Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Het inwendig product kan eenvoudig worden gegeneraliseerd tot : u v u v Definitie Als u = u n en v = v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T v = u v + u v + + u n v n het inwendig product van de vectoren u en v Opmerking Het inwendig product van twee vectoren is dus een getal Uit de definitie volgen eenvoudig de volgende rekenregels : Stelling Als u, v en w vectoren in R n zijn en λ R, dan geldt : u v = v u (λu) v = λ(u ( v) = u (λv) ) (u + v) w = u w + v w 4 u u 0 en u u = 0 u = o De laatste rekenregel maakt het mogelijk om ook het begrip lengte te generaliseren : v v Definitie Als v = Rn, dan geldt : v n v := v v = v + v + + v n heet de lengte (of norm) van de vector v Opmerking Er geldt dus : v = v v Deze definitie sluit naadloos aan op het intuïtieve begrip lengte in R en R : Uit de rekenregels van stelling volgt eenvoudig dat λv = λ v voor alle λ R Immers : λv = (λv) (λv) = λ (v v) = λ v en neem vervolgens de wortel ( λ = λ ) Een vector met lengte wordt een eenheidsvector genoemd Merk op dat v een een- v heidsvector is in de richting van de vector v Nu kan ook eenvoudig het begrip afstand in R n worden gedefinieerd :
Definitie Als u = u u en v = v v twee vectoren in Rn zijn, dan heet u n v n dist(u, v) := u v = (u v ) + (u v ) + + (u n v n ) de afstand van de vectoren u en v Ook dit is een natuurlijke generalisatie van het intuïtieve begrip afstand in R en R De afstand tussen de vectoren u en v is gelijk aan de lengte van de verschilvector u v Met behulp van het begrip afstand kunnen we nu het begrip orthogonaliteit (loodrechte stand) invoeren In R en R hebben we weer een intuïtief beeld van het begrip loodrechte stand (zie figuur 5 op pag 79 van Lay) : Nu geldt : u v dist(u, v) = dist(u, v) [dist(u, v)] = u v = (u v) (u v) = u u u v v u + v v = u (u v) + v en evenzo [dist(u, v)] = u + v = (u + v) (u + v) = u u + u v + v u + v v = u + (u v) + v Dus : Dit generaliseren we nu tot : u v [dist(u, v)] = [dist(u, v)] u v = 0 Definitie 4 Twee vectoren u en v in R n heten orthogonaal als u v = 0 Notatie : u v Opmerking Deze definitie impliceert dat de nulvector loodrecht staat op iedere andere vector en zelfs ook loodrecht staat op zichzelf We kunnen nu eenvoudig de volgende generalisatie van de stelling van Pythagoras bewijzen : Stelling Als u en v twee vectoren in R n zijn, dan geldt : u v u + v = u + v Bewijs Er geldt : u + v = (u + v) (u + v) = u + (u v) + v en hieruit volgt de stelling onmiddellijk, want : u v u v = 0
Definitie 5 Stel dat W een deelruimte van R n is, dan geldt : v W v w voor iedere w W en W := {v R n : v W } heet het orthogonale complement van de deelruimte W De verzameling W wordt vaak simpelweg W loodrecht genoemd Het is eenvoudig in te zien dat W ook een deelruimte van R n is In R en R hebben we dan de volgende mogelijkheden (zie ook figuur 7 op pag 80 van Lay) : W R R W O lijn door O lijn door O O R W R R W O vlak door O lijn door O lijn door O vlak door O O R Stelling Als A een (m n)-matrix is, dan geldt : (Row A) = Nul A en (Col A) = Nul A T Hierbij is Row A de rijruimte van de matrix A Dit is het opspansel van de rijen van A, waarbij die rijen opgevat worden als vectoren