Noordhoff Uitgevers bv

Transcriptie

1 Voorkennis V-a Als x = 0,6 is de totale breedte 5,6 meter. De totale oppervlakte is 3 5,6 = 67, m. b De lengte is meter, de totale breedte is 5 + x meter, dus voor de oppervlakte geldt A = (5 + x). Dus formule is goed. De oppervlakte van het grasveld is 3 5 = 60 m, de oppervlakte van het tegelpad is 3 x = x m. De totale oppervlakte is A = 60 + x. Dus formule 3 is ook goed. c Met formule : A = (5 + 0,8) = 3 5,8 = 69,6 m. Met formule 3: A = ,8 = ,6 = 69,6 m. V- rechthoek a: formule met haakjes A = 3(c + 5) formule zonder haakjes A = 3c + 5 rechthoek b: formule met haakjes A =,5(f + ) formule zonder haakjes A =,5f +,5 rechthoek c: formule met haakjes A = (4 + r) formule zonder haakjes A = 48 + r V-3a b c 3 a +5 a + y = a + 3 b 9 3 3b 7 y = 3b c c y = 4 + 4c d e f 3 8 d,5 0 5d y = 0 5d 3 e +3 3e 6e +9e y = 6e + 9e 3 g g g +g y = g + g V-4a y = x + 5x + 4x + 0 of korter y = x + 9x + 0 b y = x + 7x + x + 7 of korter y = x + 8x + 7 c y = x + 4x x 40 of korter y = x 6x 40 d y = x 6x x + 6 of korter y = x 7x + 6 e y = x 4x + 3x of korter y = x x f y = x + x + x + 0 of korter y = x + 0x + 0 V-5a De lengte van het totaal is x x of korter 0 + x. b breedte = + x c A = (0 + x)( + x) d A = x + 4x + 4x of korter A = 4x + 64x + 40 e A = (0 + 3 )( + 3 ) dus A = = 384 m V-6a y = x x + 3x 3 of korter y = x + x 3 b y = 7x 3x x of korter y = 3x 8x + 35 c y = x x + x of korter y = x x + d y = x 9x + 9x 8 of korter y = x 8 Moderne wiskunde 9e editie B vwo 8

2 8 V-7a Uit de grafiek lees je af dat bij y = de waarden x = 3 en x = 3 horen. b Uit de grafiek lees je af dat bij y = 5 de waarden x = en x = horen. c x + = 6 x = 5 x = 5, 4 of x = 5, 4 d Bij y = hoort één waarde van x, namelijk x = 0. e Bij y = 0 hoort geen enkele waarde van x, want de grafiek heeft geen snijpunt met de horizontale as. V-8a p + 4 = 0 d 8 p = 7 p = 6 p = 5 p = 4 of p = 4 p = 5 of p = 5 b p 3 = 4 e p = 0 p = 36 p = 0 p = 6 of p = 6 p = 0 c p = 4 f 9 p = 5 p = 4 of p = 4 p = 4 p 648, of p 648, p = of p = V-9a y O 4 6 x 3 4 b Uit de grafiek lees je af x = of x =. c x = 5 geeft x = 5 of x = 5 - Ontbinden in factoren a = 70 b Langs de route, 5, 3, 5, 3 is de vermenigvuldiging het grootst, namelijk = 450. c Langs de route,, 3, 3, 3 is de vermenigvuldiging het kleinst, namelijk = 8. a b c De getallen, 3 en 5 zijn niet in kleinere factoren te schrijven = 360, klopt. Joke krijgt eerst 8 3 0, dan of en daarna Ze vindt zo dezelfde factoren als Surya. Moderne wiskunde 9e editie B vwo

