8 Voorkennis: Sinusfuncties ladzijde 9 V- Uit 8 radialen volgt 8 radialen Je krijgt dan de volgende tael: V-a V-a 8 graden 6 9 8 radialen O 6 6 7 8 9 Aflezen:,,,, c Aflezen:, d Aflezen:, e Aflezen: O Aflezen:,,, c Aflezen:,, d Aflezen:, e De periode van f is V- Plotten en vergelijken geeft: k 6 7 f Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel l m 6 6
V-a ladzijde 9 6 O g f 6 h De grafiek van g ontstaat door de grafiek van f met te vermenigvuldigen vanuit de -as De grafiek van h ontstaat door de grafiek van f met te vermenigvuldigen vanuit de -as 6 O m k n 6 De grafiek van m ontstaat uit de grafiek van k door verschuiving omhoog De grafiek van n ontstaat uit de grafiek van k door verschuiving naar links V-6a Vermenigvuldiging ten opzichte van de -as met factor 6 De amplitude is en de periode is 6 Vermenigvuldiging ten opzichte van de -as met factor De amplitude is en de periode is c Verschuiving, naar links De amplitude is en de periode is d Vermenigvuldiging ten opzichte van de -as met factor en ten opzichte van de -as met factor e f De amplitude is en de periode is De grafiek ontstaat door de vermenigvuldiging ten opzichte van de -as met factor gevolgd door de verschuiving omhoog De amplitude is en de periode is Verschuiving naar rechts, daarna vermenigvuldiging met factor ten opzichte van de -as en tenslotte vermenigvuldiging met factor ten opzichte van de -as De amplitude is en de periode is Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 9
V-7a De amplitude is en de periode is De amplitude is en de periode is 6 c De amplitude is en de periode is 6, d De amplitude is en de periode is e De amplitude is en de periode is f De amplitude is en de periode is, V-8a Smmetrie in de lijn Puntsmmetrie in O(, ) c Puntsmmetrie in (, ) 7 Frequentie en faseverschil ladzijde 9 a De periode is 88 seconde Als de trilling periode heeft dan passen er perioden in één seconde a Dus geldt frequentie periode c Dan geldt Periode 6 6 en dus u sin t als je de uitwijking op stelt en dus is de frequentie Hz Periode en dus is de frequentie 7 7, Hz c Periode en dus is de frequentie 8 Hz 8 6 d Periode en dus is de frequentie 6 Hz 6 a u 6sin t 6sin 8t u 6sin t 6sin 6t en a Dus geldt < < Voor eide trillingen geldt: amplitude, periode Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel, en frequentie Hz
c u t,,,,,,6,7,8,9,, v De grafiek van v is, naar rechts verschoven ten opzichte van de grafiek van u, is deel van de periode ladzijde 9 6a Voor eide trillingen geldt: periode, en amplitude, 8 Het verschil is, dus is het faseverschil,, c De grafiek van w snijdt de -as, periode later dan de grafiek van v De grafiek van u snijdt de -as, periode later dan de grafiek van v Dus is het faseverschil tussen w en u,,, 7a c O sin 6 7 cos Het faseverschil is immers is O sin cos deel van Het faseverschil is immers is deel van Het faseverschil lijft immers is deel van Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel
8a O g() sin - cos 6 7 8 f () sin + cos De grafiek van f lijkt een maimum te heen ij en dus zal gelden a + De periode van f is en dus is Er is een nulpunt en dus is er de verschuiving naar links Zodat c Dit alles geeft f( ) sin( + ) c Zie de figuur ij a Dan is de amplitude dezelfde, dus a Weer is de periode en dus is Nu is de verschuiving naar rechts en dus is c 9a Dit alles geeft g ( ) sin( ) d De grafieken van f en g verschillen periode, dus is het faseverschil 7 Product en quotiënt ladzijde 96,, O,, f () sin cos De amplitude is, en de periode is g ( ), sin c Als geldt f( ) g ( ) dan is f( ) g ( ) voor elke en valt de grafiek van f g samen met de -as d Als geldt f( ) g ( ) dan is f ( ) voor elke (mits g ( ) ) en valt de grafiek g ( ) van f samen met de lijn g Beide grafieken vallen volledig samen a g ( ) + sin ( ) en h ( ) sin ( ) De grafieken van g en h vallen samen na verschuiving over een halve periode, dus is het faseverschil c Je krijgt dan als grafiek de lijn Dit klopt ook met de voorschriften van opdracht a Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel
a a O P (cos, sin ) S Voor P op de eenheidscirkel geldt P(cos,sin ) Pas je de stelling van Pthagoras toe op de rechthoekige driehoek in de figuur dan geldt: + en dus geldt P P (cos ) + (sin ) O 6 7 De grafiek van f is een sinusoïde met amplitude en periode De sinus is een kwart periode verschoven naar rechts Dus geldt f( ) sin ( ) Een andere mogelijkheid is om cos sin (opdracht ) te geruiken Je krijgt dan f( ) sin cos sin ( sin ) sin ladzijde 97 6 O 6 De verticale asmptoten corresponderen met de nulpunten van de noemer, dus met cos Dit geeft op het gegeven interval: ; ; en c Dan is sin en dit geeft op het gegeven interval: ; ; ; en d De periode van f is Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel
a O Met de rekenmachine vind je dat f( ) is voor, 89 Met periode geeft dit op het gegeven interval de oplossingen:, 89 en, 9 c f( ) tan en dit laatste is het geval als of Aflezen: < of < d,,,, Met de rekenmachine vind je dat g ( ) is als, 96 Met de periode vind je op het gegeven interval ook nog, 7 Uit g ( ) volgt tan En dus is en op het gegeven interval 8 8 Aflezen: < of < 8 8 a + k (k geheel) c g ( ) + tan + sin cos + sin cos + sin cos cos cos cos cos 6a f: als sin dus zijn ; ; ; verticale asmptoten g: als cos dus zijn ; en verticale asmptoten sin en dus is de oplossing 6 sin 6 c De periode van h is en de verticale asmptoten zijn: ; ; ; en ; en d Uit een plot van de grafiek van h op [, ] volgt dat de toppen liggen ij, en Omdat h( ) + 8, is (, ) ( 79, ;, 8) een top Evenzo zijn (, ) ( 79, ;, 8) en (, ) (, 9; 8, ) toppen Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel
7a Periode f is en periode f is Amplitude is, en evenwichtsstand is, Dus lijkt g ( ),, cos te voldoen f Plot ( ) g ( ) laat zien dat de eide functies niet samenvallen en dus is f geen sinusoïde 8a 7 Vergelijkingen oplossen ladzijde 98,,8,6,,,,,6,8,,, Je kunt nu aflezen dat er 8 snijpunten zijn Met INTERSECT vind je, 89 en, 6 c De periode is, 667 en dus zijn de overige snijpunten ij:, 6 ;, 7 ;, 9 ;, 78 ;, 9 en, 6 9a Het patroon herhaalt zich na twee perioden van de grafiek van f Dus heeft het patroon periode respectievelijk perioden c Met een plot vind je periode a Periode f is en periode g is dus is de gemeenschappelijke periode Periode f is en periode g is dus is de gemeenschappelijke periode c Periode f is en periode g is dus is de gemeenschappelijke periode 6 d Periode f is en periode g is dus is de gemeenschappelijke periode ladzijde 99 a Periode f is en periode g is 6 dus is de gemeenschappelijke periode Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel
6 Op het interval [, ] vind je met de rekenmachine:, ; 7, 7;, 8; 7, ;, 6;,9 a 7, ;, 67; 67, en met gemeenschappelijke periode vind je ook 7, 8; 9, 9;,, ; 8, ; 6, ;, ;, c De perioden zijn en 6 en dus is de gemeenschappelijke periode Bij opdracht is geleken dat er oplossingen zijn op een interval met lengte Dus zijn er op het gegeven interval 7 oplossingen a a In de periode van past twee keer de periode van f Dus kan de periode van g zijn en is of Maar g kan ook periode heen of a a De gemeenschappelijke periode is Met een plot en INTERSECT vind je op het gegeven interval de oplossingen 89, ;, ; 9, sin cos sin tan cos c Allereerst de meest voorkomende vorm: asin cos tan a Algemener: asin p( c) cos p( c) tan p ( c) a 7 Afgeleiden sin 6 7 de hellingsfunctie van sin Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel
Waarschijnlijk geldt f'( ) cos c cos de hellingsfunctie van cos 6 7 Waarschijnlijk geldt h'( ) sin 6a f'( ) sin sin g'( ) + cos cos c k'( ) + cos ( sin ) + cos + sin d l'( ) sin sin volgens de kettingregel 7a k'( ) sin sin du cos ( ) ( ) cos ( ) d c h'( ) sin cos sin cos d r + r ( sin ) d ( + sin ) ( + cos ) 6 cos d ( + sin ) 8a f'( ) sin cos en g ( ) cos sin sin cos Er geldt g'( ) f'( ) s'( ) f'( ) + g'( ) f'( ) f'( ) Omdat s'( ) is s ( ) een constante en is de grafiek van s een horizontale lijn c v'( ) f'( ) g'( ) f'( ) f'( ) sin cos d De toppen corresponderen met v'( ) dus met sin en met cos op het gegeven interval Dus met ; ; ; ; ; en De toppen zijn: (, ); (, ); (, ); (, ); (, );(, );(, ) ladzijde 9a De periode is seconden Dat is realistisch, p'( t) cos, t, 8 cos, t p'( ) 8 cos, 7, 77 mar Er is onderdruk in de longen dus inademen c Dan gaat het om de toppen van p' en dus is het maimum 8, mar/s en het minimum is 8, mar/s Dit doet zich voor als t en steeds een halve periode later, dus als t k met k geheel Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 7
a 8 O 6 7 8 9 sin+ cos sin tan, cos Op het gegeven interval vind je de oplossingen 6, en, f'( ) cos sin f"( ) sin cos f( ) De grafiek van f " is het spiegeleeld in de -as van de grafiek van f c Omdat f"( ) f( ) vind je dezelfde oplossingen als ij opdracht a, dus 6, en, d Ja want g ( ) acos sin g ( ) asin cos g ( ) a f( ) (sin ) f ( ) (sin ) cos cos sin De afgeleide estaat niet als sin dus als of als c Daar heeft de grafiek een verticale raaklijn a f ( ) acos f ( ) a en dus moet a a a Als het maimum van f gelijk is aan dan is a of a en dus is dan of a f'( ) + acos ( c) acos ( c) Het product a is de amplitude van de afgeleide De parameter, en dus de periode, lijft dezelfde De horizontale verschuiving c lijft dezelfde De waarde van d heeft geen invloed op de afgeleide c Volgt uit f'( ) + a cos ( c) De parameter, en dus de periode 7 Integreren ladzijde, lijft dezelfde a g ( ) sin g'( ) cos cos en dit laatste is niet gelijk aan f( ) Er is een factor die verdwijnen moet Dit lukt door het voorschrift van g met te vermenigvuldigen Dus voldoet h ( ) sin Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel
a O 6 7 8 9 F( ) 6cos is een primitieve Dus sin d [ 6cos ] 6cos ( 6cos ) + 6 6 Dit is de oppervlakte van het geied ingesloten door de -as en de grafiek van f op het interval [, ] c sin d [ 6cos ] 6cos ( 6cos( )) + - Een epaalde integraal erekent de oppervlakte ingesloten door de -as en de grafiek van een functie Daarij wordt de oppervlakte onder de -as als negatief gezien Dus je erekent met een epaalde integraal het verschil in oppervlakte van de geieden ingesloten door de grafiek van f en de -as In dit geval is de oppervlakte onder de -as is gelijk aan de oppervlakte oven de -as En dus is het verschil, de uitkomst van de epaalde integraal 6a F( ) cos+ sin( ) + C cos sin( ) + C G ( ) sin( ) + C + sin( ) + C c H( ) cos( ) + C cos( ) d K ( ) cos( ) + C + C 7a sin d [ cos ] cos cos + sin d [ cos ] cos cos + sin d [ cos ] cos cos( ) + Een epaalde integraal erekent de oppervlakte ingesloten door de -as en de grafiek van een functie Daarij wordt de oppervlakte onder de -as als negatief en de oppervlakte oven de -as als positief gerekend Voor [, ] krijg je de oppervlakte ingesloten door de -as en de grafiek Voor [, ] krijg je het verschil in de oppervlakte van de geieden ingesloten door de -as en de grafiek Omdat er evenveel onder als oven de -as ligt geeft de epaalde integraal Voor [, ] ligt het geied onder de -as geeft de epaalde integraal de tegengestelde van de oppervlakte Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 9
6 ladzijde 8a sin cos tan dus op het gegeven interval en De snijpunten zijn (, ) en (, ) 9a sin cos d [ cos sin ] ( ) ( ) 8, Invullen t in d T + 8 t dt sin ( ) geeft dt dt 8 + 8 cos ( ) [ + 8 sin 8 t dt t ( t )] 6 6 ( 8 96 ) ( 6 96 + + ) 7, 9 uur o C c De rechthoek heeft zijde en hoogte C Dus moet C 7, 9 en dus isc, C d De gemiddelde temperatuur gedurende de periode van 6 uur tot 8 uur a sin d [ cos ] cos cos + sin d [ cos ] cos cos + sin d [ cos ] cos cos + sin d [ cos ] cos cos,,8,6,,, O,,,6,8 sin sin,, sin sin Voor a zijn de oppervlakten onder en oven de -as gelijk c Voor a is er één periode op het interval[, ] Dus voor a 8 zijn er twee perioden op dit interval en ook dan zijn de oppervlakten onder en oven de as gelijk Idem voor a, 6, Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel
76 Gemengde opdrachten ladzijde sin sin a De lijn OP gaat door (, ) en (, sin ), dus geldt 9 Voor de oppervlakte geldt sin sin sin d [ cos ] 9 8 8,, 8, 69, f'( ) cos f'( ) cos en dus geldt voor PR de vergelijking cos + Invullen van (, sin ) geeft sin cos Dus geldt voor PR: cos + sin cos, +, 8 c, +, 8 snijpunt met de -as: 6, R( 6, ; ) Oppervlakte van driehoek PQR is dan PQ QR sin ( 6,, 8), d f'( ) cos f'( p) cos p en dus is de raaklijn evenwijdig aan de lijn cos p e De raaklijn heeft richtingscoëfficiënt is cos p dus geldt voor de raaklijn cos p + Invullen van ( p, sin p ) geeft sinp cos p p+ sinp p cos p zodat cosp + sin p pcos p ( p)cos p+ sin p p f Stel ( p) cosp+ sin p dan is ( p) cosp sin p en is p sin cos p p Uit dit laatste volgt p sin cos p a Een primitieve zou dan moeten zijn: f( ) sin en dat is niet gegeven g'( ) ( sin ) ( cos ) c g ( ) ( sin ) ( sin )( sin ) sin sin+ sin sin g ( ) sin+ sin sin + sin g ( ) Dus geldt f( ) sin + sin g ( ) d Uit het resultaat van opdracht c volgt: f'( ) + sin cos g ( ) + sin cos ( sin )( cos ) Dit kun je herleiden tot f'( ) + sin cos ( sin )( cos ) + sincos + cos+ sin sincos cos+ sin a ladzijde 7 6 O 6 7 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 6
