Hoofdstuk 1 - Vectoren

Transcriptie

1 Hoofstuk - Vetoren Blaije a Driehoek EHA is een rehthoekige riehoek. Hoekpunt D De punten B, F en G ehoren ook tot vlak EHA. Een rehthoek. e De hoekpunten A, B, F en E ehoren tot het vlak DCGH. f Hoekpunt E. g De punten E, R en F liggen op één rehte lijn. h Nee, het punt H ligt niet in riehoek ABG. Ja, omat e lijnen AB en GH evenwijig ijn, is er een vlak mogelijk oor ee lijnen. Bovenien ligt het punt H in het vlak ABGH at wort epaal oor e punten A, B en G. Een vlak wort vastgeleg oor rie vershillene punten ie niet op één lijn liggen. Als e rie punten op één lijn liggen kan het vlak nog raaien om e lijn ie oor ie rie punten gaat, us het vlak is niet altij volleig epaal. a Om e veriningslijn tussen e punten B en C raaien e vlakken BCGF, BCHE en BCDA. Ja, e lijnen AB en GH ijn evenwijig, us er is een vlak mogelijk waar ee lijnen in liggen, namelijk vlak ABGH. H G E F D A C B e f g De punten A, C en E liggen niet op één lijn, us er is één vlak mogelijk namelijk vlak ACGE. De lijnen AH en GH ijn twee snijene lijnen, us er is een vlak vastgeleg namelijk vlak ABGH. Hoekpunt B ehoort ook tot it vlak. De punten B, D en F liggen niet op één lijn, us er is een vlak vastgeleg namelijk vlak BDFH. Hoekpunt H ehoort ook tot it vlak. Een vlak is vastgeleg oor twee snijene lijnen AG en EC. De lijnen AC en EG ijn evenwijig, us er is één vlak mogelijk waar ee eie lijnen in liggen namelijk vlak ACGE. Omat e lijnen AB en CH geen evenwijige of snijene lijnen ijn, is er geen vlak mogelijk waar ee lijnen alleei in liggen. Moerne wiskune 9e eitie Havo D eel Noorhoff Uitgevers v

2 Hoofstuk - Vetoren Blaije a Bijvooreel e punten E, F en G ijn punten ie niet op één lijn liggen en epalen aarmee het oven vlak EFG. Of ijvooreel e punten B, C en H ijn punten ie niet op één lijn liggen en epalen aarmee vlak BCH. Bijvooreel punt H ligt niet op e lijn EF, us punt H en e lijn EF epalen aarmee het ovenvlak EFG. Of ijvooreel punt B ligt niet op e lijn EG, us punt B en e lijn EG epalen aarmee vlak BEG. Bijvooreel e lijnen AC en BD snijen elkaar en epalen het gronvlak ABCD. Of ijvooreel e lijnen AC en CG snijen elkaar in punt C en epalen aarmee vlak ACG. De lijnen kunnen elkaar ook uiten e figuur snijen; o ijn EF en HI snijene lijnen en leggen het ovenvlak van het vijfijig prisma vast. Bijvooreel e lijnen AE en BF ijn evenwijige lijnen en epalen aarmee ijvlak ABFE. Of ijvooreel e lijnen AC en EG ijn evenwijige lijnen en epalen aarmee vlak ACGE. a Ja, omat e lijnen AC en EJ evenwijig ijn, estaat er een vlak oor e punten A, C, E en J. Nee, omat e lijnen BI en EJ niet evenwijig ijn en elkaar niet snijen, is er geen vlak mogelijk oor ee lijnen. Het punt B ligt niet in het vlak oor e punten E, J en I. Nee, omat e lijnen BF en CL niet evenwijig ijn en elkaar niet snijen, is er geen vlak mogelijk oor ee lijnen. Het punt L ligt us niet in vlak BCF. Ja, omat e lijnen BL en CE elkaar snijen, is er een vlak mogelijk oor ee lijnen. Bovenien ijn e lijnen BC en EL evenwijig, us estaat er een vlak oor e punten B, C, E en L. e De lijnen in vlak BCJG ie evenwijig ijn aan lijn FK moeten liggen in e vlakken ie woren verkregen oor te raaien om e veriningslijn tussen e punten F en K. BC en GJ liggen in vlak BCJG en ijn evenwijig aan lijn FK. Anere lijnen evenwijig aan lijn BC in vlak BCJG voloen natuurlijk ook. Blaije a Omat e lijnen RS, PQ, MN en KL in vershillene horiontale vlakken liggen kunnen e elkaar niet snijen en kunnen twee lijnen alleen maar evenwijig ijn wanneer e in hetelfe ( natuurlijk niet horiontale ) vlak liggen. De lijnen MN en KL ijn evenwijig aan elkaar. Tweetallen lijnen ie niet in één vlak liggen ijn niet evenwijig en snijen elkaar ook niet. Alle mogelijkheen ijn RS en PQ; RS en MN; RS en KL; PQ en MN en PQ en KL. Moerne wiskune 9e eitie Havo D eel Noorhoff Uitgevers v

