7 College 30/12: Electrische velden, Wet vn Guss Berekening vn electrische flux Alleen de component vn het veld loodrecht op het oppervlk drgt bij n de netto flux. We definieren de electrische flux ls volgt: Φ E = E da Φ E is de netto lding E is het electrisch veld in het opperlvlkte-elementje d A. d A is een vector die in grootte gelijk is n het oppervlkelementje da, en wrvn de richting per definitie loodrecht stt op het oppervlk. Het inproduct zorgt er dus voor dt de bijdrge n de integrl uitsluitend bepld wordt door de component vn E die loodrecht stt op het oppervlkelementje da. De integrl is over een gesloten oppervlk rond de lding Φ E. Vk wordt dit ngegeven met een symbool: Φ E = E da Deze vergelijking legt een kwntittief verbnd tussen de flux en de electrische veldsterkte. Mr hoe stt de flux in verbnd met de grootte vn de lding binnen het gesloten oppervlk? puntlding We weten dt voor een puntlding geldt dt E = 1 R 2. ALs we de puntlding in het middelpunt vn een denkbeeldige bol pltsen met strl R, dn stt E loodrecht op het oppervlk vn de pol in elk punt vn het oppervlk. Bovendien is E in elk punt vn het boloppervlk even groot. Onder deze condities geldt de wet vn Guss: Φ E = E da = E da = E Dit is de wet vn Guss voor een puntlding: Φ E = E da = ɛ da = 1 R 2 (4πR2 ) = ɛ De flux wordt uitsluitend bepld door de lding binnen de bol. De flux is onfhnkelijk vn de strl vn de bol. (Wnt: E 1/r 2, en A r 2, dus het product vn E en A is constnt). In feite geldt de wet vn Guss niet lleen voor een bolvormig oppervlk, mr voor elk gesloten oppervlk onfhnkelijk vn de vorm. Bovendien geldt de wet vn Guss niet lleen voor een puntlding, mr voor een willekeurige ldingsverdeling binnen het ingesloten volume. We kunnen nl. de totle lding Q encl ltijd 1
schrijven ls de som vn puntldingen: Q encl = i i. Het totle veld is de som vn de velden vn lle puntldingen, en dus: Φ E = E da = E i da = E i da = i = Q encl ɛ i i i ɛ Meer lgemeen luidt de wet vn Guss dus: Φ E = E da = Q encl ɛ Toepssingen. een geleidende bol met electrische lding : Het veld in de bol is nul: E(r < R) = 0 (ls de ldingsverdeling in evenwicht is wordt er geen netto krcht uitgeoefend, er is dus geen netto verpltsing vn lding). De bolvormige symmetrie impliceert dt extr lding homogeen over het oppervlk vn de bol is verdeeld. Bovendien is drom het veld rdil gericht: ls de bol gedrid wordt blijft het ptroon vn het electrisch veld onvernderd. Voor r > R is het veld dus gelijk n dt vn een puntlding een lnge geleidende drd met lding: E(r R) = 1 R 2 Voor een lnge, rechte drd (r << lengte) stt de richting vn het el. veld loodrecht op de drd (zie onderstnde figuur). In een vlk loodrecht op de drd is het veld op de omtrek vn een circel met strl r rond de drd overl even sterk. Beschouw een cilinder met lengte l en strl r rond de drd, met Q encl = λ/l: Φ E = E (2πrl) = Q encl ɛ = λl ɛ, en dus: E = 1 λ 2πɛ r 2
lding op een grote, geleidende plt: Het veld stt ook hier loodrecht op het vlk. Positieve lding: het veld is nr buiten gericht, negtieve lding: het veld is nr de plt toe gericht. Beschouw een denkbeeldige cilinder met strl die door het pltte vlk steekt met de s loodrecht op het vlk. Het product E A is lleen nul voor de boven en onderknt vn de cilinder. 2E A = σa ɛ A is het oppervlk vn de loodrechte doorsnede vn de cilinder, σ is de lding per eenheid oppervlk (de ldingsdichtheid, C/m 2 ), σa is de ingesloten lding. E = σ 2ɛ Twee evenwijdige plten met tegengestelde lding, onderlinge fstnd klein t.o.v. de fmetingen vn de plten: buiten de plt compenseren de velden vn de negtieve en positieve plt elkr. Tussen de plten tellen ze op: E = σ ɛ Veld vn een uniform gelden bol: Uniform wil zeggen dt de ldingsdichtheid ρ (= lding per volumeëenheid) overl in de bol (strl R) hetzelfde is. Q ρ = 4πR 3 /3 Voor r < R: Q encl = ρv encl = ( ) ( ) Q 4 4πR 3 /3 3 πr3 = Q r3 R 3 Binnen de bol is het veld evenredig met r, de fstnd tot het middelpunt: Ldingen in geleiders E = 1 4πr 2 Qr 3 R 3 1 ɛ = Q r 4πR 3 ɛ Extr ldingen in een geleider bevinden zich ltijd n het oppervlk. Als de geleider bolvormig (strl R) is volgt dt binnen in de bol (r < R) de sterkte vn het veld gelijk is n nul, ook ls de bol hol is Electrische potentil Arbeid verricht door een krcht: W b = F d s = F cos θ ds Voor een conservtieve krcht: W b = U U b = U U is de verndering in potentiële energie ls de krcht F rbeid verricht over de verpltsing vn nr b. Als de krcht in dezelfde richting is ls de verpltsing is de verrichte rbeid positief, en dus neemt de potentiële energie f. Vergelijk een voorwerp dt onder invloed vn de zwrtekrcht nr het rdoppervlk vlt: de verrichte rbeid is positief, de potentële energie (= mgh) 3