in R n (de matrix A heeft n kolommen) Het bewijs van de stelling volgt dan eenvoudig alsvolgt : Nul A is de verzameling van alle vectoren x R n zodat Ax = o Dit betekent dat het inwendig product van x met iedere rij van A nul is en dus : x Row A Dit geldt voor iedere vector x Nul A, dus : (Row A) = Nul A De andere bewering volgt nu door de matrix A te vervangen door A T en op te merken dat Row A T = Col A In R en R geldt : u v = u v cos θ, waarbij θ de hoek is tussen de vectoren u en v We kunnen dit inzien door de cosinusregel toe te passen op de driehoek in figuur 9 op pag 8 van Lay Zie ook pag 808 van Stewart Er geldt : Ook geldt : u v = u + v u v cos θ u v = (u v) (u v) = u (u v) + v Hieruit volgt dus : u v = u v cos θ We gebruiken dit resultaat om de hoek tussen twee vectoren in R n te definiëren :
Definitie 6 Als u en v twee vectoren in R n zijn, dan geldt : u v = u v cos θ, waarbij θ [0, π] de hoek is tussen de vectoren u en v Opmerking Dit is geheel in overeenstemming met definitie 4 want : u v θ = π cos π = 0 en Orthogonale verzamelingen Definitie 7 Een verzameling vectoren {u,, u p } in R n heet een orthogonale verzameling als u i u j voor alle i j oftewel u i u j = 0 voor alle i j Voorbeeld De verzameling {u, u, u } in R 4 met 0 u = 0, u = is een orthogonale verzameling, want : en u = u u = 0 + 0 + = 0, u u = + 0 0 = 0 en u u = 0 + + 0 = 0 0 Stelling 4 Een orthogonale verzameling {u,, u p } in R n zonder de nulvector is lineair onafhankelijk Bewijs Stel c u + + c p u p = o, dan volgt : 0 = o u i = (c u + + c p u p ) u i = (c u ) u i + + (c p u p ) u i = c (u u i ) + + c p (u p u i ) = c i (u i u i ) voor iedere i =,,, p, want u i u j = 0 voor iedere i j Omdat de verzameling de nulvector niet bevat geldt : u i u i 0 voor iedere i =,,, p Dus : c i = 0 voor iedere i =,,, p Hieruit volgt dat {u,, u p } lineair onafhankelijk is Definitie 8 Een basis van een deelruimte W van R n die tevens een orthogonale verzameling is heet een orthogonale basis van W 4
Stelling 5 Als {u,, u p } een orthogonale basis van een deelruimte W van R n is, dan geldt voor iedere vector y W : y = c u + + c p u p met c i = y u i u i u i, i =,,, p Bewijs y W = Span{u,, u p }, dus : y = c u + + c p u p Omdat {u,, u p } orthogonaal is volgt nu y u i = (c u + + c p u p ) u i = c i (u i u i ), i =,,, p Omdat {u,, u p } de nulvector niet bevat (het is immers een basis en dus lineair onafhankelijk) volgt hieruit dat c i = y u i u i u i, i =,,, p Voorbeeld Stel dat y =, u =, u = en u =, dan is {u, u, u } een orthogonale basis van R (ga na!) Verder geldt y u = + 6 = 6, y u = + 4 = en y u = + 4 + 6 = 9 Tevens geldt dat Dus : u u = u u = u u = + 4 + 4 = 9 y = y u u u u + y u u u u + y u u u u = 6 9 u + 9 u + 9 9 u = u + u + u Definitie 9 Als y en u twee vectoren in R n zijn zodat {y, u} lineair onafhankelijk is, dan is ( ) y u de vector u de (orthogonale) projectie van y langs u u u Dit is weer een natuurlijke generalisatie van de situatie in R en R Dan geldt namelijk : als λu de (orthogonale) projectie van y langs u is, dan is : y λu u oftewel (y λu) u = 0 Hieruit volgt dat (y u) λ(u u) = 0 Aangezien u o volgt hieruit dat λ = y u u u ( ) y u De vector y u heet wel de component van y loodrecht op u Zie figuur op u u pag 86 van Lay 5