3 Hoofstuk - Vetoren 7a H G E F P D C A B Lijn CP ligt in e vlakken ACGE, BCP, DCP, FCP en HCP. Alle lijnen in ee vlakken ie niet evenwijig ijn aan lijn CP snijen ee lijn. Mogelijkheen ijn ijvooreel AC, AE, EG, GA, CG, EC, BC, BP, DC, DP, FP, FC, HP en HC. Omat ijvooreel punt H niet ligt in het vlak ACGE waar e lijn CP in ligt, heen e lijnen HE, HG en HA geen snijpunt gemeen met e lijn CP en ijn ook niet evenwijig aan ee lijn. Omat ijvooreel punt F niet ligt in het vlak BCP waar e lijn CP in ligt, heeft e lijn BF geen snijpunt gemeen met e lijn CP en is ook niet evenwijig aan ee lijn. De lijnstukken AE en CG ijn opstaane rien van e kuus, us ijn e lijnen AE en CG evenwijig. Er is us een vlak mogelijk oor AE en CG, namelijk vlak ACGE. Omat e lijnen AG en CP alleei in vlak ACGE liggen en niet evenwijig ijn, moeten e elkaar wel snijen. Het punt P ligt niet in het vlak BCHE at wort epaal oor e punten B, C en H. De punten P, B, C en H liggen niet in één vlak, us er is geen vlak mogelijk oor e lijnen CP en HB. Dee lijnen kunnen us niet evenwijig ijn of een snijpunt heen. a De lijnen BC en ED liggen alleei in het gronvlak ABCDE en ijn niet evenwijig, us moeten ee lijnen elkaar snijen. Het punt T ligt niet in het vlak ABCDE at wort epaal oor e punten B, C en D. De punten T, B, C en D liggen niet in één vlak, us er is geen vlak mogelijk oor e lijnen TB en CD. Dee lijnen kunnen us niet evenwijig ijn of een snijpunt heen. Het punt T ligt niet in het vlak ABCDE at wort epaal oor e punten B, D en E. De punten T, B, D en E liggen niet in één vlak, us er is geen vlak mogelijk oor e lijnen TB en DE. Dee lijnen kunnen us niet evenwijig ijn of een snijpunt heen. In werkelijkhei heen TB en DE geen snijpunt. Moerne wiskune 9e eitie Havo D eel Noorhoff Uitgevers v

4 Hoofstuk - Vetoren Blaije 9a Het punt N ligt niet in het vlak BCT at wort epaal oor e punten B, C en T. De punten N, B, C en T liggen niet in één vlak, us er is geen vlak mogelijk oor e lijnen BC en TN. De lijnen BC en TN kunnen us niet evenwijig ijn of elkaar snijen, maar moeten elkaar kruisen. Omat e lijnen BN en AC alleei in het gronvlak ABCD liggen en niet evenwijig ijn, moeten e elkaar wel snijen. Omat e lijnen BT en CM alleei in het ijvlak BCT liggen en niet evenwijig ijn, moeten e elkaar wel snijen. Omat het punt N ihter ij B ligt an ij D ligt het punt niet op lijn AC. Het punt N ligt niet in het vlak ACT. De punten N, A, C en T liggen niet in één vlak, us er is geen vlak mogelijk oor e lijnen AT en CN. De lijnen AT en CN kunnen us niet evenwijig ijn of elkaar snijen, maar moeten elkaar kruisen. e Omat e lijnen CN en AD alleei in het gronvlak ABCD liggen en niet evenwijig ijn, moeten e elkaar wel snijen. f Het punt M ligt niet in het vlak BDT. De punten M, B, D en T liggen niet in één vlak, us er is geen vlak mogelijk oor e lijnen BM en DT. De lijnen BM en DT kunnen us niet evenwijig ijn of elkaar snijen, maar moeten elkaar kruisen. a Het punt P ligt niet in het vlak ADHE at wort epaal oor e punten A, D en H. De punten P, A, D en H liggen niet in één vlak, us er is geen vlak mogelijk oor e lijnen AP en DH. De lijnen AP en DH kunnen us niet evenwijig ijn of elkaar snijen, maar moeten elkaar kruisen. Het punt P ligt niet in het vlak DBFH. De punten P, D, B en F liggen niet in één vlak, us er is geen vlak mogelijk oor e lijnen PF en DB. De lijnen PF en DB kunnen us niet evenwijig ijn of elkaar snijen, maar moeten elkaar kruisen. De lijnen QP en DC snijen elkaar in punt S. DSQ HPQ ( ijn F-hoeken) BD BQ ( ) +, SC Dus riehoek SCR is gelijkvormig met riehoek RSP. PR HQ, us PR DS DR + RS DS + ADR is een rehthoekige riehoek. De rehthoeksijen AD en DR AR + e ARP is een rehthoekige riehoek. De rehthoeksijen AR en PR AP ( ) + Moerne wiskune 9e eitie Havo D eel Noorhoff Uitgevers v 7

