Cursus Wiskunde 6 STW Schooljr 0-0 Leerkrcht: Hugo Ps hugops@gmilcom o vi SmrtschoolWebsite: http://usersskynetbe/hps Sint- Mrtinusscholen Asse TSO- BSO Wiskunde 6 STW Studeren is een continu proces
Inhoudstel Deel : Anlyse Prktisch Herhling Reële unctie Veeltermunctie Voorbeelden Rtionle unctie Voorbeelden 6 Oeeningen 9 Limieten 0 Voorbeelden 0 Rekenen met ± Optellen Vermenigvuldigen en delen Oeeningen 6 Limieten vn veeltermuncties 7-7 ± 7 Oeeningen 8 Limieten vn rtionle uncties 9 Het gevl 0 0 9 k Het gevl 0 0 ± Smenvtting: de ietenkst 6 Herhlingsoeeningen 7 Toepssing 6 Ageleiden 7 Helling in een punt vn een rechte 7 Helling in een punt vn de kromme Ageleide vn een unctie in een punt Deinitie Prktisch- de stppen Oeeningen 8 Ageleide unctie 9 Fundmentele geleiden 0 Rekenregels 0 Oeeningen Stijgen en dlen vn een unctie Deinitie Verbnd stijgen dlen en geleide unctie 6 Kromming 8 6 Tweede, derde, geleide 8 6 Kromming 8 Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s
6 Kromming en de geleide 9 7 Mimum- en minimumproblemen 0 7 Probleem vn de boer 0 7 Probleem vn de dozenmker 0 7 Probleem vn de blikslger 0 8 Probleem uit ysic: snelheid versnelling 0 9 Verloop vn uncties 0 Primitieve uncties onbeplde integrl Voorbeelden Deinitie Formule Integrl vn een som Integrl vn een veelvoud 6 Integrl vn een veeltermunctie 7 Oeeningen primitieve uncties 6 Beplde integrl 6 6 Oppervlkten 6 6 Probleem 6 6 Deinitie beplde integrl 6 6 Griek vn ligt boven in [ b]: > 0 in [ b] 6 6 Griek vn ligt onder in [ b]: < 0 in [ b] 9 6 Griek vn verndert vn teken in [ b] 60 6 Oeeningen: 6 7 Verbnd beplde integrl en primitieve unctie 6 7 Oeeningen beplde integrl steunend op de hoodstelling 6 8 Berekenen vn oppervlkten 6 8 Oeeningen 67 Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s
Deel : Anlyse Prktisch Doelen Je krijgt inzicht in de studie vn rtionle uncties, je kn het begrip domein, nulpuntenverzmeling grisch interpreteren en nlytisch berekenen Je kn een iet vn een unctie berekenen ietenkst Je kent het begrip geleide vn een unctie in een punt en de grische interprettie Je kn de geleide vn een unctie in een punt berekenen vi een iet Je kn de geleide vn een veeltermunctie berekenen Je kent het begrip primitieve unctie Je kent de deinitie vn beplde integrl Je ziet het verbnd tussen beplde integrl en primitieve unctie Je kn oppervlkte bereken met behulp vn beplde integrl Vereisten Je kent de leersto vn STW: - unctie vn de tweede grd, nulpunten, tekenschem, griek - veeltermunctie: rekenschem vn Horner, ontbinden vn een derde en vierdegrdsunctie Je kn een griek met je GRM tekenen, nulpunten zoeken Je k een griek met Geogebr tekenen, drukken en in een worddocument plkken Mteril Cursus GRM: Tes 8, 8 Evlutie Huiswerk: punten Kleine overhoring: 0 punten Grote overhoring: 0 punten Lerr Hugo Ps hugops@gmilcom o vi Smrtschool Website: http://usersskynetbe/hps Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s
Herhling Reële unctie Deinities: Reële unctie: een reële unctie is een unctie vn IR nr IR Domein: is de verzmeling vn getllen die een beeld hebben Nulpunt: elk getl wrvn het beeld nul ismoet tot het domein behoren Tekenschem zie oeeningen Griek zie oeeningen Veeltermunctie Voorbeelden 6 ³ Rtionle unctie Deinitie: Een rtionle unctie is een quotiënt vn twee veeltermuncties Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s
Voorbeelden Voorbeeld : dom Berekening { 0} Berekening We zeggen dt rechte - een verticle symptoot is vn Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s 6
Voorbeeld : dom { 0} Asymptoten? Anlytisch We vinden het domein terug door de nulpunten vn de noemer uit te sluiten We vinden de nulpunten vn een rtionle unctie door de nulpunten vn de teller te zoeken die tot dom behoren- en dus geen nulpunt vn de noemer Grisch We vinden het domein terug door de griek te projecteren op We vinden de nulpunten terug vi de snijpunten vn de griek met Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s 7
