tfstituut VOOR CULTUURTECHNIEK EN WATERHUISHOUDING NN Notano. 7&i. 21 maart 1961 Onderzoek naar de formule voor de pf-curve ir. W.C.

Transcriptie

1 tfsttuut VR CULTUURTECHNEK EN WATERHUSHUDNG NN Ntan. 7&i. 21 maart 1961 BBLTHEEK STARÎNGGEBUW nderzek naar de frmule vr de pf-curve ir. W.C. Visser BBLTHEEK DE HAAÏ7 Drevendaalsesteeg 5a 6708 PBWageningen Het tt dusverre uitgeverde nderzek wees uit, dat in een N-nmgram met lg v (v = vchtgehalte) en lg (1-v) (1-v = luchtgehalte) langs de evenwijdige assen een redelijke beschrijving van de pf-curve gegeven kan wrden. p de schuine as met dan een lineaire schaal vr de pf wrden uitgezet met een bij de pf-curve behrende schaaleenheid en een juist beginpunt. Verdere berekeningen wezen uit, dat een crrectie aan de begin- en eindwaarden van de vcht schaal een mgelijkheid bieden m hft N-nmgram m te vrmen tt een nmgram met drie evenwijdige assen. Deze crrecties kunnen wrden pgevat als een bepalingsfut van het vendrge- en het geheel verzadigde gewicht. k kan men zich afvragen f er een zeker priënvlume is - wrtel- f wrmgangen - dat bestaat als gevlg van een andere rzaak dan de bdemkundige eigenschappen van krrelgrtteverdeling en vchtaantrekking van het grndmateriaal, dat de vrm van de pf-curve grtendeels bepaalt. Het type van de frmule Het nmgram met drie evenwijdige lijnen, zie figé 1, geeft de vlgende nderlinge samenhang weer: a + b _ s - t + a' _ t 4 b - s +$& p + q ~ q ~ p Nu stelt men de afstand p+q tussen de assen gelijk aan 1. Nu vlgt uit de vrgaande frmule: V. v> l< LANDBUWCATALQUS t 1 FEB

2 2 - q(a+b) - a = s - t p(a'+b) - b' = t - s (q-l)a + qb = s - t pa + (p- l)b' = t - s qb - (l-q)a = s - t (l-p)b + pa = t - s ' 9-V Vervangt men nu a dr lg-jj en b dr lg -=-, stelt men de waarde van de pf ter plaatse van het punt p de nul-as van het nmgram, gelijk a en ter plaatse van het punt s gelijk aan de bij vchtgehalte v behrende pf, en stelt men de schaaleenheid p de pf-schaal gelijk b, dan ntstaat de frmule a- Â^t'- r P Vereenvudiging is mgelijk als vlgt: -P /-/»/" f p. Het bepalen van de cnstanten De frmule vr de pf-curve werd nu Vr P en v zijn waarden bekend. aar er kan een systematische fut aanwezig zijn in het drg gewicht dat p elke v inwerkt, en in het gewicht bij verzadiging, dat p de P inwerkt. Vervangt men v dr v+z^v en P dr P+AP, dan zijn &v en AP nbekenden, die met de nbekende p als prduct vrkmen. m tt een plssing te kmen, met vr p een waarde als benadering wrden geschat en als crrectie p p+ ù p de nbekende A p wrden bepaald. De vrtplanting van de fut vindt men als vlgt:

3 3 - ^Ï+VTW ftt../ f^k<.. 'p'-(t + rjt"-^a wl/a? De frmule wrdt nu: De wijze waarp de vergelijking vr de berekening van de cnstanten wrdt geschreven, hangt af van de waarde van p. s p klein, dan kan de frmule het beste dr 1-p gedeeld wrden en p/l-p als nieuwe cnstante m wrden ingeverd. s p daarentegen grt en 1-p klein, dan kan de frmule beter dr p wrden gedeeld en 1-p/p als nieuwe cnstante n wrden ingeverd. Vr p gelijk aan een tussengelegen waarde zijn dan beide schrijfwijzen bruikbaar. en vert nu de vlgende samenvattingen in, verdeeld in de schrijfwijze en. Â X 'é-y> K>..wv.ti.^.wrt.xfr t -4 f 3JT Ï.X, -Y, ^ 1 ' WL,"-4»HA'P.V r,^/h. f De frmule wrdt dan: {YY\ De nbekenden, die meten wrden berekend, zijn nuvf, y, TL, U en v. De termen tussen haken kunnen uit de analysecijfers wrden berekend, waarbij vr P en p een schatting met wrden gemaakt. De waarde van P zal vermedelijk wel met vrij grte nauwkeurigheid bekend zijn. Zijn er nvldende gegevens vr een directe berekening van het priënvlume uit drg gewicht, srtelijk gewicht en mnstervlume, dan kan men een bedrag, dat het vchtgehalte bij de laagste pf wat te bven gaat, nemen.

