Netwerkdiagram voor een project. AON: Activities On Nodes - activiteiten op knooppunten

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Netwerkdiagram voor een project. AON: Activities On Nodes - activiteiten op knooppunten"

Transcriptie

1 Netwerkdiagram voor een project. AON: Activities On Nodes - activiteiten op knooppunten Opmerking vooraf. Een netwerk is een structuur die is opgebouwd met pijlen en knooppunten. Bij het opstellen van een netwerk voor je project kun je op twee verschillende manieren te werk gaan. Bij de ene manier geef je activiteiten weer door pijlen, bij de andere manier geef je activiteiten weer door knooppunten. In de praktijk verschilt het gebruik niet zoveel, maar omdat de opzet natuurlijk wel verschilt, behandel ik beide in een afzonderlijke notitie. Deze notitie gaat over de manier waarbij de activiteiten door knooppunten worden weergegeven. In een netwerkdiagram laat je de afhankelijkheden zien tussen de verschillende activiteiten in een project. Het samenstellen is niet erg moeilijk, maar je hebt er een paar handigheidjes bij nodig. Daarover gaat deze notitie. Je leert hoe je: een netwerkdiagram opstelt; het kritieke pad bepaalt; per activiteit de speling bepaalt. Een netwerkdiagram bestaat uit pijlen en knooppunten. De knooppunten stellen activiteiten voor, de pijlen geven aan welke afhankelijkheden er tussen de activiteiten zijn. Vaste knooppunten in een netwerkdiagram zijn Start (voor het begin) en Finish (voor het eind). Ik zal activiteiten aanduiden met de letters A, B, C,... en het knooppunt krijgt de letter van de activiteit die het voorstelt. Er zijn bij een netwerk twee belangrijke begrippen: voorganger en opvolger. Als A een voorganger van B is, dan moet A afgerond zijn voordat je aan B kunt beginnen. B is dan de opvolger van A. Een voorganger heet ook wel directe voorganger of verplichte voorganger. Je hebt bepaald welke activiteiten moeten worden uitgevoerd in je project en hoeveel tijd ze vergen. Maak daar een tabel van en zet ze daarin in volgorde. In volgorde betekent hier dat je een activiteit die voorgangers heeft, in de tabel onder zijn voorgangers zet. Je ziet een voorbeeld in tabel 1. Activiteit Voorganger Tijdsduur (dagen) A - 6 B - 12 C A 5 D A 4 E B en C 8 F D 8 H E 9 1

2 Tabel 1 een eenvoudige activiteitentabel Afhankelijkheden in kaart brengen. We gaan een netwerk tekenen met pijlen en knooppunten. Je geeft een activiteit weer met een rechthoek. In die rechthoek vermeld je enkele kenmerken omtrent die activiteit. Om te beginnen de naam en de tijdsduur, later voegen we daar andere kenmerken aan toe. Wanneer je een netwerkdiagram op deze manier opbouwt, zeggen we dat de activiteiten staan op de knooppunten. Dat kan ook anders, zie daarvoor de notie over netwerken met activiteiten op de pijlen. De pijlen die de knooppunten verbinden dienen om afhankelijkheden aan te geven tussen voorgangers en opvolgers. Bijzondere knooppunten zijn Start aan het begin en Finish aan het eind van het project. Strikt genomen zijn dat geen activiteiten, maar volledigheidshalve nemen we ze toch maar op. Een knooppunt geef je weer door een rechthoek die is verdeeld in compartimenten. Ieder compartiment bevat een kenmerk. Voorlopig beperken we ons tot de naam ( naam in figuur 1) en de tijdsduur ( tijd in figuur 1) van de activiteit die we er mee weergeven.. Zie figuur 1. Figure 1 Begin met het knooppunt Start te tekenen. Kijk daarna in de tabel welke activiteiten geen voorganger hebben. In tabel 1 zijn dat A en B. Activiteiten zonder voorganger hebben alleen Start als voorganger. Je zet A en B rechts van Start en verbindt Start met A respectievelijk B. Zie figuur 2. Figure 2 Bij iedere activiteit zie je de naam en de tijdsduur. De pijlen geven aan dat je A en B kunt beginnen bij de start van het project. TIP: laat de tijd in je netwerk zoveel mogelijk van links naar rechts lopen. Zoek daarna de opvolgers van de activiteiten die in Start beginnen. Daarbij zijn er verschillende 2

3 mogelijkheden. Voor ieder van die mogelijkheden is er een handige manier om ze in het diagram op te nemen. Ik zal de belangrijkste behandelen, ander mogelijkheden kun je dan zelf afleiden. De gemakkelijkste afhankelijkheid is het geval dat een activiteit precies één voorganger heeft. Begin altijd met zoveel mogelijk deze solo-voorgangers te verwerken. Voorbeeld uit tabel 1: activiteit C met voorganger A. Ook activiteit D heeft één voorganger (dat is A) evenals de activiteiten F (met voorganger D) en H (met voorganger E). Begin met een knooppunt te tekenen voor C. Dat knooppunt verbind je met knooppunt A om aan te geven dat C pas kan worden gedaan als A is afgerond. Teken een daarna een knooppunt voor D en verbindt die ook door middel van een pijl met A.. Voor H kun je wel tekenen, maar omdat je E nog niet hebt getekend, kun je die nog niet verbinden. Dan is het handiger een activiteit nog niet te tekenen. Maar als je D hebt getekend, heeft het zin F te tekenen en een pijl van D naar F te trekken. Met F heb je iets bijzonders te pakken. In de tabel kun je zien dat F geen opvolgers heeft. Dat betekent dat F eindigt in knooppunt Finish. Dus kun je nu ook een pijl van F naar Finish trekken. Zie figuur 3. Figure 3 Een tweede vorm van afhankelijkheid is dat een activiteit twee of meer voorgangers heeft. Dat kun je gemakkelijk weergeven door op de goede manier pijlen te trekken. Een voorbeeld is E met voorgangers B en C. Je tekent het knooppunt E en verbindt B en C met E door middel van twee pijlen. Tenslotte teken je H en verbindt die met E als voorganger en met Finish. Zie figuur 4. Zorg ervoor dat pijlen in een diagram elkaar zo min mogelijk snijden. Figure 4 3

