Bijzondere getallen. Oneindig (als getal) TomVerhoeff. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica

Transcriptie

1 Bijzondere getallen Oneindig (als getal) TomVerhoeff Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Oneindig Bijzondere getallen Er zijn DRIE soorten wiskundigen: zij die kunnen tellen en zij die dat niet kunnen Ik zal proberen in eindige tijd wat te vertellen over oneindig Oneindig

2 ... Oneindig Getallen Belang van getallen: wetenschap, economie, maatschappij Niet-wiskundige boeken over getallen: geschiedenis, filosofie, antropologie, psychologie, mystiek Natuurkunde: (on)eindigheid van ruimte en tijd Oneindig in de informatica : data(structuren), eindiging van reken processen t Wordt een heel verhaal, u moet wel eens wat voor lief nemen Oneindig

3 Top tien van getallen (Clifford Pickover, 00). 0. π Archimedes, Ludolph 3. e Napier, Euler 4. i Gauss Pythagoras γ Euler, Mascheroni 9. Ω onberekenbaar Chaitin 0. ℵ 0 oneindig Cantor Oneindig 3 Top tien van getallen (Clifford Pickover, 00) Alle getallen hebben wel wat, moeilijk te kiezen Over 0, π, e, i zijn hele boeken geschreven (populair) Niet over, of (voorzover ik weet) Ook nog interessant: φ = ( + 5 ) = Gulden Snede, Fibonacci log = Mercator Oneindig 3

4 Getallen verzameld N Natuurlijke getallen: 0,,,... Z Gehele getallen:...,,, 0,,, 3,... Q Rationele getallen:..., 7 3,...,,..., 355 3,... R Reële getallen:..., γ,...,,..., e,..., π,..., Ω,... C Complexe getallen:..., i,..., +i,... Keten van uitbreidingen: N Z Q R C Oneindig 4 Getallen verzameld Classificatie Vergelijk met biologische taxonomie Soms onenigheid over 0 N Oneindig 4

5 Geneste verzamelingen van getallen N Z Q R C γ?... Ω log φ e π i +i... ℵ 0 Oneindig 5 Geneste verzamelingen van getallen Volgende verzameling omvat vorige Allemaal oneindig grote verzamelingen (... ) Clifford s Top Tien bevat geen getallen uit Z N, Q Z γ Q onbekend, vermoed wordt γ R Q ℵ 0 C Oneindig 5

6 Getallen als meetkundige punten: topologische structuur i +i γ e π i i Oneindig 6 Getallen als meetkundige punten: topologische structuur Topologische structuur: nabijheid Meetkundige lijn (R) en vlak (C): oneindig uitgestrekt oneindig dichtgepakt (dichter dan Q) Oneindig 6

7 Bewerkingen op getallen: algebraïsche structuur N : a+b (optellen), a b (vermenigvuldigen), a b (machtsverheffen) Z : a b (aftrekken: a = x+b ) Q : a/b (delen: a = x b ) R : b a (worteltrekken: a = x b ), log b a (logaritme: a = b x ) C : nulpunten van polynomen, bijv. x +=0 Oneindig 7 Bewerkingen op getallen: algebraïsche structuur Eenheidselement, nulelement, inverse, associatief, distributief Ordening Uitbreiding met doel bewerkingen gesloten te maken ofwel bepaalde (algebraïsche) vergelijkingen oplosbaar te maken Z (schulden, debet); Q (taart delen) Machtsverheffen in Z en Q: b N Machtsverheffen in R: b N a>0 ( b N a 0) Delen in Q, R en C: b 0 Worteltrekken in R: a>0 Logaritme in R: a>0 en b>0 Logaritme in C: a 0enb 0en b Oneindig 7

8 Potentieel oneindige processen (...) π 4 = π = e = = Oneindig 8 Potentieel oneindige processen (...) Reële getallen als limiet van (potentieel) oneindige processen Het oneindige dat nooit actueel echt bestaat, bereikt wordt Bijv. bij : kwadraat van kettingbreuk steeds dichter bij φ = log = Oneindig 8

9 Oneindig bij limiet van rij (n ),, 3, 4, = lim n n ( + ), ( + ), ( + 3) 3,... e NIET: e = lim n ( + ) n n NIET: ( + ) Oneindig 9 Oneindig bij limiet van rij (n ) Dit leidt tot een topologisch oneindig Je kan er willekeurig dichtbij komen Oneindig 9

10 Oneindig bij limiet van reeks ( k= ) n n = k= k = n = k= k = = k= k = Oneindig 0 Paradox van Zeno Oneindig bij limiet van reeks ( k= ) Ook nog interessant (harmonische reeks): en H n = n k= = lim n H n = k = n k= γ = lim n H n log n π 6 = k= k = k = Oneindig 0