5 Hoofstuk - Vetoren a De lijnen AD en EH ijn rien en liggen in het ijvlak ADHE. Lijnstukken AD en EH ijn evenwijig. Punt P ligt op e verlenge van lijnstuk AD en punt Q op e verlenge van DH. Omat e lijnstukken PQ en EH alleei in het ijvlak liggen en niet evenwijig ijn, moeten e elkaar wel snijen. Het punt R ligt niet in het vlak PHG. De punten P, H, G en R liggen niet in één vlak, us er is geen vlak mogelijk oor e lijnen HG en PR. De lijnen HG en PR kunnen us niet evenwijig ijn of elkaar snijen, maar moeten elkaar kruisen. Omat e lijnen PC en EG niet evenwijig ijn en elkaar niet snijen, is er geen vlak mogelijk oor ee lijnen. Het punt G ligt us niet in vlak PCE. DAB is een rehthoekige riehoek. De rehthoeksijen ijn AD en AB BD + BDQ is een rehthoekige riehoek. De rehthoeksijen DQ en BD BQ ( ) +, e Punt Q ligt op e verlenge van rie DH, us ligt Q in het ijvlak ADHE. Punt M ligt in het mien van hetelfe ijvlak op rie DH. De lijnen AM en EQ ijn evenwijig in het ijvlak, us estaat er een vlak oor e punten A, M, Q en E. f Omat e lijnen PQ en SR evenwijig ijn, gelt at e riehoeken PDQ en SCR van e ijvlakken gelijkvormig ijn. PDQ PD DQ PQ SCR SC? CR SR SC a Q Q R S P R S kruisen P evenwijig De lijnen PQ en RS kunnen in situatie elkaar kruisen wanneer ijvooreel Q, R en S in het ovenvlak liggen en P in het onervlak of e lijnen PQ en RS ijn evenwijig wanneer ijvooreel alle punten in het ovenvlak liggen. De lijnen PQ en RS kunnen in situatie elkaar kruisen wanneer ijvooreel Q, R en S in het ovenvlak liggen en P in het onervlak of e lijnen PQ en RS kunnen elkaar snijen wanneer ijvooreel alle punten in het ovenvlak liggen. De lijnen PQ en RS kunnen in situatie elkaar snijen wanneer ijvooreel P en S in het voorvlak liggen en Q en R in het ahtervlak of e lijnen PQ en RS ijn evenwijig wanneer ijvooreel P en Q in het voorvlak liggen en R en S in het ahtervlak. Moerne wiskune 9e eitie Havo D eel Noorhoff Uitgevers v

6 Hoofstuk - Vetoren R Q R Q S P S kruisen P snijen Q S S Q R R snijen P P evenwijig Blaije a De snelhei van het vliegtuig t.o.v. e gron is km/u De snelhei van het vliegtuig t.o.v. e gron is + km/u a T m/s B m/s Na één seone is e oot in punt B. In punt X al Tim e overkant ereiken. De gemiele snelhei is e afgelege weg in werkelijkhei geeel oor e tij ie hij over e oversteek oet. is e somvetor van e snelheen. Per seone rijft e oot één meter naar het nooren. Per seone vaart Tim rie meter naar het oosten. Tim legt in werkelijkhei OQ ( + ) + ( ), 7 km af in één seone. Moerne wiskune 9e eitie Havo D eel Noorhoff Uitgevers v 9

