Hoofdstuk - Funties en de rekenmahine Voorkennis: Funties ladzijde V-a De formule is T = + 00, d Je moet oplossen + 00, d = dus dan geldt 00, d = en dan is d = : 00, 77 m V-a f( ) = = 0en f( ) = ( ) ( ) = + = 0 De getallen en zijn de -oördinaten van de snijpunten van de grafiek van f met de -as Daarij hoort het getal, want f( 0) = De smmetrie-as is de lijn =, dus de - oördinaat van de top is De -oördinaat van de top ereken je met het funtievoorshrift van f: f( ) = De top is dus het punt ( (, ) d 0 De -oördinaten van de snijpunten ereken je door op te lossen: = + Daaruit volgt dat = 0 of = 0 Dit geeft ( + )( ) = 0 dus = of = Er geldt: f( ) = en f( ) = De snijpunten zijn dus de punten (, ) en (, ) e Dan ligt de paraool oven de lijn en dat is het geval als < of > V-a 0 0 0 De asmptoten van de grafiek zijn de lijnen = 0 en = Je moet oplossen de vergelijking = 0, dus = en = Het snijpunt is dus het punt (, 0 ) Dat komt omdat je voor niet nul in kunt vullen, want delen door nul is niet mogelijk
Hoofdstuk - Funties en de rekenmahine d > 00 Los op = 00, dit geeft = 000 000= = 00 Lees met de grafiek de oplossing af: < < 0 00 e Die funtiewaarden vershillen niet veel van ; ijvooreeld f( 000) =, 00 en f( 000) =, 999 ladzijde V-a mdat de hoogste maht van die in het funtievoorshrift voorkomt is, 0, 0,, Bij de nieuwe, vershoven grafiek hoort het funtievoorshrift g ()= Je vindt de snijpunten met de -as door op te lossen: = 0 Je krijgt dan ( ) = 0 dus = 0 of = of = V-a,e Het domein estaat uit alle waarden van met, = als = dus = 0 en = Dit getal ehoort tot het domein d h ()= f k ()= V-a
Hoofdstuk - Funties en de rekenmahine, 0, 0,, 0, Kies als enadering van het nulpunt =, Er geldt h(,) 0, 0 d Met de rekenmahine vind je 9, Plotten, shetsen en tekenen ladzijde Y = X X ^ a Y = 0, X+ 0 Kies van tot a Als je kiest van tot Alle ijzonderheden van de grafiek komen dan goed in eeld Het snijpunt met de -as is het punt ( 0, 9) en de snijpunten met de -as zijn de punten (, 0 ) en (, ; 0 ) De top van de paraool is het punt ( 0, ; 9, ) Een shets van de grafiek is: 9 9 De grafiek eslaat dan maar een heel klein deel van het sherm van je rekenmahine Dat geeft geen duidelijk eeld
Hoofdstuk - Funties en de rekenmahine ladzijde a 9 9 Het snijpunt met de -as is het punt (,) 0 De -oördinaten van de snijpunten met de -as vind je door op te lossen + + = 0 Er volgt dat = + 079, of = 79, Dus de snijpunten met de -as zijn ( 0, 0 ; ) en ( 0, ; ) De -oördinaat van de top zit daar preies tussen, die is dus = f( ) = De top is dan (, ) a 0 0 0 0 7 9 0 0 0 0 00 Er zijn twee toppen Dat zijn de punten (, 0;, 77) (een top) en (, 0; 90, ) (een dal) Het snijpunt met de -as was het punt (, 0 ) en het snijpunt met de -as is het punt (, 07; 0 ) a De hoogte ij de linkertoren is h( 0) = meter Je zoekt de snijpunten van de grafiek met de lijn = Je vindt de punten ( 0, ) en (, ), dus de torens staan meter van elkaar De top van de grafiek van h vind je door a =, in te vullen in het funtievoorshrift Je vindt dan de hoogte van het laagste punt van de kaels ten opzihte van het wateroppervlak Er geldt dat h(, ) = 7, meter Dus de kleinste afstand tussen kael en wegdek is, 7 = 9, 7 meter Soorten grafieken ladzijde 7a mdat de grafiek een dalparaool is en je ij die sherminstelling niet de top in eeld krijgt Kies van 0 van 0 en van 00 tot 0 7
