# Hoofdstuk 2 - Algebra of rekenmachine

Save this PDF as:

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Hoofdstuk 2 - Algebra of rekenmachine"

## Transcriptie

1 Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine Voorkennis: kwadratische vergelijkingen bladzijde V-a pp ( + ) b kk ( 0) c xx ( + ) d k( 8k 7) e qq ( + 9) f 0, tt+ ( ) g 7r( 9r) h p( 7p+ ) V-a fx () = x( x + ) b Nt () = t ( t+ ) c y= x ( x + ) d p= q ( q ) e 8 gx () = 9x ( + 0x ) f K = 8p( 7p ) V-a x x = 0 xx ( ) = 0 x = 0 of x = 0 x = 0 of x = b t 8t = 0 tt ( + ) = 0 t = 0 of t + = 0 t = 0 of t = c x + x = 0 x ( + x) = 0 x = 0 of + x = 0 x = 0 of x = d v + v= 8v v + v= 0 v( v+ ) = 0 v= 0 of v+ = 0 v= 0 of v = e u = u u u = 0 u ( u 9) = 0 u = 0 of u 9 u= 0 of u = bladzijde V-a y= x + 8x + product getallen som, 7, 8 OK y= ( x+ )( x + ) b fx ()= x + 00x+ 900 product getallen som 900 0, , , 0 00 OK y= ( x+ 0)( x + 90) c Nt ()= t t+ 00 product getallen som 00, 0 OK Nt () = ( t )( t 0) 9

2 Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine d Qp ( )= p + p+ product getallen som, OK qp ( ) = ( p + ) e. fx ()= + x + x= x + x+ product getallen som, OK fx () = ( x +) f hp ( )= p p= p + p+ 0 product getallen som 0, 0 OK hp ( ) = ( p+ )( p+ 0) g k = 8m+ m = m 8m + product getallen som, 8, 8 OK k = ( m )( m ) h gx ()= x x+ product getallen som OK gx () = ( x )( x ) V-a hx () = xx ( ) + x 9= x x+ x 9= x 9= ( x )( x + ) b Nt () = t + 8t 0= ( t+ 0)( t ) c W = q 0( q+ ) = q 0q 00 = ( q 0)( q + 0) d kx () = x( x) = x+ x = x x = ( x )( x+ ) V-a xx ( + ) + = 0 x + x+ = 0 ( x+ )( x+ ) = 0 x = of x = b p + = ( p+ ) p + = p+ 8 p p = 0 ( p 8)( p+ ) = 0 p= of p= 8 c xx ( + ) = ( x+ ) x + x = x+ x + x = 0 ( x )( x+ ) = 0 x = of x = d t ( t ) + = 0 t t + + = 0 t t + 7= 0 ( t )( t 9) t = of t = 9. Oplossen met de rekenmachine bladzijde a Voer in je GR in Y X^ X+, = en kies de vensterinstellingen zoals aangegeven. Met toets GRAPH krijg je: 0

3 Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine b Via de toets CALC met optie zero vind je de nulpunten met coördinaten van ongeveer (, ; 0), (0,; 0) en (,; 0). c Via de toets CALC en de optie maximum vind je een maximum van ongeveer ( 0, 88;,). Via CALC en optie minimum vind je bij benadering de coördinaten van het minimum, namelijk (, 088; 0, ). a Je moet de Xmax in je vensterinstelling wat groter nemen, bijvoorbeeld gelijk aan 0, dan zie je dat er nog een derde nulpunt is. b Voer in je GR in Y= 0, X^ X X en neem als vensterinstelling bijvoorbeeld 0 X 0 en 0 Y 0, dan krijg je met de toets GRAPH c Via de toets CALC met optie zero vind je de nulpunten met coördinaten (, 79; 0), (0, 0)en(,79; 0). De x-coördinaten van het eerste en het derde nulpunt zijn afgerond. Via de toets CALC en de optie maximum vind je een maximum van ongeveer ( 0, 9;,8). Via CALC en optie minimum vind je bij benadering de coördinaten van het minimum, namelijk ( 0, 9;, 8). bladzijde 7 a De plot hieronder is gemaakt met invoer Y = X + X 7 en vensterinstelling 0 X, 0 Y 0. Met optie zero vind je de nulpunten x, en x, en via optie minimum vind je top (, ) b Gegeven is de functie Nt ()= 00t 0t. De plot hieronder is gemaakt met invoer Y = 00X 0X en vensterinstelling X, 00 Y 00. Met optie zero vind je de nulpunten t = 0,, t = 0en t = 0, en via optie maximum en minimum vind je toppen ( 09, ; 9,) en ( 0, 9; 9,)

4 Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine c Gegeven is de functie hq ( ) = 000,. De plot hieronder is gemaakt met invoer Y = 000 *, ^ X en vensterinstelling 0 X 0, 00 Y 00. q Met optie zero vind je het nulpunt q,. De functie heeft geen enkele top. d Gegeven is de functie Ap ( ) = 8 8, p+ p. De plot hieronder is gemaakt met invoer Y = 8 ( 8, X+X ) en vensterinstelling 0 X 0, 0 Y 0. Met optie zero vind je de nulpunten p, 7 en p 0, 0 en via optie maximum vind je top (, ;,). a De plot hieronder is gemaakt met invoer Y = * 08, ^ XenY = en vensterinstelling 0 X 0, 0 Y 0. Met optie intersect vind je de x-coördinaat van het snijpunt: x 80, b Verander Y = in Y = en de Ymax van je vensterinstelling in 0. Met optie intersect vind je de x-coördinaat van het snijpunt: x 9,. a De plot hieronder is gemaakt met invoer Y = ( X- )^eny = X+ 0 en vensterinstelling X, 0 Y 0. Met optie intersect vind je x,.

5 Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine b Voer in Y = / XenY = X + en kies bijvoorbeeld vensterinstelling X, Y 0. Met optie intersect vind je x 0,. c Invoer: Y = XenY = 0, X+ en kies bijvoorbeeld vensterinstelling X, 0 Y 0. Met optie intersect vind je x 0, en x 87,. d Voer in Y = X^- X + X en kies bijvoorbeeld vensterinstelling 0 X 0, 00 Y 00. Via de toets GRAPH krijg je dan: Met optie zero vind je x, ; x 0, 09; x, en x, 7. De verticale asymptoot van f is x = en niet x = 0 (de y-as). Leon heeft bij het intoetsen in zijn GR de haakjes om X vergeten.. Oplossen met algebra bladzijde 8 7a x+ 0 = x+ 7x = x = = 7 7 b x 0 = x+ x 0 = x+ 7x = x = = 8a x+ ( x ) = ( x+ ) x+ x = x 7x = x 8x = x = b x = ( x+ ) x = x+ 8 ( x ) = 8 ( x+ ) x = 8 7 8x+ x = 7 x = x = c x + = x = 7x x = x = of x = d 7 p= 8 ( p) 7 p= 8 0+ p 7 p= + p 9 p= 9 p= =