7 Hoofstuk - Vetoren tan T AB TA tan T T tan ( ) T Blaije 7 a, Noor P Q West O Oost Zui De koershoek in noorwestelijk rihting is. sin PK PK sin De oörinaten van P(, ). Q ligt oostelijker us Q( +, ) tanα α De koershoek wort altij met e wijers van e klok meegenomen. De koershoek is us OQ ( + ) + ( ), 7 km 7 v u v u u v v u Moerne wiskune 9e eitie Havo D eel Noorhoff Uitgevers v

8 Hoofstuk - Vetoren a R α 9 De wemmer moet ih ij e start rihten op punt R. Er gelt tan α α 9 De hoek tussen e wemrihting en e stroomrihting is an a l m F F G F De somvetor is het tegengestele van F en orgt er voor at G niet meer eweegt. Dus F + F + F. Blaije a 7 9 B A A C AB DC, want eie vetoren heen eelfe rihting, namelijk es naar rehts en rie omlaag, en eelfe grootte. Nee, want eie vetoren heen een vershillene rihting, e ijn wel even lang. De vetor AC kun je shrijven als 7. Vanuit punt A moet je vier naar rehts en even omlaag om ij punt C te komen. Omat BP AC gelt us at P(7 +, 7 ) (, ). e De vetor DC kun je eshrijven als. Omat BQ DC gelt us at Q(7 +, ) (9, 7). f OR + 7, us e oörinaten van punt R ijn (, ). Moerne wiskune 9e eitie Havo D eel Noorhoff Uitgevers v

9 Hoofstuk - Vetoren a a+ + a a 7 ( ) + a + a+ + 7 a ( ) + ( ) a 7 ( ) + ( ) a 7 K KL L OK O 7 9 KL OL OK OB OA AB AB OB OA e BA Blaije 9 a AB BC CD Moerne wiskune 9e eitie Havo D eel Noorhoff Uitgevers v

10 Hoofstuk - Vetoren AD AB + 7 BC + 7 CD ( ) + ( ) 7 AD + 7 Vierhoek ABCD is een ruit. a 7 V W w v w r v r s v s t v t De vetor v is even lang en heeft een tegengestele rihting aan e vetor v. p v p q v q r v r a e Als twee vetoren a en v a looreht op elkaar staan an gelt a + a us is a a a a Stel a a ; a a a a ; a a ; a De vetoren, en staan looreht op v. Moerne wiskune 9e eitie Havo D eel Noorhoff Uitgevers v

11 Hoofstuk - Vetoren p a p a a AQ q q Voor e lengte van e vetor AQ gelt: AQ ( p a) + q p a p a AP q q Voor e lengte van e vetor AP gelt: AP ( pa ) + ( q ) AQ AP ( pa) + ( q ) ( pa) + ( q) ( pa) + ( q ) ( pa) + ( q) ( pa) + ( q ) ( pa) + ( q) p + ap+ a + q + q+ p ap+ a + q q+ ap + q ap q ap + q ap + q ( ) a PR 7 QS 9 De vetoren PR en QS staan looreht op elkaar, want + +. PQ QR SR PS Vierhoek PQRS heeft e vorm van een vlieger. Blaije 7a Den Oever Boei Meemlik Hoorn Stavoren Urk O Moerne wiskune 9e eitie Havo D eel Noorhoff Uitgevers v

12 Hoofstuk - Vetoren Het jaht kan volgens rehte lijnen varen, us wort e Afsluitijk in het punt (, ) om. uur ereikt. Zie e figuur ij a. Om a.. uur was e afstan van het jaht tot Den Oever het kleinst. e Het jaht ereikt het punt (77, ) niet, want en it is geen veelvou van rie. a Van Meemlik naar e oei verplaatst e oot ih van punt (, ) naar (, ), us e snelheisvetor is. De oörinaten na twee uur: + +, us (, ) klopt De oörinaten na rie uur: , us (, 9) klopt t is in uren uitgerukt, us uur en minuten is,7 uur ,,, De positie van het ship na uur en minuten is (,7;,). Blaije 9a Voor m gelt: +, us (, ) hoort ij m. Voor m gelt: +, us (, ) hoort ij m. Voor m gelt:, us (, ) hoort ij m. Voor m gelt: +, us (, ) hoort ij m. Invullen van het punt (, ) in e vetorvoorstelling van e lijn geeft: + m m + of m+. Dus m. Invullen van het punt (, ) in e vetorvoorstelling van e lijn geeft: + m m + of m + us m of m Het punt ligt niet op e lijn. Invullen van het punt (, ) in e vetorvoorstelling van e lijn geeft: + m m + of + m + m en m geeft: + a OP of OQ PQ + of + Moerne wiskune 9e eitie Havo D eel Noorhoff Uitgevers v