Hoofdstuk - Funties en de rekenmahine ladzijde 7 A Een geroken funtie B Een kwadratishe funtie C Een mahtsfuntie D Een eponentiële funtie 9a De grafieken van f en g heen één snijpunt en één raakpunt Dat zijn de punten (, ) en (0, 0) Je lost de vergelijking = op Daaruit volgt = 0 dus ( ) = 0 en je vindt = 0 of = of = De snijpunten zijn (0, 0), (, ) en (, ) 0a De funtievoorshriften zijn van de vorm f ()= a + ; het zijn dus lineaire funties De funties f, g en h zijn kwadratishe funties Bij een horizontale lijn hoort een eenvoudig funtievoorshrift zoals f ()= Een eenvoudig funtievoorshrift ij een paraool is ijvooreeld f ()= a De funtie f is een kwadratishe funtie f ()= De snijpunten met de -as zijn de punten (0, 0) en (, 0) De top is het punt (, ) a p de standaardfuntie f ()= De grafiek van de standaardfuntie is drie eenheden naar rehts en vier eenheden naar oven vershoven De grafiek lijkt op de grafiek van de standaardfuntie f ()= Die grafiek moet je twee eenheden naar rehts en drie eenheden naar eneden vershuiven om de grafiek van g te krijgen a Dat zijn mahtsfunties De grafiek is smmetrish in de -as en dan is n ovendien een even getal, 0, 0,,
Hoofdstuk - Funties en de rekenmahine Als n = zijn de funtiewaarden tussen 0 en het grootst d Voor 0< < ligt de grafiek van funtie n onder de grafiek van funtie m Voor > ligt de grafiek van n oven de grafiek van m Venster instellen ladzijde a De vensterinstelling is dan ijvooreeld van tot en van 0 tot 0 De oördinaten van de top zijn (, ) a De grafiek egint ij het randpunt ( 0, 0 ) en dat is uiten eeld Als 0 < < 0 dan zijn de funtiewaarden groter dan 0 en dus lijven alle ijehorende punten uiten eeld Neem ijvooreeld van 0 tot 0 en van tot ladzijde 9 a De vorm is die van een liggende halve paraool Neem ijvooreeld van 0 tot 0 en van 0 tot 0 7a van tot en van 7 tot 00 van tot en van 0 tot 0 van 00 tot 00 en van 00 tot 00 a 900 GK 00 00 d e 000 0000 000 0000 q De laagste gemiddelde kosten zijn er als er 7 fietsen worden afgeleverd, want dan ereikt GK een minimum Dan is q 0, dus dan zijn de gemiddelde kosten erg hoog In het funtievoorshrift staat een reuk die heel erg groot wordt als q een klein getal is De totale kosten zijn dan gelijk aan 000 GK( 000) = 000(, 0 0 000 + 00) = 000 euro Je plot de grafiek van GK en de lijn GK = 00 en je zoekt met de opties van de rekenmahine de snijpunten van eide grafieken op Je vindt het ene snijpunt ij q 7 en het andere snijpunt ij q De gemiddelde kosten per fiets zijn dus lager dan 00 euro als er minstens 7 fietsen, maar hoogstens fietsen worden geprodueerd 9
