Stevin vwo deel 2 Uitwerkingen hoofdstuk 3 Trillen en slingeren ( ) Pagina 1 van 17. 1,6 cm c

Transcriptie

1 Stevin vwo deel Uitwerkinen hoofdstuk 3 rillen en slineren ( ) Paina van 7 Opaven 3. Zwaaien en dansen a Aflezen in rafiek: = 9,6,6 = 8,0 s =,0 s f = = = 50 =,5 0 Hz 3,0 0,0 s,5 0 Hz Aflezen in rafiek: t = 3,0 s u =,6,6 De aplitude A is de axiale uitwijkin. Bij een onedepte trillin is die onstant. Volens de rafiek is dat hier,0. a De veer wordt uiterekt door het ewiht van het lok: Fz = = 0,50 9,8 =,7.. =,7 N Wet van Hooke: F,7.. F = u = =,6..,3 N/ u 0,0 = =,0,7 N,3 N/ 0,50 = π = π = 0,699.. = 0,695 s 0,695 s,6.. d 3 a Deze theoretishe waarde is 0,73 0,695 = 0,08 s kleiner dan de experientele waarde. 0,08 = 0,05.. = 0,05 =,5% kleiner. 0,73, = π, = π = 5 5 π,, = = 5 = 0,57.. = 0,55 k 5 π π is reht evenredi et. wordt x zo root wordt = x zo root, dus wordt, =, s = π = = = π π π,5% 0,55 k, s a stoel 800 0,.. 0 k = = = 0 k π stoel+astronaute = 800 = 8,0.. k astronaute = 8,0.. 0,.. = 60,7.. = 6 k π 6 k 5 a 8,3 = π 8,3 = π = 9,8 9,8 9,8 π 7 8,3 8,3 = = 9,8 = 7,.. = 7 9,8 π π ,3 = π 8,3 = π = π 500 8, π, 0 3 N/ 3 = = = = 3,.. =, 0 N/ π 8,3 8,3 π

2 Stevin vwo deel Uitwerkinen hoofdstuk 3 rillen en slineren ( ) Paina van 7 6 π π = π = π = = k k = zie Binas tael 3 (/s ) π/ k (s/ ½ ),9 s/ ½ 3,3 s/ ½ Aarde 9,8,00..,0 aan,63,9..,9 Mars 3,7 3,6.. 3,3 7 a Fz 0,300 9,8 = = = = 60,0.. = 60 N/ u u 0,09 60 N/ = π = π 0,300 = 0,.. = 0, s 0, s 60,0.. Met de experientele trillinstijd kun je de assa erekenen 0,50 = π 0,50 = π = 60,0.. 60,0.. π 0,50 0,50 = = 60,0.. = 0,380.. k 60,0.. π π Deze assa is = + vis 3 veer 0, = 0, veer veer = 3 0, = 0,0.. = 0, k 0, k 8 a π A vax = = π A f = π 0,0, =,05.. /s 3 Ek,ax = v ax = 0,00,05.. = 0, = 56 0 J Ek,ax = Ev,ax = A 0, = 0,0 = 0,007 = 7,73.. = 7,7 N/ 56 J 7,7 N/ 3 Ev u = = 7,73.. 0,00 = 0, = 6, 0 J 6, J 3 Ek = Etotaal Ev = 0, , = 0,095.. = 50 0 J 50 J 3 Ek = v 0,095.. = 0,00 v v = 0,990.. v = 0,995.. =,0 /s 9 a Het iddelste elletje. Daarvan is de slinerlente, dus de eienfrequentie, even root als die van de ol links. Er is resonantie als sliner = veer, dus als π = π = 0,00 = = 0,80.. = 0,8 9,8 7,0,0 /s 8