13 Hoofstuk - Vetoren a De rihtingsvetor 9 is eelaar oor rie, us e vetorvoorstelling van e lijn wort + + of + γ a + α 9 7 β + γ 7 + m Een vetorvoorstelling van e lijn oor e punten A(, ) en B(7, ) is: + en punt C(, ) ligt op e lijn oor e punten A en B. Sustitueer punt C in e vetorvoorstelling geeft: + + of +, us punt C ligt op e lijn AB. a, a a O O Blaije a Vanuit e oorsprong O kom je in A oor vijf langs e -as te nemen, us A(,, ). Vanuit e oorsprong O kom je in E oor vijf langs e -as te nemen en rie omhoog evenwijig aan e -as, us E(,, ). Vanuit e oorsprong O kom je in C oor es langs e -as te nemen, us C(,, ). Moerne wiskune 9e eitie Havo D eel Noorhoff Uitgevers v

14 Hoofstuk - Vetoren + Voor het mien van lijnstuk BF gelt: m BF + + De oörinaten van het mien van BF ijn (,, ). OP OD + DG + us P(,, ). a Omat het punt R looreht oner punt P ligt, veranert alleen e -oörinaat van punt P. R ligt op e rie OC, us e oörinaten van R ijn (,, ). Omat het punt S reht tegenover punt R ligt, veranert alleen e -oörinaat van punt R. Punt S ligt op e rie AB, us S(,, ). De punten P en E heen oörinaten (,, ) en (,, ). PE q q PQ q q q q us Q(,, ). 7a De punten F en M heen e oörinaten (,, ) en (,, ). De kentallen van e vetor FM ijn FM Van MNF weet je MN Van PQB weet je PQ Van QAB weet je AQ en AB Voor QAB gelt:, en. ( ) + ( ) + ( ) + +, QB Voor PQB gelt:, en ( ) + ( ) + ( ) ( ) + ( ) +, BP NF QB, FM BP, De afstan tussen e punten F(,, ) en M(,, ) is an gelijk aan FM ( ) + ( ) +, Blaije a De afstan tussen e punten O(,, ) en S(,, ) is an gelijk aan OS + + Moerne wiskune 9e eitie Havo D eel Noorhoff Uitgevers v 7

15 Hoofstuk - Vetoren De afstan tussen e punten O(,, ) en P(,, ) is an gelijk aan OP + + De afstan tussen e punten O(,, ) en F(,, ) is an gelijk aan OF De afstan tussen e punten D(,, ) en B(,, ) is an gelijk aan DB + + ( ) 7 De afstan tussen e punten A(,, ) en P(,, ) is an gelijk aan AP ( ) + + De afstan tussen e punten S(,, ) en P(,, ) is an gelijk aan SP ( ) + + De afstan tussen e punten F(,, ) en R(,, ) is an gelijk aan FR ( ) + ( ) + ( ) 9a T M N D C A B De oörinaten van C(,, ) en D(,, ) M ligt in het mien van D(,, ) en T(,, ), us OM ( OD + OT ) + De oörinaten van M(,, ) Moerne wiskune 9e eitie Havo D eel Noorhoff Uitgevers v

16 N ligt in het mien van C en T, us ON OC OT + ( ) + Dus is N (,, ). De afstan tussen e punten A(,, ) en B(,, ) is an gelijk aan AB + + 7, Rien BC, CD en AD heen eelfe lengte als AB want ABCD is een vierkant. De afstan tussen e punten A en T is an gelijk aan Rien BT, CT en DT heen eelfe lengte als AT, want piramie T.ABCD is een regelmatige piramie. De afstan tussen e punten A(,, ) en M(,, ) is an gelijk aan AM + ( ) + 9, De afstan tussen e punten A en N is an gelijk aan AN ( ) + +, De afstan tussen e punten M en N is an gelijk aan MN ( ) + +, a Het punt P ligt niet in het vlak OEFC. De punten O, F, E en P liggen niet in één vlak, us er is geen vlak mogelijk oor e lijnen OF en EP. Dee lijnen kunnen us niet evenwijig ijn of elkaar snijen en moeten elkaar kruisen. De oörinaten van e hoekpunten en van punt P ijn: O(,, ); A(,, ); B(,, ); C(,, ); E(,, ); F(,, ); G(,, ); D(,, ) en P(,, ). De steunvetor is en e rihtingsvetor van OF. De rihtingsvetor is eelaar oor es, us e vetorvoorstelling van een lijn oor e punten O en F wort. De steunvetor is en e rihtingsvetor van EP. De rihtingsvetor is eelaar oor rie, us e vetorvoorstelling van een lijn oor e punten E en P wort +. Hoofstuk - Vetoren 9 Moerne wiskune 9e eitie Havo D eel Noorhoff Uitgevers v