3 3a 4 = c 900 = b 5 = d 480 = a a= 3 x wordt korter geschreven a = 6x b b= x 3 x wordt korter geschreven b = 6x c c= 6x x wordt korter geschreven c = x d d= 3 x wordt korter geschreven d = 6x 5a p = 4q kun je schrijven als p= 7 q b k = 5q kun je schrijven als k = 55 q q c w = 30v kun je schrijven als w= 3 5 v v d c = 30d kun je schrijven als c= 3 5 d 6 r = x 3x kun je schrijven als r = 6x. u= 3 x x kun je schrijven als u = 6x. De formules r = x 3 x, s = 6x en u= 3 x x geven voor iedere waarde van x dezelfde uitkomsten. 7a r = 8x is ook te schrijven als r = 8 x x of als r = 3x 6 x. Er zijn nog andere manieren. b De formule y = 35x is bijvoorbeeld te schrijven als y= 35 x x of als y= 5 7x of als y= 5x 7 x. 8a De oplossing y= 3x 3x is niet juist. b De formule y = 9x is bijvoorbeeld ook te schrijven als y= 9 x x of als y= 33 x x. 9a De formule y = 6x kun je schrijven als y= x 3x b De formule y = x kun je schrijven als y= 3x 4x c De formule y = 4x kun je schrijven als y= 7 x d De formule y = 4x kun je schrijven als y= x x e De formule y = 5x kun je schrijven als y= 3x 5 a p a = 4p b = 4(p + 3) b 3 p p + b = 4(p + 3) is zonder haakjes te schrijven als b = 4p +, dus zijn beide formules hetzelfde. c - d a = 4p + is ook te schrijven als a = (p + 6). - Ontbinden van tweetermen a 3 a a + b h = 7(a + 3) Moderne wiskunde 9e editie B vwo 83

4 84 a k = (r 8) k = 3(8r ) k = 6(4r 6) b k = 4(6r 9) of k = (r 3) 3a h = 4(a + 5) b k = 3(f ) c d = 3(5h + ) 4a 3 q +6 q q +6q 5a 6a b y = q(q + 6) In a en a zit één gemeenschappelijke factor a en in 3 en 5 is 3 de grootste gemeenschappelijke factor. b 3 a 5 3a 3a 5a c p = 3a(a 5) d h = 5b(b + 3) b c 3 a +7 a a +7a d 3 t 3 t t 36t n = a(a + 7) j = t(t 3) 3 h 5 h h 5h e 3 p +9 7p 7p +63p e = h(h 5) k = 7p(p + 9) 3 +3b f 3 x 3 5b 5b +45b x 4x 36x q = 5b( + 3b) y = x(x 3) 7 3 t 3 3 t +3 3t 6t +9t 3t 6t +9t Als je bij de formules van Robbert en Joost de haakjes weer wegwerkt, krijg je bij beiden dezelfde formule. 8 3 a 5 a +5 9a p = 7(q 3) c y = 5x(x 3) b r = (3s + ) d d = e( 3e) 0a Ja, ze heeft gelijk. 8t = 6t 3 3t en 36t = 6t 3 6. b 3 3t +6 6t 8t +36t j = 6t(3t + 6) c Vivian heeft 9t of 8t gevonden. d j = 9t(t + 4) of j = 8t(t + ) Moderne wiskunde 9e editie B vwo

5 a p = 7v( v + 3) d f = s( s + ) b n = 6a(3a + 4) e e = 9h( h +7) c c = 8h(4h 3) f y = 6x( + 5x) -3 A 3 B = 0 a - b De route, 3, 4,,, 5, levert het product 480 op. c Bijvoorbeeld de route, 3, 7, 6,, 0, of, 3, 7, 0,, 5, of,, 0,,, 0, d Vier routes leveren niet het product nul op. e Je moet een route kiezen waarbij één van de getallen gelijk aan nul is. 3a x y b 3 x 4 x x 4x y O 3 4 x 5 4 c In de tabel van opdracht a zie je dat de uitkomst gelijk is aan nul voor x = 0 en x = 4. d Bij x = 0 is de factor x uit x(x 4) gelijk aan nul, bij x = 4 is de factor x 4 gelijk aan nul. 4 (x + )(x 7) = 0 (m 7)(m + 4) = 0 3k(k + 4) = 0 x + = 0 of x 7 = 0 m 7 = 0 of m + 4 = 0 3k = 0 of k + 4 = 0 x = of x = 7 m = 7 of m = 4 k = 0 of k = 4 m = 3 of m = 4 5a (x + 5)(x ) = 0 d (r )(4r 8) = 0 x + 5 = 0 of x = 0 r = 0 of 4r 8 = 0 x = 5 of x = r = of 4r = 8 r = of r = dus r = b (3r )(r 8) = 0 e s(s + 3) = 0 3r = 0 of r 8 = 0 s = 0 of s + 3 = 0 3r = of r = 8 s = 0 of s = 3 r = 4 of r = 8 c (n 4)(n + 4) = 0 f p(p + 5) = 0 n 4 = 0 of n + 4 = 0 p = 0 of p + 5 = 0 n = 4 of n = 4 p = 0 of p = 5 6a De grafiek snijdt de x-as bij x = 0 en x =. b x = 0 geeft y = = 0, klopt x = geeft y = 3 = 0, klopt c De oplossingen zijn x = 0 en x =. d x(x ) = 0 als x = 0 of x = 0 Dus de oplossingen zijn x = 0 en x =. Moderne wiskunde 9e editie B vwo 85