3 Stevin vwo deel Uitwerkinen hoofdstuk 3 rillen en slineren ( ) Paina 3 van 7 Opaven 3. De u(t)- rafiek van de haronishe trillin 0 a 360 t 360,0 α = = = 5,.. = 5 5 o 3, 5 u = A sinα =,0 sin( 5,..) = 9,803.. = 9,80 9,80 N.B. u>0 en v>0 eldt in het eerste kwart van de ewein, dus 0 < α < 90 en t < = 3,5 = 0,865 s u = A sinα 5,0,0 5,0 =,0 sinα sinα = = 0,6.. α = sin (0,6..) =,6.. = 5 5 o d 360 t 360 t α =,6.. = 3, t =,6.. 3,5 = 8,9.. t = 0,359.. = 0,36 s e De rode punten horen ij u = 5,0 en v > 0 en de roene punten horen ij u = +5,0 en v > 0. Je ziet dat deze punten syetrish lien ten opzihte van t = 0 en t =. Voor α en t eldt dus: α = 360,6.. = 335,3.. = 335 t = 3,5 0,359.. = 3,.. = 3, s 0,36 s 335 o 3, s a u(t) is sinusvori: de uitwijkin van de evenwihtstand naar ½A duurt korter dan van ½A naar A. Een kwart trillin duurt dus korter dan x,0 =,0 s, dus <6 s

4 Stevin vwo deel Uitwerkinen hoofdstuk 3 rillen en slineren ( ) Paina van 7 s u = A sinα 5,0 0,0 5,0 = 0,0 sinα sinα = = 0,50.. α = sin (0,50..) = 30 = 360 Bij het eerste rode punt hoort dus α = 30º en t = en ij het tweede hoort α = 90º en t = Dus is de veranderin in,0 s u = A na 3,0 = ( ) = = = 6 na u = A = 6,0 = s t(top) = = 3,0 s t = 3,0+ 5,0 = 8,0 s 360 t 360 8,0 α = = = 0 u = 0,0 sin0 = 8,66.. = 8,7 π A vax = = π f A 3 v = π,5 0, 0 = 3,.. =, 0 /s ax 3 In een ensenleven kun je ijvooreeld ondersheiden kindsheid, jeud, volwassenheid, ouderdo. Dus de ontwikkelinsstadia die elk ens doorloopt. In een jaar he je op onze reedteraad de steeds terukerende seizoenen lente, zoer, herfst, winter. a = π π 9,00 6,08.. 6,0 s = 9,8 = = -8,7, 0 /s 6,0 s Voorij de evenwihtstand aat de fles door tot u = ½A. = + = 3 + = 6,08..,006..,0 s Dat duurt no. Dus t ( ) t = = =,0 s φ(0) = of φ(0) = 3 want een kwart periode later aat de fles door de evenwihtstand et v > 0 3/

5 Stevin vwo deel Uitwerkinen hoofdstuk 3 rillen en slineren ( ) Paina 5 van 7 d ussen het loslaten en de klap is de faseveranderin (zie []) φ = + = φ = + = + = 3/ 5 a φ (0) = = 0,5 want de ol eint in de eerste uiterste stand na het eruikelijke einpunt. Na,5 want na 0,5 is de ol voor de eerste keer in het laaste punt. Na no een periode is hij daar opnieuw. φ = 0,5 +,5 =,75 φ* = 0,75 Vanaf het eruikelijke einpunt heeft de ol driekwart van zijn trillin voltooid. 6 a 0,5 < φ(0) < 0,5 want erekend vanaf het eruikelijke einpunt (u = 0, v > 0) is het ewiht ezi aan het tweede kwart van zijn ewein. Het ewiht eweet naar rehts etekent: v > 0. 0,5,5 0,75 7 a Uif de fiuur lijkt 5 = 9,,0 = 8, s 5 = 8,0 =,6 s f = = = = 3, ,7.. 6,0 0 Hz,6 s 6,0 0 Hz

