1 Religie vs herschrijven 3. 2 Herschrijven 4. 3 Rekenen 5. 4 Tellen 6. 5 Syracuse probleem 7. 6 Herschrijftheorie 8. 7 Terminatie en Confluentie 9
|
|
|
- Jozef Verbeke
- 8 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 1 Religie vs herschrijven 3 2 Herschrijven 4 3 Rekenen 5 4 Tellen 6 5 Syracuse probleem 7 6 Herschrijftheorie 8 Page 1 of 31 7 Terminatie en Confluentie 9 8 SN en CR in rekenen 10 9 SN en CR in tellen SN en CR in Syracuse Knots Reidemeister moves Reidemeister moves goede regels?
2 11.3 Een ontwarring Page 2 of Tautologie checken Herbrand moves Herbrand moves goede regels? Een tautologie checking Functioneel Programmeren De zeef van Eratosthenes Eratosthenes moves goede regels? Kommen en Knikkers Een herschrijfrij De puzzle Oplossing Een eindsituatie kan bereikt worden Conclusie 31
3 1. Religie vs herschrijven Religie = re + legere = opnieuw lezen Page 3 of 31
4 1. Religie vs herschrijven Religie = re + legere = opnieuw lezen Religie: zelfde tekst, nieuwe betekenis Page 3 of 31
5 1. Religie vs herschrijven Religie = re + legere = opnieuw lezen Religie: zelfde tekst, nieuwe betekenis Herschrijven: nieuwe tekst, zelfde betekenis Page 3 of 31
6 2. Herschrijven Twee centrale vragen Wat zijn de objecten? Wat zijn de herschrijfregels? Page 4 of 31
7 3. Rekenen Wat zijn de objecten? Page 5 of 31
8 3. Rekenen Wat zijn de objecten? rekenkundige expressies (3 + 5) (1 + 2), 8 (1 + 2), (3 + 5) 3,... Page 5 of 31
9 3. Rekenen Wat zijn de objecten? rekenkundige expressies (3 + 5) (1 + 2), 8 (1 + 2), (3 + 5) 3,... Wat zijn de herschrijfregels? Page 5 of 31
10 3. Rekenen Wat zijn de objecten? rekenkundige expressies (3 + 5) (1 + 2), 8 (1 + 2), (3 + 5) 3,... Wat zijn de herschrijfregels? Page 5 of 31 rekenregels , , (x + y) z x z + y z,...
11 3. Rekenen Wat zijn de objecten? rekenkundige expressies (3 + 5) (1 + 2), 8 (1 + 2), (3 + 5) 3,... Wat zijn de herschrijfregels? Page 5 of 31 rekenregels , , (x + y) z x z + y z,... een herschrijving (herschrijfrij) (3 + 5) (1 + 2) 8 (1 + 2)
12 4. Tellen Wat zijn de objecten? Page 6 of 31
13 4. Tellen Wat zijn de objecten? Natuurlijke getallen Page 6 of 31
14 4. Tellen Wat zijn de objecten? Natuurlijke getallen Wat zijn de regels? Page 6 of 31
15 4. Tellen Wat zijn de objecten? Natuurlijke getallen Wat zijn de regels? plus één Page 6 of 31
16 4. Tellen Wat zijn de objecten? Natuurlijke getallen Wat zijn de regels? plus één Page 6 of 31 een herschrijfrij
17 5. Syracuse probleem Wat ziijn de objecten? Page 7 of 31
18 5. Syracuse probleem Wat ziijn de objecten? Natuurlijke getallen Page 7 of 31
19 5. Syracuse probleem Wat ziijn de objecten? Natuurlijke getallen Wat zijn de regels? Page 7 of 31
20 5. Syracuse probleem Wat ziijn de objecten? Natuurlijke getallen Wat zijn de regels? gegeven, voor n > 1, door n n n = n/2 als n even Page 7 of 31 n = 3n + 1 als n oneven
21 5. Syracuse probleem Wat ziijn de objecten? Natuurlijke getallen Wat zijn de regels? gegeven, voor n > 1, door n n n = n/2 als n even Page 7 of 31 n = 3n + 1 als n oneven een herschrijfrij
22 6. Herschrijftheorie Wittgenstein: don t ask for its meaning ask for its use Page 8 of 31
23 6. Herschrijftheorie Wittgenstein: don t ask for its meaning ask for its use Herschrijven: don t ask for its meaning ask for its rules! Page 8 of 31
24 6. Herschrijftheorie Wittgenstein: don t ask for its meaning ask for its use Herschrijven: don t ask for its meaning ask for its rules! Betekenis = herschrijving (naar normaalvorm) Page 8 of 31
25 Page 8 of Herschrijftheorie Wittgenstein: don t ask for its meaning ask for its use Herschrijven: don t ask for its meaning ask for its rules! Betekenis = herschrijving (naar normaalvorm) Herschrijftheorie = theorie over betekenis via regels
26 Page 8 of Herschrijftheorie Wittgenstein: don t ask for its meaning ask for its use Herschrijven: don t ask for its meaning ask for its rules! Betekenis = herschrijving (naar normaalvorm) Herschrijftheorie = theorie over betekenis via regels Unieke betekenis gegarandeerd als herschrijfregels Terminerend, en Confluent
27 7. Terminatie en Confluentie Terminatie (SN): geen oneindige herschrijvingen Confluentie (CR): micro-parallellisme, macro-determinisme Page 9 of 31 Welke twee rivieren vloeien samen bij Koblenz?
