Itegrlrekeig Georg Friedrich Berhrd Riem Breselez 7 septemer 86 Selsc 0 jui 866 Heri Léo Leesgue Beuvis 8 jui 875 Prijs 6 juli 94 I de wiskudige lyse geeft de itegrl v ee positieve fuctie ee uwkeurige etekeis het egrip "oppervlkte oder de kromme". Het eevoudigste itegrlegrip is geseerd op de formulerig v Berhrd Riem e wordt drom soms Riem-itegrl geoemd. De Leesgue-itegrl, geoemd r zij edeker Heri Leesgue, is ee costructie die ee grotere klsse v fucties itegreerr mkt; hij k ovedie worde geruikt over dere domeie d de reële getlle.
) De differetil ) Defiitie Op de grfiek zie je ee fleidre fuctie f sme met hr rklij t i put, f. Voor ee verderlijk put defiiëre we d oeme d y f ' het differetiequotiët e wete dt 0 De vergelijkig v de rklij is d t y f '.( ) f Op de figuur zie we dt dy f '.( ) = +. = e y f ( ) f =. We y = lim de fgeleide v f is i. = ee ederig is voor y. Hoe kleier (dus hoe dichter ij ligt), hoe eter de ederig. We oeme dy de differetil v fuctie f i. ' Algemee defiiëre we dus i ee willekeurig put : dy = df ( ) = f ( ) Voor de idetieke fuctie f ( ) = geldt d df( ) d. dy = df = f d ' de defiitie d herschrijve ls = = =. Op deze mier kue we df Deze formule verduidelijkt ook de ottie v Leiiz: f '( ) =. d Het is zo ook metee duidelijk dt ee fuctie differetieerr is ls ze fleidr is. Alle rekeregels e formules die we kee v ij fgeleide worde dus eevoudig overgedrge r rekeregels e formules v differetiëre. 5d Vooreeld: d ( Bgsi 5) = 5 Toepssig: Beder 06 met ehulp v differetiëre. Noem f ( ) =, d is f ( ) = f + y f + dy = f + f '.( ). Cursus itegrlrekeig - - S. Mettepeige
Neem = 06 e = 00, d is 6 we krijge: 06 0+ 0,05.6 = 0,. ) Beplde itegrle ) Ileided vooreeld =, f ( ) = 0 e Er wordt os gevrgd de oppervlkte S te erekee tusse de grfiek v de fuctie f ( ) =, de -s e de verticle rechte =. Het is duidelijk dt de zo otste figuur (og) gee ekede figuur is wrvoor we oppervlkteformules kee e kue geruike. We kue deze oppervlkte wel edere door rechthoekjes te geruike. f ' = 0,05 00 = 0 =, zodt We verdele de sis v de figuur i 5 gelijke stukke, e eme dit ls reedtes v oze rechthoeke. Op de likerfiguur eme we ls hoogte telkes de kleiste fuctiewrde i het itervl, op de rechterfiguur telkes de grootste fuctiewrde. Zo krijge we liks ls ederig: 5 0,.0 0,.0,04 0,.0,6 0,.0,6 0,.0,64 0,4 s = + + + + =. De methode die we liks geruikte zl duidelijk ltijd te klei zij. We oeme het ee odersom voor de fuctie e otere ze met kleie letter s 5 (met ls ide het tl rechthoekjes). We krijge rechts ls ederig: S 5 = 0,.0,04 + 0,.0,6+ 0,.0,6+ 0,.0,64 + 0,.= 0,44. De methode die we rechts geruikte zl duidelijk ltijd te groot zij. We oeme het ee ovesom voor de fuctie e otere ze met grote letter S 5 (met ls ide het tl rechthoekjes). Het gemiddelde v deze twee geeft ee zeer goede ederig v de gezochte oppervlkte. We s5 + S5 0, 4+ 0, 44 schtte dus S = = = 0,4. (De werkelijke oppervlkte lijkt te zij). We kue deze redeerig herhle voor meer rechthoekjes. Het is duidelijk dt hoe meer rechthoekjes we eme, hoe dichter de odersom e ovesom ij elkr zulle ligge. Meer og, we kue stelle dt S = lim s = lim S. + + Cursus itegrlrekeig - - S. Mettepeige