Hoofdstuk - Funties en de rekenmahine 9a Bijvooreeld t van 0 tot 0 en C van 0 tot De maimum onentratie is, mg per liter loed 0a 9 7 0 0 7 9 0 f(),,, 9,9,9 00, 9, 9 De grafiek van vraag a geeft de indruk dat als toeneemt van tot 0 de funtiewaarden ook steeds groter zullen worden, maar uit de tael lijkt dat dat niet het geval is 0 0 0 0 0 De gekozen vensterinstelling is nu: van 0 tot en van 0 tot 0 Randpunten en asmptoten ladzijde 0 a f( ) = 0 en f( ) = 0 Als tussen en ligt, dan neemt de uitdrukking onder het wortelteken negatieve waarden aan De wortel uit een negatief getal estaat niet, dus is er geen grafiek voor die waarden van a Die sprong zie je ij =, Wanneer je grote positieve getallen invult voor, dan wordt de waarde van de reuk ijna nul Dit komt omdat de teller lijft, maar de noemer is afgezien van het minteken - een heel groot getal Iets dergelijks geldt ook wanneer een groot, maar negatief getal is De funtiewaarde is dus in eide gevallen ongeveer gelijk aan, maar nooit preies gelijk aan 0
Hoofdstuk - Funties en de rekenmahine ladzijde a Het randpunt treedt op als + = 0 dus als = De oördinaten zijn (, ) Het snijpunt met de -as is het punt (, 0 + ) en het snijpunt met de -as vind je door op te lossen + = Daar uit volgt + = of = 0 dus = Het snijpunt met de -as heeft dus de oördinaten (, 0) d Als je de vergelijking = 0 oplost, krijg je =, dus = of = Er dus zijn twee randpunten (, 0) en (, 0 ) Het snijpunt met de -as is het punt ( 0, ) a Voor = wordt de noemer van de reuk nul en dat is de waarde waarvoor de grafiek een vertiale asmptoot heeft 7 0 De horizontale asmptoot is de lijn = Dat kun je zien aan het funtievoorshrift omdat de reuk steeds meer in de uurt van nul komt naarmate een groot positief getal (of een klein negatief getal) wordt Het gevolg is dat dan steeds meer in de uurt komt van het getal a Dan is het aantal elminuten gelijk aan 00 Er geldt dat P( ) = 0, + 0, = 09,, dus de prijs per elminuut is dan 9 euroent De totale kosten zijn 00 09, = euro Als steeds groter wordt dan wordt de reuk steeds kleiner en dus de prijs per elminuut steeds wat lager d De horizontale asmptoot is de lijn P = 0, e De praktishe etekenis is dat de prijs steeds dihter in de uurt komt van euroent per elminuut naarmate er meer geeld wordt, mar de prijs lijft altijd iets hoger dan euroent
Hoofdstuk - Funties en de rekenmahine a De noemer van de reuk in het funtievoorshrift van funtie p is voor geen enkele waarde van gelijk aan nul, want nooit geldt dat = dus de grafiek heeft geen vertiale asmptoot, maar de noemer van de reuk in het voorshrift van funtie q kan wel nul zijn, want je kunt de vergelijking = wel oplossen Er zijn twee oplossingen, = en = De grafiek van q heeft dan ook twee vertiale asmptoten Als een groot positief (of een klein negatief getal) is, zijn eide reuken vrijwel gelijk aan nul Beide grafieken heen dus als horizontale asmptoot de -as 7 De grafiek van funtie h heeft twee vertiale asmptoten, want de vergelijking = 0heeft twee oplossingen = en = Bij funtie h hoort dus grafiek A De grafiek van funtie f kun je niet tekenen als < 0 dus als < of als < < Dit klopt met grafiek B De grafiek van funtie j heeft twee asmptoten: de horizontale asmptoot is = en de vertiale asmptoot = 0 (de -as) Dit komt overeen met grafiek C Domein en ereik ladzijde a 7 De funtie estaat niet als + 0 dus als, want onder het wortelteken mag geen negatief getal staan en ovendien mag de noemer van de reuk niet gelijk zijn aan nul Alle positieve getallen kunnen als funtiewaarden voorkomen 9a Het domein van f: 0 dus en Het ereik van f:, want de