28 7. Terminatie en Confluentie Terminatie (SN): geen oneindige herschrijvingen Confluentie (CR): micro-parallellisme, macro-determinisme Page 9 of 31 Welke twee rivieren vloeien samen bij Koblenz? Rijn en Moezel
29 8. SN en CR in rekenen Is rekenen SN? Page 10 of 31
30 8. SN en CR in rekenen Is rekenen SN? Ja (hier resultaat is 24), maar... Page 10 of 31
31 8. SN en CR in rekenen Is rekenen SN? Ja (hier resultaat is 24), maar... hangt wel af van de precieze regels Page 10 of 31
32 8. SN en CR in rekenen Is rekenen SN? Ja (hier resultaat is 24), maar... hangt wel af van de precieze regels is rekenen CR? Page 10 of 31
33 8. SN en CR in rekenen Is rekenen SN? Ja (hier resultaat is 24), maar... hangt wel af van de precieze regels is rekenen CR? Ja (24 is het unieke resultaat), maar... Page 10 of 31
34 Page 10 of SN en CR in rekenen Is rekenen SN? Ja (hier resultaat is 24), maar... hangt wel af van de precieze regels is rekenen CR? Ja (24 is het unieke resultaat), maar... hangt wel af van de precieze regels
35 Page 10 of SN en CR in rekenen Is rekenen SN? Ja (hier resultaat is 24), maar... hangt wel af van de precieze regels is rekenen CR? Ja (24 is het unieke resultaat), maar... hangt wel af van de precieze regels Wat zijn de normaalvormen?
36 Page 10 of SN en CR in rekenen Is rekenen SN? Ja (hier resultaat is 24), maar... hangt wel af van de precieze regels is rekenen CR? Ja (24 is het unieke resultaat), maar... hangt wel af van de precieze regels Wat zijn de normaalvormen? de natuurlijke getallen (altijd een regel als nog een +, )
37 9. SN en CR in tellen Is tellen SN? Page 11 of 31
38 9. SN en CR in tellen Is tellen SN? Nee, natuurlijk niet Page 11 of 31
39 9. SN en CR in tellen Is tellen SN? Nee, natuurlijk niet Betekenis van een getal is het proces... Page 11 of 31
40 9. SN en CR in tellen Is tellen SN? Nee, natuurlijk niet Betekenis van een getal is het proces... Is tellen CR? Page 11 of 31
41 9. SN en CR in tellen Is tellen SN? Nee, natuurlijk niet Betekenis van een getal is het proces... Is tellen CR? Ja, op ieder moment precies één stap Page 11 of 31
42 9. SN en CR in tellen Is tellen SN? Nee, natuurlijk niet Betekenis van een getal is het proces... Is tellen CR? Ja, op ieder moment precies één stap Page 11 of 31 Wat zijn de normaalvormen?
43 9. SN en CR in tellen Is tellen SN? Nee, natuurlijk niet Betekenis van een getal is het proces... Is tellen CR? Ja, op ieder moment precies één stap Page 11 of 31 Wat zijn de normaalvormen? Geen
44 10. SN en CR in Syracuse Is het Syracuse proces SN? Page 12 of 31
45 10. SN en CR in Syracuse Is het Syracuse proces SN? Onbekend! Page 12 of 31
46 10. SN en CR in Syracuse Is het Syracuse proces SN? Onbekend! Is het Syracuse proces CR? Page 12 of 31
47 10. SN en CR in Syracuse Is het Syracuse proces SN? Onbekend! Is het Syracuse proces CR? Ja, op ieder moment precies één stap Page 12 of 31
48 10. SN en CR in Syracuse Is het Syracuse proces SN? Onbekend! Is het Syracuse proces CR? Ja, op ieder moment precies één stap Page 12 of 31 Wat zijn de normaalvormen?
49 10. SN en CR in Syracuse Is het Syracuse proces SN? Onbekend! Is het Syracuse proces CR? Ja, op ieder moment precies één stap Page 12 of 31 Wat zijn de normaalvormen? Alleen 1
50 11. Knots Wat zijn de objecten? Page 13 of 31
51 11. Knots Wat zijn de objecten? knopen Page 13 of 31
52 11. Knots Wat zijn de objecten? knopen Wat zijn de herschrijfregels? Page 13 of 31
53 11. Knots Wat zijn de objecten? knopen Wat zijn de herschrijfregels? ontwarren Page 13 of 31
54 Page 14 of 31
55 11.1. Reidemeister moves Page 15 of 31
56 11.2. Reidemeister moves goede regels? Merk op: twee kanten op Gevolg: geen normaalvormen, wel confluent Page 16 of 31
57 11.2. Reidemeister moves goede regels? Merk op: twee kanten op Gevolg: geen normaalvormen, wel confluent Regels zijn gezond Page 16 of 31
58 11.2. Reidemeister moves goede regels? Merk op: twee kanten op Gevolg: geen normaalvormen, wel confluent Regels zijn gezond Bewijs: probeer maar (b.v. met schoenveter) Page 16 of 31
59 11.2. Reidemeister moves goede regels? Merk op: twee kanten op Gevolg: geen normaalvormen, wel confluent Regels zijn gezond Bewijs: probeer maar (b.v. met schoenveter) Page 16 of 31 Regels zijn volledig
60 11.2. Reidemeister moves goede regels? Merk op: twee kanten op Gevolg: geen normaalvormen, wel confluent Regels zijn gezond Bewijs: probeer maar (b.v. met schoenveter) Page 16 of 31 Regels zijn volledig Reidemeister
61 11.2. Reidemeister moves goede regels? Merk op: twee kanten op Gevolg: geen normaalvormen, wel confluent Regels zijn gezond Bewijs: probeer maar (b.v. met schoenveter) Page 16 of 31 Regels zijn volledig Reidemeister Ontwarbaar? Moeilijk maar beslisbaar...