Het mg ook duidelijk zij dt dit ook werkt ls we per itervl willekeurige fuctiewrde eme (dus iet cosequet het miimum of het mimum eme). We krijge d ee ederig voor de oppervlkte die tusse de odersom e de ovesom ligt e dus i de limiet voor + ook gelijk is de gezochte oppervlkte. ) Algemee werkwijze de eplde itegrl Om de oppervlkte te erekee egrepe tusse de grfiek v ee fuctie, de -s e twee verticle rechte = e =, verdele we het itervl [, ] i gelijke deelitervlle: [, ], [, ],..., [, i i],..., [, ]. I elk itervl edere we de oppervlkte door de reedte v het itervl te vermeigvuldige met ee willekeurig gekoze fuctiewrde f ( c i), met c [ ]., i i i De reedte v deze deelitervlle is d gelijk =. = f ci.. De gezochte oppervlkte wordt d ederd door: S Me k ewijze dt voor fucties die cotiu zij i [, ] de limiet voor + v S estt e dus gelijk is de werkelijke gezochte oppervlkte. We oeme deze limiet de eplde itegrl v tot v de fuctie f. We otere dit ls: i= lim S f. d + = Meer lgemee oeme we fucties wrvoor deze limiet estt itegreerr over dt itervl. c) Georiëteerde oppervlkte Tot hiertoe gige we er stilzwijged v uit dt de grfiek v de fuctie f volledig ove de -s lg i het gegeve itervl [, ] (dus [ ] f ( ) lgemee werkwijze ekome is d uiterrd positief., : 0). De oppervlkte die we vi de Zou je deze werkwijze herhle voor ee fuctie die oder de -s ligt i [, ] d kom je ee egtieve oppervlkte uit. We spreke dus logischerwijze f dt oppervlktes ove de -s positief gereked worde, e oppervlktes oder de -s egtief. Dt dit uttig e relistisch is volgt lter uit ekele fysische vooreelde. Cursus itegrlrekeig - 4 - S. Mettepeige
We iterpretere lgemee de eplde itegrl v ee (cotiue) fuctie f v tot d ook ls de som v de georiëteerde oppervlkte tusse de grfiek v f, de -s e de verticle rechte = e =. Zo geldt i het getekede vooreeld: f d = S + I S II S + III SI V. Avullig op de defiitie v eplde itegrl: We me tot hiertoe ltijd ls odergres e ls ovegres om te itegrere, wrij <. We kue de defiitie v eplde itegrl verder uitreide: Als Als =, d stelle we 0 f d = >, d stelle we f ( ) d = Cursus itegrlrekeig - 5 - S. Mettepeige f d d) Eigeschppe v de eplde itegrl Uit de defiitie v de eplde itegrl volge omiddellijk de volgede eigeschppe: Eigeschp : optelrheid v de eplde itegrl Als f ee itegreerre fuctie is i het itervl [, ] p q, d geldt voor lle,, c [ p, q] = + c f d f d f d c Eigeschp : lieriteit v de eplde itegrl Als f e g itegreerr zij i het itervl [, ] itegreerr, e voor de eplde itegrl geldt: I het ijzoder gelde de eigeschppe: dt:, d is ook de fuctie r. f + sg. ( r, s R) dr (. +. ) =. +. r f sg d r f d s g d ( + ) = + ( r. f ) d = r. f ( ) d f g d f d g d Eigeschp : ogelijkheidseigeschp Als f e g itegreerr zij i het itervl [, ], d geldt: [, ]: f g f d g d Merk op dt deze eigeschp zeker iet geldt i de omgekeerde richtig! e) De hoofdstellig v de itegrlrekeig We toe i deze prgrf dt itegrere i zekere zi de omgekeerde opertie is v differetiëre.