6 86 7a x + 4x = 0 c n + 30n = 0 e 3x x = 0 x(x + 4) = 0 n(n + 5) = 0 3x(x 4) = 0 x = 0 of x + 4 = 0 n = 0 of n = 5 3x = 0 of x 4 = 0 x = 0 of x = 4 n = 0 of n = 5 x = 0 of x = 4 b 4g g = 0 d t 7t = 0 f 0,0h 0,0h = 0 g(4 g) = 0 t(t + 7) = 0 0,0h(h ) = 0 g = 0 of 4 g = 0 t = 0 of t + 7 = 0 0,0h = 0 of h = 0 g = 0 of 4 = g t = 0 of t = 7 h = 0 of h = g = 0 of g = 0,4 8a Job vindt x = 8 en x =. b Invullen van x = 8 geeft 8 3 (8 ) = = 48. Invullen van x = geeft 3 ( ) = 3 8 = 80. Job denkt dat het product van twee factoren 8 is als ten minste één van de factoren 8 is. En dat is niet juist. c Bij de vergelijking x(x ) = 0 is een product gelijk aan 0 en dan moet wel ten minste één van de factoren gelijk zijn aan 0. 9a Invullen van a = 5 geeft h = = 30 5 = 30 7 =. 30 b Aan het begin en aan het eind van de brug is de hoogte gelijk aan 0. Door de vergelijking die hoort bij h = 0 op te lossen vind je de waarden van a die horen bij A en B. c a a = 0 30 a( a) = 0 30 a = 0 of a = 0 30 a = 0 of a = 30 a = 0 of a = 60 d De afstand AB is 60 meter. -4 Ontbinden in factoren 30a Vergelijking 3 kun je nog niet oplossen. De linkerkant van de vergelijking kun je op dit moment nog niet ontbinden in factoren. b p(4 8p) = 0 h 5h = 0 (w 3)(w + ) = 0 p = 0 of 4 8p = 0 h(h 5) = 0 w 3 = 0 of w + = 0 p = 0 of 8p = 4 h = 0 of h 5 = 0 w = 3 of w = p = 0 of p = h = 0 of h = 5 3a De parabool snijdt de x-as bij x = en x = 3. b Bij de snijpunten met de x-as geldt y = 0, dus moet je de vergelijking x 4x + 3 = 0 oplossen. c Werk in de linkerkant van (x )(x 3) = 0 de haakjes weg. 3 x 3 x x 3x x +3 De vergelijking wordt dan x 3x x + 3 = 0 ofwel x 4x + 3 = 0 Moderne wiskunde 9e editie B vwo

7 d De parabool snijdt de x-as voor x = en x = 5. e y = (x )(x 5) 3a Werk de haakjes weg in y = (x + 3)(x + ) en je krijgt y = x + x + 3x + 33 of korter y = x + 4x b In de tabel worden de gelijksoortige termen 3x en x samengenomen. Dus 4 = 3 +. c Het getal 33 is het product van de getallen 3 en. Dus 33 = a Voor de gezochte getallen in y = (x + )(x + ) moet gelden 3 =. b Bij de formule y = x + 7x + past de rechtertabel, want 3 5 = en + 5 = 7. c y = (x + )(x + 5) 34a Bij de formule y = x + x 3 past de rechtertabel, want 3 3 = 3 en + 3 =. b y = (x )(x + 3) 35a product getallen som 80 en en en en en 80 en en en en en +79 b Van de getallen en 8 is de som +. c y = (x + )(x 8) 36a Het product is + en de som is 7. c Het product is +40 en de som 4 product getallen som product getallen som + en en en en en en +4 + en en 4 + en 6 8 n = (t 4)(t ) + 3 en 4 7 y = (x 3)(x 4) b Het product is +4 en de som +4. d Het product is +45 en de som +4. product getallen som +4 en en +4 r = (d + )(d + ) product getallen som +45 en en en 9 +4 v = (c + 5)(c + 9) Moderne wiskunde 9e editie B vwo 87