Voorbeeld De (orthogonale) projectie van y = ( y u u u ) u = ( ) 5 + 4 u = 7 + 9 + 4 4 5 4 7 langs u = = is Definitie 0 Een verzameling vectoren {u,, u p } in R n heet een orthonormale verzameling als het een orthogonale verzameling is bestaande uit eenheidsvectoren (dus : u i = voor alle i =,,, p) Opmerking In een orthonormale verzameling staan dus alle vectoren loodrecht op elkaar (orthogonaal) en hebben alle vectoren lengte (norm) (genormeerd) Stelling 6 Een (m n)-matrix U heeft orthonormale kolommen dan en slechts dan als U T U = I Als U = u u n, dan geldt dus dat u i u j = 0 voor alle i j en u i u i = voor alle i =,,, n Dit leidt tot U T U = I Stelling 7 Als U een (m n)-matrix is met orthonormale kolommen (dus : U T U = I), dan geldt : Bewijs We bewijzen eerst : Ux = x voor alle x R n (Ux) (Uy) = x y voor alle x, y R n Ux Uy x y voor alle x, y R n (Ux) (Uy) = (Ux) T (Uy) = x T U T Uy = x T Iy = x T y = x y Nu volgt eenvoudig door y = x te nemen Ook is nu een eenvoudig gevolg van Een vierkante matrix U met orthonormale kolommen wordt wel een orthogonale matrix genoemd Uit stelling 6 volgt dan : U = U T De inverse van een orthogonale matrix is dus gelijk aan de getransponeerde van die matrix Verder geldt : = det I = det(u T U) = (det U T )(det U) = (det U) = det U = ± Iedere orthogonale matrix is dus inverteerbaar Stelling 8 Als W een deelruimte van R n is, dan geldt : iedere vector y R n kan op precies één manier geschreven worden in de vorm y = ŷ + z, waarbij ŷ W en z W Als {u,, u p } een orthogonale basis is van W, dan geldt : ŷ = proj W y = y u u u u + + y u p u p u p u p Dit is de orthogonale projectie van y op W 6
Let op het verschil met stelling 5 De vector ŷ is de vector in W die het dichtst bij y ligt Als y W, dan is ŷ = y (en geldt stelling 5) En als y / W, dan geldt : y ŷ < y v voor iedere andere v W De vector ŷ W heet wel de beste benadering van y door vectoren in W Hiermee kunnen we eenvoudig de afstand van een punt tot een lijn of een vlak in R berekenen door eerst de (orthogonale) projectie op de lijn of het vlak te bepalen en vervolgens de afstand tot die (orthogonale) projectie Voorbeeld 4 Beschouw het punt P = (,, ) en het vlak V gegeven door de vergelijking x + x x = 0 in de ruimte Vraag : Wat is de afstand van het punt P tot het vlak V? Als ˆp de (orthogonale) projectie is van de vector p op het vlak V, dan is de gevraagde afstand gelijk aan p ˆp De vector p ˆp is de component van de vector p loodrecht op vlak V, oftwel de (orthogonale) projectie van de vector p op het orthogonale complement V van V Dit orthogonale complement is de lijn Span{ }, want V : x + x x = De (orthogonale) projectie van de vector p op V is dus proj V = De gevraagde afstand is dus ( ) 6 + 9 + 4 dist(p, V ) = = x x x = + 9 + 4 = 4 = 0 Als in stelling 8 de basis {u,, u p } zelfs orthonormaal is, dan geldt u i u i = voor iedere i =,,, p In dat geval worden de formules nog wat fraaier en geldt : Stelling 9 Als {u,, u p } een orthonormale basis is van een deelruimte W van R n is, dan geldt voor iedere vector y R n : waarbij U = u u p ŷ = proj W y = (y u )u + + (y u p )u p = UU T y, Deze matrix U wordt wel een projectiematrix genoemd 7