Netwerk Havo B uitwerkingen Hoofdstuk, Functies en de GRM Hoofdstuk Functies en de GRM Kern Functies met de GRM a H (dm) 5 Na ongeveer 6 dagen. 6 8 0 t a De functie heeft geen functiewaarde voor X < 0. De functiewaarde Y is overal erg klein ten opzichte van Ymax, de grafiek lijkt daardoor samen te vallen met de horizontale as. a Y = X / (X + ) op WINDW [0, 0] [0, ] Rond t =. c Er is daarna sprake van afnemende daling, dat wil zeggen dat de concentratie steeds minder snel daalt. d Vanaf ongeveer t =. e tijd t (uren),5,6,7,8,9,0, concentratie C,06,0,0 0,98 0,96 0,9 0,9 (mg/l) Met de tael vind je dat na t =,7 de concentratie te laag dreigt te worden. t =,7. Na,7 uur wordt de concentratie te laag, dat is na,7 60 = minuten.
Netwerk Havo B uitwerkingen Hoofdstuk, Functies en de GRM Kern Inzoomen 5 a Y = 0.* (X). De slinger moet 77 cm lang zijn. De slinger moet 76,6 cm lang zijn. 6 a Zie de figuur oven de opgave. Bij X = 76.6 hoort Y =.75. Dus ij een lengte van L = 76,6 hoort een slingertijd van,75 seconde. Via inzoomen vind je X = 00 en Y =. Dus ij een lengte van L = 00 hoort een slingertijd van seconden. c Via inzoomen vind je X = 6.565 en Y =.5. Dus ij een lengte van L = 6,565 hoort een slingertijd van,5 seconden. 7 a Teken Y = 0 (X) X op een WINDW van [0, 5] [0, 5]. Via inzoomen vind je als hoogste punt X =.75 en Y =.. De vuurpijl ontploft dus op een hoogte van, meter. cd Via de tael vind je een maximale hoogte van, cm ij a =,8. 8 a Zie afeelding rechts. Bij X = vind je onder Y ERRR. Bij x = heeft de functie geen uitkomst, omdat door invullen van x = de noemer 0 zou worden. c Voor waarden van x net onder wordt groot negatief. Voor waarden van x net oven wordt groot positief. Dat etekent dat de lijn x = een verticale asmptoot is voor de grafiek. d Als x in de uurt van 00 komt, dan nadert van onder tot. Voor x in de uurt van 00, nadert van oven tot. Dat etekent dat de lijn = een horizontale asmptoot is voor de grafiek. 9 a Y = (75 X ) 75. De afstand tot het midden is x = 0. In TABLE vind je X = 0, Y = 0. De rug is in het midden 0 meter hoog. In TABLE vind je Y = 0 en X = 0. De rug is 0 = 80 meter reed.
Netwerk Havo B uitwerkingen Hoofdstuk, Functies en de GRM Kern Domein en ereik 0 a Er zou dan een negatief getal onder de wortel komen. De wortel uit een negatief getal estaat niet. - a [, > x < - - < 5, 7] 5 < x 7 5 7 c <, 7] x 7 d [, > x 7 a Je zou dan de wortel uit een negatief getal moeten erekenen, dat kan niet. 5 - - - x - a x + 0 x + 0 x D f = [, > - - 6 8 x - c Nee, de grafiek van g ontstaat door de grafiek van f over eenheden naar eneden te verschuiven. Voor geldt: x 0 x x, dus D = [, > Voor geldt: x + 0 x x, dus D = <, ]
Netwerk Havo B uitwerkingen Hoofdstuk, Functies en de GRM 5 a De omtrek estaat uit maal de lengte en maal de reedte. Daarom geldt: + l = + l = 7 = 7 l De oppervlakte is = l = l (7 l) = 7l l. Het domein van deze functie is D = [0, 7]. c Teken Y = 7X X op WINDW [0, 7] [0, 5]. d Bij lengte = reedte =,5 is de oppervlakte maximaal, n.l.,5 m. 6 a De maximale waarde van =, die wordt ereikt ij x =. x 7 a 6 8 x f(0) = ; f() = ; f() = ; f(9) = 5. B f = [, > c Nee, de grafiek van g ontstaat door de grafiek van f twee eenheden naar rechts te schuiven. 8 De grafiek is een dalparaool met de top in (, ). De functie kan dus geen lagere waarden ereiken dan =. Daarom geldt B f = [, > 9 a Als h toeneemt, neemt T (lineair) af. De formule geldt voor de onderste laag van de atmosfeer, de troposfeer. Deze loopt van de grond tot ongeveer km oven de aarde. Dichtij de aarde wordt de temperatuur ook door andere dingen eïnvloed, zoals ijvooreeld eouwing en industrie. Daar kan de lineaire formule niet gelden. Vandaar dat het domein zowel naar onder als naar oven is egrensd. c Hoogste temperatuur voor h = : T = 0 6 = C. Laagste temperatuur voor h = : T = 0 6 = 5 C. B T = [ 5, ] d De temperatuur is 0 C voor h = 0 =, km. p een hoogte van meer dan m is de 6 temperatuur eneden 0 C.
