CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 1 11 februari 2014 1
Even voorstellen Theresia van Essen Docent bij Technische Wiskunde Aanwezig op maandag en donderdag EWI 04.130 j.t.vanessen@tudelft.nl Slides op http://homepage.tudelft.nl/v9r7r/ 2
Opbouw college Combinatie van hoor- en werkcollege Antwoorden oneven opgaven staan in boek, even opgaven mogen jullie inleveren Vandaag behandelen we hoofdstuk 1.1 3
Puzzel Lichten uit/aan 4
Puzzel Lichten uit/aan 5
Puzzel Lichten uit/aan 6
Puzzel Lichten uit/aan 7
Puzzel Lichten uit/aan Hoe kan je de lichten in alle kamers aankrijgen? 8
Oplossing Lichten uit/aan 9
Oplossing Lichten uit/aan 10
Oplossing Lichten uit/aan 11
Oplossing Lichten uit/aan 12
Voorbeeld 13
Voorbeeld Een vakwerk is stabiel als de horizontale en verticale componenten van de krachten nul is in elk knooppunt. F φ A C B θ 14
Voorbeeld F φ A C B θ A + sin θ C + cos φ F = 0 B + cos θ C sin φ F = 0 15
Lineaire vergelijking Lineaire vergelijking: a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b x 1, x 2,, x n zijn variabelen a 1, a 2,, a n, b zijn reële getallen 16
Lineaire vergelijking Lineaire vergelijking of niet? 5x 3 x 1 + 10 = 6x 5 17
Lineaire vergelijking Lineaire vergelijking of niet? 5x 3 x 1 + 10 = 6x 5 x 1 + 5x 3 6x 5 = 10 18
Lineaire vergelijking Lineaire vergelijking of niet? 5x 3 x 1 + 10 = 6x 5 x 1 + 5x 3 6x 5 = 10 x 1 + 5 x 2 = 10 19
Lineaire vergelijking Lineaire vergelijking of niet? 5x 3 x 1 + 10 = 6x 5 x 1 + 5x 3 6x 5 = 10 x 1 + 5 x 2 = 10 x 2 is niet lineair 20
Lineaire vergelijking Lineaire vergelijking of niet? 5x 3 x 1 + 10 = 6x 5 x 1 + 5x 3 6x 5 = 10 x 1 + 5 x 2 = 10 x 2 is niet lineair x 1 + 5x 2 = x 3 x 4 21
Lineaire vergelijking Lineaire vergelijking of niet? 5x 3 x 1 + 10 = 6x 5 x 1 + 5x 3 6x 5 = 10 x 1 + 5 x 2 = 10 x 2 is niet lineair x 1 + 5x 2 = x 3 x 4 x 3 x 4 is niet lineair 22
Stelsel van lineaire vergelijkingen Definitie Een stelsel van lineaire vergelijkingen is een verzameling lineaire vergelijkingen met dezelfde variabelen. Voorbeeld A + sin θ C + cos φ F = 0 B + cos θ C sin φ F = 0 23
Oplossing voor stelsel Een oplossing voor een stelsel wordt gegeven door waarden voor x 1, x 2,, x n die aan alle vergelijkingen voldoen. 24
Oplossing voor stelsel Een oplossing voor een stelsel wordt gegeven door waarden voor x 1, x 2,, x n die aan alle vergelijkingen voldoen. Voorbeeld x 1 + 5x 2 = 7 2x 1 7x 2 = 5 Oplossing: x 1, x 2 = 8,3 25
Oplossing voor stelsel Een stelsel kan 0, 1, of oneindig veel oplossingen hebben. 26
Oplossing voor stelsel Een stelsel kan 0, 1, of oneindig veel oplossingen hebben. 27
Oplossing voor stelsel Een stelsel kan 0, 1, of oneindig veel oplossingen hebben. 28
Oplossing voor stelsel Een stelsel kan 0, 1, of oneindig veel oplossingen hebben. 29
Oplossing voor stelsel Consistent stelsel Eén of oneindig veel oplossingen Inconsistent stelsel Geen oplossing 30
Matrix notatie Een stelsel van vergelijkingen kan als een m n matrix worden geschreven. m is het aantal rijen/vergelijkingen n is het aantal kolommen/variabelen 31
Matrix notatie Een stelsel van vergelijkingen kan als een m n matrix worden geschreven. Voorbeeld x 1 2x 2 + x 3 = 0 2x 2 8x 3 = 8 4x 1 + 5x 2 + 9x 3 = 9 32
Matrix notatie Een stelsel van vergelijkingen kan als een m n matrix worden geschreven. Voorbeeld 1 x 1 2 x 2 + 1 x 3 = 0 2x 2 8x 3 = 8 4x 1 + 5x 2 + 9x 3 = 9 33
Matrix notatie Een stelsel van vergelijkingen kan als een m n matrix worden geschreven. Voorbeeld 1 x 1 2 x 2 + 1 x 3 = 0 2x 2 8x 3 = 8 4x 1 + 5x 2 + 9x 3 = 9 Coefficient matrix 1 2 1 0 2 8 4 5 9 34