4 - 4 - De waarde van m = l/n zal vermedelijk veelal mstreeks 0.5 zijn VJ lichte grnden. Bij zware klei lijken hge waarden van m mgelijk en zal men beter met n kunnen werken. Lichte grnden met een m nageneg gelijk 0 zijn bij grafische analyse reeds aangetrffen. Schatting van de waarde van m Zdra een aantal curven drgerekend zijn, zal men de waarde van m wel aan de hand van de zwaarte van de grnd kunnen schatten. Vr niet te zware kleien zu men de berekening tweemaal kunnen uitveren met m = 1 en m = 0, waartussen de juiste waarde veelal zal liggen. Dit zu een indruk ver de snelheid van cnvergeren kunnen geven van de functie van m. De waarde van p f m kan k wrden afgeleid dr de ligging van het buigpunt bij de uit de hand getekende pf-curve te schatten. De waarde van p blijkt uit de tweede afgeleide L z r/dv ; 0 Hit de waarde vr d 2 F vlgt: dv 2 De waarde van p laat zich uit die van v berekenen f andersm: kf-i) T' Z-j: "^p,, 4 1 (?J. Dit levert de vlgende betrekking p tussen v/p bij het buigpunt en de waarde van p en m:

5 v/p = p = m = n v/p= p = m = n Vaak echter zullen de waarnemingen niet z nauwkeurig zijn, dat men het buigpunt ged kan vaststellen. Bvendien is een buigpunt p zichzelf geen erg nauwkeurig criterium als "meest rechte punt p een tch al vrijwel rechte lijn". Een andere schatting van m kan uit een plssing van m vlgen, waarbij de A v en A P even verwaarlsd wrden. De plssing lpt als vlgt:, 'm wi^g lic ^7 il '>» n AVU

6 - 6 - Uit drie waarnemingen, bij vrkeur z gekzen dat zij niet p een te rechtlijnig deel van de curve liggen, kan men de waarde van m berekenen. De waarde van p vlgt dan als m/m+1. 0e frmules geven aan, dat m en B niet afhankelijk zijn van de schaal, waarin v en P-v zijn uitgedrukt. De waarde van  is schaalafhankelijk. et deze schatting van A, B en m kan men nu een verdere schatting van A v en & (P-v) maken, znder te mvangrijke berekeningen te beheven te maken. en kan de z geden waarden vr A, B en m invullen in de frmule: V AV-^A(?..' V )^-S^.^lyi^C^) De schatting van de 5 nbekenden zu men nu als vlgt kunnen uitveren: De waarden van A, B en m berekent men vr de pf-waarden 1,5-2,7-4,2. Httz^ waarden substitueert men in het rechter lid van de juist genemde frmule, waarna de betrekking tussen &v en A(P-v) met de waarden vr pf 1.0 en 6.0 uitvert. De waarde vr pf 0.4 kan vreerst beter wrden uitgeslten, mdat hierin vermedelijk wat grte afwijkingen ptreden. De crrectie p ùv en A(P-V) zal meten wrden verdreven mdat een deel van die fut in de waarden vr pfl.5en4.2is pgenmen. en kan de tweede berekening daarm beter met wat te hge crrecties uitveren en achteraf nagaan naar welke waarde de uitkmsten cnvergeren.