uitdrukking met de wortel is steeds een positief getal dat van wordt afgetrokken De uitkomst is dus hoogstens gelijk aan Het domein van g:, want je kunt voor elk getal invullen Het ereik van g: 0<, want de funtiewaarden zijn positieve getallen en de grootste funtiewaarde he je daar waar de noemer zo klein mogelijk is dus als = 0 en dan is = Het domein van h: alle getallen, ehalve =, want dan wordt de noemer nul Het ereik van h: alle getallen, ehalve =, want dat is de vergelijking van de horizontale asmptoot
Hoofdstuk - Funties en de rekenmahine ladzijde 0 ongelijkheid < > 9 < 0 < getallenlijn interval [, 9,,0, ] a Het domein van f is, want elk ij elk getal hoort een funtiewaarde De grafiek is een ergparaool met top (0, ) dus het ereik is het interval, ] De -waarden uit het domein moeten voldoen aan + 0 dus of 0 Het domein is dus, ] [, 0 Het ereik is het interval [ 0, Het domein is met uitzondering van het getal 0, want je kunt niet door nul delen Het ereik is ook met uitzondering van het getal 0, want elk getal kan als funtiewaarde voorkomen, ehalve het getal 0 a h( 0) =, en dit getal is de hoogte van de toren waarvandaan het projetiel wordt afgeshoten In de grafiek is te zien dat het projetiel na ongeveer, seonden op de grond komt Het domein is dus het interval [ 0 ;, ] De hoogte van het projetiel kun je met je rekenmahine epalen: ongeveer, meter Dus het ereik is het interval [ 0 ;, ] De funtie f voldoet aan voorwaarde, want het domein is, ] [, en het ereik is [ 0, De funtie g heeft als domein, maar het ereik is het interval [, dus g voldoet dus aan voorwaarde Funtie h heeft als domein, maar het ereik is [ 0,, dus ook funtie h voldoet aan voorwaarde Gemengde opdrahten ladzijde a Volgens de stelling van Pthagoras geldt: h + = 0 Daaruit volgt h + 9 = 00 dus h = 9 en h = 9 p dezelfde manier als in opdraht a volgt er uit de stelling van Pthagoras dat h + = 00 of ook h = 00 Hieruit volgt dat h= 00 Alleen zinvol zijn waarden uit het interval [ 0, 0] d Het ereik van h is het interval [ 0, 0] e Als je voor het getal invult in het funtievoorshrift van opdraht dan vind je de maimale hoogte van de ovenkant van de ladder: h(,) = 00, = 9, 7 9, meter a Er is geen vertiale asmptoot omdat voor de noemer van de reuk geldt, dat + > voor elke waarde van
Hoofdstuk - Funties en de rekenmahine 7 De horizontale asmptoten zijn de lijnen = en = d Het ereik van h is het interval, a 0 0 0 0 De snijpunten met de -as vind je door op te lossen f ()= 0 Daaruit volgt dat = 0 en dus ( ) = 0 Dit geeft = 0 of = De drie snijpunten zijn dus (, 0), (0, 0) en (, 0) Dat zulke punten wel estaan lijkt uit de erekening van de vorige opdraht, want als f ()= 0 dan is ook g ()= 0 d Voor de waarden van waarvoor de grafiek van f oven de -as ligt geldt f () 0 Uit zulke funtiewaarden kun je de wortel trekken, dus het domein van g valt samen met de oplossingen van de ongelijkheid f () 0 e Het ereik is het interval [ 0, ladzijde 7a De oppervlakte van het vierkant ABCD is 00 De oppervlakte van de driehoeken PBQ en RDS is ( ): = en de driehoeken APS en RQC heen een oppervlakte van ( ): = Dus de oppervlakte van de gekleurde rehthoek is gelijk aan 00 = p dezelfde manier als in opdraht a kun je de oppervlakte van de gekleurde rehthoek uitrekenen als BP = Voor de oppervlakte geldt dan: f ( ) ( ) () = 0 0 00 = 00 ( 0 ) f () = 00 ( 00 0+ ) = 00 00 + 0 = 0 d Dan moet gelden 0< < 0