6 Stevin vwo deel Uitwerkinen hoofdstuk 3 rillen en slineren ( ) Paina 6 van 7 Opaven hoofdstuk 3 8 a = k,7 = k 3,0 =,73.. k k =,55.. =,6 /q,6 /q ½ =,55.. 5,0 = 3,8.. = 3,5 ark 3,5,,55.., =,55.. = = 0,898.. = (0,898..) = 0,806.. = 0,8 quink 0,8 q 9 Je kunt voor a en eruik aken van een rafiek, aar het hoeft niet. 0 a l () () u () () ? ? 50? ? u = l = 5 = 3 ij = = 50 dus u = ij = 50 Dan is u = l = 7 = 5 ij = 5 x 50 = 50 en = = 50 Bij = = 300 (= 6 x 50 ) hoort l = 6 dus l = + 6 = 8 = π ~ : = 00 : 500 = :,58.. f = f: f =,58.. : =,6 : = π ~ ~ ρ ol = ρ Vol ~ ρ 3 aluiniu ρaluiniu,70 0 = = = = lood ρ 3 lood,3 0,05.., ,6 : :,05

7 Stevin vwo deel Uitwerkinen hoofdstuk 3 rillen en slineren ( ) Paina 7 van 7 De eien trillinstijd van de auto is 980 = π = π = 0,55.. s 5, 3 0 Er ontstaat resonantie als de auto juist et die tussenpozen een riel raakt: = s v = 0,.. 0 /s ( 7, k/h) t 0,55.. = = = = (Ook ij de helft van deze snelheid kan resonantie ontstaan. Maar niet ij de duele snelheid.) Blijkaar eldt voor de eientrillin = /f = 0 s 6 3, 0,5.. 0 = π 0 = π =, = = 57,9.. = (57,9..) = 3355,.. = 3, 0 N/ 0 3 Door de resonantie aakt de klankkast de aplitude van de eluidstrillin roter: het eluid klinkt luider. Maar de klankkast aakt niet de eluidsenerie roter. De enerie van een stevork is eerder op als hij op een klankkast staat. a πa vax = ~ A A is is 5/ =,5 x kleiner eworden, dus ook v ax =,5 x kleiner eworden. k,ax = ax ~ ax E v v E k,ax is,5 = 6,5 x kleiner eworden. Er is weelekt ( ) E 6,5 k,ax = 0,8 Ek,ax 8% 5 a De auto zakt in door het ewiht van de passaiers. F = u 50 9,8 = 5,0 0 u u = 0,090.. = 0,09 De ehele assa, auto én passaiers, trilt. 50 = π = π = 0,993.. = 0,99 s 5, k/h 3, 0 3 N/,5 8%,9 0,99 s

8 Stevin vwo deel Uitwerkinen hoofdstuk 3 rillen en slineren ( ) Paina 8 van 7 De rafiek is et dit odel eaakt. De startwaarden voor,, x en u koen uit de opave; x in is daarna oerekend naar u in. k is proefondervindelijk epaald. MODEL SARWAARDEN t := t + dt t = 0 dt = 0,0 a = (-*x - k*v)/ v := v + a*dt x := x + v*d t = x = 0,05 k = 000 v = 0 = 50 u = 00*x u = 00*x 6 a a a3 Aflezen in rafiek F,8 (N) = = = 0,0 N/ = 0 N/ 0 N/ u () π 0,300 = π = π = = 0,59.. = 0,59 s 0,59 s 0