7 7 - De pf, waarbij 50% vcht ptreedt Zijn de cnstanten bekend, dan kan men enkele eigenschappen van de pf-curve nagaan. Waar P-v s v, dus het 50% vchtgehalte ptreedt, geldt: i[-h&. Wil men een rdeel ver de drluchting uit de cnstanten van de pf-curve afleiden, dan zu men als maatstaf vr v kunnen nemen 0. 3 P, wat bij P =45% zu neerkmen p een luchthudend percentage van De frmule wrdt dan: Wanneer de cnstanten bekend zijn, geeft deze frmule aan he hg de pf met plpen m een vldende drluchting mgelijk te maken. De pf, waarbij het meeste vcht beschikbaar kmt De pf, waarbij de grtste heveelheid vcht nttrkken kan wrden, welk punt weergegeven wrde met een ster, treedt p bij het buigpunt. mer is: \/z~- \A /f X- :!' - V' Het minteken geldt. De uit m vlgende waarde vr v geeft, gesubstitueerd in de frmule vr de pf, de waarde waarbij het meeste vcht beschikbaar is. Substi- # tueert men de m en v waarden in»fa -/ //wv, dan vindt men daaruit de heveelheid water per eenheid pf,

8 Uit <i en X. 2L -vc /Vn_ - VfYYl "P " A ~ /»-/ vlgt eu it 7v #-gr(h S De heveelheid water, die maximaal per eenheid van tename van de pf vrij kmt, is dus p eenvudige wijze van de waarde van m afhankelijk. Vr de pf van het buigpunt krijgt men, dr de waarden van ^ en /-Ü ; uitgedrukt in m te substitueren: De term, die alleen m bevat, kan vraf berekend wrden. De relatie tus set B, pf, A, P en m laat zich in een nmgram gemakkelijk samenvatten, n.l. waarin H een hulp schaal. Vergelijkt men de frmule met die welke vr de drluchting werd afgeleid, dan blijkt dat alle termen aan elkaar gelijk zijn, behalve de m-functie. Deze kan men blijkbaar variëren m ver verschillende aspecten geïnfrmeerd te wrden. Wageningen, maart 1961.

9 9 - Vrbeeld van berekening van de cnstanten en zu de frmule met de 5 nbekenden A, B, m, A V en &P kunnen plssen dr 5 cmbinaties pf - V in de frmule in te zetten en de 5 frmules met 5 nbekenden p te lssen. Het is echter een niet nbelangrijke heveelheid werk en bedacht met wrden, dat de plssing rettteratief is en men dus de berekening een aantal malen zal meten herhalen. De gang van de hier gekzen plssing is, dat men met een gekzen waarde vr AV. en 4P, de nbekenden A, B en m berekent vlgens de hiervr gegeven frmules uit drie waarnemingen. et deze uitkmsten wrden nu vr twee verdere waarnemingen de AV. en ûp, pgelst, de waarden die tegevegd aan de eerst geschatte AV. en A P, een betere benadering van de definitieve plssing vr deze waarden geeft. De tepassing van AV, en AP_ kan sms echter meilijkheden geven, mdat men weleens ver de juiste plssing heen schiet en het geval kan krijgen, dat het vchtgehalte vr pf 6.0 en 0.4 buiten de assymptt vallen en er immaginaire getallen ntstaan. Daarm kiest men de AV en AP z, dat de beide genemde waarnemingen ng juist reële lgarithmen huden. n die gevallen, waarin de extreme waarden niet te zeer van de frmule afwijken, zal men een crrectie A V, en ^P, krijgen, die van de assymptt ai gericht is. n de derde klm van het vrbeeld ziet men, dat dr de keuze van AV. en ûp, de (P-vL 4 en de Vr beide p 0.2 gesteld zijn gewrden, zeer lage waarden dus, die AV- en AP_ waarden van respectievelijk -f 0.16 den ntstaan, getallen die aan V en P-v meten wrden tegevegd zals het + teken aangeeft. De geden AV- en A (P-v), zijn echter geen nauwkeurige aanwijzers vr de definitieve plssing en men met met enkele pgingen deze definitieve plssing insluiten. Wanneer men de AV, en A(P-v)- vldende dichtbij nul heeft gebracht, vindt men vr A, B en m de juiste waarden. n het drgerekende vrbeeld blijken de rsprnkelijke vchtgehalten V in de eerste klm met A V = 2.2 te meten wrden verminderd, terwijl het luchtgehalte (P-v) met A (P-v),» 1.2 dient te wrden verminderd. Het berekende vrbeeld laat zien, dat het geen zin heeft m de berekening met de nveranderde getalwaarden te beginnen, zals in de eerste twee klmmen. en kan beter de

10 - 10 fr V en A (P-v), allereerst z grt kiezen dat de lgarithmen ng juist retfel blijven. k bij het via vereffening bepalen van de 5 nbekenden zal dit de techniek zijn, die de geringste meilijkheden det ptreden. De vlgende berekening kan men met een AV en A(P-v) uitveren, die gelijk is aan AV. + 2 à 3 maal AV_ en vr A (P-v) dezelfde ruime marge, mdat de AV, en A (P-v), aanmerkelijk te klein uitvallen. p deze wijze heeft men redelijke zekerheid dat men de werkelijke plssing insluit. n een tweede tabel wrdt met de vier niet gebruikte waarnemingen een cntrleberekening uitgeverd.