Matrix notatie Een stelsel van vergelijkingen kan als een m n matrix worden geschreven. Voorbeeld 1 x 1 2 x 2 + 1 x 3 = 0 2x 2 8x 3 = 8 4x 1 + 5x 2 + 9x 3 = 9 Coefficient matrix Uitgebreide matrix 1 2 1 0 2 8 4 5 9 1 2 1 0 2 8 4 5 9 0 8 9 35
Stelsel vergelijkingen oplossen Elementaire rij-operaties: Verwissel twee rijen Vermenigvuldig een rij met een constante ongelijk aan nul Vervang een rij door de som van zichzelf en een veelvoud van een andere rij 36
Rij-operaties Elke rij-operatie is omkeerbaar. Verwissel twee rijen Vermenigvuldig een rij met een constante ongelijk aan nul Vervang een rij door de som van zichzelf en een veelvoud van een andere rij 37
Rij-operaties Elke rij-operatie is omkeerbaar. Elke rij-operatie behoudt de oplossing set. 38
Rij-operaties Elke rij-operatie is omkeerbaar. Elke rij-operatie behoudt de oplossing set. Twee matrices zijn rij-equivalent als de ene matrix door rij-operaties getransformeerd kan worden in de andere matrix. 39
Rij-operaties Elke rij-operatie is omkeerbaar. Elke rij-operatie behoudt de oplossing set. Twee matrices zijn rij-equivalent als de ene matrix door rij-operaties getransformeerd kan worden in de andere matrix. Als twee matrices rij-equivalent zijn, hebben ze dezelfde oplossing set. 40
Twee fundamentele vragen Bestaat er een oplossing voor het stelsel? Als er een oplossing bestaat, is dit de enige oplossing oftewel is de oplossing uniek? 41
Opgaven maken Hoofdstuk 1.1 Opgaven: 1, 3, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 19 22, 25, 29 32 42
Puzzel Lichten uit/aan 2 4 = 16 mogelijke opties Door symmetrie 6 echt verschillende opties. 43
Puzzel Lichten uit/aan 2 9 = 512 mogelijke opties 44
Oplossing Lichten uit/aan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 45
Oplossing Lichten uit/aan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 46
Oplossing Lichten uit/aan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 47
Oplossing Lichten uit/aan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 48
Oplossing Lichten uit/aan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 49
Schakelaar aan Oplossing Lichten uit/aan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Licht aan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 2 1 1 1 0 1 0 0 0 0 3 0 1 1 0 0 1 0 0 0 4 1 0 0 1 1 0 1 0 0 5 0 1 0 1 1 1 0 1 0 6 0 0 1 0 1 1 0 0 1 7 0 0 0 1 0 0 1 1 0 8 0 0 0 0 1 0 1 1 1 9 0 0 0 0 0 1 0 1 1 50
Oplossing Lichten uit/aan 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 ~ 7 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 7 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 7 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 7 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 7 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 7 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 7 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 7 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 7 3 51
Oplossing Lichten uit/aan 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 ~ 7 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 7 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 7 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 7 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 7 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 7 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 7 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 7 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 7 3 7 keer een actie met de schakelaars resulteert in laatste kolom 0 = uit, 1 = aan, 2 = uit, 3 = aan -1 = aan Dus schakelaar 1, 3, 5, 7 en 9 aandoen. 52
Opgaven maken Hoofdstuk 1.1 Opgaven: 1, 3, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 19 22, 25, 29 32 53