neemt f en de kinetische energie (= 1 2 mv2 )neemt toe. Omdt de krcht conservtief is blijft ook de totle energie (= kinetisch + potentiëel) behouden: K + U = K b + U b Coulombkrchten zijn ook conservtief. Voorbeeld: een positief gelden deeltje in een uniform electrisch veld. F = E W b = F (y b y ) = E(y b y ) U = E(y b y ) U = Ey W b is positief ls positief is, en dus neemt de potentiële energie f, de kinetische energie zl toenemen. Merk op dt in dt gevl de verpltsing in dezelfde richting is ls de op de lding uitgeoefende krcht. Als de lding vn het deeltje negtief zou zijn ondervindt het een krcht die tegengesteld is n de richting vn het veld. Bij de verpltsing vn nr b beweegt het deeltje dus in een richting tegengesteld n die vn de krcht: de potentiële energie neemt nu toe. Voorbeelden vn beweging vn gelden deeltjes in el. veld kthodestrlbuis, geigerteller (meten vn rdioctiviteit) electronenspectroscopie LCD (liuid crystl disply) Potentiële energie vn twee puntldingen Krcht tussen twee puntldingen en : F r = 1 r 2 Als de fstnd toeneemt vn r nr r b lngs de verbindingslijn (dus rdiëel) wordt rbeid verricht door de krcht: rb rb 1 W b = F r dr = r r r = rb 1 2 r r = ( 1 1 ) 2 r r b W b is lleen fhnkelijk vn begin en eindpunt, en dus onfhnkelijk vn de gevolgde weg. Consistent ls we de potentiële energie definiëren ls volgt: U = 1 r Dit is dus de electrische potentiële energie vn twee ldingen en. De uitdrukking geldt zowel voor positieve ls negtieve ldingen, of voor een combintie drvn. Wnneer we 4
te mken hebben met een systeem vn meerdere puntldingen kunnen we het superpositieprincipe toepssen (het veld in een bepld punt is de vector som vn de velden vn lle individuele ldingen), en dn volgt: U = Dit is de potentiële energie vn een lding in het veld vn de ldingen { i }. We kunnen het nulpunt vn potentiële energie vrij kiezen. Een hndige keus voor electrosttische problemen is U = 0 ls de fstnd tussen gelden deeltjes oneindig is. Een beplde ldingsverdeling { i } heeft dus een intrinsieke potentiële energie, en wel gelijk n de rbeid die moet worden verricht om de ldingen { i } bij elkr te brengen. Dt kunnen we één voor één doen, en dn de potentiële energie vn elk gelden deeltje optellen bij het totl. Dt levert: U = 1 r ij is de fstnd tussen ldingen i en j, en de som gt over termen met i < j zodt we niet elk pr dubbel tellen. Voorbeeld: Wt is de potentiële energie vn de ldingsverdelingen in vrgstuk 2.20? i i<j i r i i j r ij Links: U = 1 i<j i j = 1 ) (4 2 r ij + 2 2 = 1 ( 4 + 2) 2 2 Rechts: U = 1 i<j i j = 1 ) (2 2 r ij + 2 +2 + 2 2 = 1 ( 2) 2 2 De potentiële energie in het linkse gevl is dus veel lger dn rechts! In beide gevllen is de potentiële energie negtief, d.w.z. het kost energie ls we groter zouden willen mken. N.B. De potentiële energie vn één deeltje bestt niet. Potentiële energie heeft ltijd te mken met een wisselwerking tussen deeltjes of voorwerpen. Potentiële energie hngt f vn de ruimtelijke verdeling vn b.v. mss s (grvittie) of ldingen (Coulomb-wisselwerking). V.b.: moleculen, een btterij, een ldingsverschil over een biologisch membrn. 7.1 Electrische potentil We definiëerden een electrische veld ls de krcht per eenheid lding, en we kunnen zo n veld beschouwen ls een (ruimtelijke) eigenschp vn een gelden voorwerp. Zols we hebben gezien is met een conservtieve krcht, en dus ook met een electrisch veld, ltijd een potentiële energie gessociëerd. Anloog n het begrip electrisch veld definiëren we nu de electrische potentil ls de potentiële energie per eenheid vn lding: Per definitie: V = U Eenheid vn U is J, vn V is volt (V), en dus 1 V = 1 volt = 1 J/C = 1 joule/coulomb 5