8 88 e Het product is 8 en de som is +. f Het product is + en de som is 8. product getallen som product getallen som 8 en en +3 8 en 4 + en en + + en 6 8 p = (q + 4)(q ) e = (w )(w 6) 37a Het product is 7 en de som is 6. Daar horen de getallen 7 en + bij, want 7 3 = 7 en 7 + = 6. De formule y = x 6x 7 wordt ontbonden in y = (x 7)(x + ). b (x 7)(x + ) = 0 x 7 = 0 of x + = 0 x = 7 of x = c x y y O x d Het laagtste punt is (3, 6). -5 Kwadratische vergelijkingen 38a De vergelijkingen en 5 hebben aan de linkerkant een tweeterm. De vergelijkingen, 3, 4 en 6 hebben aan de linkerkant een drieterm. b b 5b = 0 e + 4e = 0 b(b 5) = 0 e(e + 4) = 0 b = 0 of b 5 = 0 e = 0 of e + 4 = 0 b = 0 of b = 5 e = 0 of e = 4 c a + 8a + 7 = 0 c + 3c + 36 = 0 (a + )(a + 7) = 0 (c + 9)(c + 4) = 0 a + = 0 of a + 7 = 0 c + 9 = 0 of c + 4 = 0 a = of a = 7 c = 9 of c = 4 Moderne wiskunde 9e editie B vwo

9 d +5d 4 = 0 f f 30 = 0 (d + 7)(d ) = 0 (f 6)(f + 5) = 0 d + 7 = 0 of d = 0 f 6 = 0 of f + 5 = 0 d = 7 of d = f = 6 of f = 5 39a Hij vindt x = 9 of x =. b Invullen van x = 9 geeft (9 3)(9 4)= 6 ofwel = 6 en dat klopt niet. Invullen van x = geeft ( 3)( 4) = 6 ofwel = 6 en dat klopt niet. Sven denkt dat het product van twee factoren 6 is als ten minste één van de factoren 6 is. En dat is niet juist. 40a x + 4x = 0 x(x + 4) = 0 x = 0 of x + 4 = 0 x = 0 of x = 4 b De grafiek bij de formule y = x + 4x snijdt de horizontale as bij x = 0 of x = 4. 4a Als een product van twee factoren gelijk is aan geldt niet dat ten minste één van de factoren gelijk is aan. b x + 4x = 0 (x + 6)(x ) = 0 x + 6 = 0 of x = 0 x = 6 of x = c De snijpunten zijn ( 6, ) en (, ). Ze kloppen met de grafiek. 4a x x = 8 e b 8b = 9 x x 8 = 0 b 8b 9 = 0 (x 4)(x + ) = 0 (b 9)(b + ) = 0 x 4 = 0 of x + = 0 b 9 = 0 of b + = 0 x = 4 of x = b = 9 of b = b x + x = 9 f e e = x + x + 9 = 0 e e = 0 (x + 9)(x + ) = 0 (e )(e + ) = 0 x + 9 = 0 of x + = 0 e = 0 of e + = 0 x = 9 of x = e = of e = c a + a = 35 g c 3c = 8 a + a 35 = 0 c 3c 8 = 0 (a + 7)(a 5) = 0 (c 6)(c + 3) = 0 a + 7 = 0 of a 5 = 0 c 6 = 0 of c + 3 = 0 a = 7 of a = 5 c = 6 of c = 3 d d 5d = 6 h f + 4 = 5f d 5d + 6 = 0 f + 5f + 4 = 0 (d )(d 3) = 0 (f + 4)(f + ) = 0 d = 0 of d 3 = 0 f + 4 = 0 of f + = 0 d = of d = 3 f = 4 of f = Moderne wiskunde 9e editie B vwo 89