11 Oneindige getallen Topologisch: limiet Algebraïsch: bestaat niet ( =?ofwel? + = ) Maat voor grootte van verzamelingen: kardinaalgetallen als ℵ 0 Maat voor ordeningen: ordinaalgetallen als ω en ɛ 0 Oneindig Oneindige getallen Algebraïsch oneindig bestaat niet (in volle glorie): = x x niet eindig, want eindig plus is eindig x niet, want dan = 0 Kardinaalgetallen vaak in populaire literatuur, daarom niet nu doen Aftelbaar, overaftelbaar, diagonaalargument, machtsverheffen, (G)CH Ordinaalgetallen: ruggengraat van de moderne verzamelingsleer Informatica: onderzoek naar eindiging van rekenprocessen datastructuren (samenpakking van informatie) Oneindig

12 Knikkerspel Pak telkens een knikker: Verwijder m Eindigt dit? Na hoeveel zetten? Oneindig Knikkerspel Gegeven een zak met een eindig aantal knikkers. Zolang de zak niet leeg is, halen we er telkens één uit. Dit eindigt na K stappen, als er initieel K knikkers zijn. Oneindig

13 Knikkerspel Pak telkens een knikker: Als blauw, dan verwijderen Als wit, dan vervangen door één blauwe Oneindig 3 Knikkerspel Je hebt nu ook een onbeperkte voorraad (blauwe) knikkers Het aantal neemt niet altijd af Als je ook een blauwe door een witte zou vervangen, dan niet eindig Wat als je twee blauwen teruglegt voor een witte? Oneindig 3

14 Knikkerspel 3 Pak telkens een knikker: Als blauw, dan verwijderen Als wit, dan vervangen door willekeurig eindig aantal blauwen Oneindig 4 Knikkerspel 3 Als dat willekeurig u niet zint, lees dan in N-de stap door N blauwen Oneindig 4

15 Knikkerspel analyse W witte knikkers B blauwe knikkers. Eindigt na W + B stappen. Eindigt na W + B stappen 3. Eindigt na ten hoogste ω W + B stappen W B Oneindig 5 Knikkerspel analyse Wat als twee blauwen terugleggen? 3 W + B stappen En N blauwen terugleggen (vaste N)? (N+) W + B stappen En nu N terugleggen in N-de stap? Geen enkele eindige weegfactor is zwaar genoeg N<ωvoor elke eindige N: ω (W ) + B+N <ω W + B Is elke dalende rij toch eindig? Zijn er goede rekenregels met ω? Vergelijk met lexicografische ordening op paren Ook met rode knikkers ( wit): ω R + ω W + B Oneindig 5

16 Lottobalspel 0 4 Pak telkens een N-genummerde lottobal: Vervang door willekeurig aantal met kleinere waarden d.w.z. (n) vervangen door (<n) (<n)... (<n) Oneindig 6 Lottobalspel Verder generaliseren: onbeperkt aantal (genummerde) kleuren Als dat willekeurig u niet zint, lees dan in N-de stap door N kleinere waarden Eindigt dit altijd, en waarom? Wat gebeurt er met (0)? Komt niets voor terug! Nu op naar het ultieme spel : Stelling van Goodstein Oneindig 6

17 Opvolger ( erbij): a Bewerkingen op natuurlijke getallen Optellen (herhaald erbij): b { }} { a + b = a... Vermenigvuldigen (herhaald optellen): a b = b { }} { a a a 0=0 a =a a b = a b + a a (b + c) =a b + a c Machtsverheffen (herhaald vermenigvuldigen): a b = b { }} { a... a a 0 = a = a a b = a b a a b+c = a b a c Oneindig 7 Bewerkingen op natuurlijke getallen Om Stelling van Goodstein te formuleren moet je wat rekenen Notatie a is niet standaard, turfje erbij Bemerk de gelijkvormige eigenschappen voor en Maar: optellen en vermenigvuldigen zijn commutatief a + b = b + a a b = b a En machtsverheffen niet: 3 =8 9=3 Daarom ook twee inversen (linker en rechter: b a en log b a) Oneindig 7

18 Decimale notatie Ieder natuurlijk getal is op unieke wijze te schrijven als som van machten van 0 met coëfficiënten < 0. Voorbeeld: 66 = = = Oneindig 8 Decimale notatie Coëfficiënten c i (kunnen 0 zijn; reden voor introductie 0) Exponenten i (in positiesysteem gecodeerd door positie) N = k i=0 c i 0 i Vergelijk: rijtje waarden < 0 Oneindig 8