Itegrlfucties We oeme de fuctie I, met I ( ) = f t dt, de itegrlfuctie v f met odergres. Ze stelt dus de verderlijke georiëteerde oppervlkte voor egrepe tusse de -s e de grfiek v de fuctie f i het itervl met verderlijke ovegres [, ]. De middelwrdestellig v de itegrlrekeig Stellig: Is f cotiu i [, ], d estt er ee c [, ] zodt: =.( ) Bewijs: We ewijze eerst het gevl < : f d f c Omdt f cotiu is i [, ] estt er ee kleiste e ee grootste fuctiewrde i dt itervl, die we zulle duide met m e M. We volge de lgemee werkwijze voor het erekee v ee eplde itegrl e verdele het itervl i gelijke deelitervlle met reedte =. I elk v deze itervlle [, ], [, ],..., [, i i],..., [, ] eme we ee c [ ]., i i i D krijge we chtereevolges: i, m f c M (lle fuctiewrde ligge tusse m e M ) m. f c. M. (lles vermeigvuldige met > 0) m i.. f c. M.. i (sommere over lle deelitervlle) i=. f ci.. M (. ( ) m ( ) i=. lim f c.. M ( ) m ( ) = = ) i (de limiet eme voor + ) + i =. f d. M (defiitie v de eplde itegrl) ( ) m ( ) f d m M (lles dele door > 0 ) Omdt f cotiu is i [, ] est er volges de stellig v Weierstrss twee getlle [ ] zodt f ( p) = m e p, q, f q = M (zie figuur). De tussewrdestellig leert os d dt lle fuctiewrde tusse m e M door mistes éé -wrde c tusse p e q ereikt worde. Omdt c tusse p e q ligt zl het ij uitreidig uiterrd ook i [, ] ligge. Cursus itegrlrekeig - 6 - S. Mettepeige
Er estt dus mistes éé c [, ], zodt f ( c) Als Als = d is = 0 = f ( c ).( ) f d f d. = = f d f c. < d geldt c [, ] : f ( ) d = f ( c).( ) f ( ) d = f ( c).( ) Opmerkig: We kue de fuctiewrde f ( c) fuctiewrde over dt itervl. Meetkudige iterprettie: We kue f c = f d ook iterpretere ls de hoogte v de rechthoek met ls sis het itervl [, ] op de -s wrv de (georiëteerde) oppervlkte gelijk is de (georiëteerde) oppervlkte tusse de grfiek v de fuctie e de -s.. f d = iterpretere ls de gemiddelde De hoofdstellig v de itegrlrekeig Stellig: Als f cotiu is i [, ], d geldt i [, ] dt = D f t dt f. ' Bewijs: Met itegrlfucties kue we dit herschrijve ls: [, ] : I ( ) = f ( ) I I ( ) ( + ) I ( ) = lim (defiitie v fgeleide) ' 0 = lim 0 = lim 0 = lim 0 = lim 0 + f t dt f t dt + + f t dt f ( ) Primitieve fucties + f t dt.f c f t dt, met c [, ] (defiitie v itegrlfuctie) (itegrlgreze verwissele) (optelrheid v de eplde itegrl) + (middelwrdestellig) = (ls 0, d is = c = + ) We oeme F ee primitieve fuctie v f ls e slechts ls DF = f. Het is duidelijk dt lle itegrlfucties v ee fuctie ook primitieve fucties zij v die fuctie. Het omgekeerde is echter iet oodzkelijk wr. Cursus itegrlrekeig - 7 - S. Mettepeige