10 90 i a 3a= 0 a( a 3) = 0 a = 0 of a 3 = 0 a = 0 of a = 3 a = 0 of a = 46 43a De vergelijkingen D en H kun je met een bordje oplossen. b De vergelijkingen B, E en G moet je eerst op nul herleiden. c B: t + 6t + 8 = 0 E : k k 8 = 0 G : h + 9h = 0 d Bij de vergelijkingen A en G kun je nu een tweeterm ontbinden. A: 3p(p 3) = 0 G: h(h + 9) = 0 e Bij de vergelijkingen B en E kun je nu een drieterm ontbinden. B: (t + )(t + 4) = 0 E : (k 4)(k + ) = 0 f A : 3p = 0 of p 3 = 0 E: k 4 = 0 of k + = 0 p = 0 of p = 3 k = 4 of k = B: t + = 0 of t + 4 = 0 F: v = 0 of v + 9 = 0 t = of t = 4 v = 0 of v = 9 C: f + = 0 of 5f 8 = 0 G: h = 0 of h + 9 = 0 f = of 5f = 8 h = 0 of h = 9 f = of f =,6 H: b = 9 D: x = 8 b = 3 of b = 3 x = 9 of x = 9 44a a a = 0 f h + 5 = 6h a a + 0 = 0 h + 6h + 5 = 0 (a )(a ) = 0 (h + )(h + 5) = 0 a = 0 of a = 0 h + = 0 of h + 5 = 0 a = of a = h = of h = 5 b b b = 0 g 5d 5d = 0 b(b ) = 0 5d(d 3) = 0 b = 0 of b = 0 5d = 0 of d 3 = 0 b = 0 of b = d = 0 of d = 3 c 4c(c 8) = 0 h i + i = 8 4c = 0 of c 8 = 0 i + i 8 = 0 c = 0 of c = 8 (i + 4)(i ) = 0 d f + f 4 = 0 i + 4 = 0 of i = 0 (f + 6)(f 4) = 0 i = 4 of i = f + 6 = 0 of f 4 = 0 i (e + 6)(e + 6) = 0 f = 6 of f = 4 e + 6 = 0 of e + 6 = 0 e g 3g = 4 e = 6 of e = 6 g 3g 4 = 0 e = 6 of e = 3 (g 4)(g + ) = 0 g 4 = 0 of g + = 0 g = 4 of g = Moderne wiskunde 9e editie B vwo

11 45a De oppervlakte is = = 77 m. b De oppervlakte van het vierkant is a 3 a = a m, de oppervlakte van de linker rechthoek is 3 3 a = 3a m, de oppervlakte van de rechthoek onderaan is 3 a = a m. De totale oppervlakte is dus a + 3a + a of korter a + 4a. Als de oppervlakte gelijk moet zijn aan 3, moet de vergelijking a + 4a = 3 opgelost worden. c a + 4a = 3 a + 4a 3 = 0 (a + 8)(a 4) = 0 a + 8 = 0 of a 4 = 0 a = 8 of a = 4 De oplossing a = 8 heeft hier geen betekenis, omdat de zijde van een vierkant geen negatieve lengte kan hebben. -6 Gemengde opdrachten 46a x + x = 0 x(x + ) = 0 x = 0 of x + = 0 x = 0 of x = De grafiek snijdt de x as bij x = 0 en x =. b Voor de punten op de grafiek met y = 3 geldt x + x = 3. x + x 3 = 0 (x + 3)(x ) = 0 x + 3 = 0 of x = 0 x = 3 of x = De coördinaten van de snijpunten zijn ( 3, 3) en (, 3). c Voor de snijpunten van de grafiek met de lijn y = x geldt: x + x = x x + x = 0 x(x + ) = 0 x = 0 of x + = 0 x = 0 of x = Invullen van x = 0 in y = x geeft y = 0. Invullen van x = in y = x geeft y =. De coördinaten van de snijpunten zijn (0, 0) en (, ). d Voor de snijpunten van de grafiek met de lijn y = x geldt: x + x= x x + x= 0 xx ( + ) = 0 x = 0 of x + = 0 x = 0 of x = Invullen van x = 0 in y = x geeft y = 0. Invullen van x = in y = 3 x geeft y = =. 4 De coördinaten van de snijpunten zijn (0, 0) en (, 3 ). 4 Moderne wiskunde 9e editie B vwo 9

