. d. Die is ook 1,6 (de lijnen 3x + 4y = 8 en 3x + 4y = -8 zijn elkrs spiegelbeeld in de oorsprong). e. Die is 4,8-1,6 =,4 (teken een pltje!) 10 10. In de formule is p = en q = b. Dus de fstnd is 100 b. De teller is gelijk n. De noemer is gelijk n 100( 1 1 + ) = 10 ( 1 1 + ) b Vermenigvuldig teller en noemer met b. De teller wordt dn 100 en de noemer ( 10 10 ) 10 b + ( 10 b b ). b 6

10 b +. Deel ten slotte teller en noemer nog door 10. c c. Stel = 0 en b 0. Dn is de fstnd d(o,k) = b en de formule geeft c b = b c c = b. 3. 0 = 4 5 ; 5 = 5 ; 5 5 5 b. 4 5-5 = 3 5 ; 4 5 + 5 = 5 5 4. b. c. 33 + b 43 + b c d + b - 10 + b = 3 + b (teken een pltje!) 5 De middenprllel heeft een vergelijking vn de vorm 3x + 4y = c. 8 c 1 c Er moet gelden: =. Hieruit volgt: c =. 5 5 6 Die lijnen hebben een vergelijking vn de vorm 3x + 4y = c. 8 c Er moet gelden: =. Hieruit volgt: c = - of c = -18. 5 7 Noem het snijpunt vn zo'n lijn met de y-s: (0,q). Er moet gelden: 6 q = 3. 36 + q Hieruit volgt dt q = 1 = 3 of q = - 3. De richtingscoëfficiënten vn de lijnen zijn 6 = 3 en - 3. De lijnen hebben 3 vergelijking: y = 3 x + 3 en y = 3 x - 3. 8 De lijn moet door het midden vn PQ gn, dt is het punt (,1). Dus = +1 = 3. 9. x + 3y = b. 8 13 10. x + by = p + bq 11. b. 4 c. 9 d. 10 5 1 Omdt d(a,b) = 5, moet d(c, AB) =. Lijn AB heeft vergelijking 3x 4y =. 3x 4 ( x 3) Punt C is vn de vorm (x, x 3). Er moet gelden: =, dus 3 + 4 5x + 10 = ofwel 5 x + 10 = 10. Dus 5 x + 10 = 10 of 5x + 10 = 10. 5 Hieruit volgt x = 0 of x = 4. De bijbehorende punten zijn (0, -3) en (4, 5). 7

4 + y 5 4 y 1 13 Zeg P = (4, y). Dn moet gelden: =, dus 3 + y = 3 y. + 1 1 + Dus 3 y = 3 y 3 + y = 3 y. Dit geeft y = 0 of y = 6. + of ( ).5 Lijnenpren 1. y = 1 x en y = - 1 x b. De vergelijking kun je ook schrijven ls (x-y)(x-y) = 0, dus y = 1 x of y = x. De figuur bestt dus uit twee lijnen (door de oorsprong). c. De vergelijking kun je ook schrijven ls (y-3)(y+) = 0, dus y = 3 of y = -. De figuur bestt dus uit twee (horizontle) lijnen... p = 8: x - 6xy + 8y = 0, ofwel (x-4y)(x-y) = 0, ofwel x = 4y of x = y. De figuur bestt uit twee lijnen door de oorsprong. p = 9: x - 6xy + 9y = 0, ofwel (x-3y) = 0, ofwel x = 3y. De figuur bestt uit één lijn door de oorsprong. p = 10: x - 6xy + 10y = 0, ofwel (x-3y) + y = 0, ofwel x = 3y en y = 0. De figuur bestt uit lleen de oorsprong. b. p < 9 3 (3x+5y-6)(x-4) = 0 4 (x+y-p)(x-y-q) = 0 5. x + qxy + y = 0 x + qxy + q y q y + y = 0 ( x + qxy + q y ) q y + y = 0 ( x + qy) + ( 1 q ) y = 0 q <, dn is ( ) ( ) b. Als 1 0 x + qy = q 1 y. Dus x + qy = ± q 1 y. De figuur bestt dus uit twee lijnen. Dit is het gevl ls q < -1 of q > 1. Als dn1 q = 0, dn ( x + qy) = 0. Dus x + qy = 0. De figuur bestt dus uit één lijn. Dit is het gevl ls q = -1 of q = 1. Als 1 q < 0, dn moet x + qy = 0 en y = 0. Dus x = y = 0 is de enige oplossing. De figuur bestt dus uit één punt. Dit is het gevl ls -1 < q < 1..6 Prmetervoorstelling vn een rechte lijn 1. t = 1 x, dus y = 4( 1 1 1 x ) + 3, ofwel y = 1 x + 3 3 3 3 3 3 b. Dn blijft de bn een deel vn de lijn y = 4( 1 x ), lleen loopt het punt nu twee keer 3 3 zo snel en de ndere knt op.. Q = (t+, t) b. y = x - c. J, een lijn met richtingscoëfficiënt 1 die de y-s snijdt in (0,-) ; die hoek is 45º. 3 Q = (t-, -t), dus x = t- en y = -t, dus y = -x -. De bn is een lijn met richtingscoëfficiënt -1 die de y-s snijdt in (0,-) onder een hoek vn 45º. 8