Hoofdstuk - Funties en de rekenmahine e 0< f () 0 f De grafiek van f is een ergparaool met als top het punt (, 0), dus de maimale oppervlakte is gelijk aan 0 als = a Het randpunt is het punt met -oördinaat Er geldt f( ) = + + 7 0 =, dus het randpunt is het punt (, ) Met de rekenmahine vind je het punt (, 0;, ) Het ereik van f is het interval ;, ] d Er moet dan gelden, dat de uitdrukking onder het wortelteken de waarde nul heeft, dus dat + = 0 Daaruit volgt dat = e Uit het gegeven leid je af dat g( ) = 0, dus dat + a + 7 + = 0 Er volgt dat a = f Noem de ijehorende funtie h Dan geldt dat + = 0 en ook dat h( ) = 0 Uit deze gegevens volgt dat = en ook dat + a + 7 + = 0 Deze vergelijking is te herleiden tot + a + = 0, dus a = ICT Domein en ereik ladzijde I-a De funtie estaat niet als, want voor die waarden van is de uitdrukking onder het wortelteken een negatief getal of nul De lijn = is de vertiale asmptoot Dan estaat de funtie niet voor de waarden van met d Alleen voor = estaat de funtie dan niet, want de noemer van de reuk mag geen nul zijn e Alle getallen uit het interval 0, kwamen als funtiewaarde voor I-a Als < < 0 dan is er geen funtiewaarde Uit de tael lijkt dat de funtiewaarden f( ) en f( ) estaan en ook f( 0 ) estaat Als je de waarden en invult in het funtievoorshrift, dan krijg je k( ) = 0, k( ) = 0 en k( 0) = 0 ladzijde 7 I-a Als je met de shuifalk de waarde van a laat variëren, dan zie je dat er iets ijzonders aan de hand is ij a =, maar ij alle andere waarden van a is er een vertiale asmptoot Voor a = kun je het funtievoorshrift vereenvoudigen op de voorwaarde dat ( + ) + 0, dus Je krijgt dan f () = + = + ( ) Deze (lineaire) funtie heeft geen vertiale asmptoot, maar wel een gaatje in het punt (, 0 ) De grafiek van f heeft dan zowel de top (, 0) als het dal (, ) Het ereik is, 0] [,
Hoofdstuk - Funties en de rekenmahine I-a Het domein is en het ereik is, ], want de grafiek is een ergparaool met top (, 0 ) Het domein is het interval, ] [, 0, want de uitdrukking onder het wortelteken moet minstens nul zijn en dat klopt niet als < < 0 Het ereik is [, 0 Het domein zowel als het ereik is met uitzondering van het getal 0 d Het domein is het interval [, ] en het ereik is het interval [ 0, ] e Het domein is het interval, en het ereik is het interval [, f Het domein is, 0 0, en het ereik, 0 [, ; I- D ()= Het domein is [ 0, en het ereik is [ 0; 0, E ()= Het domein en het ereik zijn eide het interval 0, F ()= Het domein is ehalve het getal 0 en het ereik is, 0, ; I-a Er zijn geen waarden van a, waarvoor er negatieve funtiewaarden zijn, dus het ereik is voor geen enkele waarde van a gelijk aan Als a 0, dan is het domein, maar het ereik is niet gelijk aan Wanneer a < 0 dan is het ereik maar ook het domein niet gelijk aan d Dat komt omdat de wortelvorm nooit een negatief getal als uitkomst kan heen Test jezelf ladzijde 0 T-a Als vensterinstelling kun je ijvooreeld kiezen: van 00 tot 0 en van 