12 9 47a De breedte is twee meter minder dan de lengte, dus b = l. b Voor de oppervlakte A geldt A = l 3 b, dus A = l(l ). Bij A = 5 hoort de vergelijking l(l ) = 5. c l(l ) = 5 l l = 5 l l 5 = 0 (l 5)(l + 3) = 0 l 5 = 0 of l + 3 = 0 l = 5 of l = 3 d De oplossing l = 3 heeft hier geen betekenis, want een lengte kan niet negatief zijn. De lengte van de ruit is 5 meter en de breedte 5 = 3 meter. 48a Bij a = 4 vind je d = 0, 3 4, 3 4 =,6 4,8 = 3,. Op 4 meter van de linkeroever is het kanaal 3, meter diep. b 0,a,a = 0 a(0,a,) = 0 a = 0 of 0,a, = 0 a = 0 of 0,a =, a = 0 of a = Bij 0 meter en bij meter van de linkeroever is de diepte nul. c Ja, het kanaal is meter breed. d Het midden van het kanaal is bij a = 6. Invullen van a = 6 geeft d = 0, 3 6, 3 6 = 3,6 7, = 3,6. Het kanaal is daar 3,6 meter diep. e Als het schip van 5 meter breed in het midden van het kanaal van meter breed vaart, is er aan beide zijkanten van het schip ( 5) : = 3,5 meter over. Op 3,5 meter van de linkeroever is d = 0, 3 3,5, 3 3,5 =,5 4, =,975, dus is het kanaal,975 meter diep. Het schip met een diepgang van,7 meter kan er dus varen. Het schip van 6 meter breed heeft aan beide kanten nog 3 meter over. Op 3 meter van de linkeroever is d = 0, 3 3, 3 3 = 0,9 3,6 =,7, dus is het kanaal,7 meter diep. Het schip met een diepgang van,8 meter kan daar niet varen. 49a Een vierhoek heeft twee diagonalen. b Een zeshoek heeft negen diagonalen. c Invullen van n = 4 geeft d = 4 4= 8 6=, klopt. Invullen n = 6 geeft d = 6 6= 8 9= 9, klopt. d Een zevenhoek heeft 7 7= 4 = 4 diagonalen. e n n= 35 f Vermenigvuldig links en rechts met en je krijgt de vergelijking: n 3n = 70 n 3n 70 = 0 (n + 5)(n 8) = 0 n + 5 = 0 of n 8 = 0 n = 5 of n = 8 Een achttienhoek heeft precies 35 diagonalen. Moderne wiskunde 9e editie B vwo

13 50a x 6x = 8 d 0 = x + x x 6x + 8 = 0 x x = 0 (x )(x 4) = 0 x(x ) = 0 x = 0 of x 4 = 0 x = 0 of x = x = of x = 4 e x = 3x b 64 = x 6x x 3x = 0 0 = x 6x + 64 x(x 3) = 0 (x 8)(x 8) = 0 x = 0 of x 3 = 0 x 8 = 0 of x 8 = 0 x = 0 of x = 3 x = 8 f x = 5x 4 c x 64 = 0 x 5x + 4 = 0 x = 64 (x 4)(x ) = 0 x = 8 of x = 8 x 4 = 0 of x = 0 x = 4 of x = 5a Invullen van x = 0 geeft h = 0, , = 4 + = 4. De kabel hangt daar op een hoogte van 4 meter. b Bij de linkerpijler moet je a = 0 invullen. c Invullen van a = 0 geeft h = 0, , =. De linkerpijler is meter hoog. d De hoogte van de rechterpijler is ook meter. Je moet dus de vergelijking 0,0a 0,5a + = oplossen. 0,0a 0,5a = 0 a(0,0a 0,5) = 0 a = 0 of 0,0a 0,5 = 0 a = 0 of 0,0a = 0,5 a = 0 of a = 50, dus de afstand tussen de pijlers is 50 meter. 5 product getallen som formule ontbinding 8 en 8 7 y = x 7x 8 y = (x + )(x 8) 8 en 9 7 y = x 7x 8 y = (x + )(x 9) 8 3 en 6 3 y = x 3x 8 y = (x + 3)(x 6) 8 6 en 3 +3 y = x + 3x 8 y = (x + 6)(x 3) 8 9 en +7 y = x + 7x 8 y = (x + 9)(x ) 8 8 en 7 y = x + 7x 8 y = (x + 8)(x ) 53a Verdeel het tegelpad in twee rechthoeken en een vierkant. De oppervlakte van het vierkant is x 3 x = x. De oppervlakte van de onderste rechthoek is 0 3 x = 0x. De oppervlakte van de rechter rechthoek is 3 x = x. De totale oppervlakte is A = x + x + 0x of korter A = x + 3x. b A = 68 geeft de vergelijking x + 3x = 68. c x + 3x = 68 x + 3x 68 = 0 (x + 34)(x ) = 0 x + 34 = 0 of x = 0 x = 34 of x = De oplossing x = 34 heeft hier geen betekenis. Moderne wiskunde 9e editie B vwo 93