9 Stevin vwo deel Uitwerkinen hoofdstuk 3 rillen en slineren ( ) Paina 9 van 7 Bij = 60 Bij = 0 aat de rafiek niet door de oorspron en het erekende punt voor 300 lit te laa. Blijkaar is de assa van de trillende veer hier niet te verwaarlozen. Bij a3 is erekend zonder et de assa van de veer rekenin te houden. De uitkost is daardoor te klein. (Extra, zie p. 59. Als je wel rekenin houdt et de assa van de veer oet je vervanen door + ). 3 veer 7 = R = =,8.. s en 0 s = 0 = 3,53..,8.. De skater stond rehtsoven. Na 3,5 perioden staat hij linksoven. In elke periode passeert hij x het onderste punt. In totaal 3,5 x = 7 x. 8 a 3 = π = π = 0,53.. s 8000 f = = = 3,9.. = 3,9 Hz 0, ,9 Hz 9 a 30 a Als je op de plank staat, trilt er een rotere assa. Stel, je assa is 60 k, dan 73 = π π 0,600.. s f,66..,7 Hz = 8000 = = = 0,600.. = = Je zou et die frequentie op de plank oeten dansen o resonantie te krijen = π oet links en rehts elijk zijn ,0 = = 0 = 6,66.. = 6,7 N/ 5,0 90 k Links is 5,0 = k = 5,0 50 = Rehts eldt 6,66.. = N = = 37,5 N 6,66.. Er oeten rehts 50 37,5 =,5 windinen afeknipt worden. 6 = π π 6,0.. 6 s = 9,8 = = Het slinervlak draait 360 in vlak = 3,8.. uur 3, s sinα = sin 9 = = Na 0 slinerinen is de draaiin 0 sliner 0 6, = 360 = 0,50.. = 0,50 vlak 3, ,7 Hz 6,7 N/,5 6 s 0,50

10 Stevin vwo deel Uitwerkinen hoofdstuk 3 rillen en slineren ( ) Paina 0 van 7 d 3 a sliner = π,73 = π =,00.. 9,8,85,73 = ( ) =,85.. =,85, vlak = 50 = 800 inuten = 30,0 uur 30 vlak = 30,0 = sinα = α = 53,.. = 53 sin sin 30,0 α = π ~ 3 α : : = 0 : 0 : 90 = : : 9 = ::3 53 ::3 Dezelfde verhoudin. Ook daar is = π ~ ::3 Na t = 3 = 3 = 6 is elke sliner teru in zijn einsituatie. 3 a, 60 = π π,537..,5 s = 9,8 = =,5 s πa π 0,70 vax = = =,73.. =,7 /s,537..,7 /s E trillin k,ax ax 0,00 (,73..) 0, ,30 J 0,30 J d 0,6 h = y =, 60 y h =,60,38.. = 0,6.. = 0,6 y =,60 0,70 =,38.. e f 33 a E z E ax k ax h = v v = h ax v = 9,8 0,6.. =,778.. =,78 /s e anier πa π,60 vax = = = 3,96.. = 3,96 /s,537.. Maar de uitwijkin is epaald niet klein. e anier vax = h = 9,8,60 = 5,60.. = 5,60 /s Deze uitkost zal veel dihter ij de werkelijkheid lien. 0,50 3,.. = π 0,83 = π = 3,.. 0,83 = ( ) =,3.. = N/,78 /s 3,96 /s 5,60 /s N/

11 Stevin vwo deel Uitwerkinen hoofdstuk 3 rillen en slineren ( ) Paina van 7 F 0,50 9,8 = =,3.. = u u u 0,50 9,8 u = = 0,7.. = 7,..,3.. veer = 5,0 + 7,.. = 3, z = = 0,83 =,66 s = π d,66 = π,66 =,00.. = ( ) = 0,68.. 9,8,00.. L = = 0,68.. (0, ,0) = 0,3 veer Die is een shattin van de afstand van de onderkant van de veer tot het iddelpunt van de ol. 3,5 3, 3 3 a Zeven halve perioden duren,8 s =,8 =,37.. =, s, s De snelheid van de ol is ij S (evenwihtstand) roter dan ij S. Bij S duurt de verduisterin ij het passeren laner. 35 a 3 = = 7, s = 7,87.. s 7 Eén sinus past op een sher van 0 s reed, dus als de tijdasis is inesteld op s/sd 3 0 = = 9, s = 9,09.. s De vier sinussen passen juist op een sher van 0 s reed, dus als de tijdasis is inesteld op s/sd s/sd s/sd 3 60 = = 6,6.. 0 s = 6,6.. s Het sher is 0 = 0 s reed. Daarop passen 0/6,6.. =, sinussen