Netwerk Havo B uitwerkingen Hoofdstuk, Functies en de GRM 5 Kern Asmptoten 0 a lengte l (cm) 6 0 0 0 60 reedte (cm) 6 0,6 0, 0, 0, Zie afeelding rechts. c Als de lengte steeds groter wordt, wordt de reedte steeds kleiner. 0 8 6 6 8 0 l a Alle drie de grafieken zijn getekend op WINDW [ 0, 0] [ 0, 0] f: H.A. = 0 en V.A. x = 0 g: H.A. = en V.A. x = 0 h: H.A. = 0 en V.A. x = a Teken Y = 0 / X op WINDW [0, 0] [0, 0] H.A. q = 0 en V.A. p = 0 c Als de prijs ijna 0 is, verkoop je oneindig veel. Als de prijs oneindig hoog wordt, verkoop je zo goed als niets. a T(0) = 000 + 0 0,8 C p den duur nadert de temperatuur tot 0 C. Je kunt dit vinden door voor t een groot getal in te vullen. a Dan nadert f(x) van oven tot. Dan nadert f(x) van onder tot. c H.A. = 0 0 + 80 5 a p t = 0 geldt T = =80 C. 0 + 0 60 + 80 p t = 60 geldt T = =0,98 C 60 + c p den duur nadert de temperatuur van de koffie tot 0 C, dus de uitentemperatuur is 0 C.
Netwerk Havo B uitwerkingen Hoofdstuk, Functies en de GRM 6 6 a Voor x =, dan zou de noemer 0 zijn. f(,9) = 0 en f(,99) = 00 c f(,) = 0 en f(,0) = 00 d Als je x net oven kiest, wordt f(x) groot positief. Als je x net onder kiest, wordt f(x) groot negatief. 7 a x mag geen zijn, want dan zou de noemer 0 worden. De overige waarden zijn wel mogelijk. Dus geldt: D f = R \{ } x = zou een verticale asmptoot kunnen zijn. Controle via een tael in de GRM laat zien dat voor waarden van x net oven de functiewaarde groot positief wordt. Waarden van x net onder geven juist een functiewaarde die groot negatief is. Dus de verticale asmptoot is x =. 8 a D h = R \ { } x = zit niet in het domein van de functie, dus x = kan een verticale asmptoot zijn. Controle via een tael in de GRM laat zien dat voor waarden net oven x = de functiewaarde groot positief wordt. Dus geldt: V.A. x =. c Voor een grote waarde van x komt steeds dichter ij. Dus geldt: H.A. =. d Zie afeelding rechts. 9 a x = 0 zit niet in het domein van de functie, dus x = 0 kan een verticale asmptoot zijn. Controle via een tael in de GRM laat zien dat voor waarden net oven x = 0 de functiewaarde groot positief wordt. Dus geldt: V.A. x = 0. Invullen van grote waarden voor x laat zien dat = een horizontale asmptoot is. 8 6 - - - -6 6 x 0 5 5 0 5 x x x + c De grafiek snijdt de horizontale asmptoot als =. x x x + x x + x + x + = + = +. Dit is gelijk aan als = 0. x x x x x Dat is het geval als x =
Netwerk Havo B uitwerkingen Hoofdstuk, Functies en de GRM 7 Kern 5 Grafieken verschuiven 0 a Y is de onderste grafiek. Y is de ovenste grafiek. a h g (8) = 5 8 + 0 8 = 5 6 + 0 = 0 + 0 = 0. De hoogte na 8 seconden is 0 m, dus na 8 seconden komt de kogel weer op de grond. h d (t) = 5t + 0t + 5 a Via een verschuiving van eenheden naar omhoog. g(x) = x x + x x + + = + = + = =. De rekenmachine lijkt slechts één grafiek te x x x x x x x tekenen. De grafieken van g en h vallen samen. c f: H.A. = 0 en V.A. x = 0 h: H.A. = en V.A. x = 0 Y hoort ij de linker grafiek en Y hoort ij de rechter grafiek. a f is eenheden naar links verschoven. I: = (x + ) c g is eenheden naar links verschoven en eenheden omlaag. d II: = ( x + ) 5 f komt op g door de grafiek eenheid naar rechts te verschuiven. f komt op h door de grafiek 5 eenheden naar links en 7 eenheden omlaag te verschuiven. 6 a Verschuiving naar rechts, omhoog. x 5 ( x ) + ( x ) h(x) = = = + = + = g( x). x x x x x c f: H.A. = 0 en V.A. x = 0 h: H.A. = en V.A. x =