4 5 5 Vooreeld: Als f ( ) = 5 d zij F ( ) = + e F ( ) = primitieve fucties v f. 4 Stellig: Twee primitieve fucties v eezelfde fuctie verschille slechts ee costte v elkr. Bewijs: Stel dt F e F eide primitieve fucties zij v f, d is zowel DF = f ls DF = f. DF = DF DF DF = 0 D F F = 0 F F = C, met C R. Dus Itegrere met ehulp v primitieve fucties Stellig: Als F ee primitieve is v f (cotiu i [, ]), d is = Bewijs: We eweze reeds dt elke itegrlfuctie I ( ) de stellig i verd met primitieve fucties volgt d dt I = f t dt = F + C. Stel je hieri Neem je = d wordt dit f t dt F C C F = + = = 0 =, d wordt het = + = f t dt F C F F f d F F. = f t dt ee primitieve is v f. Uit I F = C, of dus og dt Opmerkig: Het verschil wordt ook vk ls volgt geoteerd: = = F ( ) F ( ). f t dt F We hee u eidelijk ee prktische methode gevode om eplde itegrle te erekee. 5 5 d 5 5 5 = 4 = = 4 5 5 Vooreeld : e Vooreeld : [ ] f) Typeproleme e d l le l 0 = = = = De oppervlkte oder ee kromme erekee Vooreeld: Bereke de oppervlkte egrepe tusse de prool p y = e de -s. De ulpute v de prool zij (,0) e (,0 ). De gezochte oppervlkte wordt dus gegeve door: S ( ) d = = ( ) = ( ) ( ) =.. De oppervlkte tusse ee kromme e de -s erekee tusse twee wrde We zge reeds dt je met ee eplde itegrl de georiëteerde oppervlkte ereket tusse twee greze. Cursus itegrlrekeig - 8 - S. Mettepeige
Als je de werkelijke oppervlkte wil erekee k je deze redeerig omkere door het itegrtie-itervl i stukke te verdele wr het teke v de fuctie iet verdert. Zo geldt voor de werkelijke oppervlkte S egrepe tusse de -s e de grfiek v de fuctie tusse =, 5 e = : I II III IV 0 5 0. S = S + S + S + S = f d+ f d f d+ f d Als je itegreert met je rekemchie k dit seller door gewoo S 5 Vooreeld: ereke de (werkelijke) oppervlkte egrepe tusse de -s e de grfiek v de fuctie f ( ) = over het itervl [,] We ekijke eerst het tekeverloop: 0 +. - 0-0 + De fuctie is dus over het te itegrere itervl zowel egtief ls positief. De gezochte oppervlkte is dus: 4 4 oppg = ( ) d+ ( ) d = + 4 4 6 8 4 5 oppg = + + + = + + = 4 4 4 4 De oppervlkte tusse twee kromme erekee = f d te erekee. Ook dit is ee eevoudig proleem ls je eseft dt de (georiëteerde) oppervlkte tusse twee kromme k ereked worde door het verschil v eide fucties te itegrere. Als je de werkelijke oppervlkte wil erekee moet je ervoor zorge dt de verschilfuctie positief is (dus dt je i je itegrdum de oderste fuctie v de oveste fuctie ftrekt). f = + Vooreeld: De grfieke v de fucties g = 5 sluite twee geiede S I e S II e i zols fgeeeld op de grfiek. Bewijs dt SI = SII. We ekijke eerst het tekeverloop v de verschilfuctie v = g f = 8 8 0 + Dus I - 0 + 0-0 + ( ) 4 0 4 0 S = 8 d = 4 = 0 4( ) = 8 4 4 E SII = ( 8) d = 4 4. 8 0 = =, zodt iderdd SI = SII. 0 Cursus itegrlrekeig - 9 - S. Mettepeige
) Oeplde itegrle ) Defiitie De verzmelig v lle primitieve fucties v ee gegeve fuctie f oeme we de oeplde itegrl v f. We eweze reeds dt l deze primitieve fucties slechts op ee costte v elkr verschille. We otere de oeplde itegrl v ee fuctie f ls volgt: f ( ) d = F ( ) + C Hierij is dus F ee primitieve fuctie v f. De costte C R oeme we de itegrtiecostte. De hoofdstellig v de itegrlrekeig mkt duidelijk dt differetiëre e itegrere ewerkige zij die elkr opheffe. Zo krijge we dus drie eevoudige eigeschppe: d f ( ) d = f d d ( F ( ) ) = F ( ) + C ) Fudmetele itegrle = D f d f Volgede lijst v itegrle zl os ee houvst iede ij het erekee v moeilijkere oeplde