6 Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine 9 fx () = gx () x+ 7= x+ = 7x x =. De y-coördinaat vind 7 je door de gevonden waarde van x in een van de functievoorschriften, dus f( ) = + 7 = 7 7. Het snijpunt is dus ( ; ) a p + 8p+ 7= 0 ( p+ )( p+ 7) = 0 p+ = 0 of p+ 7= 0 p = of p = 7 b y 9y+ = 0 ( y )( y 7) = 0 y = 0 of y 7 = 0 y= of y= 7 c x 0x+ = 0 ( x )( x 7) = 0 x = 0 of x 7= 0 x = of x = 7 d m 0m = 0 ( m+ )( m ) = 0 m+ = 0 of m = 0 m= of m= a Omdat de discriminant D= b ac = 0 = 8 niet het kwadraat van een geheel of gebroken getal is, is de ontbinding niet simpel. b a=, b= 0, c = c x = b + D of x b D x a = a = of x = 0 8 x= + 8 of x= 8 bladzijde 9 a x + x 8x = 0 x( x + x 8) = 0 xx ( )( x+ ) x = 0 of x = of x = b x x = x x = 0 ; ontbinden lukt niet dus gebruik van de abc-formule met a =, b=, c = D= ( ) = 0 x = + 0 x = 0 x = + of 0 of x = 0 c x + x+ = ( x+ )( x+ ) = x+ = x = = ; als het jou hier niet lukt om te ontbinden, dan kun je altijd nog de abc-formule gebruiken d x = x x + x = 0; ontbinden lukt niet dus gebruik van de abc-formule met a=, b=, c= D= = 8 x = + 8 x = 8 x = + of 8 of x = 8 e 0 xx ( ) = x x = ( x x ) = 0 x x = 0 ( x )( x+ ) = 0 x = of x = f ( x+ )( x ) = 0 x+ = 0 of x = 0 x = of x = g ( x+ )( x ) = 7 x 7x = 7 x 7x+ = 0 ( x )( x ) = 0 x = 0 of x = 0 x = of x = h 8x x = 0 x ( x ) = 0 x ( + x)( x) = 0 x = 0 of + x = 0 of x = 0 x = 0 of x = of x = a Gegeven de functie fx ()= x + x 8. Exacte nulpunten vind je door te stellen fx ()= 0. Dus x + x 8 = 0 ( x+ )( x ) = 0 x = of x = b x + x 8 = x + x = 0; ontbinden lukt hier niet dus gebruik van de abcformule met a =, b=, c = D= = x = + x = of x = + of x =

7 Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine a q = + 80 =, uitgedrukt in duizendtallen; totale opbrengst is dan pq = = in duizenden euro s b De totale opbrengst is euro s is gelijk aan 000q p= 000 ( p+ 80) p= 000( p + 80p). Dus de totale opbrengst in duizenden euro s TO = p + 80p c p + 80p= 700 p 80p = 0 ontbinden lukt hier niet zo gemakkelijk dus gebruik je de abc-formule met a=, b= 80, c= 700 D= = 0000 p= of p= p= of p= 0. Er zijn dus oplossingen. d TK = q en q= p+ 80. Substitutie geeft TK = ( p+ 80) = 9p = 9p + 70 e TO = TK p + 80p= 9p+ 70 p + 9p 70 = 0 p 9p+ 70 = 0 ontbinden lukt hier niet dus gebruik van de abcformule met a=, b= 9, c= 70 D= ( 9) 70 = p= 9 + of p= 9 p = 8 + of p = 8 ( p 8, of p 88, ). Bereken of bereken exact bladzijde 0 Uitbreiding van dezelfde tabel naar de negatieve kant geeft: x, is dus een andere oplossing Voer in je GR in Y = 0, X^ + X en Y = X. Als je als venster X en Y 0 kiest, krijg je de twee snijpunten in beeld. 7a x 0x = x 0x = 0 ( x+ )( x ) = 0 x = of x = b ( x+ )( x ) = 8 x = 8 x = x = of x = c x( x ) = x + x x = x + x x = 0 ( x )( x+) = 0 x = 0 of x+ = 0 x = of x = d y( y ) = ( y+ )( y ) y y= y y y + = 0 ;omdat de discriminant D= b ac = = < 0, er is dus geen oplossing 8a x x 9 x x 7x 9 x 7x x 9 = + = ( )( + ) = = 0 ; ontbinden lukt hier niet dus gebruik je de abc-formule met a=, b= 7, c= D= 7 7= x= 7 + x= 7 x = + of of x =

8 Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine b tt ( ) = t t = 0 ( t )( t + ) = 0 t = of t = c Hier ben je gedwongen om je rekenmachine te gebruiken. Voer in je GR in: Y = X^ 9X^ XenY= 8X en kies bijvoorbeeld als venster X, 0 Y 0 dan krijg je: Met intersect krijg je de oplossingen x, 9 of x 0, of x, 9 Steven zou het tussenresultaat x= + of x= moeten uitwerken naar x = + of. Dat is het exacte antwoord. De benaderingen die hij geeft horen niet bij een exacte oplossing. bladzijde 0a Als je naar een zijde van het grote vierkant kijkt zie je dat de 0 cm is opgedeeld in x cm en de breedte van een arm van het kruis. Voor die breedte blijft dus 0 x cm over. b K = x( 0 x) = 0x 8x, dit is het aantal armen () maal de oppervlakte van één van de armen ( x( 0 x) ) c Het gele gedeelte bestaat uit vierkanten aan de hoekpunten van het grote vierkant, elk ter grootte x x= x en een vierkant in het midden ter grootte ( 0 x) ( 0 x) = 0 x ). In totaal is dat dus W = x + ( 0 x). d K+ W = ( 0x 8x + ( ) x + ( 0 x) )=( 0x 8x ) + ( x x + x ) = ( 0x 8x ) + ( 8x x) = 00 e K = W 0x 8x = x + ( 0 x) 0x 8x = 8x 0x+ 00 x 80x+ 00 = 0 ( x 0x+ ) = 0 x 0x+ = 0 ( x )( x ) = 0 x = 0 x = f W = K 8x 0x+ 00 = ( 0x 8x ) 8x 0x+ 00 = 0x x. Deze vergelijking los je op via de GR. Voer in Y = 8X 0X+ 00 en Y = 0X X en neem als vensterinstelling 0 X, 0 Y 00 dan verschijnt via de toets GRAPH: Met intersect vind je de x-waarden van ongeveer 0, en, a Toyota: K = , a Renault: K = , a Vergeet dus niet de vaste weekbedragen met te vermenigvuldigen.

9 Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine b De plot hieronder is gemaakt met invoer Y = , X eny= , X en vensterinstelling 0 X 000, 0 Y 00. Met optie intersect vind je de gezochte waarde van a, die je vervolgens afrondt op tientallen:, 0 (km). c , = , a 0, 0a = 00 a = 0000 a = d Waarschijnlijk zullen Els en Willeke op hele km worden afgerekend. Het exacte antwoord bij onderdeel c heeft daarom weinig betekenis. Op basis van het geschatte aantal te rijden km willen Els en Willeke een huurauto kiezen. Die schatting is natuurlijk globaal en het antwoord bij onderdeel b is daarom zinniger. Overigens kun je dat antwoord natuurlijk ook krijgen door het resultaat van de berekening bij c op geschikte manier af te ronden. a A(, 0), B(, 0 + ) = B( 0, ) en K(, ) ; de oppervlakte van rechthoek OAKB is = 0 b A(, 0), B(, 0 + ) = B( 0, ) de oppervlakte is = c Ax (, 0) B( 0, y) = B(, 0 x+ ) en Ox ( ) = x ( x+ ) = x + x d Domein van O is [ 00, ]; verdedigbaar is overigens dat 0 en 0 niet meedoen omdat er anders geen rechthoek overblijft; in dat geval is het domein 00, e De grafiek van O is een (gedeelte van een) bergparabool, immers a = < 0. Het maximum ligt bij x = b = =, een waarde die in het domein ligt. a De oppervlakte is dan O( ) =.. Ongelijkheden bladzijde a Quickvoice: K = 0 + 0, 07a Teletalk: K =, 8 + 0, a b Voer in je GR in Y = 0 + 0, 07XenY=, 8 + 0, X. Met een vensterinstelling 0 X 00, 0 Y 0 krijg je via toets GRAPH het linkerplaatje Met de toets TRACE en het verplaatsen van de cursor naar het snijpunt krijg je het rechterplaatje en zie je dat bij a 9 belminuten de bedrijven even duur zijn. 7