Specil gevl: en ls een punt nulpunt is vn teller en noemer? Voorbeeld:!!!!!!! Bepl domein en nulpuntenverzmeling Controleer grisch: Window - ; - ; grenzen voor je GRM Verwcht je een rechte ls griek? en nu Window 0,9 ;,,9 ;, Wt doe je hier? Wt vlt er je op n de griek? Wrom is de griek een rechte met een perortie? Heet de griek een VA in? PS: De perortie zie je met je GRM, met Geogebr g je geen perortie terugvinden Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s 8
Oeeningen Bepl domein, nulpuntenverzmeling, griek 6 6 opgelet : strik!!!!!!!!!!!!!!!! strikker ³ Zoek een rtionle unctie met volgende gegevens: dom IR en!! 0 dom IR en!! 0 dom IR, en!! 0 en een perortie in Wiskundigen hebben een goed gevoel voor humor Ze kunnen zich echt een breuk lchen Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s 9
Limieten Voorbeelden Voorbeeld : We bestuderen Dom Griek Tbel,00000,90000,99000,999000,99990,0000,0000,0000,000 We zeggen: de iet vn ls onbeperkt nr street is Symbool: Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s 0
Voorbeeld : dom Griek: Tbel: We vinden dus: Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s
Voorbeeld : dom Griek: Tbel: Besluit: Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s
Voorbeeld : dom Griek: Tbel: We mken onderscheid tussen linkeriet en rechteriet 0 < 0 > Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s
Voorbeeld : dom Griek: Tbel: lllinkeriet!!! rlrechteriet!!! Besluit: Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s
Voorbeeld 6: Bereken Teken de griek met GRM Rekenen met ± We deiniëren IR IR {, } Rekenregels: Optellen IR OPGELET : is niet gedeiniëe rd Vermenigvuldigen en delen IR 0 en > 0 IR en < 0 0 OPGELET: 0 en zijn niet gedeiniëerd ± 0 Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s
Oeeningen Bereken: 0 000 ³ ³ 6 Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s 6
Limieten vn veeltermuncties - Voorbeelden: Rekenregel: ± Voorbeeld grisch: We tekenen de griek vn g h We vinden: g h g h Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s 7
Voorbeeld nlytisch: 0 0 Oeeningen Bereken: 0 0 0 6 6 Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s 8
Limieten vn rtionle uncties Het gevl 0 0 Voorbeelden: ³ Rekenregel: Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s 9
Het gevl Voorbeeld : k 0 We vinden: korter ll < korter rl > Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s 0
Voorbeeld : We vinden: korter ll - < korter rl > Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s
Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s ± Opmerking: we berekenen Griek zie Bereken Griek: zie Voorbeeld : 0 0 0 0 6 6 6 Voorbeeld : Voorbeeld : ³ Rekenregel:
Oeeningen Bereken: ± 6 Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s
Smenvtting: de ietenkst LIMIETEN ANNO 006 Veeltermuncties Rtionle uncties 0 gevl 0 ± ± hoogstegrdsterm teller hoogstegrdsterm noemer Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s
Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s 6 Herhlingsoeeningen Bereken : 8 ³ 7 ³ 6 6 9 ³ 6 9 ³ 8 ³ 0 9 8 9 7 6 ³ 0 0 ³ 0
7 Toepssing Wt wordt de lenzenwet met cm? Bepl een unctievoorschrit die de beeldstnd y uitdrukt in unctie vn Welke soort unctie verkrijg je? Schets de griek vn deze unctie Bepl het domein vn deze unctie Bepl het ysisch domein vn deze unctie ls je weet dt en y stnden voorstellen en positie zijn? 6 Vul volgende tbel in Gebruik je GRM 0 0 0 0 00 00 00 00 000 7 Wrom kn je geen oto s trekken ls het voorwerp te dicht bij de lens stt? 8Welke beeldstnd zl je moeten nemen ls het voorwerp heel ver vn de lens stt? symbool op je ototoestel Welke iet bereken je? Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s 6
Ageleiden Helling in een punt vn een rechte Wt betekent dit verkeersbord? Tekeningk/h Welk deciml getl komt met deze helling overeen? Bestt er een helling vn 00 %? Teken Bereken de gemiddelde helling vn de Pterberg een leuke kuitenbijter voor tijdens de vkntie Wt betekent die 0 % Is dit juist? Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s 7
Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s 8 Teken de rechten met vergelijking: We beplen de helling in een punt vn de rechte y d y c y b y
Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s 9