itegrle. Zorg ervoor dt je deze lijst heel goed eheerst! d = + C Cursus itegrlrekeig - 0 - S. Mettepeige q+ q d = + C (met q ) q + + sid = cos+ c d = Bgsi + c d = gt + C e d = e + C cosd = si+ c d = + C l d d = cot+ c l C si = + d d = t + c l k C cos + k = + + + Ekel de ltste fudmetele itegrl is iet omiddellijk duidelijk. We ewijze dt de formule wel degelijk klopt door f te leide: + + + k k + + = k + = + = k k k Dl k + k + + + + + + ( + ) + k + k = + k Itegrtie door splitsig Stellig: Voor itegreerre fucties f e g, e reële costte r, s R geldt de volgede eigeschp: (. +. ) = + r f sg d r f d s g d Bewijs: Het rechterlid fleide wr je steut op de gekede eigeschppe v fgeleide, geeft:
( + ) = ( ) + ( ) ( + ) = r D( f ( ) d) + s D( g( ) d) ( + ) = r f ( ) + s g( ), D r f d s g d D r f d D s g d D r f d s g d D r f d s g d wruit volgt dt ( r. f + sg. ) d = r f ( ) d + s g ( ) d + C. Mr oeplde itegrle zij gelijk op ee costte, dus hee we eweze wt we moeste ewijze. 4 Vooreeld : ( 4 + 5) d = d 4 d + 5 d = 4 + 5+ C 4 Uiterrd k je hier de tussestp oversl. Merk op dt je slechts éé itegrtiecostte schrijft. Vooreeld : Soms ligt de splitsig iets mider voor de hd: ( + ) + d = d = + d = d + d = + Bgt + C + + + + Vooreeld : cot d = csc d = csc d d = cot + C Zeer eevoudige differetilvergelijkige Vooreeld: Bereke f ( ) ls gegeve is dt f "( ) = 6, f ' = 0 e = = +, mr we wete ook f " 6 f ' C f = 4. f ' = 0. + C = 0 C =. f = + C. Zo hee we dus gevode dt f '( ) =, wruit volgt dt Omdt f ( ) = 4.+ C = 4 C =. De gezochte fuctie is dus c) Itegrtie door sustitutie Stellig: Als F ee primitieve is v f, e g is ee fleidre fuctie, d geldt: ( ) ( ) Bewijs: ( ) ' ( ) f g g d = F g + c kettig regel ' D F g + c = D F g = f g g f =. I de prktijk komt het er vk op om i het itegrdum ee fuctie te herkee wrv ook de fgeleide (of differetil) i het itegrdum stt. Ekele eevoudige vooreelde: Vooreeld : si ( cos ) ( ) 4 * 4 t cos d = t dt = + C = + C 4 4 *: Hier is het duidelijk dt si de fgeleide is v cos. We voere ee sustitutie uit: Stel t = cos, d is dt = sid. Vooreeld : si l d * = tdt = t + C = + C si cos cos l *: Hier is het duidelijk dt de fgeleide is v l. We voere ee sustitutie uit: Stel t = l, d is d dt =. Cursus itegrlrekeig - - S. Mettepeige
Vooreeld : *: Hier is het duidelijk dt Stel t = e, d is e e * dt e ( e ) d = d= = Bgsit + C = Bgsi e + C t dt = e d. Apsse v de itegrtiegreze e de fgeleide is v e. We voere ee sustitutie uit: We herekijke eve het eerste vooreeld uit de vorige prgrf, mr u ls eplde itegrl: π d. π Vooreeld: Bereke de eplde itegrl si( cos ) Methode : We hee l ee primitieve fuctie epld v deze eplde itegrl, dus geldt: 4 4 4 π π π π 4 cos cos 4 π ( ) ( ) cos 0 5 si( cos) d = = = = 4 4 4 4 4 64 π Methode : We kue ij ee sustitutie ook de itegrtiegreze eevoudig psse. π 4 4 4 * t 5 si( cos) d = t dt = 4 = = 4 4 64. π *: Stel t = cos, d is dt = sid. Voor de greze geldt Eevoudige sustituties π π = t = e = t =. Het komt soms voor dt het itegrdum veel eevoudiger k geschreve