10 Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine c Voor meer dan 00 belminuten is Teletalk zeker het duurst. Je ziet dat door de cursor naar rechts ten opzicht van het snijpunt te bewegen. De header geeft aan over welke grafiek je je beweegt (op het rechterplaatje is dat de lijn van Quickvoice: Y = 0 + 0, 07X ). a fx () = gx () x + x = 7x+ x x = 0 ( x x x x = 0 ( x )( x+ ) = 0 x = of x = ) = 0 b De grafiek van f is een dalparabool, voor grote en voor kleine waarden zal de grafiek van f boven die van g uitkomen (grafiek van g is een lijn). Bijbehorende intervallen zijn dus, en, c x + x > 7x + bladzijde a ; 0, 7, b ; ] [, 0 7; c, ; 07, 0, 7;, a Onderstaande plot is tot stand gekomen door invoer Y = X + 8X en Y = X + X en vensterinstelling X, 0 Y 0 : b x + 8x = x + x x + x = 0 x( x ) = 0 x = 0 of x = c De bergparabool hoort bij f, dus is de oplossing 0, 7a b Eerst moet je de vergelijking met gelijkteken oplossen. x + = x = x = of x = De vorm x + hoort bij een bergparabool, dus,, Onderstaande plot is tot stand gekomen door invoer Y = ( X )( X+ ) en Y= X + X + en vensterinstelling X, 0 Y 0 : Exact oplossen van de gelijkheid geeft: ( x )( x+ ) = x + x+ x = x + x+ x x = 0 x= + 9 = x= 9 = of Via de cursor in de plot zie je dat de oplossing van de ongelijkheid, ] [, is. 8

11 Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine c x x+ 8 = x+ x x+ ( x x+ ) = 0 ( x )(x ) = 0 x= of x= ; omdat bij x x+ 8 een dalparabool hoort en bij x + een lijn, is de oplossing, 8a Het totale aantal is 000 A. De totale opbrengst in euro s is dan 000A P = 000( P+ 0, ) P = 000( P + 0, P) en de totale opbrengst in duizenden euro s is dan TO = P + 0, P b Voor welke P is TO = P + 0, P > 00. Je lost eerst P + 0, P = 00 op: P + 0, P = 00 P + 0, P 00 = 0 ; je gebruikt nu de abc-formule met a= ; b= 0, ; c = 00. D = 0, 00 =, 0 c P = 0, +, 0 P = 0, 990, 0, of 0, 0 P + 0, P heeft als grafiek een bergparabool, dus is de oplossing: tussen e 9,90 en e 0,0. De tweede decimaal komt overeen met een cent.. Wortelvergelijkingen oplossen bladzijde 9a stap : er is links en rechts door gedeeld; stap : er is links en rechts gekwadrateerd ; stap : er is links en rechts opgeteld b De kromme in de figuur hieronder is de grafiek van f. de grafiek van f komt nergens op niveau ; er is dus geen snijpunt c Na stap heb je x = ; zodra een wortel kan worden getrokken is de uitkomst altijd positief. Je kunt aan deze vergelijking zien dat er geen oplossing is. 0a b c x = x+ x x x+ = 0 ( x )( x ) = 0 x = of x = d Alleen x = is oplossing van de vergelijking x = x. 9

12 Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine bladzijde a x + = x = x = x =, controle OK b + x+ = 0 x+ = x + =, geen oplossing, het heeft geen zin om verder te gaan c + x + = 7 + x = + x = + x = x =, controle OK d x 9 = 0 x 9 = x 9 = x = x = 8, controle OK a x= x x= ( x ) x= x x+ 0= x x+ = 0 ( x )(x ) = 0 x= of x= ; controle: alleen x = is een oplossing; x = valt af b x = x x = x x x = 0 xx ( ) = 0 x = 0 of x = controle: beide oplossingen OK c 9 x x = x x x = ( x ) x x = x x+ 7x x + = ; 0 d abc-formule met D = ( ) 7 = 9 geeft x= + 9 = x= 9 = = of 8 ; 7 bij controle blijkt dat als oplossing afvalt, dus alleen x = voldoet. 7 = = x 9= x x =, controle OK x a [, ] b [, c fx () = gx () x + x+ = x+ x + x+ = x+ x + x+ = 0 x x = 0 ; abc-formule met D = ( ) = geeft x = + = + of = ; de plot laat oplossingen zien, we hoeven niet verder te controleren; oplossing ongelijkheid fx () > gx () is, + d gx () fx () op gebied [, ] [ +, ] a r = 0 + 9, 99, dus ca.,99 cm π b,= O O O + 9 (, ) = + 9 = (, ) 9 O = π (, 9 9 π π π ( ) ),, dus ongeveer 9, cm. c Neen,,, en dus is die straal maar ca. % groter. 99,. Gemengde opdrachten bladzijde a x x = x+ x 7x = 0 ; ontbinden lukt niet, dus je gebruikt de abc-formule met D = ( 7).. = : x = 7 + x = 7 = + of = invullen van deze x-waarden in de lijn y= x+ geeft y = + en y = 0

13 Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine ( ) De coördinaten van de snijpunten zijn dus +, + en (, ) b x x = x x 7x + = 0; je hoeft hier alleen de discriminant uit te rekenen en die te bekijken; D = ( 7) = 7 > 0 en dus zijn er twee snijpunten. a Streepjes tellen leidt tot een poging 0 X 0, 0 Y 0, die meteen raak is. b In de plot is lastig te zien of de grafieken nul, één dan wel twee gemeenschappelijke punten hebben. c 0, x = 0, x, 0, x 0, x+, ; de discriminant is D = ( 0, ) 0,, = 0, 000 > 0, dus er zijn twee gemeenschappelijke punten 7a h( 0) =, ;, cm is iets hoger dan het net b hx () = 0 0, 000x + 0, x+ 8, 0 = 0; de abc-formule met D = 0, 0, 00 80, = 0, 9 geeft 0, + 0, 0, 0, x= = 8, of x= = 00. 0, 00 0, 00 De negatieve waarde vervalt, dus het balletje raakt de tafel 00 cm vanaf de linkerkant, dat is 80 cm gerekend vanaf het net. c Er moet dan ook gelden g( 00) = 0. Omdat ( x 00 ) als factor in het functievoorschrift voorkomt is dat duidelijk. d h( 0) =, 8 ; het balletje is bij de rechterrand op,8 cm hoogte; het midden van het batje van de rechterspeler mag 0 cm hoger of lager worden gehouden, dus tussen,8 cm en,8 cm boven de tafel. bladzijde 7 8a Hieronder een plot met daarnaast de vensterinstelling b :0 uur, dus iets na :0 uur, lijkt een goede schatting. c Kies Y = 7( X 0)^ + 8( X 0)^ + 00 (dus t = X 0 substitueren) en dezelfde vensterinstelling, dan zie je dat het model aardig klopt met de meetgegevens. d Voer in je GR nu in Y = 0. Via intersect krijg je x 0, 97 en x, 80, het verschil in uren is ongeveer,8, dat komt overeen met 70 minuten.

