Onderzoek of de rijen rekenkundig, meetkundig of geen van beide zijn. Geef bij de rekenkundige rijen v en t 7 en bij de meetkundige rijen q en t 7.

Transcriptie

1 Herhalingsoefeningen Rijen Van de opgaven die geel gemarkeerd zijn, vind je achteraan de oplossingen. De oplossingen van de andere mag je steeds afgeven of er vragen over stellen. Oef 1 Onderzoek of de rijen rekenkundig, meetkundig of geen van beide zijn. Geef bij de rekenkundige rijen v en t 7 en bij de meetkundige rijen q en t , 1, -1, 1, -1, 1, -1, 2. -5, -25, -45, -65, , 90, 60, 30, , - 25, - 75 ; - 375, 5. 22, 0, 0, 0, 0, 6., -2, 4, -8, Oef 2 Volgende figuren worden met lucifers gelegd. 1. Stel de rij op van het aantal lucifers in de opeenvolgende figuren. 2. Stel een expliciete formule op voor de algemene term van deze rij. WP 4.1 Herhalingsoefeningen blz

2 Blz 216 Oef 3 Bepaal een rekenkundige rij waarvan a, b en c termen zijn en waarbij v 1. Geef telkens twee oplossingen. 1. a = 18 ; b = -10 en c = a = 5 ; b = 14 en c = -1 Bepaal een meetkundige rij waarvan a, b en c termen zijn. Geef telkens twee oplossingen. 1. a = 2,5 ; b = 160 en c = a = -18 ; b = -486 en c = -2 Oef 4 De volgende rijen zijn ofwel rekenkundige ofwel meetkundige rijen. Bepaal telkens de drie volgende termen. 1. 0,12 ; 0,24 ; 0,36 ; 2. 2 ; -4 ; 8 ; 3. a ; abc ; ab²c² ; ; -85 ; -65 ; Blz 217 Oef 5 Bereken de gevraagde term. 1. Van een RR is t 7 = 4 en t 11 = 12. Bereken t Van een RR is t 8 = 7 en v = 14. Bereken t Van een MR is t 5 = 6 en t 8 = 384. Bereken t Van een MR is t 4 = 45,5625 en t 6 = 20,25. Bereken t 2. WP 4.1 Herhalingsoefeningen blz

3 Oef 6 Bereken de gevraagde termen. 1. Geef de eerste zes termen van de RR als t 4 = -4 en t 12 = Geef de eerste zes termen van de RR als t 11 = 32 en t 3 = Geef de eerste zes termen van de MR als t 5 = 121,5 en q = Geef de eerste zes termen van de MR als t 6 = 3072 en q = 4. Oef 7 Geef de expliciete formule voor de algemene term van de volgende rijen ; 6 ; 10 ; 14 ; ; -8 ; -13 ; -18 ; 3. 4,1 ; 13,94 ; 47,369 ; 4. 2,6 ; -3,12 ; 3,744 ; Oef 8 1. Zoek de derde term en het verschil van de rekenkundige rij met het volgende voorschrift. t n = 3n - 7 t n = n 3 t n = -2n Zoek de derde term en het quotiënt van de meetkundige rij met het volgende voorschrift. t n = 2.(1,4) n - 1 t n = 0,5.(1,6) n - 1 t n = 2.(0,7) n - 1 WP 4.1 Herhalingsoefeningen blz

4 Oef 9 In de tabel vind je gegevens over rekenkundige rijen. Bereken de ontbrekende elementen. t 1 v n t n s n , ,4 In de tabel vind je gegevens over meetkundige rijen. Bereken de ontbrekende elementen. t 1 q n t n s n Oef 10 De hoeken van een rechthoekige driehoek zijn respectievelijk x, y en z waarbij x, y en z drie opeenvolgende termen zijn van een rekenkundige rij. Bepaal deze hoeken. Oef 11 De hoeken van een driehoek zijn respectievelijk x, y en z waarbij x, y en z drie opeenvolgende termen zijn van een rekenkundige rij. Bepaal deze hoeken als je weet dat de kleinste van deze hoeken 12 is. Oef Stel een formule op om de som van de eerste n natuurlijke veelvouden van 4 te berekenen. 2. Bepaal Oef Stel een formule op om de som van de eerste n natuurlijke machten van 3 te berekenen. 2. Bepaal WP 4.1 Herhalingsoefeningen blz