We vinden: helling rico vn de rechte Formule: vergelijking vn een rechte door gegeven punt P, y en rico helling m y y m Oeening: Teken rechte met helling door A, en bepl de vergelijking; rechte b met helling - door B -, rechte c met helling door C, - rechte d met helling door D -, - Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s 0
Helling in een punt vn de kromme Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s
Een skiër bevindt zich in P, - Wt is de helling vn de berg in dt punt? Bepl ook de vergelijking vn de rklijn Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s
Ageleide vn een unctie in een punt Deinitie We bestuderen We kiezen en beplen P, P, We benderen de helling vn de rklijn vi de helling vn enkele snijlijnen Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s
h h k 0, 0,0 0,00 k h We vermoeden dt de iet k vn h We deiniëren deze iet ls de geleide vn in Symbool: Werk nu dit voorbeeld uit:! en Deinitie: ls een unctie is en dom h en ls bestt h 0 h dn deiniëren we deze iet ls de geleide vn in Symbool: D o Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s
Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s Prktisch- de stppen Voorbeeld : Besluit D D Vergelijking vn de rklijn: Griek: h h h k h h h k h k h h h 0 0
Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s 6 Voorbeeld : en - D- Vergelijking vn de rklijn: h h h k h h h k h k h h h 0 0
Voorbeeld : - Rklijn: Griek teken de griek vn en de rklijn met Geogebr en plk hieronder Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s 7
Oeeningen Bepl D, bepl de vergelijking vn de rklijn en teken de griek,, 0,, ormule : A B A A B A B B Wie pltste de wiskundeboeken bij de deling horror? Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s 8
Ageleide unctie Voorbeeld: Gegeven We weten D D D - - We vinden een nieuwe unctie: de geleide unctie vn Symbool: D o ʹ dnis D o ʹ Korter: D Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s 9
Fundmentele geleiden Constnte unctie Identieke unctie ³ n Rekenregels Ageleide vn een som Formule: Voorbeeld: D D ³ Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s 0
Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s b Ageleide vn een veelvoud Formule: Voorbeeld: c Ageleide vn een product Formule: Voorbeeld: d Ageleide vn een quotiënt Formule: Voorbeeld: ³ 7 ³ ³ D D D D D D g Dg g D g D 7 D D D
Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s Oeeningen Bereken de geleide vn volgende uncties 9 ³ 7 ³ 6 ³,,8, ³, 0 g e k d j c i b h Bepl een vergelijking vn de rklijn t in het punt P n de griek vn de unctie gen oplos en P c P en b P en sin,6, ³, Vergeet niet de GRAFISCHE controle: met je ZRM en thuis met grphmtic, geogebr In welke punten vn de griek vn is de rklijn evenwijdig met de - s? 6 6 9 ³ d c b Vergeet niet de GRAFISCHE controle: met je ZRM en thuis met grphmtic, geogebr
Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s In welke punten vn de griek is de rklijn evenwijdig met rechte r ³ 6 y r b y r Vergeet niet de GRAFISCHE controle 6 Bepl de vergelijkingen vn de rklijnen n de griek vn in de snijpunten met de - s 9 Vergeet niet de GRAFISCHE controle
Stijgen en dlen vn een unctie Deinitie Voorbeeld: is stijgend in is dlend in [ b], [, b] geldt : < <, [ b], [, b] geldt : < >, Verbnd stijgen dlen en geleide unctie Voorbeeld : D Tekenschem vn D Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s
Voorbeeld : ³ D Tekenschem D Griek Voorbeeld : - D Tekenschem D Griek Voorbeeld : ³ - D Tekenschem Griek Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s
Besluit: Als D >0 dn is stijgend Als D < 0 dn is dlend Als D vn teken verndert in dn bereikt een etremum in Etremum is een mimum o een minimum Onderzoek het stijgen en dlen vn volgende uncties Xmin Xm Ymin Ym - - b - - c d 9 - - - 6 6-0 0 e - - - - g - 6-0 Schem: Teken de griek vn * Bepl D Bepl het tekenschem vn D Bepl het stijgen en dlen Duid de mim,minim n Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s 6
Dessertoeening: Bepl en b zodt b een etremum bereikt in P, Is dit etremum een mimum o een minimum Controleer grisch Bepl en b zo dt b6 eenetremum bereikt in P,- Is dit etremum een minimum, mimum? Controleer grisch Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s 7
