Toepssingen op Integrlrekening
) Oppervlktes vn vlkke figuren erekenen De meest voor de hnd liggende toepssing vn integrlrekening is uiterrd de reden wrom ze is ingevoerd, nmelijk het erekenen vn oppervlktes vn vlkke figuren We ekijken twee vooreelden Cirkel en cirkelsector We ereken de oppervlkte vn een cirkel c met strl, en ls middelpunt de oorsprong O ( 0,0) Uit de nlytische meetkunde weten we dt c x + y x en De vergelijking vlt dus uiteen in twee functies ( ) ( ) x Uit de figuur volgt duidelijk dt de oppervlkte vn de cirkel gegeven wordt door S 4 x * x dx cos tdt ( + cos t) dt t+ sin t+ C t+ sint cost+ C 4 x dx Bgsinx+ x x + C *: Stel x sint (met t [, ], dn is dx costdt, Dus is S Bgsinx+ x x Bgsin 0 Een cirkel met strl r heeft dus een oppervlkte die x cos t en t Bgsinx r keer groter is, zodt S r De oppervlkte vn een cirkelsector met strl r en middelpuntshoek θ wordt r dn wegens de regel vn drie gegeven door S θ θ θ S r 0 Sinusoog We erekenen de oppervlkte vn een sinusoog vn de sinusoïde ( ) sin 0 x tussen twee nulpunten: S sinxdx cosx cos + cos0 + [ ] 0 Cursus integrlrekening - toepssingen - - S Mettepenningen
) De ooglengte vn een kromme erekenen In het intervl [ x, + kn de ooglengte ds vn de grfiek vn een (continue) functie f enderd worden door ds dx + dy, of dus nog dy ds + dx dx (zie figuur) Is de functie f ovendien fleidr, dn kunnen we de limiet dx 0 nemen en wordt de ooglengte vn de grfiek in een intervl [, ] gegeven door L + ( '( )) Cirkel en cirkeloog We ereken de omtrek vn een cirkel c met strl, en ls middelpunt de oorsprong O ( 0,0) Uit de nlytische meetkunde weten we dt c x + y De vergelijking vlt dus uiteen in twee functies ( ) ( ) x dx x en De lengte vn de volledige cirkel is vier ml de ooglengte vn De fgeleide is f '( x) x x 0, f in het intervl [ ], dus de omtrek vn de cirkel wordt gegeven door: x dx L 4 + dx 4 4 [ Bgsinx] 4 (Bgsin Bgsin0) 0 x x 0 0 0 De omtrek vn een cirkel met strl r is dn r keer groter, zodt P r De lengte vn een cirkeloog met strl r en middelpuntshoek θ wordt dn wegens de regel vn drie gegeven door L θ θ P r θr ) Omwentelingslichmen Een omwentelingslichm is een ruimtefiguur die ontstt door een vlkke kromme te wentelen om een rechte Met ehulp vn integrlen kunnen we zowel de inhoud ls de mnteloppervlkte vn omwentelingslichmen erekenen ) Inhoud vn een omwentelingslichm Stel dt we de inhoud willen erekenen vn het omwentelingslichm dt we verkrijgen door de functie f te wentelen om de x -s In het intervl [ x, + kunnen we het volume dv dt we zo verkrijgen enderen door de inhoud vn een cilinder met dikte dx en strl f ( x ) Cursus integrlrekening - toepssingen - - S Mettepenningen
( ) We krijgen dn dv ( ) dx Nemen we hierin de limiet dx 0 dn wordt de inhoud vn het omwentelingslichm, verkregen door de grfiek vn f in het intervl [, ] te wentelen om de x -s gegeven door V Bol ( ( )) dx We ereken de inhoud vn de ol met strl, die we verkrijgen door de grfiek vn de functie ( ) om de x -s x in hr domein te wentelen ( ) ( ) x 4 V x dx x dx x Het volume vn een ol met strl r is dn r keer zo groot, zodt Vol ) De mnteloppervlkte vn een omwentelingslichm Mnteloppervlkte vn een fgeknotte kegel Op de figuur hiernst is duidelijk te zien dt het mnteloppervlk vn een kegel met pothem R en strl r kn ontwikkeld worden tot een cirkelsector met strl R Het is duidelijk dt de lengte vn de cirkeloog Rα moet gelijk zijn n de omtrek vn het grondvlk vn de kegel r r Dus moet α, zodt de oppervlkte vn de cirkelsector R 4 r R r (en dus ook de mnteloppervlkte vn de kegel) gelijk is n: S α R rr R Beschouw nu een fgeknotte kegel zols op de figuur hiernst, met strlen r en r en ijhorende pothems en (We noemen ) De mnteloppervlkte vn de fgeknotte kegel wordt dn gegeven door S r r ( r r ) Uit de figuur volgt ook (wegens gelijkvormige driehoeken) dt: r r r r ( ) S r r r r r r + + r Zo wordt ( ) ( ) ( ) ( r ) ( ) + r + r Cursus integrlrekening - toepssingen - 4 - S Mettepenningen
Mnteloppervlkte vn een omwentelingslichm We zijn nu voldoende gewpend om de mnteloppervlkte vn een omwentelingslichm te erekenen Stel dt we de mnteloppervlkte willen erekenen vn het omwentelingslichm dt we verkrijgen door de functie f te wentelen om de x -s In het intervl [ x, + kunnen we de oppervlkte ds die we zo verkrijgen enderen door de mnteloppervlkte vn een fgeknotte kegel met pothem ds en strlen f ( x ) en f ( x dx) + ( ) Geruiken we de formule die we net gezien heen dn wordt dit: ds ( ) ( ) + + dx ds Nemen we hierin de limiet dx 0 dn wordt de mnteloppervlkte vn het omwentelingslichm, verkregen door de grfiek vn f in het intervl [, ] te wentelen om de x -s gegeven door ( ) ( ( )) S + f' x dx Bol We ereken de oppervlkte vn de ol met strl, die we verkrijgen door de grfiek vn de functie ( ) wentelen om de x -s x in hr domein te x V x + dx dx x 4 x [ ] De oppervlkte vn een ol met strl r is dn r keer groter, zodt Sol 4r Cursus integrlrekening - toepssingen - 5 - S Mettepenningen