5 Oef Vul de tabel aan bij enkelvoudige intrest. Beginkapitaal Jaarlijkse rentevoet % % % 2. Vul de tabel aan bij samengestelde intrest. Beginkapitaal Jaarlijkse rentevoet % % % Kapitaal na 5 jaar Kapitaal na 5 jaar Kapitaal na 10 jaar Kapitaal na 10 jaar Oef 15 Volgens een legende vroeg de Perzische koning Shirham ongeveer 1500 jaar geleden aan de wijze Sissa Ben Dahir wat hij als beloning voor uitvinden van het schaakspel wenste. Sissa antwoordde: Majesteit, geef me één graankorrel om op het eerste vakje te leggen, twee graankorrels op het tweede vakje, vier graankorrels op het derde vakje en zo op elk vakje het dubbel van het vorig. Aanvankelijk was de koning beledigdom de bescheiden vergoeding, die de wijze vroeg. Maar zo bescheiden bleek Sissa niet te zijn (Tip: gebruik hier niet je eigen rekentoestel, maar het rekentoesetl van Windows, wat je in de bureau-accessoires vindt. Zo kan je met grotere getallen rekenen. Of google op het internet naar de big number calculator.) 1. Bereken het aantal graankorrels dat op het 10 de vakje zou moeten liggen. 2. Bereken het aantal graankorrels dat op het 32 ste vakje zou moeten liggen. 3. Bereken het aantal graankorrels dat op het laatste, 64 ste vakje zou moeten liggen. 4. Bereken het aantal graankorrels dat op het schaakbord zou moeten liggen. Oef 16 Bij een volksspel worden 10 houten blokjes op een rechte lijn gelegd, met een onderlinge afstand van 2 meter. Het eerste blokje ligt op 2 meter van de startlijn. Elke speler moet zo snel mogelijk alle blokjes één voor één bij de start brengen. Hoeveel meter moet een speler afleggen om de opdracht uit te voeren? WP 4.1 Herhalingsoefeningen blz

6 Oef 17 Karel en Wim doen mee aan een sponsorloop voor het goede doel. Karel krijgt van zijn vader een startpremie van 5 euro en telkens 2 euro voor elke afgelegde ronde. Wim krijgt bij de start 1 euro en 3 euro voor elke afgelegde ronde. 1. Stel voor beiden de expliciete formule op voor het bedrag dat ze verdienen. 2. Na hoeveel ronden verdient Wim meer dan Karel? Oef 18 Een stenen trap heeft in totaal 32 treden. De onderste trede bestaat uit 108 stenen. Elke volgende trede heeft 2 stenen minder dan de vorige. 1. Uit hoeveel stenen bestaat de bovenste trede? 2. Uit hoeveel stenen bestaat de volledige trap? Oef 19 Een leerling legt een toets af met 10 vragen. Vanaf de tweede vraag staat elke vraag op 3 punten meer dan de vorige vraag. Op de zevende vraag staan 20 punten. Op hoeveel punten staat de toets? Oef Voor drie opeenvolgen de termen a, b en c van een meetkundige rij geldt: (a.b.c)² = b 6. Toon aan. 2. Als a, b en c drie reële getallen zijn en, dan zijn a, b en c opeenvolgende termen van een meetkundige rij?. Toon aan. Oef 21 Gegeven de rekenkundige rij t 1, t 2, t 3,, t n-p,, t n,, t n+p, Bewijs dat t n het rekenkundig gemiddelde is van t n-p en t n+p. Oef 22 De zijden van een rechthoekige driehoek zijn termen van een rekenkundige rij met verschil 20. Bereken de zijden van deze driehoek. WP 4.1 Herhalingsoefeningen blz

7 Oef 23 De som van de eerste 15 termen van een rekenkundige rij is 870. Tussen elke twee termen worden er drie termen gevoegd. De rij die je zo bekomt is een nieuwe rekenkundige rij, met dezelfde eerste term. Bereken de som van de termen van deze nieuwe rij te beginnen met t 1 tot en met t 15 van de oorspronkelijke rij. Oef 24 x, y en z zijn drie opeenvolgende termen van een rekenkundige rij. Bewijs dat (x² + xy + y²), (x² + xz + z²) en (y² +yz + z²) ook opeenvolgende termen van een rekenkundige rij zijn. Oef 25 Een werknemer heeft bij de aanwerving in een bedrijf een beginwedde van euro per jaar. Vanaf de leeftijd van 30 tot 50 jaar krijgt hij jaarlijks een weddeverhoging van 4%. Vanaf 51 jaar krijgt hij een jaarlijkse weddeverhoging van 600 euro. Op de leeftijd van 65 jaar krijgt hij een rustpensioen. Vanaf dan ontvangt hij jaarlijks 75% van zijn laatste wedde. 1. Bepaal het jaarsalaris op 40-jarige leeftijd. 2. Bepaal het jaarsalaris op 55-jarige leeftijd. 3. Bepaal het bedrag van zijn rustpensioen. Oef 26 Je gaat kamperen en bij het opslaan van je tent gebruik je haringen van 25 cm. bij de eerste hamerslag dringt de haring 6 cm in de grond. Bij elke volgende slag gaat de haring 25 % minder diep in de grond dan bij de vorige slag. 1. Hoe diep zit de haring na 4 slagen? 2. Hoe dikwijls moet je slaan tot de haring ongeveer 4 cm boven de grond uitsteekt? Oef 27 Iemand moet een schuld aflossen van 1500 euro. Hij lost die schuld af door opeenvolgende betalingen te beginnen met 25 euro. Bij elke volgende afbetaling stort hij 10 euro meer dan de vorige keer. Hoeveel betalingen moet hij doen, en hoeveel moet hij nog betalen bij de laatste afbetaling? WP 4.1 Herhalingsoefeningen blz