19 Notatie in grondtal G Ieder natuurlijk getal is op unieke wijze te schrijven als som van machten van G met coëfficiënten <G. Voorbeeld met G = (binair ): Voorbeeld met G = 3(ternair ): 66 = = = = Oneindig 9 Notatie in grondtal G Binair: coëfficiënten 0 of Ternair: coëfficiënten 0, of Coëfficiënt 0: term weglaten (0 a =0) Coëfficiënt : coëfficiënt weglaten a = a Exponent 0: macht weglaten (c a 0 = c =c) Exponent : weglaten (a = a) Oneindig 9

20 . Noteer in grondtal G. Super-G-notatie met grondtal G. Herhaal met de exponenten. 3. Stop zodra alle getallen G. Voorbeeld met G =: 66 = = = Oneindig 0 Super-G-notatie met grondtal G Herhalen: elementair principe (kinderspelen, moppen) Herhaald machtsverheffen groeit heel hard Bij G =0gebeurt er pas wat vanaf 00 miljard : = 0 0+ Daaronder hetzelfde als notatie in grondtal 0 Oneindig 0

21 Goodstein-rij van N>0 en G N =8 G =. Schrijf N in super-g-notatie. 8= +. Vervang hierin elke G door G =8 3. Verlaag nieuwe N met. N =80 4. Verhoog G met. G =3 5. Stop als N =0,anders vanaf stap herhalen. Oneindig Goodstein-rij van N>0 en G Dadelijk nog een groter voorbeeld Vraag (nog) niet hoe Goodstein hier op kwam of waar het toe dient Oneindig

22 Goodstein-rij bij N = 66 en G = Volgnr. N G (39 cijfers) (67 cijfers) (> cijfers) Oneindig Goodstein-rij bij N = 66 en G = Gaat natuurlijk verder na 4e waarde, maar rijst de pan uit De getallen doen duidelijk hun best oneindig groot te worden :-) Tussenresultaat voor N hoef je niet uit te rekenen, want je kan meteen van notatie in grondtal G naar G + (geel geel ) G E = H G E H G + H met H = G E 0 E { }} { = voor E Spelversie: Hercules en de Hydra (draak met vertakkende nekken) Oneindig

23 Stelling van Goodstein (944) Elke Goodstein-rij eindigt met N = 0. t Kan even duren: N = 3,G = eindigt na 5 stappen N =4,G =eindigt na stappen Oneindig 3 Stelling van Goodstein (944) Die doet t m, die hamert maar door... Aantal stappen groeit supersuperexponentieel met N Lijkt op Ackermann-functie Contrast met onbewezen vermoedens over tammere rekenprocessen: Tel getal bij op zijn omkering tot palindroom = = ? Als N even N/, als N oneven 3N + (Collatz) Oneindig 3

24 Bewijsbaarheid van Stelling van Goodstein Stelling van Kirby en Paris (98): De Stelling van Goodstein volgt niet uit de Peano Axioma s. Gewone inductie is niet toereikend, Goodstein rij groeit te snel. Elk bewijs van de Stelling van Goodstein vergt (een vorm van) transfiniete inductie zoals met ordinaalgetallen. Oneindig 4 Bewijsbaarheid van Stelling van Goodstein Peano Axioma s (PA):. 0 N. a N a N 3. a N : a 0 4. a = b a = b 5. 0 S ( a N : a S a S) N S Axioma 5: Inductie (basis, stap), vergelijk met omvallende rij dominostenen (begin, doortikken) Onvolledigheidsstelling van Gödel over PA (930): Er bestaan ware uitspraken, die onbewijsbaar zijn in PA Maar nu met echte rekenkundige stelling die onbewijsbaar is in PA Oneindig 4

25 Ordinaalgetallen t/m ω Ordinaalgetal is verzameling van al zijn voorgangers : 0 = {} = { 0 } = { 0, } 3 = { 0,, }. N = { 0,,,..., N }. ω = { 0,,,...} ω is kleinste oneindige ordinaalgetal: N < ω voor alle N N Oneindig 5 Ordinaalgetallen t/m ω Ruggengraat van de moderne verzamelingsleer Oneindig 5

26 Rekenen met ordinaalgetallen Opvolger ( erbij): α = α {α } Limiet : α A α,,..., ω Optellen (herhaald erbij) Vermenigvuldigen (herhaald optellen) Machtsverheffen (herhaald vermenigvuldigen) Oneindig 6 Rekenen met ordinaalgetallen Net als bij natuurlijke getallen, maar nu limiet erbij = { 0, } = { 0,, } =3 Ook ω keer iets herhalen: ω ω = ω { }} { ω +... Pas op met rekenen : niet alle regels gelden meer ω = ω { }} { +...= ω { }} { ++...= ω { }} { +...= ω = ω ω ω { }} { { }} { ω =ω + ω = ω Oneindig 6