12 Stevin vwo deel Uitwerkinen hoofdstuk 3 rillen en slineren ( ) Paina van 7 36 a De horizontale as heeft als rootheid de fase et als eenheid. * 3 De ol ereikt zijn uiterste stand als φ = =. Hij * = periode zihtaar is, dus van 3 * φ = = tot φ = 3 + = 5 3 * Als de ol zihtaar wordt, is de fasehoek α = 360 φ = 360 = 30 a u = A sinα = 0 sin30 = 0 0 a3 Maxiale uitwijkin is 0 : de ol kot 0 0 = 0 oven het sher uit. 0 * 5 α = 360 φ = 360 = a t φ() t = φ(0) + 3,0 φ(3) = 0,5 + =,75,0 φ = 0,50 3,0 φ(3) = 0,5+ =,5 3,0 50 0,50

13 Stevin vwo deel Uitwerkinen hoofdstuk 3 rillen en slineren ( ) Paina 3 van 7 Na weer drie seonden is het fasevershil no eens et 0,50 toeenoen. Het fasevershil na 6,0 s is dus : de trillinen zijn op dat oent in fase. 6,0 s 38 a x = sinα F = F sin α = sin α z

14 Stevin vwo deel Uitwerkinen hoofdstuk 3 rillen en slineren ( ) Paina van 7 F sinα = = = u sinα = π = π = π

15 Stevin vwo deel Uitwerkinen hoofdstuk 3 rillen en slineren ( ) Paina 5 van 7 oets Een eleerde trillin a = π π,00,837..,8 s = 9,8 = =,8 s a 0,50 rehts = π π,8.., s = 9,8 = = (De slinertijd rehts is de helft van de slinertijd links, want ~ l en rehts is de slinerlente een kwart van die van links. = links + rehts =, ,8.. =,7.. =,3 s,3 s π Alinks π 0 vax = = =,.. = /s /s,837.. links π Alinks πarehts vax = = links rehts Arehts = A links = 0 5 = rehts = links 5

16 Stevin vwo deel Uitwerkinen hoofdstuk 3 rillen en slineren ( ) Paina 6 van 7 Een zandauto a Fz 800 9,8 3, = = = = N/ u u 0, = π = π = 0,65.. = 0,65 s 5 3, ,65 s a 000 = π = π = 0,7.. s 5 3, f = = =,.. =, Hz 0,7.., Hz E 5 ax 3, ,00 70,6.. 7 J 7 J Ek + Ev = Etotaal In deze fiuur lijft de aplitude. Hij wordt door depin natuurlijk kleiner. N.B. De rafieken zijn eaakt in Modeloevin van oah6. MODEL SARWAARDEN u := u + du u = 0,0 du = 0,00 Ev = 0,5**u^ = 3,5 e5 Ek = E Ev Als u > 0,0 dan Stop Eindals E = 0,5**u^ Ev = E De Startwaarde voor E is de axiale enerie. Die voor Ev zort ervoor dat de rafiek van Ev in het juiste punt eint

17 Stevin vwo deel Uitwerkinen hoofdstuk 3 rillen en slineren ( ) Paina 7 van 7 3 Een spiraalveer a M d D = M = D d N N N M = = Of in asiseenheden: k N s k k = = = s s M d 3 d = = M d D l D l De ateriaalonstante M lijft dezelfde. In de reuk tussen haakjes veranderen de teller en de noeer op dezelfde anier: eide worden 87 3 keer kleiner. De reuk zelf lijft elijk. Blijft over de laatste fator d: die wordt 87 keer kleiner. Dus ook wordt 87 keer kleiner. = ρ V Alle afetinen (lente, reedte en hoote) worden 87 keer kleiner. Elk volue wordt dan 87 3 keer kleiner. Dus wordt 87 3 keer kleiner. = π 3 ( 87 ) ( 87 ) = In het odel zullen de eientrillinen een veel kleinere periode heen. N/ of k/ s 87 3 of 6,6 0 5