4 Het verbinden van activiteiten gaat dus heel simpel. Een stuk simpeler dan wanneer je de activiteiten op de pijlen zet. De tijd inbrengen. Tot nu toe hebben we alleen maar gekeken naar afhankelijkheden. Nu gaan we de tijd in het schema brengen. Daarvoor gebruik je de verschillende compartimenten in een knooppunt. Zie figuur 5. Figure 5 Naast Naam en Tijd bevat een knooppunt nog de volgende kenmerken van een activiteit. Het zijn: Vroegst Mogelijke Start (VS), het tijdstip waarop op zijn vroegst met de activiteit kan worden begonnen; Vroegst Mogelijke Einde (VE), het tijdstip waarop de activiteit op zijn vroegst kan worden afgerond; Laatst Mogelijke Start (LS), het uiterste tijdstip waarop de activiteit moet zijn begonnen; Laatst Mogelijke Einde (LE), het laatst mogelijk tijdstip waarop de activiteit moet zijn afgerond; Speling (SP), de ruimte die er is tussen vroegst mogelijke start en laatst mogelijke start. De termen Vroegst Mogelijke Start, Laatst Mogelijke Start et cetera zijn nogal omslachtig. Vandaar dat ik liever Vroegste Start, Laatste Start enzovoorts gebruik. Dat is wat versluierend taalgebruik, want een activiteit hoeft natuurlijk niet te starten op het Vroegst Mogelijke tijdstip. Een voorbeeld. Stel je hebt vier activiteiten, A, B, C en D. Activiteit A is voorganger van B en C, B en C zijn voorganger van D. A duurt 5 dagen, B duurt 8 dagen, C duurt 16 dagen en D duurt 3 dagen. A heeft geen voorgangers en begint dus in Start. A is voorganger van B en C en dus beginnen B en C waar A eindigt. B en C hebben D als opvolger. D heeft geen opvolger en eindigt dus in Finish. Het netwerk wordt dan zoals in figuur 6. In de knooppunten zie je de naam en de tijdsduur (midden boven). Trek je nog even niets aan van de andere getallen. Figure 6 4

5 Nadat de knooppunten op basis van hun onderlinge afhankelijkheid in het diagram zijn gezet, beginnen we met het bepalen van het Vroegst Mogelijke Start (VS) van iedere activiteit. Daartoe begin je in start en werkt van links naar rechts langs de pijlen. Alle activiteiten die direct zijn verbonden met Start krijgen als VS dag 1. Dat getal zet je linksboven in het knooppunt. Daarna bereken je het Vroegst Mogelijke Einde (VE). Daarvoor geldt de formule VE = VS + tijdsduur -1. De waarde voor VE zet je rechtsboven in het knooppunt. Activiteit A komt direct na Start. De vroegste start is dus dag 1 en het vroegste einde is dag 5. Dat betekent dat je mijlpaal 2 op zijn vroegst kunt afronden op dag 5. Nadat je alle knooppunten die met Start zijn verbonden, hebt afgewerkt, neem je de andere activiteiten. In dit geval zijn dat activiteiten B, C en D. Met D kun je nog even niets, want je moet eerst de waarden bij B en C berekenen. Activiteit B kan beginnen als activiteit A is afgerond. Dus de vroegste start VS van B is op dag 6. B vergt 8 dagen, dus het vroegste einde VE is op dag 13. Net bereken je dat voor activiteit C geldt VS = 6 en VE = 21. Bij activiteit D ligt het complexer. D hangt af van B èn van C. Wat activiteit B betreft, die is op zijn vroegst afgerond op dag 13. Dus lijkt het alsof je D kunt beginnen op dag 14. Maar dat is niet zo, want dan is C nog niet afgerond. Dus D kun je niet eerder beginnen dan op dag 22, want C is op zijn vroegst pas afgerond op dag 21. De tijdsduur van D is 3 dagen, dus VE = 23. Samengevat: De activiteiten die alleen afhangen van Start beginnen op zijn vroegst op dag 1, de andere activiteiten beginnen als alle voorgangers zijn afgerond. Formeel bepaal je de VS als volgt. Kies een activiteit. Bepaal voor alle activiteiten die er direct aan voorafgaan het tijdstip waarop ze op zijn vroegst klaar kunnen zijn. Kies uit de berekende tijdstippen het laatste tijdstip. Dat bepaalt de VS van de activiteit. De VE van het knooppunt bereken je met VE = VS + tijdsduur -1. Als je bij alle knooppunten de VS en VE hebt ingevuld, is het tijd voor de Laatst Mogelijke Start (LS) en het Laatst Mogelijke Einde (LE). Met het Laatst Mogelijke Einde LE geven we het uiterste tijdstip aan waarop een activiteit moet zijn afgerond om je project nog op tijd af te kunnen krijgen. Voor het berekenen van LE rekenen we vanaf Finish terug naar Start. Neem als voorbeeld weer de activiteiten A, B, C en D uit figuur 6. De laatste activiteit is D en die eindigt op dag 19. Dus de Finish van je project is op dag 19. Om die dag te halen moet activiteit D tenminste eindigen op dag 19 (Sorry, dit is wat triviaal, maar dan is het principe tenminste duidelijk). Dat is het Laatst Mogelijke Einde LE van D. Omdat D drie dagen tijd vergt, moet je D dus uiterlijk op dag 16 beginnen. Dat is dus de Laatst Mogelijke Start LS van D. De twee waarden vul je in het knooppunt in: de LE rechtsonder, de LS linksonder. Nu kun je ook de speling invullen. De speling is het verschil tussen de VS en de LS van een activiteit. Voor activiteit D is de speling nul, want VS = LS. Voor alle activiteiten die zijn verbonden met Finish geldt dat de LE gelijk is aan de einddatum van je project. Als je die activiteiten hebt afgewerkt, ga je verder met de andere activiteiten. Daarbij moet je terug rekenen van Finish naar Start in je schema. De activiteiten B en C sluiten aan op D. Activiteit D moet op zijn laatst beginnen op dag 22, dus B moet op zijn laatst klaar zijn op dag 21. Dus bij B geldt LE = 21. Omdat B 8 dagen vergt, moet je dus uiterlijk op dag 14 beginnen. Bij B geldt dus LS = 14. De speling bij B is dan 8 dagen, dat is het verschil tussen VS en LS. Op dezelfde manier bereken je bij C een LE van 21 en een LS van 6. Bij C geeft dat een 5