De electrische potentil is gedefiniëerd ls de potentiële energie per ldingseenheid. Het potentilverschil tussen twee punten en b is dus gelijk n de hoeveelheid rbeid die verricht moet worden om één eenheid lding vn nr b te verpltsen: W b = U ( Ub = U ) = (V b V ) = V V b De verndering vn de energie vn een deeltje met de lding vn een electron tussen twee punten met een potentilverschil vn 1 V is gelijk n U U b = (1.602 10 19 C)(1 V) = 1.602 10 19 J Deze hoeveelheid energie is gedefiëerd ls 1 electron volt (ev): 1 ev = 1.602 10 19 J Voor de potentiële energie vn een testlding in het veld vn één ndere puntlding gold U = 1 r Druit volgt eenvoudig de potentil vn een puntlding: V = U = 1 r Als negtief is, is de potentil overl negtief; een positieve lding heeft overl een positieve potentil. Op oneindige fstnd is de potentil in beide gevllen gelijk n nul. Voor een verzmeling puntldingen geldt nloog: V = U = 1 Deze vergelijking stelt ons in stt om de potentil vn een willekeurige ldingsverdeling te berekenen op een willekeurige plts in de ruimte. We kunnen een gelden voorwerp ltijd opdelen in infinitesiml klein elementjes d, wrvoor de bijdrge n de potentil gegeven wordt door de vergelijking vn de puntlding geldt. De potentil wordt dn verkregen door deze bijdrgen op te tellen, in integrlvorm V = 1 i d r i r i 6
Potentil vn een bol Tussen twee plten met tegengestelde lding Er bestt een rechtstreeks verbnd tussen de potentil en het electrisch veld. Immers, de rbeid die het veld verricht bij verpltsing vn een puntlding vn nr b is gelijk n het verschil in potentële energie met een min-teken: W b = F ds = Volgens de definitie vn de potentil geld dus: V V b = E ds = E ds = U U b E cos θds Als E constnt is, en er verder geen krchten werken, vereenvoudigd deze vergelijking tot V = V V b = E s = E cos θ s We kunnen deze vergelijking ook nders schrijven, met nme ls mthbf E evenwijdig is n s: E = V s In een gebied wr V sterk verndert met de fstnd zl dus het elektrisch veld erg sterk zijn. Voorbeeld: de potentil vn een puntlding. We kunnen deze bendering generliseren in de limiet dt s nr nul gt, en het dot-product op een ndere mnier te schrijven: dv = E x dx + E y dy + E z dz Stel dt de verpltsing evenwijdig is n de x-s, zodt dy = dz = 0, dn geldt dv = E x dx, of E x = (dv/dx) y,z constnt. Dit is precies de uitdrukking voor de prtiële fgeleide vn V. De y en z-componenten zijn op dezelfde mnier gerelteerd n V, zodt 7
E x = V x, E = E y = V y, ( î V x + ĵ V y E z = V z. ) V + ˆk z Voor een rdiëel veld: Voorbeeld: puntlding E = V E r = V r E r = V r = ( ) 1 = 1 r r r 2 Voorbeeld 1: 1 = +7.50µC: vst 2 = +3.00µC: mss 2 g, beweegt in de richting vn 2, v = 22.0 m/s op een fstnd vn 0.80 m. Verwrloos de zwrtekrcht. Wt is de snelheid vn 2 op een fstnd vn 0.50 m? b. Wt is de kortste fstnd tussen 1 en 2?. Energiebehoud gebruiken. E i = K i +U i = 1 2 (0.002 kg)(22.0 m/s)2 +(9 10 9 ) (3.00 10 6 C)(7.50 10 6 C) = 0.737 J 0.80m E f = 1 2 mv2 +k 1 2 = 1 2(0.737 J 0.405 J) r 2 mv2 +0.405 J v = = 18.2 m/s 0.002 kg b. Op de kortste fstnd is de snelheid nul: k 1 2 r = 0.737 J r = (9 10 9 ) (3.00 10 6 C)(7.50 10 6 C) 0.737 J = 0.275 m 8
Voorbeeld 2: b. V = 1 Potentil V in de oorsprong? lt zien dt op een punt lngs de x-s V = 1 2 2 + x 2 Teken een grfiek vn V rond de oorsprong Wt is de potentil ls x? c. Volgens de tekening: V = 1 r = 1 2πɛ 2 2 + x 2 d. e. Als x >>, dn is V = 1 2 x Voorbeeld 3: Potentil ls functie vn x? Grfiek vn V (x)? Wt ls de ldingen verwisseld worden?. Potentil = 0 overl op de x-s: V (x) = 1 ( r + ) r b. V (x) = 0 c. Zelfde resultt ls ldingen verwisseld worden. Voorbeeld 4: Zelfde ls bij voorbeeld 3, mr nu voor de potentil op de y-s. y < : V = 1 ( + y + ) = 1 2y y (y 2 2 ) y > : V = 1 ( + y + ) = 1 2 y (y 2 2 ) y < : V = 1 ( y + ) = 1 2 y + (y 2 2 ) y >> : V = 1 ( y + + ) = 1 2 y y 2 9
Voorbeeld 5: Wt is de potentil in het middelpunt vn de ldinsgverdelingen in fig. 2.20? 10