worde met ehulp v ee lieire sustitutie (stel t = + ). Vooreeld : ( 5) ( ) 7 t t d = dt = + C = + C 7 Omdt deze sustitutie zo eevoudig is geruike we hier soms ee kortere ottie: 6 7 6 5 ( 5) 7 6 6 ( 5) d = ( 5) d ( 5) = + C. d d d ( ) Vooreeld : = = = Bgt ( ) + C 9 6+ + + Je k deze kortere schrijfwijze overiges ook geruike ij iets lstigere sustituties: ( cos) si d Vooreeld : td = d = l cos C cos = + cos Of je deze kortere mier om sustituties te otere geruikt of iet mk je zelf uit. Je wit er uiterrd wt tijd mee, mr het mg iet te koste g v ee eter egrip. Cursus itegrlrekeig - - S. Mettepeige
Ekele hdige formules d Stellig: = Bgt + C e + Bewijs: Vooreeld: d Bgsi = + d ( ) ( ) d d Bgt + + + d d d ( ) = = = Bgsi + C ( ) = = = + C, e ( ) ( ) d d = = Bgsi + C 7+ 4 6 4 d) Prtiële itegrtie Het is iet ltijd mogelijk ee sustitutie te vide die os toelt ee itegrl te erekee. I dt gevl k prtiële itegrtie helpe: Stellig: f ( ) d ( g( ) ) = f ( ) g( ) g( ) d ( f ( ) ) Bewijs: Beide lede fleide geeft: ( ( )) = ( ( )) ( ' ) ( ) ' f ( ) g' ( ) f '( ) g( ) f ( ) g' ( ) g( ) f '( ) D f d g D f g g d f C D f g d = D f g D g f d = + Oeplde itegrle zij gelijk op ee costte, dus we hee wt we moeste ewijze.. Opmerkig: De formule voor prtiële itegrtie wordt vk geschreve ls u dv = uv v du Er zij ee tl gevlle wr prtiële itegrtie de meest effectieve weg is: Verlge v de grd Als het itegrdum estt uit het product v ee veeltermfuctie (of simpelweg ee mcht v ) met ee epoetiële of ee goiometrische fuctie (v de vorm d k je met prtiële itegrtie de grd v de veelterm verlge. Vooreeld: P. I. ( si) si of e, + cosd = + si si + d =... = d cos ), Iderdd, de veelterm is verlgd v de tweede r de eerste grd. We psse og ees P.I. toe: ( ) ( ) ( )... = + si + + d cos = + si + + cos cos.d =... E deze ltste itegrl is fudmeteel geked, zodt we uiteidelijk krijge: ( + ) cos ( ) ( ) + cosd = + si+ + cos si + C d = + si+ + cos+ C Cursus itegrlrekeig - - S. Mettepeige
Terugkeer v het itegrdum I specile gevlle k het zij dt je (meerdere kere) prtiële itegrtie je oorsprokelijke itegrl ziet weerkere. I dt gevl spreke we v ee weerkered itegrdum. Dit is ijvooreeld het gevl ls het itegrdum het product is v ee epoetiële e ee goiometrische fuctie (v de vorm Vooreeld: Bereke de itegrl 5 e si of e, 5 cos = d = = d d P. I. 5 5 5 5 e cosd = e si e sid e ( si ) d( cos) ( si) ( si) cos ). 5 5 cosd = si cos + cos 5 5 5 e e e 5 5 5 5 e cosd = e i + e cos e cos = d 5 5 s 4 4 We moge os dus voor de rest cocetrere op echte veeltermreuke, wrij de grd v de teller kleier is d de grd v de oemer. Vk zulle deze rtiole moete worde gesplitst i prtieelreuke. We hee drvoor twee stellig odig: De hoofstellig v de lger: Elke reële veelterm v grd mistes éé k otode worde i ee product v eerstegrdsfctore e tweedegrdsfctore (met ee egtieve discrimit). Cursus itegrlrekeig - 4 - S. Mettepeige d d Deze ltste itegrl is et de itegrl wr we mee egoe zij, dus hieruit volgt: 9 5 5 5 5 cos si cos 4 e d = e + e 4 5 5 5 5 e cosd = e si+ e cos+ C 9 