6 Kromming 6 Tweede, derde, geleide Voorbeeld: ³ - D DD D 6-6 6 D de geleide D³ D6 6 6 6 Kromming De griek is hol de rklijn ligt onder de griek de rklijn wordt steiler de geleide is stijgend D is stijgend DD > 0 D!!!! > 0!! De griek is bol de rklijn ligt boven de griek de rklijn wordt minder steil de geleide is D is DD D!! < 0!!!! Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s 8
6 Kromming en de geleide Stelling: Als D > 0 dn heet een positieve kromming J Als D< 0 dn heet een negtieve kromming L Als D vn teken verndert in dn heet een buigpunt in De rklijn in een buigpunt noemen we buigrklijn Ander symbool voor tweede geleide: Voorbeeld: ³ - Bereken D, mk een tekenschem Onderzoek de kromming vn Bepl de eventuele buigrklijn Opgve: Griek: Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s 9
7 Mimum- en minimumproblemen 7 Probleem vn de boer 7 Probleem vn de dozenmker 7 Probleem vn de blikslger Zo groot mogelijke oppervlkte Een ingenieur, een ntuurkundige en een wiskundige krijgen vn een boer een stuk touw om drmee een zo groot mogelijk stuk lnd te meten De ingenieur mkt een mooi vierkntje en kijkt triomntleijk nr de ndere twee "doe dt mr eens n" De ntuurkundige hd goed opgelet tijdens zijn colleges en wist dt een cirkel het grootste oppervlk geet De wiskundige lt zich echter niet door de uit het veld sln Hij pkt het touw, mkt een klein cirkeltje en gt dr midden in stn wrop hij vervolgens zegt:: "ik st n de buitenknt" 8 Probleem uit ysic: snelheid versnelling 9 Verloop vn uncties Schem: Domein Snijpunten met de ssen Bepl D met tekenschem, etrem? Bepl D met tekenschem, buigpunten? Tbel Griek Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s 0
Primitieve uncties onbeplde integrl Voorbeelden F D F F D F F - D F We zeggen : F, F, F zijn primitieve uncties vn Deinitie F is een primitieve unctie vn s DF o F We zeggen ook: F is de onbeplde integrl vn Symbool: d F c d :symbool voor onbeplde integrl verzmeling vn lle primitieve uncties vn Zoek de primitieve uncties vn o o Anders: o o Anders: F F F d c F F F F d ³ c F Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s
Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s Formule Als n dn is c n F n o n c n d n n Bereken: F ls Bereken: d d Integrl vn een som Voorbeeld: c d o c F ³ ³ Integrl vn de som vn twee uncties is de som vn de integrlen vn die uncties [ ] d g d d g
Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s Integrl vn een veelvoud Voorbeeld: c d o c F Integrl vn een veelvoud vn een unctie is het veelvoud vn de integrl vn de unctie d k d k k d o k F 6 Integrl vn een veeltermunctie Voorbeeld: k k k d o k F ³ ³ ³ ³ k k F ³ 8 8 6 8 ³ 6 6 k k d 6 ³ 6 ³ 6
Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s 7 Oeeningen primitieve uncties Bepl een primitieve unctie vn: ³ e d c b Bereken volgende onbeplde integrl: d c d b d Bepl de primitieve unctie F vn die n de gegeven voorwrde voldoet ³ F en c F en b F en De opeenvolgende ssenstelsels bevtten een kromme die een primitieve unctie voorstelt vn zijn voorgnger Bepl een unctievoorschrit voor elke kromme
-Wrom kijk je zo droevig? -Ik vind mijn primitieve uncties niet -Primitie, zie je dt ook l in wiskunde, niet te geloven zeg Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s
6 Beplde integrl 6 Oppervlkten Enkele ormules: Oppervlkte rechthoek Oppervlkte driehoek Oppervlkte trpezium 6 Probleem Gegeven Bereken de oppervlkte vn het gekleurde deel 6 Deinitie beplde integrl 6 Griek vn ligt boven in [ b]: > 0 in [ b] Deinitie: b d oppervlkte S : ondergrens b : bovengrens : integrnd Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s 6
Voorbeeld : Bereken d b Griek Berekening S oppervlkte trpezium B b h Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s 7
Voorbeeld : Bereken: d b Griek: Berekening: S oppervlkte driehoek b h 8 6 Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s 8