17 e Rihtingsvetor EP en steunvetor is. Een lijn oor het punt C evenwijig aan e lijn EP heeft rihtingsvetor EP. Dus wort e vetorvoorstelling +. f De lijn EP snijen met het vlak ABC ( met vergelijking ): Invullen van (,, ) in e vetorvoorstelling geeft: + + us e oörinaten van het snijpunt ijn (,, ). a Als gelt: +, us e oörinaten ijn (,, ). Als gelt: +, us e oörinaten ijn,, ( ). Als gelt: +, us e oörinaten ijn (,, ). Als gelt: +, us e oörinaten ijn (,, ). Invullen van (,, ) in e lijn l met vetorvoorstelling + geeft: + + Invullen van het punt (,, ) in e lijn l met vetorvoorstelling + geeft: + +, is vershillen us het punt ligt niet op e lijn l. Invullen van (, 7, 9) in e vetorvoorstelling geeft: , is vershillen us het punt ligt niet op e lijn l. Ja, e rihtingsvetor is een veelvou van. e Nee, e steunvetoren ijn vershillen maar e rihtingsvetoren ijn hetelfe, us eie lijnen lopen evenwijig met elkaar. Hoofstuk - Vetoren Moerne wiskune 9e eitie Havo D eel Noorhoff Uitgevers v

18 Hoofstuk - Vetoren Blaije a F M L E N K A B e f Lijn DC is evenwijig aan AB en omat e twee rehthoekige lokken looreht op elkaar staan ijn ook e lijnen LE en QH evenwijig aan AB. Ja, omat e lijnen AB en EF alleei in het gronvlak liggen en niet evenwijig ijn, heen ee twee lijnen een snijpunt. Het vertiale vlak oor EH en punt K wort tevens vastgeleg oor EH en e lijn oor punt K evenwijig aan lijn EH. Het is uielijk at punt N ahter it vlak ligt en us niet in het vlak. Het punt N ligt niet in het vlak KEH. De punten K, E, H en N liggen niet in één vlak, us er is geen vlak mogelijk oor e lijnen KN en EH. De lijnen KN en EH kunnen us niet evenwijig ijn of elkaar snijen maar moeten elkaar kruisen. De lijnen KL en NM ijn evenwijig en leggen het vlak KLMN vast. Omat e lijnen KN en LM alleei in het vlak KLMN liggen en niet evenwijig ijn, heen ee twee lijnen een snijpunt. a De lijnen AK en CL snijen elkaar als A, K, C en L in één vlak liggen. Wanneer AC en KL evenwijige lijnen ijn liggen A, K, C en L in één vlak. L moet us op lijnstuk GH liggen, oanig at KL evenwijig is met AC. Dit geeurt inien L het mien is van lijnstuk GH. Omat e lijnen FJ en BC alleei in het rehterijvlak liggen en niet evenwijig ijn, heen ee twee lijnen een snijpunt. FI en AB: Het punt I ligt niet in het voorvlak ABFE at wort epaal oor e punten A, B en F. De punten F, I, A en B liggen niet in één vlak, us er is geen vlak mogelijk oor e lijnen FI en AB. De lijnen FI en AB kunnen us niet evenwijig ijn of elkaar snijen maar moeten elkaar kruisen. BK en CH: BC en HE ijn evenwijige lijnen, us liggen B, C, H en E in één vlak BCHE. Omat e lijnen BK en CH alleei in het vlak BCHE liggen en niet evenwijig ijn, heen ee twee lijnen een snijpunt. HI en GJ: De lijnen HI en GJ ijn evenwijig en leggen het vlak GHIJ vast. GK en BH: Het punt B ligt niet in het vlak FGHE at wort epaal oor e punten G, H en K. Moerne wiskune 9e eitie Havo D eel Noorhoff Uitgevers v

19 Hoofstuk - Vetoren De punten G, K, H en B liggen niet in één vlak, us er is geen vlak mogelijk oor e lijnen GK en BH. De lijnen GK en BH kunnen us niet evenwijig ijn of elkaar snijen maar moeten elkaar kruisen. a F F osα F os, 9N n n BF Nee, het lok gaat niet shuiven want e kraht langs e helling is kleiner an e maimale wrijvingskraht van N. a a a 9 a en heen eelfe rihting. p en a v en w 7 Omat + +, staan p en a looreht op elkaar. Dan +, us v en w staan niet looreht op elkaar. w v, is vershillen us v en w heen niet eelfe rihting. w v, is vershillen us v en w heen geen tegengestele rihting. onlusie: geen van rieën. e 7 en omat 7 en f staan niet looreht op elkaar. f e mag van alles ijn en 7 7 7, e en f heen niet eelfe rihting, us e ijn tegengestel. f e us mag van alles ijn en 7, e en f heen niet eelfe rihting, us e ijn tegengestel. Moerne wiskune 9e eitie Havo D eel Noorhoff Uitgevers v