9 Altijd ee optie... Soms is het iet ltijd metee duidelijk wt je met het itegrdum k doe. Mr wt je ltijd k f d. doe is fleide. Ee prtiële itegrtie die dus ltijd k is: f ( ) d = f ( ) ' Vooreeld: ld = l e) Itegrle v rtiole fucties d = l + C Oeplde itegrle v rtiole fucties zij heel eevoudig te erekee mr ze vrge eorm veel rekewerk. De Euclidische delig leert os A( ) D( ) Q( ) R( ) geldt ( ) gr R < gr D. = + A R Q( ) D = + D, wrij A R Voor de itegrl geldt dus ook: d = Q( ) d d D +. D
De stellig v Jcoi: Elke echte veeltermreuk k geschreve worde ls som v prtieelreuke. We ekijke u i detil de methode v Jcoi om ee rtiole fuctie te schrijve ls som v prtieelreuke: Schrijf de fuctie ls som v ee veelterm e ee echte veeltermreuk (Euclidische delig). Otid de oemer i zoveel mogelijk reële fctore v de eerste of tweede grd. Zorg ervoor dt er i de oemer ekel og fctore voorkome v de vorm ( + ) e ( c) + +. ) Elke fctor ( + ) i de oemer veroorzkt ee som prtieelreuke v de vorm A B C N + + + + + + + + ) Elke fctor ( c)... + + i de oemer veroorzkt ee som prtieelreuke v de vorm P+ Q R + S T+ U Y + Z + + +... + + + c + + c + + c + + c De oekede tellers worde chterf ereked met de methode v de oeplde coëfficiëte. 5 4 5 + + 5 Vooreeld : Bereke d 4 + + We schrijve het itegrdum eerst ls som v ee veelterm e prtieelreuke (Jcoi): Stp : 5 4 5 + + 5 = + + 8 + 4 5 4 4 + + + + Stp : 4 + + = ( + )( )( ) Stp : E dus geldt: A+ B C D = + + = Cursus itegrlrekeig - 5 - S. Mettepeige (Euclidische delig) ( A+ B)( )( ) + C( + )( ) + D( + )( ) + ( + )( )( ) ( A+ C+ D) + ( A+ B C D) + ( A B+ C+ D) + ( B C D) = 4 + + A+ C + D = A = A B C D 8 + = B = 0 A B+ C + D = 4 C = B C D = 5 D = 5 4 5 + + 5 = + + + + + + 4 5 4 5 5 + + d d d = + + + ( ) d d 4 + + + 5 4 5 + + 5 d ( + ) d ( ) d ( ) d = + + + 4 + + 5 4 5 + + 5 d = + + 4 + + l Zols je ziet heel eevoudig, mr redelijk wt rekewerk. + + + l l + C
6 + 4+ Vooreeld : Bereke d 4 4 + 4+ 0 Dit is l ee echte veeltermreuk. De oemer is 4 4 4 0 ( 6 0)( ) + + = + +. ( A+ B)( + ) + C( 6+ 0)( + ) + D( 6 + 0) A+ B C D + + = + + + + + 6 0 ( ) ( 6 0)( ) ( A+ C) + ( A+ B 5C + D) + ( A+ B+ 4C 6D) + ( B+ 0C + 0D) Dus = 4 4 + 4+ 0 A+ C = 6 A = 4 A B 5C D 0 + + = B = A+ B+ 4C 6D = 4 C = B+ 0C + 0D = D = 6 + 4+ 4+ d d d = d 4 4 4 0 + 6 0 Hierij geldt: + + ( ) + + + ( ) 4+ 6 + 5 6 d d = d = + 5 6 + 0 6 + 0 6 + 0 + ( 6 + 0) d ( ) 4+ d d = 5 6+ 0 + 6+ 0 + 4+ d 6+ 0 d d ( + ) = = l + + C + + ( ) = l 6+ 0 + 5 Bgt + e ( ) Cursus itegrlrekeig - 6 - S. Mettepeige C d ( + ) ( ) d = = + C + + + 6 + 4 + Zodt d = l 6 0 5 Bgt 4 ( ) l 4 4 0 + + + + + + + + + C De eige moeilijke(re) itegrl die je het splitse i prtieelreuke k ekome is de itegrl v de vorm d (met i de oemer ee egtieve discrimit, e ). Dit type + + c itegrle k ereked worde met ehulp v prtieelitegrtie of ee recursieformule (of ee goiometrische sustitutie). Ze zulle echter op toetse of emes iet gevrgd worde. f) Goiometrische itegrle Bij goiometrische itegrle komt het vk eer op het correct geruike v de gekede goiometrische formules. Zo k je met de formules v Simpso ee product v (co)siusse schrijve ls ee som (wt veel mkkelijker itegreert). De grd verlge k je doe met ehulp v de formules v Crot. De formule voor de itegrl v de secs e de cosecs leer je est v uite, wt die is iet zo eevoudig te erekee: Stellig: secd = l sec+ t + C e cscd = l csc + cot + C
