Eindexamen wiskunde B1 vwo 2003-II

Transcriptie

1 Loterij Ter eleenheid van een jubileum oraniseert een rote universiteit een loterij. Elke student krijt één lot. Er vinden twee trekkinen plaats. Bij de eerste trekkin wordt bepaald op welke nummers een hoofdprijs van 500,- valt. Deze nummers worden teruedaan en uit het totaal worden vervolens de nummers etrokken waarop een troostprijs van 100,- valt. Op 5% van de loten valt een prijs van 500,- en op 20% van de loten een prijs van 100,-. Op één lot kunnen dus zowel een hoofd- als een troostprijs vallen. Thomas is één van de studenten die zo n lot ekreen heeft. 4p 1 Toon aan dat de kans dat Thomas minstens één prijs wint, elijk is aan 0,24. Een studentenvereniin bestaande uit 20 studenten spreekt af dat ieder lid het ewonnen prijzeneld in de clubkas stort. Aan het eind van het studiejaar zal er dan een activiteit eoraniseerd worden die betaald wordt met het prijzeneld. 3p 2 Bereken in twee decimalen nauwkeuri de kans dat minstens acht leden van de studentenvereniin in de prijzen vallen. 4p 3 Bereken hoeveel prijzeneld de studentenvereniin bij de twee trekkinen naar verwachtin zal winnen.

2 Gebroken functie Geeven is de functie f() 4. 5p 4 Bereken lans alebraïsche we de coördinaten van de toppen van de rafiek van f. V is het ebied dat wordt inesloten door de lijn y = 5 en de rafiek van f. 6p 5 Bereken met behulp van primitiveren de eacte waarde van de oppervlakte van V. 4p 6 Bereken de omtrek van V in twee decimalen nauwkeuri.

3 Vervoer Een transportondernemin brent elke da over een vast traject verse vlaaien van Limbur naar Twente. De tijd die daarvoor nodi is, is normaal verdeeld met een emiddelde van 2,5 uur en een standaardafwijkin van een kwartier. De vlaaien moeten om half neen afeleverd zijn. Enerzijds wil de directeur de loonkosten van de chauffeur beperken door hem niet te vroe te laten vertrekken. Anderzijds kan de directeur zich niet permitteren om op meer dan 5% van de daen de vlaaien te laat af te leveren. 6p 7 Bereken, in minuten nauwkeuri, hoe laat de chauffeur moet vertrekken. Op zijn daelijkse ritten is het de chauffeur opevallen dat er door veel automobilisten veel te hard ereden wordt op de stukken waar de maimumsnelheid van 120 km per uur eldt. Hij is er dan ook niet verbaasd over dat bij een controle blijkt dat 13% van de automobilisten harder rijdt dan 137 km per uur. Neem aan dat de ereden snelheid normaal verdeeld is met een emiddelde snelheid van 126 km per uur. 6p 8 Bereken hoeveel procent van de automobilisten zich aan de maimumsnelheid houdt.

4 Miratie In een bepaalde streek in Frankrijk trekt de oorspronkelijke bevolkin we, omdat de economische situatie daar slecht is. De rust van de streek trekt evenwel buitenlanders aan die er aan wonen. We nemen aan dat na verrekenin van de effecten van sterfte en eboorte het volende model eldt. Op 1 januari 1965 wonen er in de streek mensen, uitsluitend oorspronkelijke bevolkin. Jaarlijks vertrekt 1% van de aanwezie oorspronkelijke bevolkin. Vanaf 1 januari 1965 komen er elk jaar evenveel mensen in de streek wonen: de zoenaamde instromers. Dat constante aantal noemen we c. We aan er in beide evallen van uit dat het aantal mensen eleidelijk verandert en niet schoksewijs. Op een bepaald moment, het omslamoment, zullen er evenveel oorspronkelijke bewoners als instromers in de streek wonen. Neem bij de vraen 9 en 10 aan dat c = Zie fiuur 1. fiuur aantal mensen totale bevolkin instromers oorspronkelijke bevolkin aantal jaren na 1 januari p 9 Bereken in welk jaar het omslamoment zich voor zal doen. 4p 10 Bereken in welk jaar de totale bevolkin minimaal zal zijn. De omvan van de totale bevolkin van de streek kan zich na 1 januari 1965 op twee manieren ontwikkelen, afhankelijk van de waarde van c: 1. de omvan van de totale bevolkin daalt eerst een aantal jaren en stijt vervolens, zoals bij c = 1000; 2. de omvan van de totale bevolkin stijt direct vanaf het bein, zoals bij c = Zie fiuur 2. We aan er no steeds van uit dat het aantal mensen eleidelijk verandert en niet schoksewijs. fiuur 2 c = 1000 c = p 11 Bereken voor welke waarden van c de totale bevolkin na 1 januari 1965 steeds stijt.

5 Lissajous-kromme De baan van een punt P wordt bepaald door de volende beweinsverelijkinen: t () sint 1 yt () sin(2t ) 3 Zie fiuur 3. fiuur 3 y 1 A B -1 O 1-1 4p 12 Bereken de coördinaten van de snijpunten van de baan met de -as. P passeert de y-as steeds met dezelfde snelheid. 7p 13 Bereken de eacte waarde van deze snelheid. Op het tijdstip t = a bevindt het punt P zich in A en op het tijdstip t = a in B, met 0 < a < 1. A en B lien op een verticale lijn. Zie fiuur p 14 Bewijs dat de lente van AB elijk is aan sin 2a.

6 Oppervlaktes Geeven zijn de functies f : en :. 4 2 De raaklijnen aan de rafieken van f en met richtinscoëfficiënt 1 en richtinscoëfficiënt 1 sluiten een vierkant in. Zie fiuur 4. fiuur 4 y O f 7p 15 Bereken de lente van de diaonaal van dit vierkant. De lijn = a, met a > 0, snijdt de rafiek van f in C en de rafiek van in B. De lijn = a snijdt de rafiek van f in D en de rafiek van in A. De rafiek van f deelt de rechthoek ABCD in twee stukken met elijke oppervlaktes. Zie fiuur 5. fiuur 5 y f D C O A B 7p 16 Bereken de waarde van a.