62 Page 17 of 31
63 11.3. Een ontwarring Page 18 of 31
64 12. Tautologie checken Wat zijn de objecten? Page 19 of 31
65 12. Tautologie checken Wat zijn de objecten? (propositionele) formules p (q p), p p, p... Page 19 of 31
66 12. Tautologie checken Wat zijn de objecten? (propositionele) formules p (q p), p p, p... Wat zijn de stappen? Page 19 of 31
67 12. Tautologie checken Wat zijn de objecten? (propositionele) formules p (q p), p p, p... Wat zijn de stappen? equivalentie behoudende simplificatie (Herbrand moves) Page 19 of 31
68 Page 20 of Herbrand moves x y x y + x + 1 x y x y + x + y x x + 1 x + 0 x x + x 0 x 0 0 x 1 x x x x x (y + z) x y + x z + is exclusieve of (óf) en is conjunctie (én) vb p p p (p + 1) p (p + 1) + p + p + 1 p (p + 1) p (p + 1)+1 p p+p 1+1 1
69 12.2. Herbrand moves goede regels? Terminerend? Page 21 of 31
70 12.2. Herbrand moves goede regels? Terminerend? Ja! Page 21 of 31
71 12.2. Herbrand moves goede regels? Terminerend? Ja! Confluent? Page 21 of 31
72 12.2. Herbrand moves goede regels? Terminerend? Ja! Confluent? Ja! Page 21 of 31
73 12.2. Herbrand moves goede regels? Terminerend? Ja! Page 21 of 31 Confluent? Ja! Wat zijn de Normaalvormen?
74 12.2. Herbrand moves goede regels? Terminerend? Ja! Page 21 of 31 Confluent? Ja! Wat zijn de Normaalvormen? 0, 1, óf-en polynomen (bv. p q + q r)
75 12.2. Herbrand moves goede regels? Terminerend? Ja! Page 21 of 31 Confluent? Ja! Wat zijn de Normaalvormen? 0, 1, óf-en polynomen (bv. p q + q r) Volledigheid (Herbrand): Iedere tautologie heeft 1 als normaalvorm
76 12.3. Een tautologie checking Page 22 of 31 p (q p) p(q p) + p + 1 p(qp + q + 1) + p + 1 = p((qp + q) + 1) + p + 1 p(qp + q) + p1 + p + 1 pqp + pq + p1 + p + 1 pqp + pq + p + p + 1 = pqp + pq + (p + p) + 1 pqp + pq = pqp + (pq + 0) + 1 pqp + pq + 1 = (pp)q + pq + 1 pq + pq + 1 = (pq + pq) = Dus het werkt...
77 13. Functioneel Programmeren Wat zijn de objecten? Page 23 of 31
78 13. Functioneel Programmeren Wat zijn de objecten? Expressies b.v. rekenkundige expressies i.h.a. user-defined Page 23 of 31
79 13. Functioneel Programmeren Wat zijn de objecten? Expressies b.v. rekenkundige expressies i.h.a. user-defined Wat zijn de regels? Page 23 of 31
80 13. Functioneel Programmeren Wat zijn de objecten? Expressies b.v. rekenkundige expressies i.h.a. user-defined Page 23 of 31 Wat zijn de regels? b.v. rekenregels maar ook die mag je zelf bepalen!
81 13. Functioneel Programmeren Wat zijn de objecten? Expressies b.v. rekenkundige expressies i.h.a. user-defined Page 23 of 31 Wat zijn de regels? b.v. rekenregels maar ook die mag je zelf bepalen! Slogan: declaratief programmeren = user-defined rekenen declaratief: wat niet hoe, vb: prolog en haskell/helium
82 13.1. De zeef van Eratosthenes Regels: Page 24 of 31 filter(x : y, 0, m) 0 : filter(y, m, m) filter(x : y, s(n), m) x : filter(y, n, m) sieve(0 : y) sieve(y) sieve(s(n) : y) s(n) : sieve(filter(y, n, n)) nats(n) n : nats(s(n)) primes sieve(nats(s(s(0))))
83 13.2. Eratosthenes moves goede regels? Terminerend? Page 25 of 31
84 13.2. Eratosthenes moves goede regels? Terminerend? Nee, natuurlijk niet De lijst van priemgetallen is oneindig Confluent Ja (regels zijn niet-overlappend) Page 25 of 31
85 Page 25 of Eratosthenes moves goede regels? Terminerend? Nee, natuurlijk niet De lijst van priemgetallen is oneindig Confluent Ja (regels zijn niet-overlappend) Normaalvormen?
86 Page 25 of Eratosthenes moves goede regels? Terminerend? Nee, natuurlijk niet De lijst van priemgetallen is oneindig Confluent Ja (regels zijn niet-overlappend) Normaalvormen? Oneindige normaalvorm van nats(0) is lijst van natuurlijke getallen Oneindige normaalvorm van primes is lijst van priemgetallen
87 14. Kommen en Knikkers Wat zijn de objecten? Page 26 of 31
88 14. Kommen en Knikkers Wat zijn de objecten? Situaties: oneindige rijen (twee kanten) kommen met in totaal eindig veel knikkers Page 26 of 31
89 14. Kommen en Knikkers Wat zijn de objecten? Situaties: oneindige rijen (twee kanten) kommen met in totaal eindig veel knikkers Wat is de herschrijfregel? Page 26 of 31
90 Page 26 of Kommen en Knikkers Wat zijn de objecten? Situaties: oneindige rijen (twee kanten) kommen met in totaal eindig veel knikkers Wat is de herschrijfregel? Als een kom twee of meer knikkers bevat verplaats één knikker naar links en één naar rechts s C C 1 0 1
91 14.1. Een herschrijfrij s Page 27 of t
92 14.2. De puzzle Toon aan dat 1. Voor een willekeurige beginsituatie stopt het proces Page 28 of 31
93 14.2. De puzzle Toon aan dat 1. Voor een willekeurige beginsituatie stopt het proces Terminatie! 2. Een willekeurige beginsituatie resulteert in zelfde eindsituatie onafhankelijk van volgorde Page 28 of 31
94 Page 28 of De puzzle Toon aan dat 1. Voor een willekeurige beginsituatie stopt het proces Terminatie! 2. Een willekeurige beginsituatie resulteert in zelfde eindsituatie onafhankelijk van volgorde Confluentie! 3. Tevens is het aantal stappen naar de eindsituatie onafhankelijk van de volgorde
95 Page 28 of De puzzle Toon aan dat 1. Voor een willekeurige beginsituatie stopt het proces Terminatie! 2. Een willekeurige beginsituatie resulteert in zelfde eindsituatie onafhankelijk van volgorde Confluentie! 3. Tevens is het aantal stappen naar de eindsituatie onafhankelijk van de volgorde gebalanceerde confluentie
96 14.3. Oplossing Herschrijfstelling: alles volgt als ieder tweetal stappen kan gebalanceerd worden een eindsituatie kan bereikt worden Page 29 of 31
97 14.3. Oplossing Herschrijfstelling: alles volgt als ieder tweetal stappen kan gebalanceerd worden een eindsituatie kan bereikt worden Page 29 of 31 Stappen kunnen gebalanceerd worden s s i i i j t t t u j i r
98 14.4. Een eindsituatie kan bereikt worden Voeg knikkers één voor één toe Page 30 of Golffront eerst naar buiten, dan naar binnen, en stop.
