log(a) = b a = g Opdracht 1 Opdracht 2 Bereken x: 2 2 =4 2 3 =8 2 4 = = = = = = = =2048 Enz...

Transcriptie

1 Hoofdstuk 6 loaritmen We zaen al eerder dat je bij het vermenivuldien van machten met elijk rondtal de exponenten op ma tellen. Dat is bijzonder, want als je bij een willekeurie vermenivuldiin de etallen zou kunnen schrijven als machten van bijvoorbeeld dan zou je de exponenten kunnen optellen. Je zou dus kunnen 'vermenivuldien door op te tellen'. Loaritmen zijn uitevonden om makkelijker te kunnen vermenivuldien. Stel je maar eens voor: ik maak een lijstje met de machten van (zie rechts). Het is niet zo moeilijk om dit lijstje verder uit te breiden. Nu wil ik berekenen 6 8 Ik kijk in mijn lijstje en zie dat: 6 = 4 en 8 = 3, dus: 6 8 = 4 3 = 7 = 8 Dat is bijzonder! Ik kan dus nu vermenivuldien door op te tellen. Optellen is veel makkelijker dan vermenivuldien. Zou dat niet handi zijn? =4 3 =8 4 =6 5 =3 6 =64 7 =8 8 =56 9 =5 0 =04 =048 Enz... Opdracht Bereken op dezelfde manier: a. 4 3 = b. 048 : 64 = c. 56 = Dat lijkt misschien handi maar niet alle etallen zijn op een eenvoudie manier te schrijven als machten van. Je zou dan voor 'alle etallen' lijsten moeten aan maken... In tabellenboekjes (en je GR) kan je loaritmentafels vinden met rondtal 0. Deze etallen noemen loaritmen. lo(a) = b a = Voor a > 0, a en b > 0 Opdracht Bereken x: a. lo(x) = x b. lo(56) = 4 5 c. lo = x 5 b 39

2 Loaritmen met rondtal 0 Hieronder zie je edeelte van een loaritmetafel uit een tabellenboekje: Je ziet hier mantissen van loaritmen van Je schrijft lo x (zonder rondtal) als je loaritmen met het rondtal 0 bedoelt. Op de paina hierboven kan je dus de loaritmen vinden van de etallen 000 t/m 500 met 0 als rondtal. 40

3 Opdracht 3 a. Bepaal met behulp van de loaritmetabel de waarde van lo(087). b. Bepaal met behulp van de tafel de waarde van lo(0,3) c. Voor welke waarde van n eldt lo(n) 3,093 d. Bepaal de waarde van x als lo(x) =,093 Je kunt met de tafel niet alleen loaritmen vinden van etallen tussen 000 en 500. Bekijk onderstaand lijstje: lo(50) 3,0607 lo(5),0607 lo(,5),0607 lo(,5) 0,0607 Je ziet dat het edeelte achter de komma steeds hetzelfde is. Dat deel noemen we de mantisse. Het etal voor de komma bepaalt de rootte van het etal niet de cijfers Je kunt nu met de tafel bijvoorbeeld berekenen,5,5. Dat aat zo: Bepaal lo(,5) en lo(,5). Tel die op en zoek in de tafel de macht van 0. lo(,5) + lo(,5) =, ,0607 =,4,4 3,5 Conclusie:,5,5 = 3,5 Met de tafel kun je vermenivuldien door op te tellen. Opdracht 4 Bereken met behulp van de loaritmetafel: a. 4 : b. 47 lo(a b) = lo(a) + lo(b) Voor a > 0 en b > 0 Rekenreels voor loaritmen Hiernaast zie je een aantal rekenreels voor loaritmen staan. L0 en L hebben hierboven al ezien. 4

4 Opdracht 5 Probeer L, L3 en L4 te bewijzen. De rekenreel a lo(b) lo(b) = is een reel die je vaak nodi zult hebben. Op je GR heb je de lo(a) beschikkin over een loaritme tafel. Als je lo(4) intikt dan krij je de loaritme van 4 bij het rondtal 0. De uitkomst is de exponent om 4 als een macht van 0 te schrijven. Dit kan je makkelijk controleren: Klopt precies :-) Maar je kunt voor elk willekeuri rondtal loaritmen uitrekenen (>0 en ), dus ook met het rondtal =3 of =. Opdracht 6 Bereken: 3 a. lo(43) b. lo(3) Nu zou je denken dat je met je GR ook in één keer 3 lo(3) of lo(3) kunt berekenen. Maar helaas op je GR heb je alleen lo() en ln() maar verder niet. Om toch ook loaritmen te kunnen ebruiken met een ander rondtal (bij berekeninen maar ook bij het plotten) is de reel a lo(b) lo(b) = nodi. lo(a) 3 lo(43) lo(43) = of lo(3) lo(3) lo(3) = lo LET OP: dezelfde reel ebruik voor het plotten van functies met loaritmen. 4

5 Om (bijvoorbeeld) de rafiek te plotten van f(x) = lo(x) maak je ook ebruik van deze reel. Opdracht 7 Benader met je GR de coördinaten van de snijpunten van decimaal nauwkeuri. f(x) = lo(x) en x (x) = 3 op Opdracht 8 Bereken uit het hoofd (en controleer je antwoorden met je GR): 4 a. lo(8) + lo(6) = 0,5 b. lo(3) lo(3) = Opdracht 9 Benader met je GR op 3 decimalen nauwkeuri: a. lo(6) 3 b. lo(6) c. lo(6) Opdracht 0 Bepaal met je GR het snijpunt van f(x) = lo(x) en (x) = 3 lo(x). Geef het snijpunt met de x-as van h(x) = lo(x). Heeft de rafiek van h(x) = lo(x) asymptoten? (Le uit) The ark lands after The Flood. Noah lets all the animals out. Says,"Go and multiply." Several months pass. Noah decides to check up on the animals. All are doin fine except a pair of snakes. "What's the problem?" says Noah. "Cut down some trees and let us live there", say the snakes. Noah follows their advice. Several more weeks pass. Noah checks on the snakes aain. Lots of little snakes, everybody is happy. Noah asks,"want to tell me how the trees helped?" "Certainly", say the snakes. "We're adders, and we need los to multiply." 43