14 94 54a Substitueer de formule U = 35I in de formule P = U 3 I. Dat geeft P = 35I 3 I of korter P = 35I. b P = 380 geeft de vergelijking 35I = 380 I 39,43 I 6,3 Er gaat ongeveer 6,3 ampère stroom door de stofzuiger. fi ICT Ontbinden van drietermen I-a Vergelijking 3 kun je nog niet oplossen. De linkerkant van de vergelijking kun je op dit moment nog niet ontbinden in factoren. b p(4 8p) = 0 h 5h = 0 (w 3)(w + ) = 0 p = 0 of 8 4p = 0 h(h 5) = 0 w 3 = 0 of w + = 0 p = 0 of 8p = 4 h = 0 of h 5 = 0 w = 3 of w = p = 0 of p = h = 0 of h = 5 I-a De parabool snijdt de x-as in de punten (, 0) en (3, 0). b Bij de snijpunten met de x-as geldt y = 0, dus moet je de vergelijking x 4x + 3 = 0 oplossen. c De grafieken vallen samen. d (x )(x 3) = 0 x = 0 of x 3 = 0 x = of x = 3 e De parabool snijdt de x-as voor x = en x = 5. f y = (x )(x 5) g De grafieken vallen samen. I-3a De grafiek snijdt de x-as in de punten (, 0) en (7, 0). b y = (x + )(x 7) c De grafiek bij de formule y = x 3x snijdt de x-as in de punten (, 0) en (5, 0). De formule is dus ook te schrijven als y = (x + )(x 5). I-4a Werk de haakjes weg in y = (x + 3)(x + ) en je krijgt y = x + x + 3x + 33 of korter y = x + 4x b In de tabel worden de gelijksoortige termen 3x en x samengenomen. Dus 4 = 3 +. c Het getal 33 is het product van de getallen 3 en. Dus 33 = 3 3. I-5a In de twee andere vakjes met stippen komen twee termen die samen 7x zijn, namelijk de 7x in de formule y = x + 7x +. Dus moeten de getallen in de gele vakjes samen 7 zijn. b Het product van de twee getallen in de gele vakjes is het getal in de formule y = x + 7x +. c - d De getallen en 5 geven product en som 7. e y = (x + )(x + 5) Moderne wiskunde 9e editie B vwo

15 I-6a - b - c - d De getallen en 8 geven product 80 en som +. e y = (x + )(x 8) f y = x 7x + is te ontbinden in y = (x 3)(x 4) y = x + 4x + 4 is te ontbinden in y = (x + )(x + ) y = x 6x 40 is te ontbinden in y = (x )(x + 4) y = x + x 8 is te ontbinden in y = (x + 4)(x ) I-7 - Test jezelf T-a 3x = 3x x e 4x + 8 = 4(x + ) b 4 3 6x = x 3x f x + 8 = 4(3x + ) c 6 4 4x = 6x 4x g 4x + 8x = 8x(3x + ) d 3 4x = 7x x h 4x + 7 = 7(x + ) T-a a = 8(x + 3) e r = 7x( x + 3) b b = 5(x 4) f e = 6x(x ) c d = ( x + ) g g = 4x(8x + ) d k = 6x(4x + 3) h h = x( 8x + 3) T-3a a + 4a = 0 e (e )( e 8) = 0 a(a + 4) = 0 e = 0 of e 8 = 0 a = 0 of a + 4 = 0 e = of e = 8 a = 0 of a = 4 e = of e = 4 b 3b 9b = 0 f 0,0f 0,04f = 0 3b( 3b) = 0 0,0f(f ) = 0 3b = 0 of 3b = 0 0,0f = 0 of f = 0 b = 0 of 3b = f = 0 of f = b = 0 of b = 3 g g g = 0 c c c = 0 g( g) = 0 c(c + ) = 0 g = 0 of g = 0 c = 0 of c + = 0 g = 0 of g = c = 0 of c = g = 0 of g = 0 d 5 0 h h h = 0 d = 0 of d 5 = 0 h(h )=0 d = 0 of d = 5 h = 0 of h = 0 h = 0 of h = Moderne wiskunde 9e editie B vwo 95