99 15. Conclusie Page 31 of 31
Termherschrijven. Jan van Eijck CWI. jve@cwi.nl. Achtergrondcollege Software Evolution, 22 september 2005
Termherschrijven Jan van Eijck CWI jve@cwi.nl Achtergrondcollege Software Evolution, 22 september 2005 Samenvatting Wat zijn termen? Samenvatting Samenvatting Wat zijn termen? Wat zijn regels voor vereenvoudigen
Termherschrijven. Jan van Eijck CWI. Achtergrondcollege Software Evolution, 22 september Samenvatting
Termherschrijven Jan van Eijck CWI jve@cwi.nl Achtergrondcollege Software Evolution, 22 september 2005 Samenvatting Wat zijn termen? Wat zijn regels voor vereenvoudigen van termen? Het begrip normaalvorm.
Logic for Computer Science
Logic for Computer Science 06 Normaalvormen en semantische tableaux Wouter Swierstra University of Utrecht 1 Vorige keer Oneindige verzamelingen 2 Vandaag Wanneer zijn twee formules hetzelfde? Zijn er
eerste en laatste cijfers Jaap Top
eerste en laatste cijfers Jaap Top JBI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 3-10 april 2013 (Collegecarrousel, Groningen) 1 laatste, eerste?! over getallen 2,..., 101,..., 2014,...... laatste cijfers hiervan: 2,...,
Verzamelingen, Lijsten, Functioneel Programmeren
Verzamelingen, Lijsten, Functioneel Programmeren Jan van Eijck jve@cwi.nl Stage Ignatiuscollege, 17 mei 2010 Samenvatting In deze lezing gaan we in op de overeenkomsten en verschillen tussen verzamelingen
Haskell: programmeren in een luie, puur functionele taal
Haskell: programmeren in een luie, puur functionele taal Jan van Eijck jve@cwi.nl 5 Talen Symposium, 12 juli 2010 Samenvatting In deze mini-cursus laten we zien hoe je met eindige en oneindige lijsten
In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4:
Katern 4 Bewijsmethoden Inhoudsopgave 1 Bewijs uit het ongerijmde 1 2 Extremenprincipe 4 3 Ladenprincipe 8 1 Bewijs uit het ongerijmde In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel
Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)
Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk
Algoritmes en Priemgetallen. Hoe maak je een sleutelpaar voor RSA?
Algoritmes en Priemgetallen Hoe maak je een sleutelpaar voor RSA? Het recept van RSA Kies p q priemgetallen en bepaal N = pq Kies e Z N (publieke sleutel) Bepaal d e 1 mod φ N (privésleutel) x ed x kφ
Wiskundige beweringen en hun bewijzen
Wiskundige beweringen en hun bewijzen Analyse (en feitelijk de gehele wiskunde) gaat over het bewijzen van beweringen (proposities), d.w.z. uitspraken waaraan de karakterisering waar of onwaar toegekend
1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12
Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal
Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010
Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010 Rick van der Zwet 13 november 2010 Samenvatting Dit schrijven zal uitwerkingen van opgaven behandelen uit het boek [JS2009]
Mededelingen. TI1300: Redeneren en Logica. Waarheidstafels. Waarheidsfunctionele Connectieven
Mededelingen TI1300: Redeneren en Logica College 4: Waarheidstafels, Redeneringen, Syntaxis van PROP Tomas Klos Algoritmiek Groep Voor de Fibonacci getallen geldt f 0 = f 1 = 1 (niet 0) Practicum 1 Practicum
Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl. 9 februari 2009 BEWIJZEN
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 9 februari 2009 BEWIJZEN Discrete Structuren Week1 : Bewijzen Onderwerpen Puzzels
Verzamelingen, Lijsten, Functioneel Programmeren
Verzamelingen, Lijsten, Functioneel Programmeren Jan van Eijck jve@cwi.nl Lezing 4e Gymnasium, 19 november 2015 Samenvatting In deze lezing gaan we in op de overeenkomsten en verschillen tussen verzamelingen
Verzamelingen, Lijsten, Functioneel Programmeren
Verzamelingen, Lijsten, Functioneel Programmeren Jan van Eijck jve@cwi.nl Stage Ignatiuscollege, 20 mei 2008 Samenvatting In deze lezing gaan we in op de overeenkomsten en verschillen tussen verzamelingen
De wiskunde achter knopen
De wiskunde achter knopen Leve de Wiskunde! Jasper Stokman UvA May 3, 2009 Jasper Stokman (UvA) De wiskunde achter knopen May 3, 2009 1 / 24 Een wiskundige knoop Een wiskundige knoop is een gesloten lus
1 Limiet van een rij Het begrip rij Bepaling van een rij Expliciet voorschrift Recursief voorschrift 3
HOOFDSTUK 6: RIJEN 1 Limiet van een rij 2 1.1 Het begrip rij 2 1.2 Bepaling van een rij 2 1.2.1 Expliciet voorschrift 2 1.2.2 Recursief voorschrift 3 1.2.3 Andere gevallen 3 1.2.4 Rijen met de grafische
Logica voor Informatica. Propositielogica. Normaalvormen en Semantische tableaux. Mehdi Dastani
Logica voor Informatica Propositielogica Normaalvormen en Semantische tableaux Mehdi Dastani m.m.dastani@uu.nl Intelligent Systems Utrecht University Literals Een literal is een propositieletter, of de
LogEX: gebruikershandleiding
LogEX: gebruikershandleiding ALGEMENE BESCHRIJVING Met de LogEX-applicatie kunt u drie soorten opgaven oefenen: het herschrijven van een logische expressie naar de disjunctieve normaalvorm In elke volgende
Bijzondere getallen. Oneindig (als getal) TomVerhoeff. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica
Bijzondere getallen Oneindig (als getal) TomVerhoeff Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica T.Verhoeff@TUE.NL http://www.win.tue.nl/~wstomv/ Oneindig Bijzondere getallen Er
Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010
Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010 Rick van der Zwet 8 december 2010 Samenvatting Dit schrijven zal uitwerkingen van opgaven behandelen uit het boek [JS2009]
Getaltheorie II. ax + by = c, a, b, c Z (1)
Lesbrief 2 Getaltheorie II 1 Lineaire vergelijkingen Een vergelijking van de vorm ax + by = c, a, b, c Z (1) heet een lineaire vergelijking. In de getaltheorie gaat het er slechts om gehele oplossingen
Gödels theorem An Incomplete Guide to Its Use and Abuse, Hoofdstuk 3
Gödels theorem An Incomplete Guide to Its Use and Abuse, Hoofdstuk 3 Koen Rutten, Aris van Dijk 30 mei 2007 Inhoudsopgave 1 Verzamelingen 2 1.1 Definitie................................ 2 1.2 Eigenschappen............................
2.0 Voorkennis. Rekenregels machten: 5) a 0 = 1. p p q p q a p q q. p q pq p p p. Willem-Jan van der Zanden
2.0 Voorkennis Voorbeeld: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b) 3 = (a +b)(a2 + 2ab + b2) = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + a 2 b +2ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Rekenregels machten: p p q pq a pq 1) a a
Helden van de wiskunde: L.E.J. Brouwer Brouwers visie vanuit een logica-informatica perspectief
Helden van de wiskunde: L.E.J. Brouwer Brouwers visie vanuit een logica-informatica perspectief Herman Geuvers Radboud Universiteit Nijmegen Technische Universiteit Eindhoven 1 Helden van de wiskunde:
Handleiding "Open boek" - PP 2010
Handleiding "Open boek" - PP 2010 (laatste en vereenvoudigde versie - zie ook video handleiding) 1. Eerst gaan we het animatie- en selectiedeelvenster zichtbaar zetten Animaties > Deelvenster animatie
Bijzondere getallen. Oneindig (als getal) TomVerhoeff. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica
Bijzondere getallen Oneindig (als getal) TomVerhoeff Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica T.Verhoeff@TUE.NL http://www.win.tue.nl/~wstomv/ Oneindig ... Oneindig 2 Top tien
Wanneer zijn veelvouden van proniks proniks?
1 Uitwerking puzzel 92-1 Wanneer zijn veelvouden van proniks proniks? Harm Bakker noemde het: pro-niks voor-niks De puzzel was voor een groot deel afkomstig van Frits Göbel. Een pronik is een getal dat
1. REGELS VAN DEELBAARHEID.
REKENEN VIJFDE KLAS Luc Cielen 1. REGELS VAN DEELBAARHEID. Deelbaarheid door 10, 100, 1000 10: het laatste cijfer (= cijfer van de eenheden) is 0 100: laatste twee cijfers zijn 0 (cijfers van de eenheden
Hoofdstuk 3: NEGATIEVE GETALLEN
1-6 H3. Negatieve getallen Hoofdstuk 3: NEGATIEVE GETALLEN 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 96 123) 3.1 Positieve en negatieve getallen Het verschil verwoorden tussen positieve en negatieve getallen.
[ Overzicht bomen A6. Page 1 of 8. Programma Schiphol - Amsterdam - Almere. Verklaring
Cover Page. The handle holds various files of this Leiden University dissertation.
Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/20310 holds various files of this Leiden University dissertation. Author: Jansen, Bas Title: Mersenne primes and class field theory Date: 2012-12-18 Samenvatting
Formeel Denken 2014 Uitwerkingen Tentamen
Formeel Denken 2014 Uitwerkingen Tentamen (29/01/15) 1. Benader de betekenis van de volgende Nederlandse zin zo goed mogelijk (6 punten) door een formule van de propositielogica: Als het regent word ik
priemgetallen en verzamelingen Jaap Top
priemgetallen en verzamelingen Jaap Top IWI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 21 april 2009 (Collegecaroussel, Groningen) 1 In de biografie Gauss zum Gedächtnis (1862, door de Duitse geoloog Wolfgang Sartorius
Cover Page. The handle holds various files of this Leiden University dissertation.
Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/62814 holds various files of this Leiden University dissertation. Author: Martindale, C.R. Title: Isogeny graphs, modular polynomials, and applications
start -> id (k (f c s) (g s c)) -> k (f c s) (g s c) -> f c s -> s c
Een Minimaal Formalisme om te Programmeren We hebben gezien dat Turing machines beschouwd kunnen worden als universele computers. D.w.z. dat iedere berekening met natuurlijke getallen die met een computer
De partitieformule van Euler
De partitieformule van Euler Een kennismaking met zuivere wiskunde J.H. Aalberts-Bakker 29 augustus 2008 Doctoraalscriptie wiskunde, variant Communicatie en Educatie Afstudeerdocent: Dr. H. Finkelnberg
1.1 Rekenen met letters [1]
![1.1 Rekenen met letters [1]](/thumbs/41/22623929.jpg "1.1 Rekenen met letters [1]")
1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren
Polynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2
Lesbrief 3 Polynomen 1 Polynomen van één variabele Elke functie van de vorm P () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0, (a n 0), heet een polynoom of veelterm in de variabele. Het getal n heet de graad van
Logica voor Informatica
Logica voor Informatica 13 Prolog Wouter Swierstra University of Utrecht 1 Programmeren met Logica Propositielogica is niet geschikt voor programmeren er is nauwlijkst iets interessants uit te drukken.
Algoritmen en programmeren: deel 2 - basis
Algoritmen en programmeren: deel 2 - basis Ruud van Damme Creation date: 25 april 2005 Update: 16 november 2006, 9 september 2007 Overzicht 1 Basisbenodigdheden voor alle problemen 2 Alles in stukjes op
Finaletraining Nederlandse Wiskunde Olympiade
NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Finaletraining Nederlandse Wiskunde Olympiade Met uitwerkingen Birgit van Dalen, Julian Lyczak, Quintijn Puite Dit trainingsmateriaal is deels gebaseerd op materiaal
ling van die eigenschap binnen het model geldt. In het bijzonder bij het wiskundig modelleren van een programma kan een eigenschap met wiskundige zeke
De Nederlandse samenvatting van een proefschrift is bij uitstek het onderdeel van het proefschrift dat door familie en vrienden wordt gelezen. Voor hen wil ik deze samenvatting dan ook schrijven als een
2. Optellen en aftrekken van gelijknamige breuken
1. Wat is een breuk? Een breuk Een breuk is een verhoudingsgetal. Een breuk geeft aan hoe groot een deel is van een geheel. Stel een taart is verdeeld in stukken. Je neemt 2 stukken van de taart. Je hebt
Credit cards, computationele complexiteit en consistentie uitspraken
Credit cards, computationele complexiteit en consistentie uitspraken Joost J. Joosten 14 december 2005 Praag en bier Sinds enkele maanden werk ik als post-doc aan de Czech Academy of Sciences in Praag.
Machten, exponenten en logaritmen
Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde
Termherschrijfsystemen en Propositie-Algebra
Termherschrijfsystemen en Propositie-Algebra Evalien IJsendijk 19 augustus 2010 Bachelorscriptie Begeleiding: dr. Alban Ponse x y z u v x y v z x u v KdV Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen,
Gödels Onvolledigheidsstellingen
Gödels Onvolledigheidsstellingen Jaap van Oosten Department Wiskunde, Universiteit Utrecht Symposium A-eskwadraat, 11 december 2014 De Onvolledigheidsstellingen van Gödel zijn verreweg de beroemdste resultaten
Bij het oplossen van een telprobleem zijn de volgende 2 dingen belangrijk: Is de volgorde van de gekozen dingen van belang?
4. tellen & kansen 4.1 Tellen Herkennen Je kunt een vraag over telproblemen herkennen aan signaalwoorden: - hoeveel mogelijkheden, manieren, routes, volgordes etc. zijn er?, - bereken het aantal mogelijkheden/manieren
Knoop of onknoop. Walter D. van Suijlekom
Knoop of onknoop Walter D. van Suijlekom KNOOP OF ONKNOOP WALTER D. VAN SUIJLEKOM 1. Introductie Een knoop in onze schoenveter leggen kunnen we allemaal. In zijn meest simpele vorm ziet die er als volgt
Inleiding logica Inleveropgave 3
Inleiding logica Inleveropgave 3 Lientje Maas 30 september 2013 Ik (Rijk) heb verbeteringen in rood vermeld. Deze verbeteringen meegenomen zijn dit correcte uitwerkingen van de derde inleveropgaven. 1
VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN
I VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN Het begrip verzameling kennen we uit het dagelijks leven: een bibliotheek bevat een verzameling van boeken, een museum een verzameling van kunstvoorwerpen. We kennen verzamelingen
Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H17
Hints en uitwerkingen huiswerk 013 Analyse 1 H17 Rocco van Vreumingen augustus 014 1 Inhoudsopgave 1 Hints 1 3 Hints 4 3 Hints 3 4 4 Hints 4 5 5 Hints 5 5 6 Hints 6 6 7 Hints 7 6 8 Hints 8 6 9 Hints 9
Predicaten. Hoofdstuk 4
Hoofdstuk 4 Predicaten Tot nu toe hebben we ons beziggehouden met proposities, en gezien hoe we daarmee moeten omgaan. Proposities zijn echter niet toereikend om daarin alle overwegingen te formuleren
Propositionele logica en predikatenlogica. 1. Noteer volgende Nederlandse uitspraken formeel m.b.v. propositionele logica :
HOOFDSTUK 4. LOGICA Opgaven Propositionele logica en predikatenlogica 1. Noteer volgende Nederlandse uitspraken formeel m.b.v. propositionele logica : a) Als de maan ichtbaar is en het niet sneeuwt, al
Oneindig in Wiskunde & Informatica. Lezing in de reeks Oneindig 3 oktober 2007 / Studium Generale TU Delft. Tom Verhoeff
Oneindig in Wiskunde & Informatica Lezing in de reeks Oneindig 3 oktober 2007 / Studium Generale TU Delft Tom Verhoeff Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde & Informatica http://www.win.tue.nl/~wstomv/
Uitwerkingen toets 12 juni 2010
Uitwerkingen toets 12 juni 2010 Opgave 1. Bekijk rijen a 1, a 2, a 3,... van positieve gehele getallen. Bepaal de kleinst mogelijke waarde van a 2010 als gegeven is: (i) a n < a n+1 voor alle n 1, (ii)
Logica voor Informatici najaar 2000 Opgaven en Oplossingen Hoofdstuk 2
Logica voor Informatici najaar 2000 Opgaven en Oplossingen Hoofdstuk 2 2.1 Geef de volgende zinnen weer in propositionele notatie: i Als de bus niet komt, komen de tram en de trein We voeren de volgende
14 Slotopdrachten dimensionale partities Priempartities Gekleurde partities n-gonale getallen
4 Slotopdrachten Voor de afronding van de lessen reeks Combinatoriek en Partities is het de bedoeling dat jullie in groepjes van twee een werkstuk maken over één van de onderwerpen die in dit hoofdstuk
REKENVAARDIGHEID BRUGKLAS
REKENVAARDIGHEID BRUGKLAS Schooljaar 008/009 Inhoud Uitleg bij het boekje Weektaak voor e week: optellen en aftrekken Weektaak voor e week: vermenigvuldigen Weektaak voor e week: delen en de staartdeling
Vorig college. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie College 4. Opsommers versus herkenners (Th. 3.21) Opsommers
Vorig college College 4 Algoritmiekgroep Faculteit EWI TU Delft Vervolg NDTM s Vergelijking rekenkracht TM s en NDTM s Voorbeelden NDTM s 20 april 2009 1 2 Opsommers Opsommers versus herkenners (Th. 3.21)
Willem van Ravenstein
Willem van Ravenstein 1. Variabelen Rekenen is het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken je de bewerkingen machtsverheffen en worteltrekken.
Elfde college complexiteit. 23 april NP-volledigheid III
college 11 Elfde college complexiteit 23 april 2019 NP-volledigheid III 1 TSP Als voorbeeld bekijken we het Travelling Salesman/person Problem, ofwel het Handelsreizigersprobleem TSP. Hiervoor geldt: TSP
Hoofdstuk 4. In dit hoofdstuk wordt een aantal uiteenlopende eigenschappen van de propositielogica
Hoofdstuk 4 Stellingen over de Propositielogica In dit hoofdstuk wordt een aantal uiteenlopende eigenschappen van de propositielogica behandeld. In x4.1 wordt het begrip meta-stelling gentroduceerd en
Logica voor Informatica. Propositielogica. Syntax & Semantiek. Mehdi Dastani Intelligent Systems Utrecht University
Logica voor Informatica Propositielogica Syntax & Semantiek Mehdi Dastani m.m.dastani@uu.nl Intelligent Systems Utrecht University Wat is Logica? Afleiden van conclusies uit aannames Jan Sara Petra Schuldig
Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1
Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking
Diophantische vergelijkingen
Diophantische vergelijkingen 1 Wat zijn Diophantische vergelijkingen? Een Diophantische vergelijking is een veeltermvergelijking waarbij zowel de coëfficiënten als de oplossingen gehele getallen moeten
1. Optellen en aftrekken
1. Optellen en aftrekken Om breuken op te tellen of af te trekken maak je de breuken gelijknamig. Gelijknamig maken wil zeggen dat je zorgt voor 'gelijke noemers': Om de breuken met 'derden' en 'vijfden'
Tegenvoorbeeld. TI1300: Redeneren en Logica. De truc van Gauss. Carl Friedrich Gauss, 7 jaar oud (omstreeks 1785)
Tegenvoorbeeld TI1300: Redeneren en Logica College 3: Bewijstechnieken & Propositielogica Tomas Klos Definitie (Tegenvoorbeeld) Een situatie waarin alle premissen waar zijn, maar de conclusie niet Algoritmiek
Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen
Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge Roland van der Veen Modulorekenen Twee getallen a en b zijn gelijk modulo p als ze een veelvoud van p verschillen. Notatie: a = b mod p Bijvoorbeeld:
TW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.1, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 18 april, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 31 Outline 1 Section I.1 Complex numbers K. P. Hart
Vierde college complexiteit. 26 februari Beslissingsbomen en selectie Toernooimethode Adversary argument
Complexiteit 2019/04 College 4 Vierde college complexiteit 26 februari 2019 Beslissingsbomen en selectie Toernooimethode Adversary argument 1 Complexiteit 2019/04 Zoeken: samengevat Ongeordend lineair
Planning. 1. Mini College. 2. Introductiecursus Imperatief Programmeren. 3. Crash and Compile (vanaf 17:00 uur)
Planning 1. Mini College 2. Introductiecursus Imperatief Programmeren 3. Crash and Compile (vanaf 17:00 uur) Geschiedinis van de Codemonkeys imperatief programmeren voor beginners Geschiedenis van de Codemonkey
Tentamen TI1300 en IN1305-A (Redeneren en) Logica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Tentamen TI1300 en IN1305-A (Redeneren en) Logica 21 Januari 2011, 8.30 11.30 uur LEES DEZE OPMERKINGEN AANDACHTIG DOOR
Mededelingen. TI1300: Redeneren en Logica. Metavariabelen Logica, p Minder connectieven nodig
Mededelingen TI1300: Redeneren en Logica College 5: Semantiek van de Propositielogica Tomas Klos Algoritmiek Groep Tip: Als ik je vraag de recursieve definitie van een functie over PROP op te schrijven,
Inhoud leereenheid 1. Inleiding. Introductie 13. Leerkern 13. 1.1 Wat is logica? 13 1.2 Logica en informatica 13
Inhoud leereenheid 1 Inleiding Introductie 13 Leerkern 13 1.1 Wat is logica? 13 1.2 Logica en informatica 13 12 Leereenheid 1 Inleiding I N T R O D U C T I E Studeeraanwijzing Deze leereenheid is een leesleereenheid.
Rekenkundige rijen. WISNET-HBO update aug. 2013
Rekenkundige rijen WISNET-HBO update aug. 2013 1 Inleiding Een rij (sequtentie) is een serie getallen achter elkaar opgeschreven met komma's ertussen. Ieder getal in zo'n rij noemen we een term. Het is
Getallen, 2e druk, extra opgaven
Getallen, 2e druk, extra opgaven Frans Keune november 2010 De tweede druk bevat 74 nieuwe opgaven. De nummering van de opgaven van de eerste druk is in de tweede druk dezelfde: nieuwe opgaven staan in
Afhankelijk van wanneer je het programma uitvoert, zie je een van de volgende resultaten:
Hoofdstuk 4 Voorwaarden en vertakkingen Laten we eens teruggaan naar ons eerste programma. Zou het niet leuk zijn als we in plaats van het algemene Hallo wereld, afhankelijk van de tijd van de dag, Goedemorgen
Algoritmes in ons dagelijks leven. Leve de Wiskunde! 7 April 2017 Jacobien Carstens
Algoritmes in ons dagelijks leven Leve de Wiskunde! 7 April 2017 Jacobien Carstens Wat is een algoritme? Een algoritme is een eindige reeks instructies die vanuit een gegeven begintoestand naar een beoogd
opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): 2 a 2.
opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): ℵ 0 #A, B = {b 0,..., b n 1 } voor een zeker natuurlijk getal
Opmerking 2: laat de tussenstap aanvankelijk luidop doen, later (als het vlot gaat) in stilte.
MONDELINGE HERHALING REKENEN Luc Cielen De opgaven hieronder staan in een willekeurige volgorde genoteerd. 1 Neem een willekeurig getal. Bijvoorbeeld 37 of 256 enz. Laat elk kind een bepaald getal bijtellen.
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)
IMO-selectietoets III zaterdag 3 juni 2017
IMO-selectietoets III zaterdag 3 juni 017 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Gegeven is cirkel ω met middellijn AK. Punt M ligt binnen de cirkel, niet op lijn AK. De lijn AM snijdt
16.2 TREK AF VAN. Hoofdstuk 16 HAAKJES VWO. 8 a 16.0 INTRO. 1 b De uitkomsten zijn allemaal 3. c (n + 1)(n 1) (n + 2)(n 2) = 3
Hoofdstuk 6 HAAKJES VWO 6.0 INTRO 6. TREK AF VAN 8 a b De uitkomsten zijn allemaal. c (n + )(n ) (n + )(n ) = d - - = -0,75 -,75 = b De uitkomsten zijn allemaal. c n + (n + ) (n + ) = + 6 4 4 = 6 4 = d
Bewijs door inductie
Bewijs door inductie 1 Bewijs door inductie Vaak bestaat een probleem erin aan te tonen dat een bepaalde eigenschap geldt voor elk natuurlijk getal. Als je wilt weten of iets waar is voor alle natuurlijke
maplev 2010/7/12 14:02 page 149 #151
maplev 2010/7/12 14:02 page 149 #151 Module 11 Polynomen en rationale functies Onderwerp Expressies Zie ook Manipulaties met polynomen en rationale functies. factor, collect, coeff, degree, lcoeff, gcd,
Voordelen: Nadelen: Benodigdheden: Programma s: Google Web Designer. Photoshop. Sublime (HTML-editor) Websites: Tinypng.com
Google Web Designer Voordelen: Sneller en makkelijker. Banners kunnen worden afgespeeld op telefoons (flash kan dit niet). Het vervangen van plaatjes kan zonder het programma op te starten. Meer FPS dan
2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen ( 15 x 3 = 45
![2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen ( 15 x 3 = 45](/thumbs/98/136422869.jpg "2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen ( 15 x 3 = 45")
15 x 3 = 45 2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 is een product. 15 en 3 zijn de factoren van het product. 15 : 3 = 5 15 : 3 is een
Negende college complexiteit. 9 april NP-volledigheid I: introductie
College 9 Negende college complexiteit 9 april 2019 NP-volledigheid I: introductie 1 Handelbaar/onhandelbaar -1- N 10 50 100 300 1000 log 2 N 3 5 6 8 9 5N 50 250 500 1500 5000 N log 2 N 33 282 665 2469
Hoofdstuk 9: NEGATIEVE GETALLEN
1 H9. Negatieve getallen Hoofdstuk 9: NEGATIEVE GETALLEN 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 53 57) 9.1 Getallen onder 0 Het verschil verwoorden tussen positieve en negatieve getallen. Weten dat we 0 zowel
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking 10 december 2013, 09:30 12:30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is
Hoofdstuk 3. Equivalentierelaties. 3.1 Modulo Rekenen
Hoofdstuk 3 Equivalentierelaties SCHAUM 2.8: Equivalence Relations Twee belangrijke voorbeelden van equivalentierelaties in de informatica: resten (modulo rekenen) en cardinaliteit (aftelbaarheid). 3.1
ANTWOORDEN blz. 1. d. 345 + 668 = 1013; 61 007 + 50 215 = 111 222; 102 240 30 628 = 71 612; 1 000 000 1 = 999 999
ANTWOORDEN blz. 3 a. Zeer onwaarschijnlijk Zeer onwaarschijnlijk a. Dan heb je ergens een schuld uitstaan 86 Dan hadden beide een kopie van de kerfstok; om fraude te voorkomen a. MMXII, MCCCXXVII, DLXXXVI,
Priemgetallen en priemidealen in kwadratische lichamen
Dirk Dekker Van Uytrechtlaan 25 1901 JK Castricum T.J.Dekker@uva.nl. 1. Inleiding Priemgetallen en priemidealen in kwadratische lichamen Het ontbinden van getallen in factoren en de daaruit te verkrijgen
In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4:
Katern 4 Bewijsmethoden Inhoudsopgave 1 Bewijs uit het ongerijmde 1 Extremenprincipe 6 3 Ladenprincipe 11 1 Bewijs uit het ongerijmde In Katern hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van
Uitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, mei 2007
Uitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, mei 007 Opgave. a. Een beslissingsboom beschrijft de werking van het betreffende algoritme (gebaseerd op arrayvergelijkingen) op elke mogelijke invoer. In
boek Getallen 2009, errata (8 oktober 2011)
boek Getallen 009, errata (8 oktober 0) De toren van Hanoi 6 0 van a naar b } van a naar b }. 8 6 en x / B } en x / B }. - zonodig zo nodig De natuurlijke getallen 3 - vermenigvuldigeing vermenigvuldiging
Hoofdstuk 8 : Complexe getallen
1 Hoofdstuk 8 : Complexe getallen Les 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen Definities Verzamelingen Er zijn verschillende verzamelingen getallen : (1) N = Natuurlijke getallen = 1,2,3,.. (2) Z = Gehele