14 Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine 9a Als de man naar B roeit, legt hij 8 + = 08. Met een gemiddelde van km per uur doet hij daar 08 0, uur over, terwijl hij maar precies uur tot zijn beschikking heeft. b De afstand van A naar C is 8 + = 7 km, daar doet hij 7 uur over. Hij loopt daarna nog 9 km naar B. Over dat stuk doet hij dus uur. In totaal is dat dus 7 +, uur, dat lukt dus ook niet. c + x is de afstand in km die hij roeiend aflegt; hij doet daar + x uren over; x km legt hij te voet af en over dat stuk doet hij x ) uren; samen is dat dus + x + ( x) uren. d 9 + x + ( x) = + x = ( x) + x = + x + x = + x + x = ( + x) + x = + 8x+ x x 8x+ 8 = 0 x 7x+ = 0; de discriminant is hier 9 D = ( 7) = ; met de abc-formule krijg je x= 7 = of x= 7 + = 0 0 AC oplossingen zijn. 8 ; uit controle blijkt dat zowel km als 8, km voor ICT Ongelijkheden bladzijde 8 I-a Firma A, het aanvangspunt (bij 0 m ) van de lijn die bij firma A hoort ligt hoger b Firma B, want de lijn die bij firma B hoort heeft een grotere helling c Bij ongeveer 09 m zijn de firma s even duur. d Bij gelijktijdig tracen naar rechts verwisselen de labels van positie vanaf 09,99. Vanaf dat volume is firma B het duurst. I-a f() > g() klopt niet omdat punt Q lager ligt dan punt P, er geldt juist f() < g() b f( ) > g( ) klopt omdat punt R hoger ligt dan punt S. c x 0 f... g > > = < < < = > > d fx () = gx () x + x = 7x+ x x = 0 ( x x x x = 0 ( x )( x+ ) = 0 x = of x = e ; ; ) = 0 bladzijde 9 I-a 07 ;,, b ; ] [, 0 7; c ; ; 07, 0, 7; ; I-a y O x 0

15 Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine b x + 8x = x + x x + x = 0 x( x ) = 0 x = 0 of x = c 0; I-a b Eerst moet je de vergelijking met gelijkteken oplossen. x + = x = x = of x = De vorm x + hoort bij een bergparabool, dus,, Onderstaande plot is tot stand gekomen door invoer Y = ( X )( X+ ) en Y = X + X + en vensterinstelling X, 0 Y 0 : Exact oplossen van de gelijkheid geeft: ( x )( x+ ) = x + x+ x = x + x+ x x = 0 x= + 9 = x= 9 = of Via de cursor in de plot zie je dat de oplossing van de ongelijkheid, ] [, is. c x x+ 8 = x+ x x+ ( x x+ ) = 0 ( x )(x ) = 0 x = of x = ; omdat bij x x+ 8 een dalparabool hoort en bij x + een lijn, is de oplossing, I-a gx () fx () b gx ()> c hx () < px () d px () > fx () e px () 0 f fx () > hx () g Voor a = is bijbehorende ongelijkheid q() x 0 Test jezelf bladzijde T-a Voer in je GR in Y = X^ 7X^+ X + en neem bijvoorbeeld als vensterinstelling X 8, 0 Y 00. Met zero krijg je x 0, en het nulpunt is ( 0, ; 0) b Voer in Y =. Voor de vergelijking fx ()= vind je met intersect de oplossing x =. In de plot zie je dat, de oplossing van de ongelijkheid is. c In de plot is niet te zien of er twee of drie snijpunten zijn. Voer in Y = X / + ( Y = heb je niet meer nodig). Met intersect vind je drie snijpunten: (, 000;, 00), (, 087;, 8) en (, ; 7, 9). Omdat de constante termen in de functievoorschriften van fen g aan elkaar gelijk zijn kun je zien dat (, 0 ) een exacte oplossing is. Dat betekent hier ook dat je de vraag hier exact op kunt lossen.

16 Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine d Immers, x 7x + x+ = 0 x+ x 7x + x = 0 x( x 7x+ ) = 0 x= 0 of x 7x + = 0 en met behulp van de abc-formule kom je daar wel uit. Schakel de plot van Y uit door op het =-teken achter Y te enteren. Via maximum en minimum vind je de toppen. (, 00; 00, ) en (, 7;,8) T-a x + x = 0 ; het lukt niet om deze vergelijking door ontbinden op te lossen; je gebruikt de abc-formule met a=, b=, c = ; D = = 0 en x= 0 = 0 x= + 0 = + 0 of b x x+ = 0 ; hier is D = ( ) = 7< 0, er is dus geen oplossing c 7 x 7= x x = 9 7x = 7 x = 8 7 d x + x = 8x x + x + 8x = 0 xx ( + x+ 8) = 0 x( x + )(x + ) = 0 x= 0 of x= of x = e x + 9 = x x x+ 9 = 0; het lukt misschien niet om deze vergelijking door ontbinden op te lossen; je gebruikt dan de abc-formule met a=, b=, c = 9; D = ( ) 9= 0 en x = ± 0 = 8 is de enige oplossing f x x = 0 xx ( ) = 0 x = 0 of x = x = 0 of x = of x = T-a K = q b O= q c K = O q= q 8q= 0000 q 777, d Je kunt alleen gehele aantallen dvd s produceren. e O> K q> q 8q> 0000 q 778 ( q = 778 doet ook mee) f W = O K = q ( q) = 8q 0000 g W = 0 O K = 0 O= K is dus feitelijk dezelfde vraag als bij c T-a x + 7x = x x + x + = 0 ; D = = en x = x = + = of = in een eventuele plot vergelijk je een dalparabool met een lijn; de oplossing van de ongelijkheid moet dan wel zijn, ] [, b 0, x+ = 0, x+ = 0 0, x =, x = 7 bij controle achteraf zie je dat deze oplossing correct is; voer in je GR in Y = 0, X+ eny =, ; met vensterinstelling X 80, 0 Y krijg je de plot c Rekening houdend met het domein van 0, x +, namelijk [ 0, is de oplossing van de ongelijkheid [ 0, 7 ] 7 9 x+ = x+ x = x = ; omdat de lijn y= x+ 0 stijgend is en lijn y= x+ dalend, is de oplossing van de ongelijkheid, ] ; je kunt natuurlijk ook een plot maken als je dat nodig vindt