0 000 tot 0 000 0000 90 0 0 0 0000 0000 T-a Funtie f hoort ij de linker grafiek, funtie g hoort ij de grafiek naast de linker grafiek, funtie h hoort ij de grafiek naast de rehter grafiek en funtie k hoort ij de rehter grafiek A heeft de oördinaten (0, ), B heeft de oördinaten (0, ), C heeft de oördinaten (, 0), D heeft de oördinaten (0, ) en E heeft de oördinaten (0, 0) De linker grafiek heeft als horizontale asmptoot de -as dus de vergelijking is = 0 De derde grafiek van links heeft ook als horizontale asmptoot de -as T-a f( ) 9, 7, dus de grafiek komt heel ver oven de -as als =, terwijl de plot de indruk wekt dat de funtie op den duur steeds kleinere, negatieve funtiewaarden ereikt
Hoofdstuk - Funties en de rekenmahine Er zijn twee snijpunten met de -as De -oördinaten van die punten zijn, en,9 9000 000 000 0 0 0 0 0 000 000 T-a Voor de -oördinaat van het randpunt geldt + 9= 0, dus = 9 De -oördinaat is f( 9) =, dus het randpunt is het punt ( 9, ) Het snijpunt met de -as is het punt (0, ) Het snijpunt met de -as vind je door op te lossen + + 9 = 0 Daaruit volgt + 9 =, + 9 =, + Het snijpunt met de -as heeft dus de oördinaten (, 0) De vensterinstelling is dan ijvooreeld: van 0 tot 0 en van tot 0 d Het domein van f is het interval [ 9, en het ereik is het interval [, ladzijde T-a Het domein van g evat alle getallen, ehalve en, want als je die getallen invult in het funtievoorshrift van g dan wordt de noemer van de reuk nul Dus D g =, en, en, Het domein van funtie h is, want de noemer van de reuk in het funtievoorshrift van h is nooit gelijk aan nul Voor funtie g is een geshikte vensterinstelling: van tot en van tot Voor funtie h is dat ijvooreeld: van tot en van 0, tot 0, 0, 0, 0, 0, 0 De grafiek van funtie g heeft twee vertiale asmptoten = en = en de horizontale asmptoot = 0 De grafiek van h heeft als horizontale asmptoot de -as; er zijn geen vertiale asmptoten 0 7
Hoofdstuk - Funties en de rekenmahine T-a Als = dan zijn de oördinaten van punt B (, ) en de oppervlakte van vierhoek ABC is dan gelijk aan = Als =, dan geldt dat B de oördinaten (,) heeft en de oppervlakte van vierhoek ABC is dan gelijk aan = Punt B heeft in dat geval de oördinaten (,()) f = (, + ) De oppervlakte van vierhoek ABC is dan gelijk aan ( + ) = + mdat punt B oven de -as moet liggen moet gekozen worden tussen 0 en, dus 0< < d De top van de paraool is het punt (, 9), dus de funtiewaarden die kunnen voorkomen liggen in het interval 0, 9] e De vensterinstelling is dan ijvooreeld van 0 tot en van 0 tot 0 De oppervlakte is maimaal als = en is dan gelijk aan T-7a V( 0) = 0 = 7000mm Er moet gelden dat 0, t > 0 dus, t < 0 en t < 0 Dus kan t waarden aannemen uit het interval 0, 0 De waarden van V komen uit het interval 0, 7000 d 000 v 0000 000 0000 000 e 0 0 Als je de lijn V = 0000, tegelijk met de grafiek van Vt () plot, dan is het snijpunt van eide grafieken het punt (, ; 0000 ), dus na ongeveer, minuten is het volume kleiner dan 0000 mm T- 0 0 0 0 0 0 De plot geeft geen goed eeld van de grafiek van f omdat de grafiek nog een vertiale asmptoot heeft en in de uurt van die asmptoot, de lijn =, ziet de grafiek er uit zoals hieroven weergegeven