8 Oef 28 Tot welke som nadert de som van de oppervlakten van de groene vierkanten als de zijde van het grote vierkant gelijk is aan 4? (Tip: Wanneer je een getal kleiner dan 1 met zichzelf blijft vermenigvuldigen, gaat het product naar 0, dat kan je met je rekentoestel controleren.) Oef 29 In een cirkel met straal r beschrijft men een vierkant. In dat vierkant beschrijft men een cirkel en in deze cirkel eden ander vierkant, enz. 1. Tot welk getal nadert de som van de oppervlakten van deze cirkels? 2. Tot welk getal nadert de som van de oppervlakten van deze vierkanten? WP 4.1 Herhalingsoefeningen blz

9 Wiskunde olympiade 1. In de rij, w, x, y, z, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, is elke term gelijk aan de som van de twee vorige termen. Dan is w gelijk aan: A -3 B -2 C -1 D 2 E 3 2. Beschouw de tabel. rij 1 1 rij rij rij rij De som van alle getallen van rij 1 tot en met rij 1998 is: A 0 B 1 C 999 D 1998 E Je zit in een trein met 49 wagons die genummerd zijn van 1 tot 49, wanneer je merkt dat de som van de nummers lager dan het nummer van je eigen wagon gelijk is aan de som van de nummers hoger dan het nummer van je eigen wagon. In welke wagon zit je dan? A 31 B 32 C 33 D 34 E Als n een natuurlijk getal is, gelegen tussen 1000 en 2000, dan is A B C 1 D 2 E afhankelijk van n 5. Een strook papier verdeel je in 5 gelijke delen. Twee delen bewaar je, één deel gooi je weg en met de overblijvende twee delen herhaal je dezelfde procedure. Hoeveel bewaar je uiteindelijk van de strook wanneer je de procedure blijft herhalen? A B C D E WP 4.1 Herhalingsoefeningen blz

10 Enkele oplossingen Oef , 0, 0, 0, 0, Geen rekenkundige rij want t 2 t 1 t 3 t 2 Wel meetkundige rij met q = 0 t 7 = t 1.q n-1 = 22. (0) 6 = 0 s 7 = t 1. = 22. = 22. = 22 6., -2, 4, -8, Geen rekenkundige rij want t 2 t 1 t 3 t 2 Geen meetkundige rij want Oef 5 2. Van een RR is t 8 = 7 en v = 14. Bereken t 41. t 41 = t 8 + (41-8)v = = 369 Oef 6 3. Geef de eerste zes termen van de MR als t 5 = 121,5 en q = 3. t 1 = Dus: 4,5 ; 13,5 ; 40,5 ; 121,5 ; 364,5 ; 1093,5 Oef ,6 ; -3,12 ; 3,744 ; MR met t 1 = 2,6 en q = -1,2 t n = t 1. q n-1 = 2,6. (-1,2) n-1 WP 4.1 Herhalingsoefeningen blz

11 Oef 11 De hoeken van een driehoek zijn respectievelijk x, y en z waarbij x, y en z drie opeenvolgende termen zijn van een rekenkundige rij. Bepaal deze hoeken als je weet dat de kleinste van deze hoeken 12 is. De andere hoeken zijn 12 + v en v (want rekenkundige rij) De hoeken zijn samen 180, dus v v = v = 180 3v = 144 v = 48 De hoeken zijn 12, 60 en 108. Oef Voor drie opeenvolgen de termen a, b en c van een meetkundige rij geldt: (a.b.c)² = b 6. Toon aan. a = en c = b.q (meetkundige rij) Dus: (a.b.c)² = ( ) = (b 3 ) 2 = b 6 2. Als a, b en c drie reële getallen zijn en, dan zijn a, b en c opeenvolgende termen van een meetkundige rij?. Toon aan. (a+b)(b-c) = (a-b)(b+c) ab ac + b² - bc = ab + ac b² - bc ac + b² = ac b² 2b² = 2ac ac = b² (Deel beide leden door ba) Dus zijn a, b en c opeenvolgende termen van een meetkundige rij, want de verhoudingen van de opeenvolgende getallen zijn constant. WP 4.1 Herhalingsoefeningen blz

12 Oef 28 Tot welke som nadert de som van de oppervlakten van de groene vierkanten als de zijde van het grote vierkant gelijk is aan 4? (Tip: Wanneer je een getal kleiner dan 1 met zichzelf blijft vermenigvuldigen, gaat het product naar 0, dat kan je met je rekentoestel controleren.) Oppervlakte 1 = 2² = 4 Oppervlakte 2 =1² = 1 Oppervlakte 3 = ( )² = Meetkundige rij met t 1 = 4 en q =. We zoeken de som voor n = + : s n = t 1. s = t 1. = 4. = 4. = (Wanneer je een getal kleiner dan 1 met zichzelf blijft vermenigvuldigen, gaat het product naar 0, dat kan je met je rekentoestel controleren.) Deze oplossing is vrij logisch, want de totale oppervlakte gaat naar een derde van de totale oppervlakte van het vierkant. Immers je ziet telkens 3 even grote vierkanten waarvan er één groen is. WP 4.1 Herhalingsoefeningen blz