17 Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine d ( x ) = 8 ( x ) = x = of x = x = of x = ; in een eventuele plot wordt een dalparabool vergeleken met een horizontale lijn; de oplossing van de ongelijkheid is dus,, e x+ = 0 x+ = x+ = x = ; de contrôle achteraf die je bij wortelvergelijkingen moet uitvoeren blijkt deze oplossing correct; een plot met invoer Y = X + - en vensterinstelling X 0, Y zie er als volgt uit: Het domein van de functie x + is gelijk aan [,, dus is de oplossing van de gevraagde ongelijkheid [, ]. bladzijde T-a fx ()= 0 x = 0 x = x = x = ; uit controle wortelvergelijking blijkt dat deze oplossing correct is. b Het domein is [, en het bereik [,. c fx ()= x = x = x = x = 7; bij controle blijkt deze oplossing OK d fx () = x x = x x = x x = ( x) x = x 8x+ x 9x+ 8 = 0 ( x )( x ) = 0 x = of x = ; bij controle blijkt x = vervalt en x = voldoet 7 T-a x = x = x = x = x = ; na controle OK b 8( x+ ) = ( x+ ) = x+ = of x+ = x= of x= + c 0, x x+ 0 = 0 0, ( x 0x+ 00) = 0 x 0x+ 00 = 0 ( x 0) = 0 x= 0 d x + 9 = x x x+ 9 = 0; je gebruikt de abc-formule met a=, b=, c = 9; D = ( ) 9= 0 dus x = ± 0 = oplossing is de enige e 8 x = 0 x = ; een wortel kan nooit negatief zijn, dus is er geen oplossing f ( x )( x 7) = 0 x = 0 of x 7= 0 x = of x = 7 x= of x= of x = 7 T-7a De lengte is 0 = m, de breedte = m en oppervlakte = 88 m. b De oppervlakte van het bloemperk is 0 88 = 7 m c O= ( 0 x)( x) ; er moet natuurlijk gelden 0 0 x 0 en 0 x dus in totaal 0 x 0 d O 00 ( 0 x)( x) 00 ; eerst moet je de gelijkheid oplossen Hieronder zie je een plot van Y = ( 0 X) ( X) en Y = 00 met vensterinstelling 0 X 0, 0 Y 00

18 Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine e Met intersect vind je x 8,, de oplossing van de ongelijkheid is [ 0; 8, ] en het bloemperk mag hoogstens 8, m breed zijn. Natuurlijk kun je gelijkheid ook met de abc-formule oplossen. In totaal is er 000 m beschikbaar; de oppervlakte van het bloemperk kleiner dan van het grasveld betekent O > 00; definieer nu Y = 00, je krijgt dan de plot: Met intersect vindt voor de gelijkheid O = 00 de oplossing x 9, en de ongelijkheid heeft dan als oplossing [ 09. ;, Of in woorden: als de breedte van het bloemperk kleiner is dan,9 m. T-8a gx () fx () b kx () < hx () c fx ()> 0 d hx () 0 e Kies een a waarvoor geldt dat k door (; 0) gaat. Dan moet 0 = + a a = ; de ongelijkheid kx () 0 heeft nu als oplossing [,.

### 1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

### 1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

### 1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1]

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] Er zijn vier soorten tweedegraadsvergelijkingen: 1. ax 2 + bx = 0 (Haal de x buiten de haakjes) Voorbeeld 1: 3x 2 + 6x = 0 3x(x + 2) = 0 3x = 0 x + 2 = 0 x = 0 x = -2

### 3.1 Kwadratische functies[1]

3.1 Kwadratische functies[1] Voorbeeld 1: y = x 2-6 Invullen van x = 2 geeft y = 2 2-6 = -2 In dit voorbeeld is: 2 het origineel; -2 het beeld (of de functiewaarde) y = x 2-6 de formule. Een functie voegt

### 6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden

6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p

### Hoofdstuk 2 - Algebra of rekenmachine

Havo B deel Uitwerkingen hoofdstuk Moderne wiskunde Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine bladzijde 6 V- is : 9,... Afgerond op twee decimalen is dat,6. Dus,6 9 9 is : 8,8. Dus,8. Afgerond op twee decimalen

### 3.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

3.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

### Noordhoff Uitgevers bv

Voorkennis V-a Hester houdt e 5,00 3 e,85 3 e 3,9 = e 5,00 e 3,70 e,58 = e,7 over. b e 5,00 3 (e,85 + e 3,9) = e 5,00 3 e 5, = e 5,00 e 0,8 = e,7 V-a 3 = 3 9 = 7 b 9 (5 ) = 9 (5 ) = 9 = c 0 3 = 000 3 =

### 2.1 Lineaire formules [1]

2.1 Lineaire formules [1] De lijn heeft een helling (richtingscoëfficiënt) van 1; De lijn gaat in het punt (0,2) door de y-as; In het plaatje is de lijn y = x + 2 getekend. Omdat de grafiek een rechte

### Hoofdstuk 2 - Kwadratische functies

Hoofdstuk - Kwadratische functies Hoofdstuk - Kwadratische functies Voorkennis V-1a y = 3(x ) 3 x 3 6x 1 y = 6x 1 b y = 9( 4x 4) 3 4x 4 9 36x 36 y = 36x 36 c y = x( x 7) 3 x 7 x x 7x y = x 7x V-a y = (

### Noordhoff Uitgevers bv

Voorkennis V-1a Als x 5 0,6 is de totale breedte 5,6 meter. De totale oppervlakte is 1 3 5,6 5 67, m. b De lengte is 1 meter, de totale breedte is 5 1 x meter, dus voor de oppervlakte geldt A 5 1(5 1 x).

### Noordhoff Uitgevers bv

Voorkennis V-a Als x = 0,6 is de totale breedte 5,6 meter. De totale oppervlakte is 3 5,6 = 67, m. b De lengte is meter, de totale breedte is 5 + x meter, dus voor de oppervlakte geldt A = (5 + x). Dus

### 2.1 Lineaire functies [1]

2.1 Lineaire functies [1] De lijn heeft een helling (richtingscoëfficiënt) van 1; De lijn gaat in het punt (0,2) door de y-as; In het plaatje is de lijn y = x + 2 getekend. Omdat de grafiek een rechte

### Hoofdstuk 1 : De Tabel

Hoofdstuk 1 : De Tabel 1.1 Een tabel maken De GR heeft 3 belangrijke knoppen om een tabel te maken : (1) Y= knop : Daar tik je de formule in (2) Tblset (2nd Window) : Daar stel je de tabel in. Er geldt

### x 3x x 7x x 2x x 5x x 4x G&R havo B deel 1 3 Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg 1/12 TOETS VOORKENNIS

G&R havo B deel Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg / a x = x =. b x = x x =. c d x (x ) 0 x = 0 =. 9. e f x 0 x ( x ) 0. x x = x x ( x )( x + ). TOETS VOORKENNIS a ( x + ) = x c x e

### Voorkennis. 66 Noordhoff Uitgevers bv 11 0, en y = = ,33 = y = 4x(x 2) y = 19x(1 2x) y = 3x( x + 5) y = 4x(4x + 1)

Hoofdstuk 0 - De abc-formule Hoofdstuk 0 - De abc-formule Voorkennis V-a y = 5 = 8 5 = en y = ( ) 5 = 8 5 = b y = + 8 = 6 = 6 en y = + 8 = 0,6 6 8 c y = + ( ) = + = = 6 en y = ( ) + ( ) = 9 6 = 9 + 8 =

### Noordhoff Uitgevers bv

Voorkennis V-a Hester houdt e 5,00 3 e,85 3 e 3,9 5 e 5,00 e 3,70 e 6,58 5 e,7 over. b e 5,00 3 (e,85 e 3,9) 5 e 5,00 3 e 5, 5 e 5,00 e 0,8 5 e,7 V-a 6 3 5 36 9 5 7 b 9 (5 ) 5 9 (5 ) 5 9 5 c 0 3 6 5 000

### Paragraaf 1.1 : Lineaire verbanden

Hoofdstuk 1 Formules, grafieken en vergelijkingen (H4 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 1.1 : Lineaire verbanden Les 1 Lineaire verbanden Definitie lijn Algemene formule van een lijn : y = ax + b a = richtingscoëfficiënt

### Paragraaf 1.1 : Lineaire functies en Modulus

Hoofdstuk 1 Functies en Grafieken (V4 Wis B) Pagina 1 van 9 Paragraaf 1.1 : Lineaire functies en Modulus Les 1 : Lineaire Formules Definities Algemene formule van een lijn : y = ax + b a = hellingsgetal

### Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B...