4. b. Q = (0,+t) en P = (4+3t,0) De lijn door P met rc -1 is y = -x + 4+3t. De lijn door Q met rc 1 is y = x + +t. Het snijpunt S = (1+t,3+t), dus x S = 1+t en y S = 3+t. y S = 3 + (x S -1) = x S + 1 Q S P 5. b. M = (t+ 1 1, 1 -t) 1 Dus x M = t + 1 en y M = 1 - t. 1 1 y M = 1 - (t + 1 ) = -x M + 3, ) ( 1 1 (3,4) Q 6. Een hlve rechte lijn. b. De bissectrice vn de hoek die lijn m en de x-s onderling mken. c. Er geldt: d(q, x-s) = d(q, m). b Dus b = b = b b = ± b = ( 1 ± ) b. Omdt zowel > 0 ls b > 0 moet = ( + ) b 1. Dus b =. Een vergelijking vn de 1+ x bn is dus y =. 1+ (-,1) P M 1 1 (, 5 (6,1) 4 ) (3,-1) 3.1 Cirkels en lijnen 1. ( x + ) + ( y 1) = 9 b. ( x 1) + ( y 3) = 5 c. ( x 1) + ( y 5) = 34 d. x + ( y, 4) = 6 76 1, De coëfficiënten vn x en y in de vergelijking moeten gelijk zijn. Het kn echter zo zijn dt slechts één of geen enkel punt n de vergelijking voldoet. 9

3. Middelpunt = (-1, -1) en strl = 7. b. Middelpunt = ( 1, -3) en strl = 4 1. c. Middelpunt = (-1, 1) en strl =. d. Middelpunt = (1, 1) en strl =. 4 = x y ( ) + ( x 1) = 5 x x 4x + 4 + x x + 1= 5 x 6x 0 = 0 3x 10 = 0 De snijpunten zijn (-, -4) en (5, 3). 5. (-1, 4) en (4, 1) b. (0, -) c. geen snijpunten. 6. d(m, l) = 7. 17 8 1 34 x ( + ) ( x 5) = 0 x x = of x = 5. = en dt is kleiner dn r = 17, dus er zijn twee snijpunten. b. d(m, l) = 10 = 10 en dt is gelijk n de strl, dus er is één snijpunt. 10 c. d(m, l) = 4 = en dt is groter dn r = 5, dus er is geen snijpunt. b. y x y 4 x 6 y y x x 6 c. = 1 ( y ) = x ( x 6) d. (4, -) en (, 4) e. y = x 10 en y = 1 x + 5 8. (10, 10) en (14, -) b. y = x + 0 en y = 7x 100 3. Prbolen, ellipsen en hyperbolen y y y = x + 6x x + y = 6x + y. 1 d(p, E) = d(p, k) + ( y 1 ) = ( y + 1 ) x = 4y y = 1 x. 4 x x + y y + 1= y + y + 1. d(p, F) = d(p, l) x ( y ) = ( y + ) x = 4y y = 1 x. 4 b. = 1 4 + x + y y + = y + y + x + y + 3 d(p, F) = d(p, m) ( x 1) + ( y 1) = ( x 1) + ( y 1) x + x + 1+ y x y + 1= + xy + y + 4x + 4y 4 ( x + y ) + = 30

( x + y x y + ) = x + xy + y + 4x + 4y + 4 x + y 4x 4y + 4 = x + xy + y + 4x + 4y + 4 x + y xy 8x 8y = 0 4. d(p, F) = 3 5 d(p, l) ( 3) + b = + 5 3 ( 3 ) + b = ( 3 + 5 ) 5 5 6 9 9 + + b = ( + 10 + 5) 5 ( 6 + 9 + b ) = 9 ( + 10 + 5) 5 5 150 + 5 + 5b = 9 + 90 + 5 16 40 + 5b = 0. b. (p, q) op K is het beeldpunt vn ( 4 5 p, q) op L bij lijnvermenigvuldiging ten opzichte vn de y-s met fctor 5 4. Dus (p, q) ligt op K, precies dn ls ( 4 5 p, q) op L ligt. 5 p 5 4 4 5 p 300 p + 5q = 0 p 1 p + q = 0. p 6 + q = c. 16( ) 40 p + 5q 0 d. K: ( ) 36 e. Door de lijnvermenigvuldiging moeten de getllen voor de kwdrten gelijk worden. Voor de benodigde fctor f moet dus gelden: 5 f 16. Dus f = 5 5. = 16 = 4 5. d(p, E) = e d(p, k) ( x 1) + y = e x + 1 ( 1 ) + y = e ( x + 1 ) x x x + 1+ y = e x + e x + e x e x x e x + 1 e + y = 0 ( 1 ) x ( + e ) x + 1 e + y = 0 e. b. De coëfficiënten vn x en y zijn respectievelijk 1 e en 1. Dus ze hebben hetzelfde teken precies dn ls 1 e > 0. Omdt e > 0, moet 0 < e < 1. 6 d(p, E) = 1 d(p, l) ( ) ( ) x + y x 1 + y 1 = 1 x + y ( x 1) + ( y 1) = ( ) ( ) ( x + y) x 1 + y 1 = 4 x + xy + y x x + 1+ y y + 1= 4 4 x x + 1+ y y + 1 = x + xy + y ( ) 4x 8x + 4y 8y + 8 = x + xy + y 3x + 3y xy 8x 8y + 8 = 0. 7 d(p, M) = d(p, m) ( ) + ( y ) ( ) + ( y ) = ( x + y ) x x + y x = x x + + y y + = x + xy + y x y + = xy xy = 1. 8. n: y = 1 en N(0, ) b. d(p, N) = d(p, n) x + ( y ) = y 1 x + ( y ) = ( y 1 ) x + y 4y + 4 = y 4y + x + = y y = x +. 31