11 % C 4.» & î i. b ^.ï. "^ (^ V. sf ï t H ; ï. 11 V> 4H V» N < f ^!» <x>»» "ä y V! » 8 S S V» V» S 1-4» srt s» S 35 es».» U 4 Vt sh l)ü» r ^ ig -^ 75 S S 5! V» t 2 1 er» is Xf» V) t.» 5. K & & & S^S ï S S5»»» » i 73 k à 3 a s 3 gl 5? vï S s a ft ru b l -» v» ß t ft N V V»a S» - - Si ï SA H t. en ru c S S» <3 2 H» t -,N $ N C & (5 S 05 ê m en vt 3 3»4 t 2 i w S ïü ^ t» ^ h b i» & Î> s» ^ S»» S VJ V 5 v ui m s b b in _ SÜ3 il îi ii ii b S W t» F».». r ï

12 7 > p rt 1 e» a A " 1VJ V {s%? : ;.1 :.. VW vw 4»»?.?ï JS ' tv» " Q J > VN» V Bi U> V + f» 3 t N 0\ C f> t.> V» v 1 V» VN h ï Z - v -1 " tv» (0 t d cv" 4a SJ N ï SES if l l t # <-^» N V N t v f f i va -» r r ~J l VN -» V) s Vfl l P f 1 U 09 a > " S. t V» v -» U -» v. - b» 5 \ vw S S V -»» t V J V VQ V \ VW t t -. vë v t V».<^ t 4k l» > s N VW f f U CD " V» N 3 v» f f -» v» 09 4» a» 8 ^ V -H -4 -ft» -4 v 03 v 3 -l 09 V [B l NJ V l e VW S l vw 03 l v v tv. -J V> V l -fr 0\ ft CS 8 9 0% g> vw &\ v l v J» t 00-4 vw l N Vn VB. f 3 f l» N 0\ v ~i 2 & V -4 v 4» CS 0» N» - > -j» v s ~4. v v fc rvj» ~j \ vw N» l C\ <Ji t v \ v t v V l V Ö V -» V -J -4 > v v a» i t V» V V t fi VN j V S - v» V V 5 Ul VW i S l -» av t VN» ^3» Ul»! S Ä N 0\ VN -» l -A Ö l 5g -4 V 01 a> <ïv > >R V l s V -J s l A V 0\ vw V» N -4 X 1 V < -4 V9 l l 8 ^) V? A3 09 l v -4 A3 f f 8 p t VW ft r l a 00 vi 8 c\ a» v»»»» v av in t» t -4 V l VN a> -3» 0\ vw i K? V <D V l e» v»> S ^> A é v (B t l > VN -4 N VW -^ \ i 4 ^^ t»

13 b V0 b l\j 09 V» V <> 3 4» <q w» ï t> 8 ft 0 + fc» V ft V 3 w > is + V fik S ft a + V 11 3 > 1 + S - t +» V 4 s 1 ft V fr» + (» i H 1 1 i 8 c t a»3

14 11 - De pf bij krimpende mnsters Bij krimpende mnsters is het veelal niet geheel duidelijk wat men als vchtgehalte met kiezen, mdat bij de pf-bepaling het vchtgehalte als een vchtgehalte in vlumeprcenten wrdt weergegeven. it vchtgehalte gaat dan afhankelijk wrden van het percentage aan krimp. Nu is het bekend, dat de krimp een lgarithmische functie van de druk is en men kan dus het priënvlume P schrijven als: ' ft» P- 4 H Wanneer men dit in de frmule vr de pf invegt, krijgt men de vlgende functie vr het krimpende mnster: />> Deze frmule hudt in, dat het ttale mnstervlume dus te samen met het vchtgehalte p drg gewicht wrdt bepaald. De vereffeningstermen zijn nu:.s -frtà tj l ft " 1 f>-+ft ly l y?-aft-v É'+ÏX-L,; JdL il. fi [L l'-hk-) W~?-ftV T^J Nem nu de gelijke term tussen accladen in de laatste drie frmules A. De vereffeningsfrmule wrdt nu:»rai nu: nbekenden zijn hier nu: a, b, 4 p, A V, AP en^^.