27 Meer oneindige ordinaalgetallen ω, ω +, ω +, ω +, ω +,..., ω + ω = ω..., ω +ω = ω 3..., ω 4,..., ω 5,..., ω ω = ω ω +,..., ω + ω,..., ω + ω = ω..., ω 3,..., ω 4, 3..., ω ω = ω , ω 4, 5..., ω 5, ω..., ω ω Oneindig 7 Meer oneindige ordinaalgetallen Tot ω : N N, ekwadrant van -dimensionale rooster. ω 3... ω ω +... ω ω + ω Tot ω N in N-dimensionale rooster Alternatief: N samenpersen op stukje van Q[0, ): n n Dan [ω, ω ) Q[, ) I.h.a. ω n n, dan ω Oneindig 7

28 Normaalvorm voor ordinaalgetallen <ω ω Normaalvorm van α<ω ω : α = ω k c k + ω k c k ω c + ω c + c 0 waarbij k en alle c i eindig zijn. Vergelijk met decimale notatie : N = 0 k c k +0 k c k c +0 c + c 0 waarbij 0 c i < 0, maar nu onbegrensde coëfficiënten. Zelfde structuur als een lijst natuurlijke getallen: [c k,c k,...c,c 0 ]. Oneindig 8 Normaalvorm voor ordinaalgetallen <ω ω Ingewikkelder dan -dimensionale structuur van N Lijsten : typische datastructuur in informatica bij rekenprocessen Oplossing voor lottobalspel : c i = aantal ballen met waarde i Lexicografische ordening op lijsten over N { }} { { }} { Inbedden in (Q,<): k c k 0 c k c k c k...c { }} { c 0 { }} { Oneindig 8

29 Op naar epsilon nul 0,,..., ω,..., ω,..., ω,..., ω ω ω ω +,..., ω ω..., ω ω ω = ω ω+..., ω ω,..., ω ω,..., ω ωω..., ω ωωω,..., ω ωωω... } {{ } ω = ɛ 0 ɛ 0 is kleinste oplossing van α = ω α Oneindig 9 Op naar epsilon nul Dit is al lastiger te tekenen In te bedden in R Andere kleinste oplossingen: α = +α (ω) α = ω + α (ω ω = ω ) α = α (ω) α = ω α (ω ω ) α = α (ω) Oneindig 9

30 Normaalvorm voor ordinaalgetallen <ɛ 0 Normaalvorm van α<ɛ 0 : α = ω β k c k + ω β k c k ω β 0 c 0 waarbij k en alle c i eindig zijn en c i 0,en α>β k >β k >...>β 0 Vergelijk met super-g-notatie, maar nu onbegrensde coëfficiënten. Zelfde structuur als een boom met positieve natuurlijke getallen. Oneindig 30 Normaalvorm voor ordinaalgetallen <ɛ 0 Boom bij ω ω+ + ω +ω + afgeleid van ϕ(66, 3) Bomen : de ultieme datastructuur in de informatica Meer structuur dan lijsten, maar niet expressiever dan geneste lijsten Let op dat α>β k niet voor elke ordinaal α geldt Wel geldt i.h.a. α β k ; gelijkheid bij α = ɛ 0,want ɛ 0 = ω ɛ 0 Oneindig 30

31 Schrijf N in super-g-notatie. Bewijs van Stelling van Goodstein Vervang hierin iedere G door ω. Het resultaat ϕ(n, G) iseen ordinaalgetal <ɛ 0. Bijvoorbeeld: ϕ(66, ) = ω ωω+ + ω ω+ + ω Claim: Als N,G de opvolger in de Goodstein-rij bij N, G is, dan is ϕ(n,g ) <ϕ(n, G) Ordinaalgetallen zijn welgeordend : elke dalende rij eindigt. Oneindig 3 Bewijs van Stelling van Goodstein Dit hoeft u niet meteen te begrijpen N.B. De Goodstein-operatie is niet ordinaal-operatie Oneindig 3

32 Slot is geen getal (algebra), wel limiet (topologie) Ordinaalgetallen (rangorde): 0,,, ω, ω +, ω, ω, ω ω, ω ωω... = ɛ 0,... Kardinaalgetallen (aantal): 0,,, ℵ 0, ℵ 0 = c, ℵ,... Oneindig 3 Slot En zo kan ik nog oneindig lang doorgaan..., nou ja Oneindig 3