t= si d cos cos dt * dt dt Bewijs: sec d = = d d... cos = cos = = + = si t + t t A B A( t) + B( + t) A+ B = 0 A = (*: t = ( + t)( t) = + = ) t + t t ( + t)( t) A+ B = B = ( ) ( t) d + t d + t + si... = l l l l... = + t t + C = + C = + C = + t t t si Met ehulp v wt eevoudige goiometrie wordt dit: ( )( + ) + si + si + si + si... = l + C = l + C = l + C = l sec + t + C si si cos cos π Stelle we hieri = t, d wordt dit: π π π π sec t d t = l sec t + t t + C cscd = l csc+ cot + C. = csct = dt = csct = cott We erekee ee tl dere goiometrische itegrle ls illustrtie: 5 7 4 4 cos cos Vooreeld : cos si d = cos ( cos ) d ( cos) = + + C 5 7 (deze methode werkt ltijd ij ee product v mchte v sius e of cosius ls mistes éé epoet oeve is) cos4 d = d = d = d 6 6 6 si 4 + cos8 = cos4 cos 4 64d d+ 64 d = + 64 8 64 d si4 si8 si4 si8 = + + + C = + + C 64 8 8 04 8 8 04 (deze methode ij gelijke mchte e om de grd verlge k ook ltijd op deze mier) si 4+ si0 cos 4 cos0 Vooreeld : si7 cosd = d = + C 8 0 4 Vooreeld : si 4 cos 4 ( si ) ( si ) g) Itegrle v irrtiole fucties Ee voor de hd liggede sustitutie Komt ee lieire uitdrukkig y = + oder ee tl wortels voor voer d de sustitutie uit t = + wrij het kleiste gemee veelvoud is v de wortelepoete. Vooreeld: 5 t + 5 t 6 5 * d= t 5 9 5 6 dt = t + t t dt t 0 5 4 7 5 5 6 7 = t + t t + C = ( 5) + ( 5) ( 5) + C 0 8 7 0 8 7 6 6 t + 5 5 *: 5 = t = d = t dt Cursus itegrlrekeig - 7 - S. Mettepeige
Goiometrische sustituties Sommige itegrle zij iet vi eevoudige te herleide r fudmetele itegrle. I dt gevl zij goiometrische sustituties geweze. Type : Komt de vorm Wt d zl (e ook zl Vooreeld: voor (met > 0), d is de sustitutie si t cost = =, met t [ π, π ] d = costdt e t = Bgsi ) d * cost dt 9si t.cost. 9 = *: = sit 9 = cost e d cost Type : Komt de vorm 9 = cott + C = + C 9 9 =, met t [ π, π ]. voor (met > 0), d is de sustitutie = sit geweze. 9 ( cott = ) = sect geweze. [ π [ ] π π] t t, lst 0, e dus Wt d zl: = sec t = t t, lst, e dus (e ook zl d = sectttdt e t = Bgsec = Bgcos ) Bij oeplde itegrle mg je er voor de eevoud i de prktijk v uitg dt. Vooreeld: ( ) ( ) ( ) + * + 4 t d= d = sec t t tdt + + 8sec t t = si si ( cos ) si tdt = tdt t dt t t C = = + 4 4 8 + = t sitcost + C = Bgcos + C 4 4 4 + 4 + + + Bgcos = + C 4 + + ( ) (gesteld dt ) *: + = sect + 4 = tt e d = sectttdt Type : Komt de vorm Wt d zl (e ook zl d sec tdt Vooreeld: + voor (met > 0), d is de sustitutie t t sect + = + =, met t [ π, π ] t = ) = e Bgt d d * sec t = = dt ( ) ( ) 4 + 5 + 6 64sec = costdt = sit + C = + C 4 + 5 *: = 4tt + 6 = 4sect e d = sec tdt ( cost = + e sit = + ) + = tt geweze. Cursus itegrlrekeig - 8 - S. Mettepeige t ( sit = 4 + 5 )