Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2003-II

Transcriptie

1 Loterij Ter eleenheid van een jubileum oraniseert een rote universiteit een loterij. Elke student krijt één lot. Er vinden twee trekkinen plaats. ij de eerste trekkin wordt bepaald op welke nummers een hoofdprijs van 500,- valt. Deze nummers worden teruedaan en uit het totaal worden vervolens de nummers etrokken waarop een troostprijs van 00,- valt. p 5% van de loten valt een prijs van 500,- en op 20% van de loten een prijs van 00,-. p één lot kunnen dus zowel een hoofd- als een troostprijs vallen. Thomas is één van de studenten die zo n lot ekreen heeft. 4p Toon aan dat de kans dat Thomas minstens één prijs wint, elijk is aan 0,24. Een studentenvereniin bestaande uit 20 studenten spreekt af dat ieder lid het ewonnen prijzeneld in de clubkas stort. an het eind van het studiejaar zal er dan een activiteit eoraniseerd worden die betaald wordt met het prijzeneld. 3p 2 ereken in twee decimalen nauwkeuri de kans dat minstens acht leden van de studentenvereniin in de prijzen vallen. 4p 3 ereken hoeveel prijzeneld de studentenvereniin bij de twee trekkinen naar verwachtin zal winnen. www. - -

2 Conflictlijnen fiuur GRIEKEN- LND TURKIJE Santorini Santorini Santorini is een Grieks eiland. Door een vulkaanuitbarstin ruim 3550 jaar eleden is meer dan de helft van het eiland verzonken in zee. Het overebleven deel van het eiland heeft de vorm van een croissant. Zie fiuur. Geïnspireerd door de merkwaardie vorm van dit eiland aan we over op het volende wiskundie model. oo is een edeelte van de cirkel met middelpunt M en straal M. De punten, T en M lien op één lijn. Zie fiuur 2. Deze fiuur staat ook op de bijlae bij vraa 4. fiuur 2 T M Veronderstel dat het vlak volens het naaste-buurprincipe wordt verdeeld tussen T en boo. De rens bestaat uit twee rechte delen en één eboen deel. 8p 4 Teken de rens in de fiuur op de bijlae en eef bij elk van de drie delen een toelichtin. www

3 Wortels optellen Voor kleine waarden van n is de som n no wel uit te rekenen met de rafische rekenmachine. Voor rote waarden van n is dat zelfs voor de GR tijdrovend. m voor rote waarden van n een schattin te hebben van de som bekijken we bovensommen van op het interval [0, ]. fiuur 3 In fiuur 3 is de rafiek van etekend op het interval [0, ]. Dit interval is in tien even brede stukjes verdeeld. De som van de oppervlaktes van de tien earceerde rechthoekjes is de bovensom; deze even we aan met 0. Fiuur 3 is zonder arcerin ook op de bijlae bij de vraen 5 en 6 etekend. 4p 5 Toon aan: 0 ( ). 0 0 De ondersom die hoort bij de verdelin van het interval [0, ] in tien even brede stukjes even we aan met 0. 4p 6 Toon aan: Het interval [0, ] wordt in n even brede stukjes verdeeld. n is de bijbehorende bovensom en n is de bijbehorende ondersom. anetoond kan worden dat n ( n ) en n n. n n n is de oppervlakte onder de rafiek van op [0, ]. 4p 7 Toon aan dat uit < n en > n volt: n n n n n n. Met behulp van deze onelijkheid kan voor een benaderin berekend worden die ten hooste 50 afwijkt van de werkelijke waarde. 5p 8 ereken deze benaderin. www

4 ppervlaktes en rijen 2 4 Geeven zijn de functies f : en :. 4 2 De raaklijnen aan de rafieken van f en met richtinscoëfficiënt en richtinscoëfficiënt sluiten een vierkant in. Zie fiuur 4. fiuur 4 f 8p 9 ereken de oppervlakte van dit vierkant. De lijn = a, met a > 0, snijdt de rafiek van f in C en de rafiek van in. De lijn = a snijdt de rafiek van f in D en de rafiek van in. De rafiek van f deelt de rechthoek CD in twee stukken met elijke oppervlaktes. Zie fiuur 5. fiuur 5 f D C 7p 0 ereken de waarde van a. www

5 ij een startwaarde u 0 > 0 is de rij van positieve etallen u n edefinieerd door u n = f(u n ). De rij van neatieve etallen v n is edefinieerd door v n = (u n ). In fiuur 6 zijn de plaats van u 0 op de -as, de rafieken van f en en de lijn = etekend. Deze fiuur staat ook op de bijlae bij vraa. fiuur 6 f u 0 5p Teken in de fiuur op de bijlae bij vraa de plaats van v 2 op de -as. ij een bepaalde startwaarde u 0 krijt v de waarde. 6p 2 ereken deze startwaarde u 0. www

6 Lissajous-kromme De baan van een punt P wordt bepaald door de volende beweinsverelijkinen: t () sint t () sin(2t ) 3 Zie fiuur 7. fiuur p 3 ereken de coördinaten van de snijpunten van de baan met de -as. P passeert de -as steeds met dezelfde snelheid. 7p 4 ereken de eacte waarde van deze snelheid. Let op: de laatste vraen van dit eamen staan op de volende paina. www

7 Lijn door het snijpunt van twee cirkels Geeven zijn twee cirkels die elkaar snijden in de punten en. Lijn l aat door het punt en snijdt de cirkels in de punten C en D. Zie fiuur 8. Deze fiuur staat ook op de bijlae bij vraa 5. fiuur 8 C D l Door de lijn l om te draaien verandert driehoek CD. 4p 5 Toon aan dat de rootte van CD onafhankelijk is van de stand van l. In fiuur 9 zijn opnieuw twee cirkels etekend die elkaar snijden in de punten en. De middelpunten van deze cirkels zijn M en N. Lijn l door het punt snijdt de cirkels weer in de punten C en D. Deze fiuur staat op de bijlae bij de vraen 6 en 7. fiuur 9 C M N D l 3p 6 ewijs dat MN = C. 4p 7 ewijs dat MN = CD. www

8 ijlae bij de vraen 4, 5, 6,, 5, 6 en 7 Wiskunde,2 (nieuwe stijl) Eamen VW 2003 Tijdvak 2 Woensda 8 juni uur Vraa 4 Eamennummer Naam T M www

9 ijlae bij de vraen 4, 5, 6,, 5, 6 en 7 Vraen 5 en 6 www

10 ijlae bij de vraen 4, 5, 6,, 5, 6 en 7 Vraa f u 0 www

11 ijlae bij de vraen 4, 5, 6,, 5, 6 en 7 Vraa 5 C D l Vraen 6 en 7 C D l M N www. - -