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B 0. voorkennis In klas 3 heb je hoofdstuk 10 over algebraische vaardigheden gedaan. Hieronder zie je daarvan een

### Functies. Verdieping. 6N-3p 2013-2014 gghm

Functies Verdieping 6N-p 01-014 gghm Standaardfuncties Hieronder is telkens een standaard functie gegeven. Maak steeds een schets van de bijbehorende grafiek. Je mag de GRM hierbij gebruiken. Y f ( x)

### 7.1 Ongelijkheden [1]

7.1 Ongelijkheden [1] In het plaatje hierboven zijn vier intervallen getekend. Een open bolletje betekent dat dit getal niet bij het interval hoort. Een gesloten bolletje betekent dat dit getal wel bij

### Hoofdstuk 1 boek 1 Formules en grafieken havo b klas 4

Hoofdstuk 1 boek 1 Formules en grafieken havo b klas 4 1. Lineair verband. 1a. na 1 min 36 cm, na min. 3 cm, daling 4 cm per minuut. b. h = 40 4t h in cm en t per minuut b. k: rc = -3 m: rc = 0.5 p: rc

### H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie

H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie 8. Kwadratische vergelijking Een kwadratische vergelijking (of e graadsvergelijking) is een vergelijking van de vorm: a b c + + = Ook wordt een kwadratische

### 7.1 Grafieken en vergelijkingen [1]

7.1 Grafieken en vergelijkingen [1] Voorbeeld: Getekend zijn de grafieken van y = x 2 4 en y = x + 2. De grafieken snijden elkaar in de punten A(-2, 0) en B(3, 5). Controle voor x = -2 y = x 2 4 y = x

### 10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:

10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld

### Hoofdstuk 8 - De afgeleide

Voorkennis: Lineaire functies ladzijde V-a meter snoer weegt,, kg lengte in m gewicht in kg,,, 7, 9,, gewicht in kg lengte in m c m weegt kg dus m weegt, kg,, d, meter, e startgetal, hellingsgetal, V-a

### Hoofdstuk 8 - Periodieke functies

Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde Hoofdstuk 8 - Periodieke functies ladzijde 8 V-a c Na seconden = slagen per minuut ca., millivolt V-a Ja, met periode Nee Mogelijk, met periode = en amplitude

### Het berekenen van coördinaten van bijzondere punten van een grafiek gaat met opties uit het CALC-menu.

Toppen en snijpunten We gaan uit van de formule y 0,08x 1,44x 6,48x 3. Voer deze formule in op het formule-invoerscherm (via!) en plot de grafiek met Xmin = 0, Xmax = 14, Ymin = 5 en Ymax = 14. In de figuur

### d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut.

Hoofdstuk A: Goniometrische functies. I-. a. De grafiek staat hiernaast. De periode is ongeveer,6 uur. b. De grafiek snijden met y = levert bijvoorbeeld x,00 en x,8. Het verschil is ongeveer,7 uur en dat

### Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

### Deel 3 havo. Docentenhandleiding havo deel 3 CB

Deel 3 havo De hoeveelheid leerstof is gebaseerd op drie lesuren per week. Met drie lesuren is het in ieder geval mogelijk om de basisstof van tien hoofdstukken door te werken, eventueel met de verkorte

### klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf

Checklist 3 HAVO wiskunde klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf 1. Hoofdstuk 1 - lineaire problemen Ik weet dat de formule y = a x + b hoort bij de grafiek hiernaast. Ik kan bij een lineaire formule de

### Uitwerkingen Functies en grafieken

Uitwerkingen Functies en grafieken 1 1. d = -10t + 46 ; t in minuten en d in meters. a. t =,5 d = -10.,5 + 46 = 1 b. 1min en 45 seconden t = 1,75 d = -10.1,75 + 46 = -17,5 + 46 = 8,5 meter. c. -10 wil

### 1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

### Noordhoff Uitgevers bv

Hoofdstuk - Wortels Hoofdstuk - Wortels Voorkennis V- zijde vierkant in m oppervlakte vierkant in m 9 V- = = = = = 7 = 9 = 7 = 89 = 9 8 = = 9 8 = = 9 = 8 = 9 9 = = 0 = 00 = 0 = 00 V-a = 9 = b 7 = 9 = 9

### Antwoordmodel - Kwadraten en wortels

Antwoordmodel - Kwadraten en wortels Schrijf je antwoorden zo volledig mogelijk op. Tenzij anders aangegeven mag je je rekenmachine niet gebruiken. Sommige vragen zijn alleen voor het vwo, dit staat aangegeven.

### Hoofdstuk 4 - Machtsfuncties

Hoofdstuk - Machtsfuncties Voorkennis: Functies en symmetrie ladzijde 9 V-a Kies als vensterinstelling voor je GR ijvooreeld X en Y en voer in Y = X X + Je krijgt: + = 0, dan D = ( ) = en = = = + = of

### 7.0 Voorkennis. tangens 1 3. Willem-Jan van der Zanden

7.0 Voorkennis Bij bepaalde aantallen graden hebben de sinus, cosinus en tangens een exacte oplossing. In deze gevallen moet je de exacte oplossing geven: hoek 30 45 60 sinus cosinus 2 tangens 3 3 3 2

### x 2x x 4x x 1x x 8x x x 12 = 0 G&R vwo B deel 1 1 Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg 1/25

C. von Schwartzenberg 1/ 1 I, II, IV en V zijn tweedegraadsvergelijkingen. (de hoogste macht van is steeds ; te zien na wegwerken haakjes?) (III is een eerstegraadsvergelijking en VI is een derdegraadsvergelijking)

### 6 Ongelijkheden. Verkennen. Uitleg. Theorie en voorbeelden. Los het probleem rond de huur van een kopieermachine op.

6 Ongelijkheden Verkennen Ongelijkheden Inleiding Verkennen Los het probleem rond de huur van een kopieermachine op. Uitleg Ongelijkheden Theorie Opgave 1 In de Uitleg zie je hoe de ongelijkheid 0,05v

### 2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2

.0 Voorkennis Herhaling merkwaardige producten: (A + B) = A + AB + B (A B) = A AB + B (A + B)(A B) = A B Voorbeeld 1: (5a) (a -3b) = 5a (4a 1ab + 9b ) = 5a 4a + 1ab 9b = 1a + 1ab 9b Voorbeeld : 4(x 7)

### Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

### Noordhoff Uitgevers bv

8 Voorkennis: Sinusfuncties ladzijde 9 V- Uit 8 radialen volgt 8 radialen Je krijgt dan de volgende tael: V-a V-a 8 graden 6 9 8 radialen O 6 6 7 8 9 Aflezen:,,,, c Aflezen:, d Aflezen:, e Aflezen: O Aflezen:,,,