15 12 - Deze berekening kan alleen wrden uitgeverd, indien het vlume van het mnster bij het bereiken van het evenwicht vr een bepaalde pf-trap werkelijk wrdt gemeten. De gebruikelijke pf-waarden, berekend met een cnstant mnstervlume, laten het bepalen van een samendrukbaarheid niet te. Wel wrden sms de vlumeveranderingen vr de hgste pf, die in het ngererde mnster wrdt gemeten, pgegeven. et deze krimp, mgezet in een vlumekrimp, en een evenredige verdeling ervan ver de pf-trappen zu men in staat zijn de werkelijke vchtgehalten in vlumeprceften te berekenen. Bvenstaande beschrijving su een eerste pging kunnen vrmen m het krimpende mnster met een pf-curve te beschrijven. De huidige techniek, die de krimp negeert, is wel wat te nzeker m zware klei-f veenmnsters te beschrijven.

16 -13 De plssing van ^ v en A(P-v) De plssing van nbekenden, die in een lgarithme pgenmen zijn, wrdt ngunstig beïnvled drdat tijdens de reftteratie tussenstadia kunnen ptreden, die imaginair zijn. Verder kunnen futen in de waarnemingen hetzelfde effect hebben dan wel de waarden van Av en A(P-V) zeer afwijkend den uitvallen. en zal met de eerste schatting dan een z nvldende benadering krijgen, dat het ntwikkelen van de lgarithme in een reeks niet meer mgelijk is. Tensltte zal bij negatieve crrectie een alternerende reeks ntstaan, die, in geval de reeks niet cnvergeert, zelfs naar teken de richting van de crrectie niet weergeeft, wanneer slechts de eerste term van de reeks wrdt medegenmen. De plssing van Aven A (P-v) is langs de vlgende wegen mgelijk. De frmule luidt: Andere schrijfwijzen zijn: l^tv^av)- vie^p-^a^tù)}^ Y 3^' (3) Bekend zijn v., pf., a = (l-p)a =pc, b = (l-p)b = p^, p = j+ï - ~ j+ Gevraagd zijn: A V en A(P-v). m 'lik 1 Gaan we van frmule 1 verder uit, dan kan die wrden geschreven: k is mgelijk: fa gelijk:,. (5)

17 14 - Er zijn nu drie benaderingen mgelijk en wel: a) en stelt in frmule (5) A (P-v) gelijk nul. De uitkmst nemen we V.. b) en vervangt ^{/»r^p- -y dr <r> v en ntleent A (P-V) aan een aan frmule (5) gelijksrtige frmule vr (P-v,) r c) en schrijft vr k>? <' de waarde j <+- -TS~~ Y ad a De eerste term van frmule kmt vereen met de benadering a en schrijven wij verder v.. ad b De tweede verwaarlzing is bij frmule (5) niet van waarde, maar kan wel in frmule (4) wrden tegepast. De plssing van A v en A (P-v) vlgt dan uit: (6) De plssing gelukt alleen, indien van geen van de waarnemingen &vjv f AfPvl/P-/ grter is dan 1, en liever ng dan een getal belangrijk kleiner dan 1. s hieraan niet vldaan, dan cnvergeert de reeks niet f langzaam. ad c De plssing van de twee vergelijkingen geschiedt als vlgt: ' ) "P-K f 7») i i en kiest nu de schrijfwijze, waarbij P-v. en v. de hgste waarde hebben, dus i staat vr pf 6 en j vr pf 1. en stelt nu eerst in frmule (7b) A v = 0 en berekent A(V-V)-_('ÇVJ-/^- 1?). Dit wrdt in (7a) ingevuld. Eenzelfde prcedure met A (P-v) = 0 levert een plssing / ' /Vn (7b) vr een betere benadering van A (P-v). De frmules wrden: A-V ^l+ e$m]\

18 - 15 en berekent dus eerst v en \-v en als verschil met v. en P-v. de waarden vr A v en A (P-v). Dan wrden de termen tussen haken berekend, tt de macht m en l/m verheven, waarna de crrectie p V en P-v. kan wrden berekend, die de verdere verfijning van de schatting vr de crrecties plevert. Eventueel met ng verder gereittereerd wrden.