20 Hoofstuk - Vetoren Blaije a De steunvetor is en e rihtingsvetor van AB. De rihtingsvetor is eelaar oor vier, us e vetorvoorstelling van e lijn AB wort: +. Invullen het punt (, ) in e lijn AB met e vetorvoorstelling + +, us punt C ligt op e lijn AB. DA AB en anis +, us lijn DA staat niet looreht op e lijn AB. DQ q q + DA + ( q+ ) + q+ q+ q q 7a Bijvooreel punt Q ligt niet op e lijn BC, us punt Q en e lijn BC epalen aarmee het vlak BCQ. Het punt P ligt niet in het vlak BCQ. Het punt P ligt niet in het vlak AOT. Dus er is geen vlak mogelijk oor e lijnen AP en OT. De lijnen AP en OT kunnen elkaar niet snijen, maar moeten elkaar kruisen. OA + +, us OA AB + +, ; us AB, BC ( ) + ( ) +, ; us BC, OC + +, us OC OT + +, us OT AT + + 9, ; us AT 9, Moerne wiskune 9e eitie Havo D eel Noorhoff Uitgevers v

21 BT ( ) + ( ) + 7, ; us BT 7, CT + ( ) + 9, ; us CT 9, De steunvetor is en e rihtingsvetor van AP, e rihtingsvetor is eelaar oor twee, us e vetorvoorstelling van e lijn AP wort: +. De steunvetor is en e rihtingsvetor van CQ, e rihtingsvetor is eelaar oor twee, us e vetorvoorstelling van e lijn CQ wort: + m. e Als e rihtingsvetoren van lijnstuk AP en CQ looreht op elkaar staan, an moet gelen: + + Dus AP en CQ staan looreht op elkaar. a Het punt F ligt niet in het vlak EBCD. De punten F, E, B en C liggen niet in één vlak, us er is geen vlak mogelijk oor e lijnen EB en CF. Dee lijnen kunnen us elkaar niet snijen, maar moeten elkaar kruisen. Het vlak PQRS is evenwijig aan het gronvlak OABC. De lijnen PQ en QS liggen in één vlak, us ullen elkaar snijen. De steunvetor is en e rihtingsvetor vancf, e rihtingsvetor is eelaar oor es, us e vetorvoorstelling van e lijn CF wort: +. Invullen het punt (,, ) in e vetorvoorstelling van e lijn CF geeft: maar.. e tweee vergelijking klopt an niet, us het punt ligt niet op e lijn CF. Hoofstuk - Vetoren Moerne wiskune 9e eitie Havo D eel Noorhoff Uitgevers v

22 De kentallen van e vetorenop ;OQ ; OR en OS Afstan tussen P en Q: PQ + +, Afstan tussen P en R: PR ( ) + +, e Uit AP : PD : volgt AP AD. De vetor AD kun je vinen met De vetor AP hieruit volgt at AP p p p p p p De oörinaten van punt P(,, ). Uit BQ : QE : volgt BQ BE. De vetor BE kun je vinen met Omat BQ BE gelt: BQ hieruit volgt at BQ q q q q q q Dus is Q(,, ) Uit CR : RF : volgt CR CF De vetor CF is an Omat CR CF gelt: CR hieruit volgt at CR r r r r r r. Hoofstuk - Vetoren Moerne wiskune 9e eitie Havo D eel Noorhoff Uitgevers v