### Noordhoff Uitgevers bv

V-a Hoofdstuk - Transformaties Voorkennis: Standaardfuncties bladzijde 70 f () = g () = sin h() = k () = log p () = m () = n () = b D f = [0, en B f = [0, ; D g = en B g =[, ] ; D h = en B h = 0, ; D k

### Rekenvaardigheden voor klas 3 en 4 VWO

Rekenvaardigheden voor klas en VWO Een project in het kader van het Netwerk VO-HO West Brabant Voorjaar 00 Samenstelling: M. Alberts (Markenhage College, Breda) I. van den Bliek (Mencia de Mendoza, Breda)

### UNIFORM EINDEXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2009

MINISTERIE VN ONERWIJS EN VOLKSONTWIKKELING EXMENUREU UNIFORM EINEXMEN MULO tevens TOELTINGSEXMEN VWO/HVO/NTIN 009 VK : WISKUNE TUM : VRIJG 0 JULI 009 TIJ : 09.45.45 UUR ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

### Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen HAVO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen HAVO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Vliegende parkieten Opgave 1. Het energieverbruik van de parkiet als deze vliegt met

### Grafieken 1. a) de snijpunten met de x-as. b) het snijpunt met de y-as. c) de coördinaten van de top.

Grafieken 1 In het moduul verbanden hebben we gezien hoe we de grafiek van een lineair verband zoals y = 3 x + 5 moeten tekenen, dat wordt een rechte lijn. We noemen de functie y = 3 x + 5 ook wel een

### opdracht 1 opdracht 2. opdracht 3 1 Parabolen herkennen Algebra Anders Parabolen uitwerkingen 1 Versie DD 2014 x y toename

Algebra Anders Parabolen uitwerkingen 1 Versie DD 014 1 Parabolen herkennen opdracht 1. x - -1 0 1 3 y 4 1 0 1 4 9-3 -1 + 1 + 3 +5 toename tt + + + + a) + b) De toename is steeds een nieuwe rand. De randen

kwadratische vergelijkingen In deze paragraaf: 'exact berekenen van oplossingen', 'typen kwadratische vergelijkingen' en 'de abc-formule en de discriminant'. de abc-formule Voor een tweedegraads vergelijking

### Werk het Practicum Functies en de [GR] door tot aan Families van functies. Onthoud alvast de uitdrukking karakteristieken van een functie.

2 Domein en bereik Verkennen grafieken Domein en bereik Inleiding Verkennen Werk het Practicum Functies en de [GR] door tot aan Families van functies. Onthoud alvast de uitdrukking karakteristieken van

### Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Functies en grafieken. Een eigen samenvatting maken is nuttig.

7 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Functies en grafieken. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: functie invoerwaarde

### Vragen over algebraïsche vaardigheden aan het eind van klas 3 havo/vwo

Bijlage 7 Vragen over algebraïsche vaardigheden aan het eind van klas 3 havo/vwo Deze vragen kunnen gebruikt worden om aan het eind van klas 3 havo/vwo na te gaan in hoeverre leerlingen in staat zijn te

### Hoofdstuk 4 Vergelijkingen. Kern 1 Numeriek oplossen. Netwerk 4 HAVO B uitwerkingen, Hoofdstuk 4, Vergelijkingen 1

Netwerk HAVO B uitwerkingen, Hoofdstuk, Vergelijkingen Hoofdstuk Vergelijkingen Kern Numeriek oplossen a Teken Y = + 0.* (X) en Y = + 0.00 * X op WINDOW [0,00] [0, 0]. b X = 6.5 en Y =.78. Dus na 6,5 dag

### Hoofdstuk 1: Formules en grafieken. 1.1 Lineaire verbanden

Hoofdstuk : Formules en grafieken.. Lineaire verbanden Opgave : in 0 minuten daalt het water 40 cm, dus 4 cm per minuut dus na minuut geldt: h 40 4 6 cm en na minuten geldt: h 40 4 cm b. formule II Opgave

### Checklist Wiskunde B HAVO HML

Checklist Wiskunde B HAVO 4 2014-2015 HML 1 Hoofdstuk 1 Lineaire vergelijkingen en lineaire ongelijkheden oplossen. Wanneer klapt het teken om? Haakjes en breuken wegwerken. Ontbinden in factoren: x buiten

### 1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling

Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil

### Voorbereidende sessie toelatingsexamen

1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal

### Hoofdstuk 6 - Vergelijkingen

Voorkennis V-a Bedrijf A rekent 7 8 + 5 = 6 euro en bedrijf B rekent, 5 8 + 60 = 0 euro. Hij is goedkoper uit bij bedrijf B. b Dat kan met de vergelijking 7a + 5 =, 5a + 60 waarbij a het aantal m zand

### Noordhoff Uitgevers bv

Voorkennis: Lineaire functies ladzijde V-a meter snoer weegt kg lengte in m gewicht in kg 7 9 c d gewicht in kg lengte in m m weegt kg dus m weegt kg meter e startgetal hellingsgetal V-a y + Dus ( ) y

### Noorderpoortcollege school voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 periode 3. M. van der Pijl. Transfer Database

Noorderpoortcollege school voor MBO Stadskanaal Reader Wiskunde MBO Niveau 4 periode 3 M. van der Pijl Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet

### Hoofdstuk 1 - Functies en de rekenmachine

Hoofdstuk - Funties en de rekenmahine Voorkennis: Funties ladzijde V-a De formule is T = + 00, d Je moet oplossen + 00, d = dus dan geldt 00, d = en dan is d = : 00, 77 m V-a f( ) = = 0en f( ) = ( ) (

### Samenvatting Wiskunde B

Bereken: Bereken algebraisch: Bereken eact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een eamen in dit geval voor berekenen

### Functiewaarden en toppen

Functiewaarden en toppen Formules invoeren Met [Y=] kom je op het formule-invoerscherm. Reeds ingevoerde formules wis je met [CLEAR]. Krijg je niet een scherm waarop Y1, Y2,... te zien zijn, kies dan bij

### Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4

Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen

### Hoofdstuk 2 - Algebra of rekenmachine

Hoofdstuk - Algera of rekenmachine ladzijde V-a x+ x= x+ 6x= 9x a a= a a= 8a c x+ ( x- ) = x+ x+ - = x+ x- 6= x - 6 d a - ( a+ ) = a - a- = a -a-8 V-a 5xx ( - ) = 5x x- 5x = 5x - 5x pp ( - ) + p- p = p

### Hoofdstuk 1 - Formules en grafieken

Voprkennis aantal minuten 0 1 2 3 4 5 6 aantal graden Celsius 20 28 36 44 52 60 68 V_y V_y toename +8 +8 +8 +8 +8 +8 b Bij deze tabel hoort een lineaire formule want de toename in de onderste rij van de

### Hoofdstuk 7 - Periodieke functies

Voorkennis: Goniometrische verhoudingen ladzijde 9 V-a vereenkomstige hoeken zijn gelijk. 7 7, c PR 7, AC, 7, QR 7, BC, 7, 0 V-a In deze driehoeken is A C en ook zijn de hoeken ij U en V gelijk. CR AQ

### x 0 2 y -1 0 x 0 1 y 2-1 y 3 4 y 0 2 G&R vwo A/C deel 1 2 Functies en grafieken C. von Schwartzenberg 1/15 1a 1b

G&R vwo A/C deel 1 Functies en grafieken C. von Schwartzenberg 1/15 1a 1b t =, 5 d 10, 5 + 46 = 1 (m). 1 minuut en 45 seconden geeft t = 1,75 d 10 1,75 + 46 = 8,5 (m). 1c 1d Per minuut wordt de diepte

### Noordhoff Uitgevers bv

Voorkennis: Goniometrische verhoudingen ladzijde 9 V-a vereenkomstige hoeken zijn gelijk. 7 7, c PR 7, AC, 7, QR 7, BC, 7, 0 V-a In deze driehoeken is A C en ook zijn de hoeken ij U en V gelijk. CR AQ

### Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014

Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

### Rekenen met cijfers en letters

Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

### Basistechnieken TI-84 Plus C Silver Edition

Basistechnieken TI-84 Plus C Silver Edition Als je dit practicum doorwerkt, weet je de eerste beginselen van het werken met de grafische rekenmachine TI-84 Plus C Silver Edition. In de tekst van het practicum

### Hoofdstuk 9: Allerlei functies. 9.1 Machtsfuncties en wortelfuncties. Opgave 1: a. Opgave 2: a. de grafiek van y2. ontstaat uit die van y 1.