6 speling nul. Als je de waarden bij B en C hebt berekend, kun je tenslotte de waarden bij A berekenen. Maar pas op, voor het bepalen van de LE van A moet je kijken naar B èn C. Afgaande op B kun je concluderen dat de LE van A 13 is. Maar dat is niet zo, want als je A pas op dag 13 afrond, kom je bij C tijd tekort. Daarom krijgt de LS van A de waarde 5. Dan kun je op dag 6 beginnen aan C, dat is precies de LS van C. Omdat bij A geldt VS = LS = 1 heb je bij A een speling van nul. Formeel bepaal je de LS en de LE als volgt. Kies een activiteit. Bepaal voor alle activiteiten die er direct op volgen het tijdstip waarop ze op zijn laatst moeten beginnen (de LS dus). Kies uit de berekende tijdstippen het vroegste tijdstip. Dat bepaalt de LE van de activiteit. De LS bereken je dan met LS = LE - tijdsduur +1. De speling is dan het verschil tussen VS en LS. Nu heb je alle waarden bepaald die je nodig hebt om het hele netwerkdiagram te tekenen en in te vullen zoals in figuur 6 is gebeurd. Een opmerking nog over het bepalen van VS, VE, LS en LE. Een activiteit kan niet eerder starten dan dat de voorgaande activiteiten zijn afgerond. Dus de Vroegste Start (VS) sluit aan op de laatste VE van de voorafgaande activiteiten. Voor dat aansluiten kun je twee manieren volgen. Je kunt zeggen dat de VS van een activiteit gelijk is aan de VE van de voorafgaande activiteit. Dan is de VS van activiteit A in figuur 6 dus 0. Maar je kunt ook zeggen dat als een activiteit op een bepaalde dag wordt afgerond, de opvolger pas de volgende dag kan beginnen. Voor beide manieren valt iets te zeggen, ik heb hier de tweede manier gevolgd. Activiteit A heeft dan zijn vroegste start op dag 1. Het vroegste eind bereken je met de formule VE = VS + tijdsduur - 1. Als een activiteit a dagen vereist, en je begint op dag n, dan ben je op zijn vroegst klaar op tijdstip n + a - 1. Als je de VS van een activiteit gelijk stelt aan de VE van de voorgaande activiteit, dan wordt de formule VE = VS + tijdsduur. Bijvoorbeeld krijgt Activiteit A dan VS = 0. De VE bij A blijft 6. Het Laatste Einde (LE) van een activiteit hangt af van de Laatst Mogelijke Start (LS) van de opvolgende activiteit. Een activiteit moet uiterlijk klaar zijn voorafgaand aan de LS de opvolger. Neem als voorbeeld activiteit C in figuur 6. C heeft als opvolger D. D heeft LS = 22. Dat betekent dat activiteit D uiterlijk klaar moet zijn op dag 21, anders kun je niet beginnen aan D op dag 22. Voor activiteit D geldt dus LE = 21. Als je dat weet, dan kun je de LS van D bepalen met de formule LS = LE - tijdsduur - 1. Die formule ligt voor de hand: als D klaar moet zijn op dag 21 en D vergt 16 dagen, dan moet je uiterlijk beginnen op dag 6. Ook hier geldt weer dat als je de andere manier gebruikt, de formule wordt: LS = LE - tijdsduur. Dan zou je dus als Laatste Start voor D dag 5 krijgen. Het Kritieke Pad. Voor elke activiteit weet je nu op welk tijdstip je die op zijn vroegst kunt afronden (dat is de VE) en wanneer die uiterlijk moet zijn afgerond (dat is de LE). Het verschil tussen LE en VE (of tussen LS en VS) is de speling die je bij die activiteit hebt. In een ingevuld netwerkdiagram kun 6

7 je daarmee heel gemakkelijk het kritieke pad herkennen. Op het kritieke pad heb je geen speling. In een knooppunt zonder speling zijn VE en LE gelijk aan elkaar. Daarom wordt het kritieke pad gevormd door de lijn die alle activiteiten verbindt waar VE en LE aan elkaar gelijk zijn en waar dus de speling nul is. In figuur 6 is bij de activiteiten A, C en D de speling gelijk aan nul. Dat is dus het kritieke pad. Als een of meer van die activiteiten uitloopt, duurt je project langer. Bij activiteit B heb je wel speling, als B langer duurt dan gepland hoeft dat nog geen verlenging van je project te betekenen. De knooppunten Start en Finish behoren altijd tot het kritieke pad. Houd er rekening mee dat een project meer dan één kritiek pad kan hebben. 7

8 Als voorbeeld om uit te werken nemen we de activiteiten uit tabel 2. Activiteit Voorganger Tijdsduur(dagen) A - 6 B - 12 C A 5 D A 4 E B en C 8 F C 8 G F 7 H E en F 5 I E 9 J D 3 Tabel 2 De uitwerking in een netwerkdiagram zie je in figuur 7. Figure 7 Het kritieke pad loopt langs B - E - I. Dat zie je aan de speling bij die activiteiten, die is gelijk aan nul. Let ook eens op de speling bij andere activiteiten. Bijvoorbeeld de activiteiten A en C. De speling is daar slechts één dag. Dat betekent dat als B iets eerder klaar is dan gepland of als A of 8

9 C iets langer duren dan gepland, het kritieke pad wel eens langs de weg A - C kan komen te liggen. Reken maar eens na hoe het kritieke pad komt te liggen als de tijdsduur van B 10 dagen is. Het is belangrijk altijd alle warden in te vullen bij elke activiteit. Als je bijvoorbeeld alleen de speling zou invullen bij activiteiten op het kritieke pad, dan mis je misschien andere kritische activiteiten met geringe speling. Let ook eens op het verschil tussen activiteiten C en F. Bij C heb je 1 dag speling, bij F ineens 3 dagen. Dat komt omdat de route F - G 15 dagen nodig heeft en de route E -I 17 dagen. Bij F - G win je dus twee dagen. Houd er overigens wel rekening mee dat wanneer zowel bij F als bij G staat dat de speling drie dagen is, dat niet betekent dat je bij beide activiteiten drie dagen kunt vermorsen. Het betekent dat je op het traject F-G in totaal drie dagen speling hebt. Een netwerkdiagram kan je een hoop leren over waar je problemen kunt verwachten. In tabel 3 zie je de gegevens nog eens per activiteit samengevat. Activiteit Voorganger Tijdsduur (dagen) Vroegste Start Vroegste Einde Laatste Start Laatste Einde Speling A B C A D A E B en C F C G F H E en F I E J D Tabel 3 De uitgebreide activiteitentabel en het netwerkdiagram vullen elkaar goed aan en vormen een goede basis voor controle over en weer. Het is handig in de tabel het kritieke pad te markeren. Eventueel kun je activiteiten die weinig speling hebben ook markeren om aan te geven dat daar het gevaar loert dat ze op het kritieke pad komen te liggen. Variabele schattingen De schatting van een tijdsduur van een activiteit is altijd een schatting. Soms wordt daar wat meer de nadruk op gelegd door bij een geschatte tijdsduur drie waarden op te geven: een optimistische 9

10 schatting (O), een meest waarschijnlijke schatting (M) en een pessimistische schatting (P). De Optimistische (O) is de kortst mogelijke tijd, de Meest Waarschijnlijke (M) is wat we denken dat het wordt en de Pessimistische (P) is de langste schatting. In plaats van de berekeningen te doen met de gegeven tijdsduur, gebruik je hier uit van de verwachte tijdsduur. Natuurlijk mag je ook de drie schattingen gebruiken voor het maken van drie verschillende planningen: een optimistische, een meest waarschijnlijke en een pessimistische. De verwachte tijdsduur geef je aan met E(t) en de formule er voor luidt: De verwachte tijdsduur is dus een gewogen gemiddelde van de drie gegeven schattingen. De coëfficiënten bij O respectievelijk M respectievelijk P heten de gewichten. Als je zou willen, mag je de gewichten veranderen, bijvoorbeeld door de pessimistische schatting wat zwaarder te laten wegen. Houd er rekening mee dat de noemer in de formule de som van de gewichten moet zijn. Bij de verwachte tijdsduur hoort ook een variantie. Het symbool daarvoor is Var(t) en de formule luidt: De wortel uit de variantie is de standaarddeviatie (sigma). Voor geldt dus de formule: Met verwachte tijdsduur, variantie en standaarddeviatie kun je kansen toekennen aan de tijdsduur van je hele project. Maar dat gaat hier te ver. 10

11 Bijlage. Voorbeeld Hieronder volgt een tabel met activiteiten, afhankelijkheden en tijdsduren voor een project. Als oefening kun je de volgende opdrachten maken. Maak een netwerkdiagram voor dit project. Nummer de knooppunten en bepaal bij ieder de VA en de LA. Bepaal het kritieke pad en de minimale tijdsduur van het project. Vul daarna de kolommen vroegste start tot en met speling in. Controleer het diagram met de tabel. Ga na welke activiteiten weinig speling hebben en wat er gebeurt als zo n activiteit uitloopt in de tijd. Verandert dan het kritieke pad? Activiteit Hint directe voorganger(s) tijd in dagen vroegste start vroegste einde laatste start laatste einde speling A 1-8 B 2-4 C 3-12 D 4 A 7 E 5 A 5 F 8 B en C 3 G 9 B en C 4 H 7 B 5 I 11 F 8 J 13 F en G 5 K 12 G 7 L 10 H 7 M 14 H en I 8 N 15 H, I en J 9 O 16 H, I, J en K 6 P 6 D 3 Hint: In de kolom Hint staat de volgorde waarin ik het netwerk heb getekend. Je hoeft die volgorde niet aan te houden, het kan ook ietsje anders. De antwoorden staan op de volgende bladzijden. 11

12 Tabel met antwoorden Activiteit Hint directe voorganger(s) tijd in dagen vroegste start vroegste einde laatste start laatste einde speling A B C D 4 A E 5 A F 8 B en C G 9 B en C H 7 B I 11 F J 13 F en G K 12 G L 10 H M 14 H en I N 15 H, I en J O 16 H, I, J en K P 6 D Kritieke pad: C - F - I - N Lengte kritieke pad = = 32 dagen 12

13 Figure 8 Netwerkdiagram AON 13

Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen.

Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Opmerking vooraf. Een netwerk is een structuur die is opgebouwd met pijlen en knooppunten. Bij het opstellen van

Nadere informatie

Project Management (H 9.8 + H 22 op CD-ROM)

Project Management (H 9.8 + H 22 op CD-ROM) Project Management (H 9.8 + H 22 op CD-ROM) CPM (Critical Path Method) Activiteiten met afhankelijkheden en vaste duur zijn gegeven. CPM bepaalt de minimale doorlooptijd van het project. PERT (Program

Nadere informatie

Uitwerkingen oefenopdrachten or

Uitwerkingen oefenopdrachten or Uitwerkingen oefenopdrachten or Marc Bremer August 10, 2009 Uitwerkingen bijeenkomst 1 Contact Dit document is samengesteld door onderwijsbureau Bijles en Training. Wij zijn DE expert op het gebied van

Nadere informatie

Sterrenwerk. Rekenen. voor 9-11 jaar. combineren en visualiseren 2

Sterrenwerk. Rekenen. voor 9-11 jaar. combineren en visualiseren 2 Sterrenwerk Rekenen voor 9-11 jaar combineren en visualiseren 2 2 Hexomino s 1 Die dekselse figuren van zes! Deze figuren bestaan uit zes vierkanten die elkaar met ten minste een zijde raken. Ze heten

Nadere informatie

Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A

Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Omtrek en oppervlakte (1) Werkblad 1 Van een rechthoek die mooi in het rooster past zijn lengte en breedte hele getallen. Lengte en breedte zijn samen gelijk

Nadere informatie

Les E-03 Kritieke pad problemen in projecten

Les E-03 Kritieke pad problemen in projecten Les E-03 Kritieke pad problemen in projecten 3.1 Projecten beheersen Projecten bestaan vaak uit meerdere deelactiviteiten. Deze activiteiten beslaan een bepaalde tijd. Daarnaast kunnen sommige activiteiten

Nadere informatie

BOUWschriftje. Onderwerp: Netwerkplanning Rekenmethode van Precedence. Publicatiedatum: 10 juni 2013

BOUWschriftje. Onderwerp: Netwerkplanning Rekenmethode van Precedence. Publicatiedatum: 10 juni 2013 OUWschriftje Onderwerp: Netwerkplanning Inhoud: Rekenmethode van Precedence Omvang: pag. Publicatiedatum: 1 juni 1 uteur: Goost Info: Voor het aansturen van bouwwerken worden veelal staafschema s (Gantt)

Nadere informatie

Hoe kun je de weerstand van voorwerpen vergelijken en bepalen?

Hoe kun je de weerstand van voorwerpen vergelijken en bepalen? werkblad experiment 4.5 en 5.4 (aangepast) naam:. klas: samen met: Hoe kun je de weerstand van voorwerpen vergelijken en bepalen? De weerstand R van een voorwerp is te bepalen als men de stroomsterkte

Nadere informatie

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn.

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn. 2. Verbanden Verbanden Als er tussen twee variabelen x en y een verband bestaat kunnen we dat op meerdere manieren vastleggen: door een vergelijking, door een grafiek of door een tabel. Stel dat het verband

Nadere informatie

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER

Nadere informatie

Excel. Inleiding. Het meest gebruikte spreadsheet programma is Excel.

Excel. Inleiding. Het meest gebruikte spreadsheet programma is Excel. Excel Inleiding Het woord computer betekent zoiets als rekenmachine. Daarmee is is eigenlijk aangegeven wat een computer doet. Het is een ingewikkelde rekenmachine. Zelf voor tekstverwerken moet hij rekenen.

Nadere informatie

8.1 Rekenen met complexe getallen [1]

8.1 Rekenen met complexe getallen [1] 8.1 Rekenen met complexe getallen [1] Natuurlijke getallen: Dit zijn alle positieve gehele getallen en nul. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... Het symbool voor de natuurlijke getallen is Gehele getallen: Dit zijn

Nadere informatie

Deel C. Breuken. vermenigvuldigen en delen

Deel C. Breuken. vermenigvuldigen en delen Deel C Breuken vermenigvuldigen en delen - 0 Sprongen op de getallenlijn. De sprongen op de getallenlijn zijn even groot. Schrijf passende breuken of helen bij de deelstreepjes. 0 Welk eindpunt wordt bereikt

Nadere informatie

In het volgende overzicht geven we per oefening de doelen van het vakgebied mee die met de verschillende contractoefeningen bereikt kunnen worden.

In het volgende overzicht geven we per oefening de doelen van het vakgebied mee die met de verschillende contractoefeningen bereikt kunnen worden. thema 5 Info voor de leerkracht 3 Het link.mundopakket heeft als doel om vanuit wereldoriëntatie de stap te zetten naar taal en wiskunde aan de hand van een contractwerkbundel gekaderd in een wereldoriëntatiethema.

Nadere informatie

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn.

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn. Verbanden Als er tussen twee variabelen x en y een verband bestaat kunnen we dat op meerdere manieren vastleggen: door een vergelijking, door een grafiek of door een tabel. Stel dat het verband tussen

Nadere informatie

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] 4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 x 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5 x -3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 x 3 = -15 Afspraak: In plaats

Nadere informatie

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde

Nadere informatie

Praktische toepassing van functies

Praktische toepassing van functies Excellerend Heemraadweg 21 2741 NC Waddinxveen 06 5115 97 46 richard@excellerend.nl BTW: NL0021459225 ABN/AMRO: NL72ABNA0536825491 KVK: 24389967 Praktische toepassing van functies De laatste twee functies

Nadere informatie

Rekenen en wiskunde ( bb kb gl/tl )

Rekenen en wiskunde ( bb kb gl/tl ) Tussendoelen Rekenen en wiskunde Rekenen en wiskunde ( bb kb gl/tl ) vmbo = Basis Inzicht en handelen Vaktaal wiskunde Vaktaal wiskunde gebruiken voor het ordenen van het eigen denken en voor uitleg aan

Nadere informatie

2.1 Kennismaken met breuken. 2.1.1 Deel van geheel. Opdracht 1 Welk deel van deze cirkel is zwart ingekleurd?

2.1 Kennismaken met breuken. 2.1.1 Deel van geheel. Opdracht 1 Welk deel van deze cirkel is zwart ingekleurd? Oefenopdrachten hoofdstuk Gebroken getallen RekenWijzer, oefenopdrachten hoofdstuk Gebroken getallen. Kennismaken met breuken.. eel van geheel Opdracht Welk deel van deze cirkel is zwart ingekleurd? deel

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Steekproefmodellen en normaal verdeelde steekproefgrootheden 5. Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg

Nadere informatie

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

inhoudsopgave januari 2005 handleiding algebra 2

inhoudsopgave januari 2005 handleiding algebra 2 handleiding algebra inhoudsopgave Inhoudsopgave 2 De grote lijn 3 Bespreking per paragraaf 1 Routes in een rooster 4 2 Oppervlakte in een rooster 4 3 Producten 4 4 Onderzoek 5 Tijdpad 9 Materialen voor

Nadere informatie

Excel opdracht: Belkosten

Excel opdracht: Belkosten Excel opdracht: Belkosten In deze opdracht gaan we Excel gebruiken om uit te vinden wat het meest geschikte mobiele telefoonabonnement voor ons is. Hierbij willen we kijken wat een aantal verschillende

Nadere informatie

Significante cijfers en meetonzekerheid

Significante cijfers en meetonzekerheid Inhoud Significante cijfers en meetonzekerheid... 2 Significante cijfers... 2 Wetenschappelijke notatie... 3 Meetonzekerheid... 3 Significante cijfers en meetonzekerheid... 4 Opgaven... 5 Opgave 1... 5

Nadere informatie

Examen HAVO en VHBO. Wiskunde A

Examen HAVO en VHBO. Wiskunde A Wiskunde A Examen HAVO en VHBO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Vooropleiding Hoger Beroeps Onderwijs HAVO Tijdvak 1 VHBO Tijdvak 2 Donderdag 25 mei 13.30 16.30 uur 20 00 Dit examen bestaat uit 19 vragen.

Nadere informatie

Rekentijger - Groep 6 Tips bij werkboekje A

Rekentijger - Groep 6 Tips bij werkboekje A Rekentijger - Groep 6 Tips bij werkboekje A Puzzelvierkanten Werkblad 1 Vierkant linksboven Zoek eerst uit hoeveel één hartje waard is. Daarna kun je ook berekenen hoeveel een rondje waard is. Vierkant

Nadere informatie

Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo

Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Domein A: Inzicht en handelen Subdomein A1: Vaktaal wiskunde 1. vmbo passende vaktaal voor wiskunde herkennen en gebruiken voor het ordenen van het eigen denken

Nadere informatie

VAARDIGHEDEN EXCEL. MEETWAARDEN INVULLEN In de figuur hieronder zie je twee keer de ingevoerde meetwaarden, eerst ruw en daarna netjes opgemaakt.

VAARDIGHEDEN EXCEL. MEETWAARDEN INVULLEN In de figuur hieronder zie je twee keer de ingevoerde meetwaarden, eerst ruw en daarna netjes opgemaakt. VAARDIGHEDEN EXCEL Excel is een programma met veel mogelijkheden om meetresultaten te verwerken, maar het was oorspronkelijk een programma voor boekhouders. Dat betekent dat we ons soms in bochten moeten

Nadere informatie

Breuken met letters WISNET-HBO. update juli 2013

Breuken met letters WISNET-HBO. update juli 2013 Breuken met letters WISNET-HBO update juli 2013 De bedoeling van deze les is het repeteren met pen en papier van het werken met breuken. Steeds wordt bij gebruik van letters verondersteld dat de noemers

Nadere informatie

Combinatoriek en rekenregels

Combinatoriek en rekenregels Combinatoriek en rekenregels Les 2: Roosters en ongeordende grepen (deze les sluit aan bij de paragrafen 3 en 4 van Hoofdstuk 1 Combinatoriek en Rekenregels van de Wageningse Methode, http://www.wageningsemethode.nl/methode/het-lesmateriaal/?s=y456v-d)

Nadere informatie

Excel opdracht: Belkosten

Excel opdracht: Belkosten Excel opdracht: Belkosten In deze opdracht gaan we Excel gebruiken om uit te vinden wat het meest geschikte mobiele telefoon abonnement voor ons is. Hierbij willen we kijken wat een aantal verschillende

Nadere informatie

Een planning maken in Excel (handmatige opmaak)

Een planning maken in Excel (handmatige opmaak) Een planning maken in Excel (handmatige opmaak) Deze handleiding is gebaseerd op Excel 2007 en Excel 2010. Bij nieuwere versies van Excel werkt het op dezelfde manier, maar ziet het beeld er soms net even

Nadere informatie

Toets gecijferdheid december 2004

Toets gecijferdheid december 2004 Toets gecijferdheid december 2004 Naam: Klas: score: Datum: Algemene aanwijzingen: - Noteer alle berekeningen en oplossingen in dit boekje - Blijf niet te lang zoeken naar een oplossing - Denk aan de tijd

Nadere informatie

SNEL WERKEN MET EXCEL

SNEL WERKEN MET EXCEL SNEL WERKEN MET EXCEL 2013 Computertraining voor 50-plussers PC50plus computertrainingen Eikbosserweg 52 1214AK Hilversum tel: 035 6213701 info@pc50plus.nl www.pc50plus.nl Snel werken met Excel C O M P

Nadere informatie

Werkblad Cabri Jr. Vermenigvuldigen van figuren

Werkblad Cabri Jr. Vermenigvuldigen van figuren Werkblad Cabri Jr. Vermenigvuldigen van figuren Doel Het onderzoeken van de vermenigvuldigingsafbeelding (homothetie) en het bekijken van de relaties tussen het origineel en het beeld van een meetkundige

Nadere informatie

Uitleg: In de bovenstaande oefening zie je in het eerste blokje een LEES en een SCHRIJF opdracht. Dit is nog lesstof uit het tweede trimester.

Uitleg: In de bovenstaande oefening zie je in het eerste blokje een LEES en een SCHRIJF opdracht. Dit is nog lesstof uit het tweede trimester. In onderstaande oefeningen zijn kleuren gebruikt. Deze dienen aleen om de structuren makkelijker terug te kunnen herkennen. Ze worden niet standaard zo gebruikt. De dunne rood/roze balken zijn ook geen

Nadere informatie

Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden

Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen

Nadere informatie

Logische schakelingen

Logische schakelingen Logische schakelingen Logische schakelingen Stel: we maken een schakeling met twee schakelaars en één lamp. Dan kunnen we dat op de volgende manieren doen: We maken een serieschakeling van de twee schakelaars:

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 25 mei uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 25 mei uur Wiskunde B Profi Eamen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Donderdag 25 mei 3.30 6.30 uur 20 00 Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punten met een

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde B1

Examen HAVO. Wiskunde B1 Wiskunde B1 Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 21 juni 13.30 16.30 uur 20 00 Dit examen bestaat uit 21 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punten met een

Nadere informatie

Domein A: Inzicht en handelen

Domein A: Inzicht en handelen Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Preambule Domein A is een overkoepeld domein dat altijd in combinatie met de andere domeinen wordt toegepast (of getoetst). In domein A wordt benoemd: Vaktaal: het

Nadere informatie

1. Rekenen en formules

1. Rekenen en formules 9 1. Rekenen en formules Microsoft Excel is een zogenaamd spreadsheetprogramma. Het woord spreadsheet is zo n typische computerterm die u pas gaat begrijpen als u met zo n programma werkt. Te vertalen

Nadere informatie

Opdrachtbladen (I) Hoe komt een formule tot stand?

Opdrachtbladen (I) Hoe komt een formule tot stand? Opdrachtbladen (I) Hoe komt een formule tot stand? Adriaan Herremans Dag van de wiskunde Kortrijk 14/11/2015 Hieronder vinden jullie opdrachten. Je werkt samen met je buur en kan overleggen met je overburen.

Nadere informatie

Een boekje met wiskundige vragen en opdrachten voor Havo 3

Een boekje met wiskundige vragen en opdrachten voor Havo 3 Een boekje met wiskundige vragen en opdrachten voor Havo 3 Gemaakt door: Harm Bakker Peter Vaandrager April 2002. Met dank aan mevr.o. De Meulemeester van KSO Glorieux uit Ronse in België. Geschiedenis

Nadere informatie

Toetswijzer examen Cool 2.1

Toetswijzer examen Cool 2.1 Toetswijzer examen Cool 2.1 Cool 2.1 1 Getallenkennis: Grote natuurlijke getallen 86 a Ik kan grote getallen vlot lezen en schrijven. 90 b Ik kan getallen afronden. 91 c Ik ken de getalwaarde van een getal.

Nadere informatie

Het Land van Oct. Marte Koning Frans Ballering. Vierkant voor Wiskunde Wiskundeclubs

Het Land van Oct. Marte Koning Frans Ballering. Vierkant voor Wiskunde Wiskundeclubs Het Land van Oct Marte Koning Frans Ballering Vierkant voor Wiskunde Wiskundeclubs Hoofdstuk 1 Inleiding Hoi, ik ben de Vertellende Teller, en die naam heb ik gekregen na mijn meest bekende reis, de reis

Nadere informatie

Handleiding Excel. bij. hoofdstuk 18 Cijfers in Orde Wageningse Methode

Handleiding Excel. bij. hoofdstuk 18 Cijfers in Orde Wageningse Methode Handleiding Excel bij hoofdstuk 18 Cijfers in Orde Wageningse Methode oktober 2008 1 Excel (Nederlandtalig) Excel is een programma dat snel allerlei berekeningen kan uitvoeren. Ook kan het programma gemakkelijk

Nadere informatie

5.1 Lineaire formules [1]

5.1 Lineaire formules [1] 5.1 Lineaire formules [1] Voorbeeld : Teken de grafiek van y = 1½x - 3 Stap 1: Maak een tabel met twee coördinaten van deze lijn: x 0 2 y -3 0 Stap 2: Teken de twee punten en de grafiek: 1 5.1 Lineaire

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde C. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde C. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen VWO Wiskunde C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek I Tjing Opgave 1. Het aantal hoofdstukken in de I Tjing correspondeert met het totale aantal

Nadere informatie

Handleiding LVS-bestand

Handleiding LVS-bestand Tabblad Niveaus 1. Leerlingen(groepen) invoeren. 2. Nieuwe leerling toevoegen. 3. Leerlingen verwijderen. 4. Behaalde niveaus invoeren. Tabblad Gemiddelden 1. Waarom dit tabblad? 2. Opmerking toevoegen.

Nadere informatie

Bij de volgende vragen Bij een regelmatige veelhoek kun je het gemakkelijkst eerst de buitenhoeken berekenen en daarna pas de binnenhoeken.

Bij de volgende vragen Bij een regelmatige veelhoek kun je het gemakkelijkst eerst de buitenhoeken berekenen en daarna pas de binnenhoeken. Rood-wit-blauw werkblad 1 Bij het hele werkblad: Alle rode getallen zijn deelbaar door hetzelfde getal. Elk wit getal is gelijk aan een rood getal + 1, elk blauw getal aan een rood getal + 2 Russisch vermenigvuldigen

Nadere informatie

Trillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude

Trillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude Trillingen en geluid wiskundig 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude 1 De sinus van een hoek Eenheidscirkel In de figuur hiernaast

Nadere informatie

Lesbrief: Safe! Thema: Mens & Dienstverlenen aan het werk

Lesbrief: Safe! Thema: Mens & Dienstverlenen aan het werk Lesbrief: Safe! Thema: Mens & Dienstverlenen aan het werk Copyright Stichting Vakcollege Groep 2015. Alle rechten voorbehouden. Inleiding Ongelukken, kleine hoekjes, ogenblikken... Een ongeluk zit in een

Nadere informatie

5. Functies. In deze module leert u:

5. Functies. In deze module leert u: 5. Functies In deze module leert u: - Wat functies zijn; - Functies uitvoeren; - De verschillende functies van Calc kennen. - Naar een ander werkblad verwijzen. U kunt eenvoudige berekeningen, zoals aftrekken,

Nadere informatie

Vergelijkingen met wortelvormen

Vergelijkingen met wortelvormen Vergelijkingen met wortelvormen WISNET-HBO NHL update sept. 2010 De bedoeling van deze les is het doorwerken met behulp van pen en papier. 1 Voorkennis Voor deze les moet je bekendheid hebben met het oplossen

Nadere informatie

Tutorial. Microsoft Project 2003

Tutorial. Microsoft Project 2003 Bureau voor Taal en Informatica Werfkade 10 9601 LG Hoogezand 0598 390070 e-mail: bti@bbti.nl Tutorial Microsoft Project 2003 www.bbti.nl bbti Hoogezand 2 Introductie In deze tutorial worden opdrachten

Nadere informatie

Monitoraatssessie Wiskunde

Monitoraatssessie Wiskunde Monitoraatssessie Wiskunde 1 Overzicht van de cursus Er zijn drie grote blokken, telkens voorafgegaan door de rekentechnieken die voor dat deel nodig zullen zijn. Exponentiële en logaritmische functies;

Nadere informatie

6. Absolute en relatieve celadressering

6. Absolute en relatieve celadressering 6. Absolute en relatieve celadressering In deze module leert u: - Wat absolute en relatieve celadressering is; - De relatieve celadressering toepassen; - De absolute celadressering toepassen; - De absolute

Nadere informatie

Afbeelding 12-1: Een voorbeeld van een schaakbord met een zwart paard op a4 en een wit paard op e6.

Afbeelding 12-1: Een voorbeeld van een schaakbord met een zwart paard op a4 en een wit paard op e6. Hoofdstuk 12 Cartesische coördinaten 157 Hoofdstuk 12 CARTESISCHE COÖRDINATEN In dit hoofdstuk behandelen we: Het Cartesisch coördinatenstelsel De X-as en de Y-as De commutatieve eigenschap van optellen

Nadere informatie

wiskunde C pilot vwo 2017-I

wiskunde C pilot vwo 2017-I De formule van Riegel en kilometertijden De marathonloper Pete Riegel ontwikkelde een eenvoudige formule om te voorspellen welke tijd een hardloper nodig zou hebben om een bepaalde afstand af te leggen,

Nadere informatie

Vermogen snelheid van de NXT

Vermogen snelheid van de NXT Vermogen snelheid van de NXT Inleiding In deze meting gaan we op zoek naar een duidelijk verband tussen de vermogens die je kunt instellen op de LEGO NXT en de snelheid van het standaardwagentje uit het

Nadere informatie

rekentrainer jaargroep 6 Vul de maatbekers. Kleur. Zwijsen naam:

rekentrainer jaargroep 6 Vul de maatbekers. Kleur. Zwijsen naam: Zwijsen jaargroep 6 naam: reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs recept voor 6 glazen bananenmilkshake 2 bananen 0,25 l ijs 0,40 l melk 0,10 l limonadesiroop 100 cl 0 ijs 1 liter 0 Schil de bananen.

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1 havo 2000-II

Eindexamen wiskunde B1 havo 2000-II Temperatuurverloop Het verloop van de temperatuur kan gedurende de 24 uren van een dag nogal grillig zijn. In vereenvoudigde vorm is het temperatuurverloop gedurende een dag redelijk te benaderen door

Nadere informatie

lesboek Jonker & Wu CAD support

lesboek Jonker & Wu CAD support 7 lesboek Jonker & Wu CAD support Worksheet De Spreadsheet functie binnen MiniCad worden weergegeven in Worksheets. Deze Worksheets werken gelijk aan de Spreadsheet van bijvoorbeeld Claris Works of Mircosoft

Nadere informatie

Domeinbeschrijving rekenen

Domeinbeschrijving rekenen Domeinbeschrijving rekenen Discussiestuk ten dienste van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Rekenen en Taal auteur: Jan van de Craats 11 december 2007 Inleiding Dit document bevat een beschrijving van

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Fysica: Elektrodynamica. 25 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Fysica: Elektrodynamica. 25 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Fysica: Elektrodynamica 25 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Practicum algemeen. 1 Diagrammen maken 2 Lineair verband en evenredig verband 3 Het schrijven van een verslag