23 De oörinaten van punt R(,, ) Uit OS : SG : volgt OS OG Dus is OG Omat OS OG gelt: OS hieruit volgt at OS s s s s s s Dus is S(,, ) f De rihtingsvetoren van PR en QS ijn: PR en QS Als twee vetoren looreht op elkaar staan, an moet gelen: + + en it klopt. De lijnen PR en QS staan looreht op elkaar. Blaije T- a Wanneer je een lijn oor A trekt evenwijig aan lijn CN vin je at ehalve A, C en N ook e punten S en W in vlak ACN liggen. Omat e lijnen SW en DP evenwijig ijn, is er een vlak mogelijk oor ee lijnen. D, R en P liggen in vlak DPRH. A ligt niet in it vlak, us kruisen e lijnen AR en DP elkaar en estaat er geen vlak waar ee lijnen eie in liggen. CV gaat oor het mien van MN. N ligt us niet in vlak ACV, us kan e lijn SN niet in vlak ACV liggen. De lijn SN is evenwijig met vlak ACV. T-a Het punt T ligt niet in het vlak ABCD. De punten T, A, B en C liggen niet in één vlak, us er is geen vlak mogelijk oor e lijnen AC en BT. Dee lijnen kunnen us elkaar niet snijen, maar moeten elkaar kruisen. De punten A, B, C en D liggen in één horiontaal vlak. De lijnen AC en BD liggen in één vlak, us ullen elkaar snijen. De lijnen DB en US liggen in vershillene horiontale vlakken. De lijn DB ligt in het vlak ABCD en e lijn US in het vlak RSTU. De vlakken ABCD en RSTU ijn evenwijig, us e lijnen DB en US ijn ook evenwijig. Wanneer je in e rihting van AC kijkt woren A en C op hetelfe punt afgeeel. Eveno e punten op e lijnen (stangen) A en C. Hoofstuk - Vetoren Moerne wiskune 9e eitie Havo D eel Noorhoff Uitgevers v

24 Hoofstuk - Vetoren T- a + a a Blaije 9 T- a v+ w v w v + ( ) ; w v ( ) 7 w v Omat 7+ gelt: e vetoren staan niet looreht op elkaar. T-a De steunvetor is en e rihtingsvetor KL De rihtingsvetor is eelaar oor vier, us e vetorvoorstelling van e lijn KL wort: +. Kies een punt op e lijn KL. Invullen het punt (, ) in e vetorvoorstelling geeft: + + ν ν ν + ν Ja, het is ook een vetorvoorstelling van e lijn KL. Invullen van het punt (, ) in e vetorvoorstelling geeft: + +, us het punt ligt op e lijn KL. + Invullen van het punt (7, p) in e vetorvoorstelling geeft: 7 7 p + + p + p T- a D(,, ); A(,, ); B(,, ); C (,, ); H (,, ); E (,, ); F,, G(,, ). Moerne wiskune 9e eitie Havo D eel Noorhoff Uitgevers v ( ) en 7

25 K,, ( ); L,, ( ) en M,, ( ). Afstan tussen M en G gelt: MG + + 7, De steunvetor is en e rihtingsvetor KL De vetorvoorstelling van e lijn KL wort: + e Invullen het punt (, 7, ) in e vetorvoorstelling geeft: is vershillen us ligt het punt (, 7, ) niet op e lijn KL. T-7a M en L liggen in hetelfe ijvlak evenals M en K, us e lijn ML en MK kun je iret tekenen. Omat ADHE en BCGF evenwijige vlakken ijn, kun je ook een lijn oor L tekenen evenwijig aan MK. Dee snijt rie CG in N. De oorsnee is MLNK. Het punt G ligt niet in het vlak MLNK. De punten G, K, M en L liggen niet in één vlak, us er is geen vlak mogelijk oor e lijnen KM en GL. De steunvetor is en e rihtingsvetor CE De rihtingsvetor is eelaar oor es, us e vetorvoorstelling van e lijn CE wort: +. Het punt M ligt niet in het vlak ABGH. De punten M, B, G en H liggen niet in één vlak, us er is geen vlak mogelijk oor e lijnen HB en MG. De lijnen kunnen us elkaar niet snijen, maar moeten elkaar kruisen. De steunvetor is en e rihtingsvetor BF. De rihtingsvetor is eelaar oor es, us e vetorvoorstelling van e lijn BF wort: + e Een vetorvoorstelling van e lijn CE is + Hoofstuk - Vetoren Moerne wiskune 9e eitie Havo D eel Noorhoff Uitgevers v

26 Invullen het punt P, het mien van KL, us (,, ) in e vetorvoorstelling geeft: + is vershillen us het punt ligt niet op e lijn CE. f PG ( ) + +( ) 9,, PB ( ) + + ( ),, De afstan tussen P en G is kleiner an e afstan tussen P en B. Dus P ligt ihter ij G. T- Nee, want een vetorvoorstelling van een lijn is v s r +. Hierij horen ook e vertiale lijnen want voor een vertiale lijn ij een vetorvoorstelling gelt: v s r + met r r. Hoofstuk - Vetoren 9 Moerne wiskune 9e eitie Havo D eel Noorhoff Uitgevers v