Stel cos dan is of cos De oplossing van cos op het gegeven interval is ; ; Snijpunten: (, ), (, ) en (, ) Omdat cos geldt cos want c 6 9 8 7 6 O 6 6 7 8 9 Verticale asmptoot en horizontale asmptoot a sin en dus geldt t + t t + t tt ( ) t of t 866, Dus na 8,66 seconden en er is dan cos 6, meter afgelegd in horizontale richting t + tsinα t of t sin α c s sinα cosα sinαcosα d Een plot van de grafiek van s laat zien dat het maimum ereikt wordt voor α Het ijehorende maimum is dan sin cos meter ICT Product en quotiënt ladzijde 6 I-a De amplitude is, en de periode is g ( ), sin c Als geldt f( ) g ( ) dan is f( ) g ( ) voor elke en valt de grafiek van f g samen met de -as d Als geldt f( ) g ( ) dan is f ( ) voor elke (mits g ( ) ) en valt de grafiek g ( ) van f samen met de lijn g Je ziet de lijnen en Dus de eide grafieken vallen volledig samen I-a g ( ) + sin ( ) en h ( ) sin ( ) De grafieken van g en h vallen samen na verschuiving over een halve periode, dus is het faseverschil 6 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel
c I- Je krijgt dan als grafiek de lijn Dit klopt ook met de voorschriften van opdracht a O P (cos, sin ) S Voor P op de eenheidscirkel geldt P(cos,sin ) Pas je de stelling van Pthagoras toe op de rechthoekige driehoek in de figuur dan geldt: + en dus geldt P P (cos ) + (sin ) ladzijde 7 I- De grafiek van f is een sinusoïde met amplitude en periode De sinus is een kwart periode verschoven naar rechts Dus geldt f( ) sin ( ) Een andere mogelijkheid is om cos sin (opdracht ) te geruiken Je krijgt dan f( ) sin cos sin ( sin ) sin I-a De verticale asmptoten corresponderen met de nulpunten van de noemer, dus met cos Dit geeft op het gegeven interval: ; ; en Dan is sin en dit geeft op het gegeven interval: ; ; ; en c De periode van f is I-6a + k (k geheel) c g ( ) + tan + sin cos + sin cos + sin cos cos cos cos cos I-7a f( ) sin Het verschil is steeds en de deling geeft steeds mits cos is want dan is f( ) sin niet gedefinieerd cos I-8a n even: functiewaarden zijn groter of gelijk aan en de functie is periodiek met periode n oneven: de functiewaarden zijn ook negatief en de periode is n even: toppen zijn (, ); (, );(, ) n oneven: (, ); (, ) c Amplitude is, en evenwichtsstand is, Dus lijkt g ( ),, cos te voldoen f Plot ( ) g ( ) laat zien dat de eide functies niet samenvallen en dus is f geen sinusoïde Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 6
I-9a 6 ICT Afgeleiden ladzijde 8 Geruik de Uitkomst en helling -utton en vul in pi of Je krijgt dan dat de helling is Aflezen geef (, ); (, ); (, ) c Vink formule A uit en vink formule B aan Voer pi/ in en lees als helling af Andere punten met helling zijn (geruik dat de periode is):,, 6 6 6 d De golfvorm herhaalt zich na elke periode dus herhaalt ook de helling zich met dezelfde periode e Vink formule A aan en formule B uit Verander A in sin( ) Kies onder Etra de optie Hellingen Kies in een nieuw venster het talad Hellinggrafiek en start de animatie In wat je dan krijgt is de rode grafiek de hellinggrafiek van sin( ) en dit is de grafiek van cos( ) Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel
,,8,6,, O,,,6,8 6 7 8 9 f Je moet nu vinden dat de hellinggrafiek van cos( ) dezelfde is als de grafiek van sin( ) I-a f'( ) sin sin g'( ) + cos cos c k'( ) + cos ( sin ) + cos + sin d m ( ) sin cos volgens de kettingregel I-a f'( ) sin cos en g ( ) cos sin sin cos Er geldt g'( ) f ( ) s'( ) f'( ) + g'( ) f'( ) f'( ) Omdat s'( ) is s ( ) een constante en is de grafiek van s een horizontale lijn c v'( ) f'( ) g'( ) f'( ) f'( ) sin cos d De toppen corresponderen met v'( ) dus met sin en met cos op het gegeven interval Dus met ; ; ; ; ; en De toppen zijn: (, ); (, ); (, ); (, ); (, );(, );(, ) ladzijde 9 I-a k'( ) sin sin du cos ( ) ( ) cos ( ) d c h ( ) sin cos sin cos d r + r ( sin ) d ( + sin ) ( + cos ) 6 cos d ( + sin ) I-a De periode is seconden Dat is realistisch, pt () cos, t, 8 cos, t p( ) 8 cos, 777, mar Er is onderdruk in de longen dus inademen c Dan gaat het om de toppen van p' en dus is het maimum 8, mar/s en het minimum is 8, mar/s Dit doet zich voor als t en steeds een halve periode later, dus als t k met k geheel Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 6
I-a 66 O 6 7 8 9 sin+ cos sin tan, cos Op het gegeven interval vind je de oplossingen 6, en, f'( ) cos sin f"( ) sin cos f( ) De grafiek van f " is het spiegeleeld in de -as van de grafiek van f c Omdat f"( ) f( ) vind je delfde oplossingen als ij opdracht a, dus 6, en, d Ja want g'( ) acos sin g"( ) asin cos g ( ) I-a f( ) (sin ) f ( ) (sin ) cos cos sin De afgeleide estaat niet als sin dus als of als c Daar heeft de grafiek een verticale raaklijn I-6a f ( ) acos f ( ) a en dus moet a a a Als het maimum van f gelijk is aan dan is a of a en dus is dan of Test jezelf ladzijde T-a De periode is seconden Drie trillingen per seconde dus is de periode seconde De amplitude is een passende formule is w cos t cos 6 t als deze op t vanuit een uiterste stand wordt losgelaten T-a g ( ) sin Eerst g schetsen en dan, periode verschuiven en daarna de amplitude en de evenwichtsstand aanpassen Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel
T-a O g f c Omdat er met g, faseverschil moet zijn en de periode is moet je horizontaal verschuiven Dus voldoet f( ), +, sin ( ) maar ook voldoet f( ), +, sin ( + ) O 6 7 8 Dan is cos en moet + k met k geheel De periode lees je af in de grafiek en is c Die treden op als sin dus k met k geheel d g ( ) tan sin cos cos f( ) sin e f Stel f( ) dan moet tan ;, 6 of, 6 +, 6 Stel f( ) dan moet tan ; of Aflezen uit de grafiek: < of < T-a Periode f: en periode g: 8 De gemeenschappelijke periode is Op het interval [, ] kun je 6 oplossingen tellen Op het gegeven interval zijn er dan 8 6 8 oplossingen T-a f'( ) 6cos ( ) g'( ) sin( ) c h'( ), sin cos 6sin cos d k'( ) (cos ) sin si cos n sin cos Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 67
68 ladzijde T-6a ( + + sin ) d [ + cos ] ( + ) ( + ) + 8 8 (sin cos ) [ cos d sin ] ( ) ( ) c ( sin sin ) d [ cos + cos ] ( + ) ( + ) T-7a Plotten en INTERSECT geeft: 86, ;, 6 ; 9, De periode van f is en de periode van g is Omdat de gemeenschappelijke periode is moet je ook nog de oplossingen weten op,, dat zijn 7, ; 9, 9 ;, Dus zijn de oplossingen op : 86, + k ; 6, + k ; 97, + k ; 7, + k ; 9, 9 + k ;, + k (k geheel getal), 6, c sin cos d [ cos 6 sin ],,, 8 8, 86, 86 T-8a Hz u'( t), cost 6 cos t u'( ) 6 cos 6 mm/s T-9a of sin k (k geheel) ; ; ; ; ; F'( ) p sin( ) psin( ) dus is p p c sin d [ cos( )] ( cos ) ( cos ) + T- Periode f is en de periode van g is Als er een gemeenschappelijke periode is dan moet gelden dat een of ander geheel veelvoud van gelijk is aan een geheel veelvoud van Dus k l maar dan is l en is een reuk Dit laatste is niet het geval en dus is er geen k gemeenschappelijke periode Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel