ling van die eigenschap binnen het model geldt. In het bijzonder bij het wiskundig modelleren van een programma kan een eigenschap met wiskundige zeke

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "ling van die eigenschap binnen het model geldt. In het bijzonder bij het wiskundig modelleren van een programma kan een eigenschap met wiskundige zeke"

Transcriptie

1 De Nederlandse samenvatting van een proefschrift is bij uitstek het onderdeel van het proefschrift dat door familie en vrienden wordt gelezen. Voor hen wil ik deze samenvatting dan ook schrijven als een informele inleiding. De samenvatting moet echter ook, zoals het woord al zegt, een korte omschrijving bevatten van de resultaten in dit proefschrift, zodanig dat vakgenoten snel een indruk van deze resultaten kunnen krijgen. Ik heb er voor gekozen het een te doen en het ander niet te laten. Eerst geef ik een informele inleiding die mijn onderzoek in een context plaatst. Daarna volgt een korte beschrijving van de behaalde resultaten. Informele inleiding De vraag die ten grondslag ligt aan de theorie in dit proefschrift is: `Hoe kan een algemene uitspraak over het gedrag van een computerprogramma worden bewezen?'. Als een computerprogramma wordt geschreven moet het aan bepaalde voorwaarden voldoen. Deze voorwaarden liggen vast in de taakomschrijving van het programma. Zo moet een programma dat salarissen berekent voor twee identieke situaties twee identieke salarissen berekenen en zeker niet met twee verschillende uitkomsten komen aanzetten. Een programma dat een vliegtuig bestuurt moet telkens alle vluchtgegevens beschouwen en mag dus niet enkele minuten bezig blijven met het bepalen van de hoogte en alle andere handelingen opschorten. Een algemene eigenschap waaraan een programma moet voldoen kan doorgaans niet worden bewezen door het programma uitvoerig te testen. Door te testen kunnen ongewenste eigenschappen, fouten, worden opgemerkt. Als het testen echter geen fouten oplevert is daarmee nog niet bewezen dat er geen fouten in het programma aanwezig zijn, alleen dat er geen gevonden zijn. Het probleem bij testen is dat het in het algemeen ondoenlijk is om alle mogelijke invoer en alle randcondities in testen te verwerken. Om zekerheid te krijgen over het gedrag van een programma moet het programma geanalyseerd worden. Dit kan bijvoorbeeld door een model van het programma te maken en de gewenste eigenschap in termen van dit model te vertalen. In dat geval kan een eigenschap van het programma bewezen worden door te bewijzen dat de verta- 169

2 ling van die eigenschap binnen het model geldt. In het bijzonder bij het wiskundig modelleren van een programma kan een eigenschap met wiskundige zekerheid worden bewezen. Deze aanpak is heel goed vergelijkbaar met de aanpak in andere disciplines. Wanneer een architekt wil bewijzen dat een brug sterk genoeg is, zal een wiskundig model van die brug worden opgesteld. Binnen dat model is het mogelijk de sterkte te berekenen. Een astronoom die wil bewijzen dat de zwaartekracht op Jupiter groter is dan op aarde, zal dat aantonen met behulp van een wiskundig model. Termherschrijfsystemen (in het Engels `term rewriting systems') zijn zeer geschikt voor het modelleren van computerprogramma's. Eigenschappen van een computerprogramma kunnen bewezen worden door eigenschappen van het modellerend termherschrijfsysteem te bewijzen. In dit proefschrift staan twee eigenschappen van termherschrijfsystemen centraal: terminatie en innermost normalisatie (een variant van terminatie). Door het bewijzen van terminatie van een termherschrijfsysteem kan bewezen worden dat een programma gegarandeerd stopt na enige tijd. Daarmee wordt de zekerheid verkregen dat dit programma niet `hangt' (een term voor een computerprogramma dat vast zit en ogenschijnlijk niets meer doet). Ook andere eigenschappen van een programma kunnen worden bewezen door te bewijzen dat een bepaald termherschrijfsysteem termineert. Zo is het mogelijk een bewijs dat een termherschrijfsysteem termineert te gebruiken om te bewijzen dat de uitkomst van een door het gemodelleerde programma uitgevoerde berekening uniek is. Met het kunnen bewijzen van terminatie van een termherschrijfsysteem kan dus iets geconcludeerd worden over het gedrag van een programma. Op de vraag hoe de terminatie van een termherschrijfsysteem bewezen kan worden, geeft dit proefschrift een antwoord. Aan de hand van een voorbeeld zal ik duidelijk maken hoe een programma gemodelleerd kan worden door een termherschrijfsysteem en hoe een bewijs van terminatie van dat systeem iets kan vertellen over het gedrag van het programma. Ik merk daarbij op dat het hier slechts om een voorbeeld gaat en dat de theorie en technieken in dit proefschrift veel meer omvatten dan alleen een oplossing voor het probleem geschetst in dit voorbeeld. Voor het voorbeeld beschouwen we het programma waarmee dit proefschrift is gezet, namelijk TEX. Het programma TEX maakt van een ingetypte tekst een opgemaakte pagina, klaar voor de pers. Het programma is ontworpen als een `open' programma. Dat wil zeggen dat iedereen er in principe iets aan toe mag voegen. Het Arabisch of Chinees schrift zijn typisch dingenomaantex toe te voegen. Het toevoegen van een schrift omvat meer dan alleen het toevoegen van de afzonderlijke letters of symbolen van dat schrift. Het is bijvoorbeeld ook nodig om informatie van elkaar opvolgende symbolen aan TEX kenbaar te maken. Zo is TEX voorzien van de informatie dat in het schrift waarin dit proefschrift gedrukt is de `f' aan de `l' vast geschreven wordt. Dit is goed te zien in een woord als `orijn', dat zonder deze extra informatie zou worden geschreven als `florijn'. Op een zelfde manier worden twee opeenvolgende letters `f' aan elkaar vast geschreven en het puntje van een `i' die op 170

3 orijn florijn Figuur 10.1: De ligatuur `' in het woord `orijn' een `f' volgt wordt door de `f' overdekt. Deze ligaturen zijn goed zichtbaar in het woord ache in plaats van affiche: De informatie bij de denitie van het schrift vertelt TEX om twee opeenvolgende letters `f' door de ligatuur `' te vervangen. In de wat oudere versies van het programma TEX waren de ligatuur mogelijkheden vrij beperkt, maar in elk geval kon de ontwikkelaar van een nieuw schrift aangeven welke symbolen door welke ligatuur moesten worden vervangen. Deze informatie kan bijvoorbeeld worden beschreven als ff fl : Het algemene schema van de ligatuur informatie kan worden beschreven als waar, en symbolen zijn (waarbij typisch een ligatuur is, maar en mogen ook ligaturen zijn). Dit schema wordt een termherschrijfsysteem door voor de 's 's en 's daadwerkelijke symbolen in te vullen, zoals in het geval van de `' en `'. Een termherschrijfsysteem bestaat uit een aantal regels die aangeven wat waardoor vervangen moet worden. Een termherschrijfsysteem dat bestaat uit instantiaties van de regel in het bovenstaande schema beschrijft op deze manier welke symbolen door welke ligatuur moeten worden vervangen om de juiste typograe te bereiken. Door de regels van het herschrijf systeem fi ff i e e herhaaldelijk toe te passen op het woord `efficient' wordt dit herschreven tot `ecient' efficient eicient ecient ecient: Merk op dat het vervangen van opeenvolgende symbolen niet noodzakelijkerwijs een uniek proces is. In het bovenstaande voorbeeld worden eerst twee opeenvolgende `f'-en door de ligatuur `' vervangen. De combinatie `fi' had echter ook eerst door 171

4 de ligatuur `' kunnen worden vervangen. In dat laatste geval had `f' gevolgd door de ligatuur `' niet vervangen kunnen worden door de ligatuur `', omdat daar geen regel voor bestaat in dit gegeven termherschrijfsysteem. Samengevat kan de ligatuur informatie beschreven worden door een termherschrijfsysteem. Zo'n termherschrijfsysteem is niet alleen een model voor die informatie, het kan zelfs gebruikt worden om alle ligaturen in een woord te berekenen door middel van `herschrijvingen'. Voor het zetten van teksten in het Arabisch of het Chinees is meer geavanceerde ligatuur informatie nodig dan met het bovengenoemde schema voor ligatuur informatie uitgedrukt kan worden. Daarom is er aan nieuwere versies van TEX een ander ligatuur mechanisme toegevoegd. Behalve het vervangen van twee symbolen door een ligatuur kan nu ook een enkel symbool door een ligatuur worden vervangen of kan er tussen twee symbolen een ligatuur worden geplaatst. Deze informele beschrijving van de ligatuur informatie kan weer formeel worden uitgedrukt in een schema : Door, en te vervangen door geschikte symbolen zijn uit dit schema weer verschillende termherschrijfsystemen te vormen. Merk op dat niet voor alle 's, 's en 's dezelfde symbolen hoeven worden ingevuld. Net als in het vorige voorbeeld kan zo'n termherschrijfsysteem bijvoorbeeld gevormd worden door alleen de eerste regel te gebruiken en voor de 's, 's en 's telkens iets ander in te vullen. Het verschil is nu dat er ook regels mogen worden toegevoegd die een invulling zijn van een van de andere drie regels in het schema. In deze uitbreiding van het ligatuur mechanisme schuilt een gevaar. Een zorgeloze ontwerper van een nieuw schrift kan dat schrift ligatuur informatie meegeven die het programma dat de ligatuur moet berekenen in een oneindige lus brengt. Het programma blijft in zo'n geval rekenen zonder een juiste ligatuur te vinden. Stel maar dat een schrift drie symbolen bevat `a', `b' en `c' die de volgende ligatuur informatie meekrijgen: ab ac ac abc dan kan het woord `ab' oneindig vaak herschreven worden ab ac abc acc abcc accc ::: In termen van het programma betekent dit dat TEX door deze ligatuur informatie bij het zetten van het woord `ab' in een oneindige lus raakt en het programma daardoor hangt. De reden om dit gevaar te accepteren en het nieuwe ligatuur meganisme te gebruiken in plaats van het oude, is dat door de verkregen vrijheid bepaalde ligaturen 172

5 in het Arabisch en Chinees hierdoor te beschrijven zijn. Voor deze vergroting van de uitdrukkingskracht wordt de prijs betaald dat er ook dingen beschreven kunnen worden die niet voor mogen komen. Het formaliseren van de ligatuur informatie maakt het mogelijk om het gedrag te beschrijven van het programma dat de ligatuur van een woord bepaalt. Eigenschappen waaraan zo'n programma moet voldoen kunnen worden vertaald naar eigenschappen van een termherschrijfsysteem. Om bijvoorbeeld te voorkomen dat TEX door de ligatuur informatie in een oneindige lus terecht komt, moet deze informatie van tevoren worden bestudeerd. Hiervoor is uiteraard het termherschrijfsysteem dat deze informatie beschrijft zeer geschikt. Door te bewijzen dat elk woord dat met dit termherschrijfsysteem wordt herschreven na eindig veel van die herschrijvingen een vorm heeft waar geen regel meer op van toepassing is, wordt bewezen dat TEX niet door de ligatuur informatie in een oneindige lus kan worden gebracht. Een termherschrijfsysteem dat aan deze voorwaarde voldoet, dat dus geen oneindige herschrijving toelaat, wordt terminerend genoemd. Dus een eigenschap van een programma, namelijk dat het programma niet zal hangen, kan worden bewezen door te bewijzen dat het termherschrijfsysteem dat dit programma modelleert terminerend is. Op het eerste gezicht lijkt het vanzelfsprekend dat de ontwerper van een nieuw schrift zelf bewijst dat de meegegeven ligatuur informatie correct is, dat het termherschrijfsysteem terminerend is. Echter, het ontwerpen van een nieuw schrift vereist heel andere vaardigheden dan het bewijzen dat een termherschrijfsysteem termineert. Het is onwaarschijnlijk dat mensen die goed zijn in het ontwerpen van een schrift ook zoveel aniteit hebben met de wiskunde dat ze terminatie van een termherschrijfsysteem kunnen bewijzen. Het laatste is meer iets voor een wiskundige. Nu kan de ontwerper van het schrift wel vragen aan de wiskundige het termherschrijfsysteem terminerend te bewijzen, maar veel handiger is het om daar een computerprogramma voor te hebben. Zo'n programma kan dan meegeleverd worden als onderdeel van TEX; voor ieder nieuw schrift kan dit programma even voor TEX controleren of het termherschrijfsysteem terminerend is. Dit meegeleverde programma moet dus in staat zijn vast te stellen of een termherschrijfsysteem terminerend is. Nu is het bewezen dat er geen programma kan bestaan dat van ieder willekeurig termherschrijfsysteem bepaalt of het terminerend is of niet. Hiermee lijkt bovenstaand streven dus tot mislukking veroordeeld. Echter, het is wel mogelijk een programma te ontwikkelen dat van een willekeurig termherschrijfsysteem ofwel terminatie bewijst ofwel als resultaat oplevert dat het programma met het gegeven termherschrijfsysteem niets kan beginnen. In dit proefschrift wordt een techniek beschreven waarmee van een grote groep termherschrijfsystemen terminatie automatisch bewezen kan worden. Deze groep omvat natuurlijk de termherschrijfsystemen die met de eerder ontwikkelde technieken terminerend bewezen kunnen worden, maar omvat ook nieuweinteressante gevallen die nog buiten de mogelijkheden lagen. 173

6 Korte beschrijving van de resultaten In dit proefschrift wordt een karaterisering gegeven om terminatie van termherschrijfsystemen te bewijzen als ook een karaterisering om innermost normalisatie van die systemen te bewijzen. Beide karakteriseringen zijn voldoende en noodzakelijk, wat erop neer komt dat terminatie (dan wel innermost normalisatie) van ieder terminerend (danwel innermost normaliserend) termherschrijfsysteem ermee gekarakteriseerd is. Uit de onbeslisbaarheid van terminatie en innermost normalisatie volgt dan direct dat deze karateriseringen niet automatisch uit te voeren zijn. Beide karakteriseringen zijn echter wel uitermate geschikt om als basis te dienen voor technieken om terminatie en innermost normalisatie automatisch te bewijzen. Verschillende technieken om terminatie automatisch te bewijzen bestonden al, maar bij mijn weten is dit de eerste techniek om innermost normalisatie automatisch te bewijzen. Door gebruik te maken van bestaande resultaten blijkt het mogelijk voor een grote groep termherschrijfsystemen terminatie te bewijzen met behulp van de techniek om innermost normalisatie te bewijzen. Ook voor het bewijzen van terminatie van logische programma's blijkt de techniek om innermost normalisatie van termherschrijfsystemen te bewijzen bij uitstek toepasbaar. Door de logische programma's te vertalen naar termherschrijfsystemen en van die systemen innermost normalisatie te bewijzen, kan terminatie van logische programma's bewezen worden. Resultaten over het in stukken verdelen van een termherschrijfsysteem zodat innermost normalisatie van de afzonderlijke stukken innermost normalisatie voor het gehele termherschrijfsysteem garandeert, geven de techniek nog eens extra kracht. Verschillende van dergelijke al langer bekende resultaten worden bekeken en een nieuw resultaat wordt hieraan toegevoegd. Een groot aantal voorbeelden onderschrijft nog eens dat de in dit proefschrift gepresenteerde technieken krachtig en breed toepasbaar zijn. Termherschrijfsystemen waar andere technieken geen raad mee weten kunnen met behulp van deze technieken automatisch terminerend of innermost normaliserend bewezen worden. Bovendien is de techniek zo gekonstrueerd dat bestaande en nieuw te ontwikkelen technieken eraan gekoppeld kunnen worden. 174

Wiskundige beweringen en hun bewijzen

Wiskundige beweringen en hun bewijzen Wiskundige beweringen en hun bewijzen Analyse (en feitelijk de gehele wiskunde) gaat over het bewijzen van beweringen (proposities), d.w.z. uitspraken waaraan de karakterisering waar of onwaar toegekend

Nadere informatie

Rekenen aan wortels Werkblad =

Rekenen aan wortels Werkblad = Rekenen aan wortels Werkblad 546121 = Vooraf De vragen en opdrachten in dit werkblad die vooraf gegaan worden door, moeten schriftelijk worden beantwoord. Daarbij moet altijd duidelijk zijn hoe de antwoorden

Nadere informatie

De enveloppenparadox

De enveloppenparadox De enveloppenparadox Mats Vermeeren Berlin Mathematical School) 6 april 013 1 Inleiding Een spel gaat als volgt. Je krijgt twee identiek uitziende enveloppen aangeboden, waarvan je er één moet kiezen.

Nadere informatie

IN2505 II Berekenbaarheidstheorie Tentamen Maandag 2 juli 2007, uur

IN2505 II Berekenbaarheidstheorie Tentamen Maandag 2 juli 2007, uur TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4 2628 CD Delft IN2505 II Berekenbaarheidstheorie Tentamen Maandag 2 juli 2007, 14.00-17.00 uur BELANGRIJK Beschikbare

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

Cover Page. The handle http://hdl.handle.net/1887/29570 holds various files of this Leiden University dissertation.

Cover Page. The handle http://hdl.handle.net/1887/29570 holds various files of this Leiden University dissertation. Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/29570 holds various files of this Leiden University dissertation. Author: Beek, Maurice H. ter Title: Team automata : a formal approach to the modeling

Nadere informatie

Automaten. Informatica, UvA. Yde Venema

Automaten. Informatica, UvA. Yde Venema Automaten Informatica, UvA Yde Venema i Inhoud Inleiding 1 1 Formele talen en reguliere expressies 2 1.1 Formele talen.................................... 2 1.2 Reguliere expressies................................

Nadere informatie

Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010

Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010 Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010 Rick van der Zwet 8 december 2010 Samenvatting Dit schrijven zal uitwerkingen van opgaven behandelen uit het boek [JS2009]

Nadere informatie

opgaven formele structuren deterministische eindige automaten

opgaven formele structuren deterministische eindige automaten opgaven formele structuren deterministische eindige automaten Opgave. De taal L over het alfabet {a, b} bestaat uit alle strings die beginnen met aa en eindigen met ab. Geef een reguliere expressie voor

Nadere informatie

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal

Nadere informatie

Wiskundig denken, logica en redeneren Het gebruik van woorden en symbolen om patronen te beschrijven en patronen te herhalen Taal

Wiskundig denken, logica en redeneren Het gebruik van woorden en symbolen om patronen te beschrijven en patronen te herhalen Taal ctiviteit 11 Schatzoeken Eindige automaat Samenvatting Computerprogramma s moeten vaak rijen tekens verwerken, bijvoorbeeld de letters of woorden in een document, of zelfs een tekst die weer door een ander

Nadere informatie

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra Dossier 4 VECTOREN bouwstenen van de lineaire algebra Dr. Luc Gheysens 1 Coördinaat van een vector In het vlak π 0 is het punt O de oorsprong en de punten E 1 en E 2 zijn zodanig gekozen dat OE 1 OE 2

Nadere informatie

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1 Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking

Nadere informatie

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s. Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt

Nadere informatie

Tweede Programmeeropgave Numerieke Wiskunde 1 De golfplaat Uiterste inleverdatum : vrijdag 16 mei 2003

Tweede Programmeeropgave Numerieke Wiskunde 1 De golfplaat Uiterste inleverdatum : vrijdag 16 mei 2003 Tweede Programmeeropgave Numerieke Wiskunde 1 De golfplaat Uiterste inleverdatum : vrijdag 16 mei 2003 I Doelstelling en testcase In deze programmeeropgave zullen we een drietal numerieke integratiemethoden

Nadere informatie

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal

Nadere informatie

WISKUNDE B-DAG 2001. 23 november. 9.00 16.00 uur

WISKUNDE B-DAG 2001. 23 november. 9.00 16.00 uur WISKUNDE B-DAG 2001 23 november 9.00 16.00 uur Stel je voor: Met een jeep wil je een grote woestijn door. Water, voedsel en benzine is er eindeloos op je startplek, maar onderweg is er echt helemaal niets.

Nadere informatie

Knowledge, chance, and change Kooi, Barteld

Knowledge, chance, and change Kooi, Barteld Knowledge, chance, and change Kooi, Barteld IMPORTANT NOTE: You are advised to consult the publisher's version (publisher's PDF) if you wish to cite from it. Please check the document version below. Document

Nadere informatie

Gedistribueerd Programmeren - Samenvatting

Gedistribueerd Programmeren - Samenvatting Gedistribueerd Programmeren - Samenvatting Geertjan van Vliet Disclaimer: Aan deze teksten kunnen geen rechten ontleend worden. Bepaalde passages zijn de visie van de auteur en niet die van de docent.

Nadere informatie

I.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules.

I.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules. I.3 Functies Iedereen is ongetwijfeld in veel situaties het begrip functie tegengekomen; vaak als een voorschrift dat aan elk getal een ander getal toevoegt, bijvoorbeeld de functie fx = x die aan elk

Nadere informatie

1 Inleiding in Functioneel Programmeren

1 Inleiding in Functioneel Programmeren 1 Inleiding in Functioneel Programmeren door Elroy Jumpertz 1.1 Inleiding Aangezien Informatica een populaire minor is voor wiskundestudenten, leek het mij nuttig om een stukje te schrijven over een onderwerp

Nadere informatie

VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN

VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN I VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN Het begrip verzameling kennen we uit het dagelijks leven: een bibliotheek bevat een verzameling van boeken, een museum een verzameling van kunstvoorwerpen. We kennen verzamelingen

Nadere informatie

Cover Page. The handle holds various files of this Leiden University dissertation.

Cover Page. The handle  holds various files of this Leiden University dissertation. Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/20310 holds various files of this Leiden University dissertation. Author: Jansen, Bas Title: Mersenne primes and class field theory Date: 2012-12-18 Samenvatting

Nadere informatie

Modulewijzer InfPbs00DT

Modulewijzer InfPbs00DT Modulewijzer InfPbs00DT W. Oele 0 juli 008 Inhoudsopgave Inleiding 3 Waarom wiskunde? 3. Efficiëntie van computerprogramma s............... 3. 3D-engines en vectoranalyse................... 3.3 Bewijsvoering

Nadere informatie

Bewijs door inductie

Bewijs door inductie Bewijs door inductie 1 Bewijs door inductie Vaak bestaat een probleem erin aan te tonen dat een bepaalde eigenschap geldt voor elk natuurlijk getal. Als je wilt weten of iets waar is voor alle natuurlijke

Nadere informatie

Airyfunctie. b + π 3 + xt dt. (2) cos

Airyfunctie. b + π 3 + xt dt. (2) cos LaTeX opdracht Bewijzen en Redeneren 1ste fase bachelor in Fysica, Wiskunde Werk de volgende opdracht individueel uit. U moet hier alleen aan werken. Geef ook geen files door aan anderen. Ingediende opdrachten

Nadere informatie

Projectieve Vlakken en Codes

Projectieve Vlakken en Codes Projectieve Vlakken en Codes 1. De Fanocode Foutdetecterende en foutverbeterende codes. Anna en Bart doen mee aan een spelprogramma voor koppels. De ene helft van de deelnemers krijgt elk een kaart waarop

Nadere informatie

1 Kettingbreuken van rationale getallen

1 Kettingbreuken van rationale getallen Kettingbreuken van rationale getallen Laten we eens starten met een breuk bijvoorbeeld 37/3 Laten we hier ons kettingbreuk algoritme op los, We concluderen hieruit dat 37 3 3 + 3 + + 37 3 + + + hetgeen

Nadere informatie

Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010

Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010 Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010 Rick van der Zwet 13 november 2010 Samenvatting Dit schrijven zal uitwerkingen van opgaven behandelen uit het boek [JS2009]

Nadere informatie

Diophantische vergelijkingen

Diophantische vergelijkingen Diophantische vergelijkingen 1 Wat zijn Diophantische vergelijkingen? Een Diophantische vergelijking is een veeltermvergelijking waarbij zowel de coëfficiënten als de oplossingen gehele getallen moeten

Nadere informatie

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr.

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr. Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor Opgedragen aan Th. J. Dekker H. W. Lenstra, Jr. Uit de lineaire algebra is bekend dat het aantal oplossingen van een systeem lineaire vergelijkingen gelijk

Nadere informatie

Over Plantinga s argument voor de existentie van een noodzakelijk bestaand individueel ding. G.J.E. Rutten

Over Plantinga s argument voor de existentie van een noodzakelijk bestaand individueel ding. G.J.E. Rutten 1 Over Plantinga s argument voor de existentie van een noodzakelijk bestaand individueel ding G.J.E. Rutten Introductie In dit artikel wil ik het argument van de Amerikaanse filosoof Alvin Plantinga voor

Nadere informatie

Samenvatting in het nederlands

Samenvatting in het nederlands Samenvatting in het nederlands Wat voorkennis Stel dat van een oppervlak in de ruimte een golffront komt - het kan om licht gaan, of om geluid. Is het oppervlak een ellipsoide en breidt de golf zich uit

Nadere informatie

Zoek nu even zelf hoe het verder gaat. Een schematische voorstelling kan hierbij zeker helpen.

Zoek nu even zelf hoe het verder gaat. Een schematische voorstelling kan hierbij zeker helpen. De rij van Fibonacci Leonardo di Pisa (/ ca. 1170, artiestennaam Fibonacci, invoerder van de Indische cijfers in Europa), zat in 1202 met het volgende zware wiskundige probleem: Stel: een boer koopt op

Nadere informatie

Stelling 2 Een belangrijke reden dat veranderingsprocessen mislukken is dat er vooraf onvoldoende over is nagedacht.

Stelling 2 Een belangrijke reden dat veranderingsprocessen mislukken is dat er vooraf onvoldoende over is nagedacht. Oefenvragen Ondernemerskunde B - Verandermanagement 1. Welke stelling is juist? Een belangrijke reden dat veranderingsprocessen mislukken is dat er eigenlijk geen goede reden is om iets te veranderen.

Nadere informatie

Automaten en Berekenbaarheid 2016 Oplossingen #4

Automaten en Berekenbaarheid 2016 Oplossingen #4 Automaten en Berekenbaarheid 2016 Oplossingen #4 28 oktober 2016 Vraag 1: Toon aan dat de klasse van context vrije talen gesloten is onder concatenatie en ster. Antwoord Meerdere manieren zijn mogelijk:

Nadere informatie

2. Syntaxis en semantiek

2. Syntaxis en semantiek 2. Syntaxis en semantiek In dit hoofdstuk worden de begrippen syntaxis en semantiek behandeld. Verder gaan we in op de fouten die hierin gemaakt kunnen worden en waarom dit in de algoritmiek zo desastreus

Nadere informatie

Opmerking. TI1300 Redeneren en Logica. Met voorbeelden kun je niks bewijzen. Directe en indirecte bewijzen

Opmerking. TI1300 Redeneren en Logica. Met voorbeelden kun je niks bewijzen. Directe en indirecte bewijzen Opmerking TI1300 Redeneren en Logica College 2: Bewijstechnieken Tomas Klos Algoritmiek Groep Voor alle duidelijkheid: Het is verre van triviaal om definities te leren hanteren, beweringen op te lossen,

Nadere informatie

Cover Page. The handle http://hdl.handle.net/1887/20358 holds various files of this Leiden University dissertation.

Cover Page. The handle http://hdl.handle.net/1887/20358 holds various files of this Leiden University dissertation. Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/20358 holds various files of this Leiden University dissertation. Author: Witsenburg, Tijn Title: Hybrid similarities : a method to insert relational information

Nadere informatie

Trillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude

Trillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude Trillingen en geluid wiskundig 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude 1 De sinus van een hoek Eenheidscirkel In de figuur hiernaast

Nadere informatie

Het Land van Oct. Marte Koning Frans Ballering. Vierkant voor Wiskunde Wiskundeclubs

Het Land van Oct. Marte Koning Frans Ballering. Vierkant voor Wiskunde Wiskundeclubs Het Land van Oct Marte Koning Frans Ballering Vierkant voor Wiskunde Wiskundeclubs Hoofdstuk 1 Inleiding Hoi, ik ben de Vertellende Teller, en die naam heb ik gekregen na mijn meest bekende reis, de reis

Nadere informatie

Module 3: Scratch programmeren: is het logisch of is het niet logisch?

Module 3: Scratch programmeren: is het logisch of is het niet logisch? Module 3: Scratch programmeren: is het logisch of is het niet logisch? Inhoudsopgave Module 3: Scratch programmeren: is het logisch of is het niet logisch?...1 Wat is een computerprogramma eigenlijk?...2

Nadere informatie

Examenvragen Hogere Wiskunde I

Examenvragen Hogere Wiskunde I 1 Examenvragen Hogere Wiskunde I Vraag 1. Zij a R willekeurig. Gegeven is dat voor alle r, s Q geldt dat a r+s = a r a s. Bewijs dat voor alle x, y R geldt dat a x+y = a x a y. Vraag 2. Gegeven 2 functies

Nadere informatie

1 Religie vs herschrijven 3. 2 Herschrijven 4. 3 Rekenen 5. 4 Tellen 6. 5 Syracuse probleem 7. 6 Herschrijftheorie 8. 7 Terminatie en Confluentie 9

1 Religie vs herschrijven 3. 2 Herschrijven 4. 3 Rekenen 5. 4 Tellen 6. 5 Syracuse probleem 7. 6 Herschrijftheorie 8. 7 Terminatie en Confluentie 9 1 Religie vs herschrijven 3 2 Herschrijven 4 3 Rekenen 5 4 Tellen 6 5 Syracuse probleem 7 6 Herschrijftheorie 8 Page 1 of 31 7 Terminatie en Confluentie 9 8 SN en CR in rekenen 10 9 SN en CR in tellen

Nadere informatie

Ruimtemeetkunde deel 1

Ruimtemeetkunde deel 1 Ruimtemeetkunde deel 1 1 Punten We weten reeds dat Π 0 het meetkundig model is voor de vectorruimte R 2. We definiëren nu op dezelfde manier E 0 als meetkundig model voor de vectorruimte R 3. De elementen

Nadere informatie

3.2 Vectoren and matrices

3.2 Vectoren and matrices we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,

Nadere informatie

(a) (b) (c) (d) Oriënteren met behulp van duwacties.

(a) (b) (c) (d) Oriënteren met behulp van duwacties. Samenvatting Tegenwoordig worden veel processen met behulp van computers of computergestuurde robots uitgevoerd om ef

Nadere informatie

Excel reader. Beginner Gemiddeld. bas@excel-programmeur.nl

Excel reader. Beginner Gemiddeld. bas@excel-programmeur.nl Excel reader Beginner Gemiddeld Auteur Bas Meijerink E-mail bas@excel-programmeur.nl Versie 01D00 Datum 01-03-2014 Inhoudsopgave Introductie... - 3 - Hoofdstuk 1 - Databewerking - 4-1. Inleiding... - 5-2.

Nadere informatie

Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen.

Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Opmerking vooraf. Een netwerk is een structuur die is opgebouwd met pijlen en knooppunten. Bij het opstellen van

Nadere informatie

Stelling 1 Wanneer Sg aanzienlijk groter is dan Sh is er geen directe noodzaak om een veranderingsproces in te zetten.

Stelling 1 Wanneer Sg aanzienlijk groter is dan Sh is er geen directe noodzaak om een veranderingsproces in te zetten. Oefenvragen Middle Management B - Verandermanagement 1. Welke stelling met betrekking tot de formule Sg - Sh = P is juist? Wanneer Sg aanzienlijk groter is dan Sh is er geen directe noodzaak om een veranderingsproces

Nadere informatie

Stelling. SAT is NP-compleet.

Stelling. SAT is NP-compleet. Het bewijs van de stelling van Cook Levin zoals gegeven in het boek van Sipser gebruikt niet-deterministische turing machines. Het is inderdaad mogelijk de klasse NP op een alternatieve wijze te definiëren

Nadere informatie

Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen

Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen Ter inleiding: tellen Turven, maar: onhandig bij grote aantallen. Romeinse cijfers: speciale symbolen voor

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 989-990: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt: een deelnemer start met 0 punten, per

Nadere informatie

3. Structuren in de taal

3. Structuren in de taal 3. Structuren in de taal In dit hoofdstuk behandelen we de belangrijkst econtrolestructuren die in de algoritmiek gebruikt worden. Dit zijn o.a. de opeenvolging, selectie en lussen (herhaling). Vóór we

Nadere informatie

Trillingen en geluid wiskundig

Trillingen en geluid wiskundig Trillingen en geluid wiskundig 1 De sinus van een hoek 2 Radialen 3 Uitwijking van een harmonische trilling 4 Macht en logaritme 5 Geluidsniveau en amplitude 1 De sinus van een hoek Sinus van een hoek

Nadere informatie

Bijlage 11 - Toetsenmateriaal

Bijlage 11 - Toetsenmateriaal Bijlage - Toetsenmateriaal Toets Module In de eerste module worden de getallen behandeld: - Natuurlijke getallen en talstelsels - Gemiddelde - mediaan - Getallenas en assenstelsel - Gehele getallen met

Nadere informatie

Netwerkdiagram voor een project. AON: Activities On Nodes - activiteiten op knooppunten

Netwerkdiagram voor een project. AON: Activities On Nodes - activiteiten op knooppunten Netwerkdiagram voor een project. AON: Activities On Nodes - activiteiten op knooppunten Opmerking vooraf. Een netwerk is een structuur die is opgebouwd met pijlen en knooppunten. Bij het opstellen van

Nadere informatie

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

V.4 Eigenschappen van continue functies

V.4 Eigenschappen van continue functies V.4 Eigenschappen van continue functies We bestuderen een paar belangrijke stellingen over continue functies. Maxima en minima De stelling over continue functies die we in deze paragraaf bewijzen zegt

Nadere informatie

Gebruiken en begrijpen van de formele breuknotatie.

Gebruiken en begrijpen van de formele breuknotatie. Titel Vruchtentaart Groep / niveau Groep 5/6 Leerstofaspecten Benodigdheden Organisatie Bedoeling Voorwaardelijke vaardigheden Lesactiviteit Gebruiken en begrijpen van de formele breuknotatie. Leerkracht:

Nadere informatie

De stelling van Pick. Dion Gijswijt

De stelling van Pick. Dion Gijswijt Sommige wiskundige stellingen zijn zo fantastisch simpel en elegant, dat je je afvraagt: Waarom ben ik daar niet op gekomen! Dit stukje gaat over precies zo n stelling: eenvoudiger dan de stelling van

Nadere informatie

Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A

Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Jaap van Oosten 2007-2008 1 Kardinaliteiten Opgave 1.1. Bewijs, dat R N = R. Opgave 1.2. Laat Cont de verzameling continue functies R R zijn. a) Laat zien dat

Nadere informatie

Ontwerp van Algoritmen: opgaven weken 3 en 4

Ontwerp van Algoritmen: opgaven weken 3 en 4 0 Ontwerp van Algoritmen: opgaven weken 3 en 4 Voor alle volgende opgaven over programmaatjes geldt de spelregel: formuleer altijd eerst alle bewijsverplichtingen. selectie 45. (tail distribution)(prima

Nadere informatie

Oplossingen Datamining 2II15 Juni 2008

Oplossingen Datamining 2II15 Juni 2008 Oplossingen Datamining II1 Juni 008 1. (Associatieregels) (a) Zijn de volgende beweringen juist of fout? Geef een korte verklaring voor alle juiste beweringen en een tegenvoorbeeld voor alle foute be-weringen:

Nadere informatie

De constructie van een raaklijn aan een cirkel is, op basis van deze stelling, niet zo erg moeilijk meer.

De constructie van een raaklijn aan een cirkel is, op basis van deze stelling, niet zo erg moeilijk meer. Cabri-werkblad Raaklijnen Raaklijnen aan een cirkel Definitie Een raaklijn aan een cirkel is een rechte lijn die precies één punt (het raakpunt) met de cirkel gemeenschappelijk heeft. Stelling De raaklijn

Nadere informatie

Biljarten op een ellips. Lab kist voor 3-4 vwo

Biljarten op een ellips. Lab kist voor 3-4 vwo Biljarten op een ellips Lab kist voor 3-4 vwo Dit lespakket behoort bij het ellipsvormige biljart van de ITS Academy. Ontwerp: Pauline Vos, in opdracht van Its Academy Juni 2011 Leerdoelen: - kennismaken

Nadere informatie

Automaten en Berekenbaarheid

Automaten en Berekenbaarheid Automaten en Berekenbaarheid Bart Demoen KU Leuven 2016-2017 Les 3: 36-54 Myhill-Nerode relaties; regulier pompen Myhill-Nerode equivalentieklassen in Σ I 2/10 belangrijk te verstaan: een equivalentie-relatie

Nadere informatie

Examen VWO - Compex. wiskunde A1

Examen VWO - Compex. wiskunde A1 wiskunde A1 Examen VWO - Compex Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Woensdag 25 mei totale examentijd 3 uur 20 05 Vragen 14 tot en met 21 In dit deel staan de vragen waarbij de computer

Nadere informatie

3 De stelling van Kleene

3 De stelling van Kleene 18 3 De stelling van Kleene Definitie 3.1 Een formele taal heet regulier als hij wordt herkend door een deterministische eindige automaat. Talen van de vorm L(r) met r een reguliere expressie noemen we

Nadere informatie

TENTAMEN Basismodellen in de Informatica VOORBEELDUITWERKING

TENTAMEN Basismodellen in de Informatica VOORBEELDUITWERKING TENTAMEN Basismodellen in de Informatica vakcode: 211180 datum: 2 juli 2009 tijd: 9:00 12:30 uur VOORBEELDUITWERKING Algemeen Bij dit tentamen mag gebruik worden gemaakt van het boek van Sudkamp, van de

Nadere informatie

1. Inleiding... 2. 1.1 Doel van dit document... 2 1.2 Nieuwe en gewijzigde velden... 2

1. Inleiding... 2. 1.1 Doel van dit document... 2 1.2 Nieuwe en gewijzigde velden... 2 Handleiding wijzigingen Studiekeuze Webformulier Naar aanleiding van Wet Kwaliteit in Verscheidenheid Inhoud 1. Inleiding... 2 1.1 Doel van dit document... 2 1.2 Nieuwe en gewijzigde velden... 2 2. De

Nadere informatie

Kansrekenen: Beliefs & Bayes

Kansrekenen: Beliefs & Bayes Kansrekenen: Beliefs & Bayes L. Schomaker, juni 2001 Bereik van kansen 0 P (A) 1 (1) Kansen op valide en onvervulbare proposities P (W aar) = 1, P (Onwaar) = 0 (2) Somregel P (A B) = P (A) + P (B) P (A

Nadere informatie

We zullen in deze les kijken hoe we netwerken kunnen analyseren, om bijvoorbeeld de volgende vragen te kunnen beantwoorden:

We zullen in deze les kijken hoe we netwerken kunnen analyseren, om bijvoorbeeld de volgende vragen te kunnen beantwoorden: Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 24 Les 5 Proces analyse Veel processen laten zich door netwerken beschrijven, waarin een aantal knopen acties aangeeft en opdrachten langs verbindingen tussen de

Nadere informatie

Domein A: Vaardigheden

Domein A: Vaardigheden Examenprogramma Wiskunde A havo Het eindexamen bestaat uit het centraal examen en het schoolexamen. Het examenprogramma bestaat uit de volgende domeinen: Domein A Vaardigheden Domein B Algebra en tellen

Nadere informatie

De stelling van Pick. Dion Gijswijt

De stelling van Pick. Dion Gijswijt Sommige wiskundige stellingen zijn zo fantastisch simpel en elegant, dat je je afvraagt: Waarom ben ik daar niet op gekomen! Dit stukje gaat over precies zo n stelling: eenvoudiger dan de stelling van

Nadere informatie

Gratis Sudoku Editie 00 PaDNL. Wat is een PalindroomDoku? 1 Uitdagende PalindroomDoku wacht om te worden opgelost

Gratis Sudoku Editie 00 PaDNL. Wat is een PalindroomDoku? 1 Uitdagende PalindroomDoku wacht om te worden opgelost Gratis Sudoku Editie 00 PaDNL 1 Uitdagende PalindroomDoku wacht om te worden opgelost Gratis Sudoku Editie 00 PaDNL Website: www.sudoku-variations.com DISCLAIMER MEBO Educational Services besteedt voortdurend

Nadere informatie

Variabelen en statements in ActionScript

Variabelen en statements in ActionScript Ontwikkelen van Apps voor ios en Android Variabelen en statements in ActionScript 6.1 Inleiding Als we het in de informatica over variabelen hebben, bedoelen we een stukje in het geheugen van de computer

Nadere informatie

Populaties beschrijven met kansmodellen

Populaties beschrijven met kansmodellen Populaties beschrijven met kansmodellen Prof. dr. Herman Callaert Deze tekst probeert, met voorbeelden, inzicht te geven in de manier waarop je in de statistiek populaties bestudeert. Dat doe je met kansmodellen.

Nadere informatie

Inhoud Methode Materiaal Timing V: Eigenschap: De som van de hoeken in een driehoek is gelijk aan 180.

Inhoud Methode Materiaal Timing V: Eigenschap: De som van de hoeken in een driehoek is gelijk aan 180. V: De som van de hoeken in een driehoek is gelijk aan 180. Neem dan eens allemaal een blad papier en teken daarop een driehoek. In elke hoek zet je een letter (A, B en C) of geef je een kleurtje. Knip

Nadere informatie

Toelichting bij de Korte Verhandeling van Spinoza Nummer 1

Toelichting bij de Korte Verhandeling van Spinoza Nummer 1 Toelichting bij de Korte Verhandeling van Spinoza Nummer 1 Deel 1, Hoofdstuk 1 - Dat er iets buiten ons bestaat. Rikus Koops 8 juni 2012 Versie 1.1 In de inleidende toelichting nummer 0 heb ik gesproken

Nadere informatie

Min maal min is plus

Min maal min is plus Min maal min is plus Als ik een verontruste wiskundeleraar moet geloven, is de rekenregel voor het product van twee negatieve getallen nog steeds een probleem. Hessel Pot schreef me: waarom willen we dat

Nadere informatie

How to present online information to older cancer patients N. Bol

How to present online information to older cancer patients N. Bol How to present online information to older cancer patients N. Bol Dutch summary (Nederlandse samenvatting) Dutch summary (Nederlandse samenvatting) Goede informatievoorziening is essentieel voor effectieve

Nadere informatie

Dossier Opdracht 2. Statistiek - Didactiek

Dossier Opdracht 2. Statistiek - Didactiek Dossier Opdracht 2 Statistiek - Didactiek Naam: Thomas Sluyter Nummer: 1018808 Jaar / Klas: 1e jaar Docent Wiskunde, deeltijd Datum: 16 september, 2007 Samenvatting De Getal en ruimte serie van EPN biedt

Nadere informatie

Figuur 1. Schematisch overzicht van de structuur van het twee-stadia recourse model.

Figuur 1. Schematisch overzicht van de structuur van het twee-stadia recourse model. Samenvatting In dit proefschrift worden planningsproblemen op het gebied van routering en roostering bestudeerd met behulp van wiskundige modellen en (numerieke) optimalisatie. Kenmerkend voor de bestudeerde

Nadere informatie

1. Orthogonale Hyperbolen

1. Orthogonale Hyperbolen . Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies

Nadere informatie

Cabri-werkblad. Driehoeken, rechthoeken en vierkanten. 1. Eerst twee macro's

Cabri-werkblad. Driehoeken, rechthoeken en vierkanten. 1. Eerst twee macro's Cabri-werkblad Driehoeken, rechthoeken en vierkanten 1. Eerst twee macro's Bij de opdrachten van dit werkblad zullen we vaak een vierkant nodig hebben waarvan alleen de beide eindpunten van een zijde gegeven

Nadere informatie

WHITEPAPER ZELFSTURING. Zelfsturing. begint met taakvolwassenheid. Training & Coaching

WHITEPAPER ZELFSTURING. Zelfsturing. begint met taakvolwassenheid. Training & Coaching Zelfsturing begint met taakvolwassenheid WHITEPAPER WERKDRUK HANTEREN Zelfsturing begint met taakvolwassenheid Gehoord op een werkvloer: Als onze manager met vakantie is, dan is het voor ons ook een beetje

Nadere informatie

Getal en Ruimte wi 1 havo/vwo deel 1 hoofdstuk 4 Didactische analyse door Lennaert van den Brink (1310429)

Getal en Ruimte wi 1 havo/vwo deel 1 hoofdstuk 4 Didactische analyse door Lennaert van den Brink (1310429) Getal en Ruimte wi 1 havo/vwo deel 1 hoofdstuk 4 Didactische analyse door Lennaert van den Brink (1310429) - een lijst met operationele en concrete doelen van de lessenserie, indien mogelijk gerelateerd

Nadere informatie

Het eenzame vierkant van Khajuraho!

Het eenzame vierkant van Khajuraho! Het eenzame vierkant van Khajuraho! Stephan Berendonk 19-12-2006 ii Contents 1 De Lo Shu vii 2 Het vierkant van Khajuraho xi iv Contents Voorwoord Het stuk is vooral gericht op middelbare scholieren, die

Nadere informatie

Taxanomie van Bloom en de kunst van het vragen stellen. Anouk Mulder verschil in talent

Taxanomie van Bloom en de kunst van het vragen stellen. Anouk Mulder verschil in talent Onthouden Kunnen ophalen van specifieke informatie, variërend van feiten tot complete theorieën Opslaan en ophalen van informatie (herkennen) Kennis van data, gebeurtenissen, plaatsen Kennis van belangrijkste

Nadere informatie

Hoofdstuk 26: Modelleren in Excel

Hoofdstuk 26: Modelleren in Excel Hoofdstuk 26: Modelleren in Excel 26.0 Inleiding In dit hoofdstuk leer je een aantal technieken die je kunnen helpen bij het voorbereiden van bedrijfsmodellen in Excel (zie hoofdstuk 25 voor wat bedoeld

Nadere informatie

opdracht 1 opdracht 2. opdracht 3 1 Parabolen herkennen Algebra Anders Parabolen uitwerkingen 1 Versie DD 2014 x y toename

opdracht 1 opdracht 2. opdracht 3 1 Parabolen herkennen Algebra Anders Parabolen uitwerkingen 1 Versie DD 2014 x y toename Algebra Anders Parabolen uitwerkingen 1 Versie DD 014 1 Parabolen herkennen opdracht 1. x - -1 0 1 3 y 4 1 0 1 4 9-3 -1 + 1 + 3 +5 toename tt + + + + a) + b) De toename is steeds een nieuwe rand. De randen

Nadere informatie

De klasse van recursief opsombare talen is gesloten onder en. Dit bewijzen we met behulp van een recursieve opsomming

De klasse van recursief opsombare talen is gesloten onder en. Dit bewijzen we met behulp van een recursieve opsomming Recursieve talen De klasse van recursief opsombare talen is gesloten onder en. Echter, het is niet zo dat L recursief opsombaar is voor alle recursief opsombare talen L. Dit bewijzen we met behulp van

Nadere informatie

kan worden vereenvoudigd tot kan worden vereenvoudigd tot 15 16.

kan worden vereenvoudigd tot kan worden vereenvoudigd tot 15 16. Voorkennistoets Met behulp van deze toets kun je voor jezelf nagaan of je voldoende kennis en vaardigheden in huis hebt om het vak wiskunde in het eerste jaar van de studie Bedrijfskunde te kunnen volgen

Nadere informatie

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur Tentamen Discrete Wiskunde 0 april 0, :00 7:00 uur Schrijf je naam op ieder blad dat je inlevert. Onderbouw je antwoorden, met een goede argumentatie zijn ook punten te verdienen. Veel succes! Opgave.

Nadere informatie

VWO finales. versie 1. 28 oktober 2012

VWO finales. versie 1. 28 oktober 2012 VWO finales versie 1 28 oktober 2012 1 1 inleiding De finale van de VWO en de meeste internationale olympiades bestaan uit het bewijzen van vragen. Dit is iets wat men niet meer leert op school en waarbij

Nadere informatie

Onderzoek of de rijen rekenkundig, meetkundig of geen van beide zijn. Geef bij de rekenkundige rijen v en t 7 en bij de meetkundige rijen q en t 7.

Onderzoek of de rijen rekenkundig, meetkundig of geen van beide zijn. Geef bij de rekenkundige rijen v en t 7 en bij de meetkundige rijen q en t 7. Herhalingsoefeningen Rijen Van de opgaven die geel gemarkeerd zijn, vind je achteraan de oplossingen. De oplossingen van de andere mag je steeds afgeven of er vragen over stellen. Oef 1 Onderzoek of de

Nadere informatie

Analytische Meetkunde

Analytische Meetkunde Analytische Meetkunde Meetkunde met Geogebra en vergelijkingen van lijnen 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Meetkunde met Geogebra... 6 Stelling van Thales...... 7 3 Achtergrondinformatie Auteurs

Nadere informatie

11.1 De parabool [1]

11.1 De parabool [1] 11.1 De parabool [1] Algemeen: Het punt F heet het brandpunt van de parabool. De lijn l heet de richtlijn van de parabool. De afstand van F tot l heet de parameter van de parabool. Defintie van een parabool:

Nadere informatie

PTA ATH/GYM 6 Erratum 2012-2013 ATH/GYM 6

PTA ATH/GYM 6 Erratum 2012-2013 ATH/GYM 6 PTA ATH/GYM 6 Erratum 2012-2013 ATH/GYM 6 Nederlands pag. 2 Aardrijkskunde pag. 3 Natuurkunde pag. 4 Wiskunde B pag. 5 1 Vak Nederlands 6 ATH/GYM Het erratum betreft de leerstof van de SE-toetsen en CE

Nadere informatie