Hoofdstuk 9: Allerlei functies 9. Machtsfuncties en wortelfuncties Opgave : a. 0,0, c. y en y d. y en y Opgave : a. de grafiek van y ontstaat uit die van y door T 0, T 0,6 y y 6 Opgave : a. T 6,0 T,0 c.

### Paragraaf 5.1 : Machten en wortels

Hoofdstuk 5 Machten, exponenten en logaritmen (H Wis B) Pagina 1 van 1 Paragraaf 5.1 : Machten en wortels Machtsregels SPECIAAL GEVAL MACHTREGEL 1 : MACHTREGEL 2 : MACHTREGEL : a p a q = a p+q a p aq =

### Formules grafieken en tabellen

Formules grafieken en tabellen Formules invoeren Met kom je op het formule-invoerscherm. Reeds ingevoerde formules wis je met C. Krijg je niet een scherm waarop Y, Y,... te zien zijn kies dan bij eerst

### Wiskunde 2 september 2008 versie 1-1 - Dit is een greep (combinatie) van 3 uit 32. De volgorde is niet van belang omdat de drie

Wiskunde 2 september 2008 versie 1-1 - Op hoeveel verschillende manieren kun je drie zwarte pionnen verdelen over de 32 zwarte velden van een schaakbord? (Neem aan dat op elk veld hooguit één pion staat.)

### Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 1

Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel Willem van Ravenstein 500765005 Haags Montessori Lyceum (c) 06 Inleiding In de leerroute transformaties van grafieken gaat het om de karakteristieke eigenschappen

### Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag

Basisvaardigheden algebra Willem van Ravenstein 2012 Den Haag 1. Variabelen Rekenenis het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken

### De onderstaande waarden in de tabel zet je dan netjes uit in een xy-assenstelsel: naar boven, een negatief getal schuift de parabool naar beneden.

Samenvatting H29: Parabolen en Hyperbolen De standaard parabool heeft als formule y = x 2 Deze vorm moet je vlot en netjes kunnen tekenen. De onderstaande waarden in de tabel zet je dan netjes uit in een

### META-kaart vwo5 wiskunde A - domein Afgeleide functies

META-kaart vwo5 wiskunde A - domein Afgeleide functies Wat heb ik nodig: GR of afgeleide? Hoe ziet de grafiek eruit? Moet ik de afgeleide berekenen? Kan ik bij deze functie de afgeleide berekenen? Welke

### 8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3

8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar

### 6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER

### KENMERKENDE CIJFERS EN BENADERINGSREGELS

Correctiesleutel 2.06-2.07 KENMERKENDE CIJFERS EN BENADERINGSREGELS 1 Geef telkens telkens het kenmerkend deel, het aantal kenmerkende cijfers en de meetnauwkeurigheid. [De volgorde van opgaven en oplossingen

### Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

### Formules en grafieken Hst. 15

Formules en grafieken Hst. 5. De totale kosten zijn dan : 0,5. 0000 = 0.000 dollar. Dan zijn de kosten per ton, dollar. De prijs is dan :,. 0.000 = 4.000 dollar. 0,50 dollar per ton en 4000 mijl. Aflezen

### Wiskunde 20 maart 2014 versie 1-1 -

Wiskunde 0 maart 04 versie - -. a 3 a =. a.. 6.,AppB./ a 4 3. a 3. Rekenregels voor machten: als je twee machten op elkaar deelt, trek je de exponenten van elkaar af. De exponent van a wordt dan =. 3 6

### 5.0 Voorkennis. Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde.

5.0 Voorkennis Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde. Vermenigvuldigen is eponenten optellen: a 3 a 5 = a 8 Optellen alleen bij gelijknamige

### Toepassingen met de grafische rekenmachine TI-83/84 (plus)

Toepassingen met de grafische rekenmachine TI-83/84 (plus) Met de grafische rekenmachine kun je diverse wiskundige bewerkingen uitvoeren en grafieken tekenen. We geven per toepassing een voorbeeld en vervolgens

### Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 13 september 2017 dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 13 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating) 1. Inleiding

### Opdracht 1 bladzijde 8

Opdrachten Opdracht bladzijde 8 Uit een stuk karton met lengte 45 cm en breedte 8 cm knip je in de vier hoeken vierkantjes af met zijde cm. Zo verkrijg je een open doos. 8 cm 45 cm Hoe groot is het volume

### (Assistenten zijn Sofie Burggraeve, Bart Jacobs, Annelies Jaspers, Nele Lejon, Daan Michiels, Michael Moreels, Berdien Peeters en Pieter Segaert).

Tussentijdse Toets Wiskunde I 1ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie, Informatica, Schakelprogramma Master Toegepaste Informatica, donderdag 17 november 011, 8:30 10:00 uur

### 2012 I Onafhankelijk van a

0 I Onafhankelijk van a Voor a>0 is gegeven de functie: f a (x) = ( ax) e ax. Toon aan dat F a (x) = x e ax een primitieve functie is van f a (x). De grafiek van f a snijdt de x-as in (/a, 0) en de y-as

### VIDEO 4 4. MODULUSVERGELIJKINGEN

VIDEO 1 VIDEO 2 VIDEO 3 VIDEO 4 4. MODULUSVERGELIJKINGEN De modulus (ook wel absolute waarde) is de afstand van een punt op de getallenlijn tot nul. De modulus van zowel -5 als 5 is dus 5, omdat -5 ook

### Opgave 1: a. als je vanuit punt A 1 naar rechts gaat, moet je 6 omhoog om weer op de raaklijn te 5 0 2,5

Hoofdstuk 6: De afgeleide functie 6. Hellinggrafieken Opgave : als je vanuit punt A naar rechts gaat, moet je 6 omhoog om weer op de raaklijn te komen, dus rc 6 b. c. d. x 0 4 helling 6,5 0, 5, 5 0,5 Opgave

### Blok 1 - Vaardigheden

Blok - Vaardigheden Blok - Vaardigheden Etra oefening - Basis B-a h( ) = 000 00 = 00 h( 7 ) = 000 00 7 = 0 h(, ) = 000 00, = 70 000 00t = 00 00t = 00 t = B-a Invullen van geeft f ( ) = + 0 = +, maar de

### Paragraaf 2.1 : Snelheden (en helling)

Hoofdstuk De afgeleide functie (V4 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf.1 : Snelheden (en helling) Les 1 Benadering van de helling tussen twee punten Definities Differentiequotiënt = { Gemiddelde helling }