6 Griek vn ligt onder in [ b]: < 0 in [ b] b Deinitie: d oppervlkte S Voorbeeld: Bereken: d b Griek 0 Oplossing: Oppervlkte S oppervlkte trpezium 7, 0 d oppervlkte S de griek ligt onder de - s 0 d 7, Oeeningen: bereken volgende beplde integrlen door de deinitie toe te pssen grisch d d d Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s 9
6 Griek vn verndert vn teken in [ b] b Deinitie: d oppervlkte S oppervlkte Voorbeeld : Bereken: d Griek: S We zoeken het snijpunt vn gr met de -s bepl nulpunt vn 0! We berekenen opp S oppervlkte driehoek We berekenen opp S, d opp S opp S,, Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s 60
Voorbeeld : Bereken: d Griek: Nulpunt: 0 Opp S! 6 Opp S 6 d 6 6 6 Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s 6
6 Oeeningen: Bereken met de deinitie grisch d d d d 0 d 6 d 7 d 8 d 9 d Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s 6
7 Verbnd beplde integrl en primitieve unctie Voorbeeld: We berekenen d b de primitieve uncties vn zijn: F Griek c We vinden: b d opp S b b b F b F Stelling: Is F een primitieve unctie is vn b dn geldt: d F b F Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s 6
7 Oeeningen beplde integrl steunend op de hoodstelling Bereken volgende beplde integrlen met de hoodstelling Volg het schem b c 6 0 6 d d d controleer met je GRM Schrij met één integrlteken en werk uitgelijke grenzen Eigenschp b d 0 d d 0 d d Schrij met één integrlteken en werk uit Ansluitende grenzen 0 d b c Bonus: d d Bepl k zodt 6 d d d k d d nsluitende gelijke grenzen Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s 6
Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s 6 8 Berekenen vn oppervlkten Bereken de oppervlkte ingesloten door de griek vn, de -s, de rechten met vergelijking en b ³ b e b d b c b b b Bereken de oppervlkte begrensd door de griek vn en de -s 8 ³ ³ 6 d c b Bereken de oppervlkte begrensd door de griek vn volgende uncties: - en g -
Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s 66 Bereken de oppervlkte begrensd door de griek vn volgende uncties: - - en g - Zoek de voorschriten en bereken de oppervlkte begrensd door de twee grieken Bereken de oppervlkte begrensd door de grieken vn en g g c g b g ³ 6
8 Oeeningen Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s 67
Je hebt een goed geheugen nodig om een vreemde tl te studeren Een eperiment op studenten die een cursus Jpns volgen, leert ons dt het vn buiten leren vn woorden sterk hnkelijk is vn de tijd De doorsnee-student voldoet n de volgende unctie: w t t t met t: studietijd in minuten 00 w: ntl woorden per minuut Wnneer is het verzdigingsmoment voor deze doorsnee-student bereikt? Hoeveel woorden heet hij op dt ogenblik vn buiten geleerd? Wnneer memoriseert hij de meeste woorden per minuut? Hoeveel woorden zijn dt? Hoeveel woorden leert hij in een tijdsspnne vn een hluur te beginnen 0 minuten n het strtmoment? Anwijzing: teken de griek vn, op de y-s w-s stt het ntl woorden per minuut- dit is dus een snelheid Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s 68
Een persoon loopt met een constnte snelheid : vt eenheid m/s Griek: -s stelt de t-s voor en y-s de v-s Bepl de gelegde weg in het intervl [,] b Met welke oppervlkte komt deze gelegde weg overeen? Een tweede persoon loopt volgens unctie t t c Bepl de gelegde weg in [,] d Welke oppervlkte bereken je nu? Een hrdloper trint regelmtig Zijn triningsschem voorziet een intervltrining wrbij de snelheid in unctie vn de tijd gegeven wordt door: 0 v t t t voor één intervlv in m/s en t in s 0 0 e Hoe lng duurt intervl? N hoeveel seconden is de snelheid miml? Hoe groot is deze mimle snelheid? g Hoeveel meter heet hij gelegd tijdens de eerste 0 seconden? h Hoeveel meter heet hij gelegd tijdens het hele intervl? i Wt is de gemiddelde snelheid? Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s 69
Bereken de oppervlkte vn dit visje Hint: 0,-6 Hllo Zijn wij milie? Opmerking: Een oppervlkte berekenen steunt ltijd op een tekening In ste eeuw mken leerlingen gebruik vn GRM in de kls en Geogebr thuis Je mg je beplde integrl uitrekenen met je GRM bij het berekenen vn oppervlktes Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s 70
Cursus wiskunde 6 STW Hugo P@s 7