CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 6 27 februari 2014 1
Opbouw college Vandaag behandelen we de rest van hoofdstuk 1.8 en 1.9 Voor de pauze: hoofdstuk 1.8 Na de pauze: hoofdstuk 1.9 2
Transformatie Een transformatie T van R n naar R m is een regel die elke vector x R n transformeert naar een vector T(x) R m. R n is het domein van T en R m is het codomein van T. We noteren dit als T: R n R m. De vector T(x) is het beeld van x. De set van alle beelden T(x) is het bereik van T. 3
Lineaire transformaties Definitie Een transformatie T is lineair als: T u + v = T u + T v T cu = ct(u) voor constante c en alle u en v in het domein van T. 4
Lineaire transformaties Definitie Een transformatie T is lineair als: T u + v = T u + T v T cu = ct(u) voor constanten c en alle u en v in het domein van T. Elke matrix transformatie is een lineaire transformatie. 5
Lineaire transformaties Als T een lineaire transformatie is, dan geldt dat T 0 = 0 T cu + dv = ct u + dt v voor alle vectoren u en v in het domein van T en constanten c en d. 6
Lineaire transformaties Als T een lineaire transformatie is, dan geldt dat T 0 = 0 T cu + dv = ct u + dt v voor alle vectoren u en v in het domein van T en constanten c en d. Hieruit volgt dat T c 1 v 1 + + c p v p = c 1 T v 1 + + c p T v p 7
Lineaire transformaties Definieer T: R 2 R 2 door T x = rx met r een constante. T heet een verkleining als 0 r 1 en een vergroting als r > 1. Voorbeeld (r = 0.5) 8 6 4 2 0-2 -4-6 0 5 10 15 8 6 4 2 0-2 -4-6 0 5 10 15 8
Lineaire transformaties Voorbeeld T: R 2 R 3 is een lineaire transformatie die e 1 = 1 0 1 u 1 = 0 en e 2 = 0 0 1 in u 2 = 1 2 1 afbeeldt in. Bepaald het beeld van 3 2. 9
Lineaire transformaties Voorbeeld Definieer T: R 3 R 2 zodat T geen lineaire transformatie is. x 1 x 2 x 3 = x 1 5 + x 2. Laat zien dat T 10
Samenvatting Een transformatie T is lineair als T u + v = T u + T v en T cu = ct u voor constante c en alle u en v in het domein van T. Als T een lineaire transformatie is, dan geldt dat T 0 = 0 en T cu + dv = ct u + dt v voor alle vectoren u en v in het domein van T en constanten c en d. 11
Opgaven maken Hoofdstuk 1.8 Opgaven: 17, 19, 30 33, 35 12
Matrix transformaties Matrix transformatie: T(x) wordt gegeven door Ax. Het domein van T is R n en het codomein van T is R m als A een m n matrix is. Het bereik van T is de set van alle lineaire combinaties van de kolommen van A. 13
Matrix transformaties De kolommen van I 2 = 1 0 0 1 zijn e 1 = 1 0 en e 2 = 0 1. T: R 2 R 3 is een lineaire transformatie met T e 1 = T e 2 = 5 0 1. Bereken T x voor elke x = x 1 x 2. 2 3 4 en 14
Matrix transformaties Stelling Laat T: R n R m een lineaire transformatie zijn. Dan bestaat er een unieke matrix A zodat T x = Ax voor alle x in R n. 15
Matrix transformaties Stelling Laat T: R n R m een lineaire transformatie zijn. Dan bestaat er een unieke matrix A zodat T x = Ax voor alle x in R n. In feite, A is de m n matrix wiens j-de kolom gelijk is aan de vector T e j waarbij e j gelijk is aan de j-de kolom van de identiteitsmatrix I n. A = T e 1 T e n (standaard matrix voor lineaire transformatie T) 16
Geometrische lineaire transformaties Voorbeeld Vind de standaard matrix A van de lineaire transformatie T: R 2 R 2 die een punt rond de oorsprong roteert over een hoek van π 4 radialen (tegen de klok in). Dit heet een rotatie transformatie. 17
Geometrische lineaire transformaties Voorbeeld Vind de standaard matrix A van de lineaire transformatie T: R 2 R 2 die een punt rond de oorsprong roteert over een hoek van π 4 radialen (tegen de klok in). Dit heet een rotatie transformatie. 1 x 2 1 1 0 1 x 1 1 0 1 x 1 1 1 18
Existentie en uniciteit Definitie Een afbeelding T: R n R m heet onto als elke b in R m het beeld is van minstens één x in R n. Een afbeelding heet one-to-one als elke b in R m het beeld is van hooguit één x in R n. 19
Existentie en uniciteit Stelling De lineaire transformatie T is one-to-one dan en slechts dan als de vergelijking T(x) = 0 alleen de triviale oplossing heeft. 20
Existentie en uniciteit Stelling De lineaire transformatie T is one-to-one dan en slechts dan als de vergelijking T(x) = 0 alleen de triviale oplossing heeft. Als A de standaard matrix van afbeelding T: R n R m is, dan: a. is de afbeelding T onto dan en slechts dan als de kolommen van A heel R m opspannen; b. is de afbeelding T one-to-one dan en slechts dan als de kolommen van A lineair onafhankelijk zijn. 21
Samenvatting Laat T: R n R m een lineaire transformatie zijn. Dan bestaat er een unieke standaard matrix A zodat T x = Ax voor alle x in R n. Een afbeelding T: R n R m heet onto als elke b in R m het beeld is van minstens één x in R n. De afbeelding heet one-to-one als elke b in R m het beeld is van hooguit één x in R n. 22
Opgaven maken Hoofdstuk 1.8 Opgaven: 17, 19, 30 33, 35 Hoofdstuk 1.9 Opgaven: 1 3, 5, 7, 9, 13, 15, 17 22, 25, 26, 35 23