16 96 T-4a Product is en som is +. e Product is +4 en som is 5. Daar horen de getallen +4 en 3 bij, Daar horen de getallen en 4 bij, want = en =. want 3 4 = 4 en + 4 = 5 a = (x + 4)(x 3) e = (x )(x 4) b Product is + en som is is +7. f Product is 6 en som is +5. Daar horen de getallen + en +5 bij, Daar horen de getallen +6 en bij, want 3 5 = en + 5 = 7. want 6 = 6 en 6 + = 5. b = (x + )(x + 5) f = (x + 6)(x ) c Product is en som is. g Product is +5 en som is 8. Daar horen de getallen en + bij, Daar horen de getallen 3 en 5 bij, want 3 = en + =. want = 5 en = 8. c = (x )(x + ) g = (x 3)(x 5) d Product is + en som is +. h Product is 30 en som is is. Daar horen de getallen + en + bij, Daar horen de getallen 6 en +5 bij, want 3 = en + =. want = 30 en = d = (x + )(x + ) h = (x 6)(x + 5) T-5a 3a 8a = 0 f f + 9 = 6f 3a(a 6) = 0 f 6f + 9 = 0 3a = 0 of a 6 = 0 (f 3)(f 3) = 0 a = 0 of a = 6 f 3 = 0 of f 3 = 0 b b 60 = 4b f = 3 b 4b 60 = 0 g g + g = 35 (b )(b + 6) = 0 g + g 35 = 0 b = 0 of b + 6 = 0 (g + 7)(g 5) = 0 b = of b = 6 g + 7 = 0 of g 5 = 0 c 4c(5c + 9) = 0 g = 7 of g = 5 4c = 0 of 5c + 9 = 0 h h = h c = 0 of 5c = 9 h h = c = 0 of c = = 5 5 h(h ) = 0 d d + d = 0 h = 0 of h = 0 d(d + ) = 0 h = 0 of h = d = 0 of d + = 0 h = 0 of h = d = 0 of d = i 3i = 7 e e 9 = 7 i = 9 e = 6 i = 3 of i = 3 e = 4 of e = 4 j j 5j = 6 j 5j + 6 = 0 (j )(j 3) = 0 j = 0 of j 3 = 0 j = of j = 3 Moderne wiskunde 9e editie B vwo

17 T-6a Op de grond is h = 0, daar hoort de vergelijking a + a = 0 bij. b Eerst de vergelijking a + a = 0 oplossen: a( a+ ) = 0 a = 0 of a + = 0 a =0 of a = a = 0 of a = 0 Na 0 meter komt de bal weer op de grond, dus hij schiet de bal 0 meter weg. c ( a 5)( a 65) = 0 5 a 5 = 0 of a 65 = 0 a = 5 of a = 65 d Op 65 meter van de achterlijn komt de bal op de grond. e De doelman staat 5 meter van de achterlijn af. f Hij schiet de bal 65 5 = 60 meter weg. T-7a Voor snijpunten met de horizontale as geldt y = 0, daar hoort de vergelijking x 3x = 0 bij. b x 3x = 0 (x 5)(x + ) = 0 x 5 = 0 of x + = 0 x = 5 of x = De grafiek snijdt de horizontale as bij x = 5 en bij x =. c (x )(x 4) = 0 x = 0 of x 4 = 0 x = of x = 4 De grafiek snijdt de horizontale as bij x = en bij x = 4. T-8a x x = 0 x(x ) = 0 x = 0 of x = 0 x = 0 of x = De grafiek snijdt de horizontale as bij x = 0 en bij x =. b x x = 8 x x 8 = 0 (x 4)(x + ) = 0 x 4 = 0 of x + = 0 x = 4 of x = De grafiek snijdt de lijn y = 8 in de punten (4, 8) en (, 8). c x x = 3x x 5x = 0 x(x 5) = 0 x = 0 of x 5 = 0 x = 0 of x = 5 Invullen van x = 0 bij y = 3x geeft y = = 0. Invullen van x = 5 bij y = 3x geeft y = = 5. De snijpunten zijn (0, 0) en (5, 5). d De grafiek snijdt de horizontale as bij x = en bij x = 4. De formule wordt dus y = (x + )(x 4). Moderne wiskunde 9e editie B vwo 97

18 98 T-9a Voor de breedte moet je meter van de lengte aftrekken, dus b = l. b De oppervlakte A bereken je door de lengte te vermenigvuldigen met de breedte, dus A = l 3 b ofwel A = l (l ) of zonder haakjes A = l l. Bij A = 0 hoort de vergelijking l l = 0. c l l = 0 l l 0 = 0 (l 40)(l + 30) = 0 l 40 = 0 of l + 30 = 0 l = 40 of l = 30 d De lengte wordt 40 meter (l = 30 heeft hier geen betekenis) en de breedte 30 meter. Moderne wiskunde 9e editie B vwo