Practicum algemeen. 1 Diagrammen maken 2 Lineair verband en evenredig verband 3 Het schrijven van een verslag Practicum algemeen 1 Diagrammen maken 2 Lineair verband en evenredig verband 3 Het schrijven van een verslag 1 Diagrammen maken Onafhankelijke grootheid en afhankelijke grootheid In veel experimenten wordt

Nadere informatie

In het voorgaande artikel werd aangegeven hoe de vaste verdeling van cijfers in getallen, zoals deze voortvloeit

In het voorgaande artikel werd aangegeven hoe de vaste verdeling van cijfers in getallen, zoals deze voortvloeit ADMINISTRATIE Cijferanalyse met behulp van Benford s Law (2) HET LIJKT INGEWIKKELDER DAN HET IS In het voorgaande artikel werd aangegeven hoe de vaste verdeling van cijfers in getallen, zoals deze voortvloeit

Nadere informatie

1.3 Rekenen met pijlen

1.3 Rekenen met pijlen 14 Getallen 1.3 Rekenen met pijlen 1.3.1 Het optellen van pijlen Jeweetnuwatdegetallenlijnisendat0nochpositiefnochnegatiefis. Wezullen nu een soort rekenen met pijlen gaan invoeren. We spreken af dat bij

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 4. Het steekproefgemiddelde. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 4. Het steekproefgemiddelde. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Kansmodellen 4. Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg . Een concreet voorbeeld.... Een kansmodel

Nadere informatie

b) Om de positie van het station aan te geven gebruiken we de afstand van P tot S. Meet ook de afstand van P tot S.

b) Om de positie van het station aan te geven gebruiken we de afstand van P tot S. Meet ook de afstand van P tot S. Het station. Twee dorpen A en B liggen respectievelijk 5 en 10 km van een spoorlijn. De kortste verbinding van A naar de spoorlijn is AP en van B naar de spoorlijn is BQ. Verder is gegeven dat. Men besluit

Nadere informatie

Bereken hoeveel populieren hiervoor gebruikt zijn. Schrijf je berekening op.

Bereken hoeveel populieren hiervoor gebruikt zijn. Schrijf je berekening op. Lucifers Lucifers worden meestal gemaakt van het hout van de ratelpopulier. Van één populier worden gemiddeld 6 miljoen lucifers gemaakt. In een luciferdoosje zitten gemiddeld 60 lucifers. 2p 1 Bereken

Nadere informatie

rekentrainer jaargroep 6 Vul de maatbekers. Kleur. Zwijsen naam:

rekentrainer jaargroep 6 Vul de maatbekers. Kleur. Zwijsen naam: Zwijsen jaargroep naam: reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs recept voor glazen bananenmilkshake bananen, l ijs, l melk,1 l limonadesiroop 1 cl ijs 1 liter Schil de bananen. Snijd ze in grote

Nadere informatie

Compex wiskunde A1-2 vwo 2003-I

Compex wiskunde A1-2 vwo 2003-I Epidemie Men spreekt van een epidemie als in korte tijd minstens 2% van de bevolking een besmettelijke ziekte oploopt. Een voorbeeld van zo n ziekte is griep. Rond 930 hebben twee Schotse wiskundigen,

Nadere informatie

Uitgeverij Schoolsupport

Uitgeverij Schoolsupport [49] Tellen, 2009, Niveau **, Getallen Hieronder zie je een volledig dominospel van 28 stenen. Hoeveel ogen (stippen) staan er in totaal op alle domino-stenen tezamen? TIP: Tel eerst eens hoevaak elk aantal

Nadere informatie

Ruitjes vertellen de waarheid

Ruitjes vertellen de waarheid Ruitjes vertellen de waarheid Opdracht 1 Van fouten kun je leren Van fouten kun je leren, jazeker. Vooral als je héél goed weet wat er fout ging. Vandaag leer je handige formules begrijpen door kijken

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1

Examen VWO. wiskunde B1 wiskunde B Eamen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Dinsdag 3 mei 3.3 6.3 uur 5 Voor dit eamen zijn maimaal 87 punten te behalen; het eamen bestaat uit vragen. Voor elk vraagnummer is

Nadere informatie

Algoritmes in ons dagelijks leven. Leve de Wiskunde! 7 April 2017 Jacobien Carstens

Algoritmes in ons dagelijks leven. Leve de Wiskunde! 7 April 2017 Jacobien Carstens Algoritmes in ons dagelijks leven Leve de Wiskunde! 7 April 2017 Jacobien Carstens Wat is een algoritme? Een algoritme is een eindige reeks instructies die vanuit een gegeven begintoestand naar een beoogd

Nadere informatie

Stoeien met Statistiek

Stoeien met Statistiek Stoeien met Statistiek Havo 4: Statistiek op grote datasets 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Docentenhandleiding... 5 Inleiding voor leerlingen... 6 Opdracht 1... 7 Opdracht 2... 8 Opdracht 3...

Nadere informatie

Opdracht 2.1 a t/m c. Er zijn veel mogelijkheden. De vorm hoeft dus niet gelijk te zijn om toch een vierkant van dezelfde grootte te krijgen.

Opdracht 2.1 a t/m c. Er zijn veel mogelijkheden. De vorm hoeft dus niet gelijk te zijn om toch een vierkant van dezelfde grootte te krijgen. Uitwerkingen hoofdstuk Gebroken getallen. Kennismaken met breuken.. Deel van geheel Opdracht. a t/m c. Er zijn veel mogelijkheden. De vorm hoeft dus niet gelijk te zijn om toch een vierkant van dezelfde

Nadere informatie

Scratch in drie uur. Hallo, mijn naam is Minti Mint! Ik ga je uitleggen hoe je je eigen computerspel kunt maken. We gaan een racespel maken!

Scratch in drie uur. Hallo, mijn naam is Minti Mint! Ik ga je uitleggen hoe je je eigen computerspel kunt maken. We gaan een racespel maken! Scratch in drie uur Hallo, mijn naam is Minti Mint! Ik ga je uitleggen hoe je je eigen computerspel kunt maken. We gaan een racespel maken! Bernd Gärtner Nederlandse vertaling en bewerking: Martine Segers

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A1-2 compex vwo 2008-I

Eindexamen wiskunde A1-2 compex vwo 2008-I Tijdens dit examen werk je in Excel. Door in het openingsscherm op Excel werkbladen te klikken start Excel automatisch op. Je komt dan meteen in het eerste werkblad dat hoort bij het eerste deel van de

Nadere informatie

Datum. Vraag het bedrag in BEF. Reken om naar EURO. Toon het bedrag in EURO. --- Vraag het bedrag in BEF--- --- Reken om naar EURO---

Datum. Vraag het bedrag in BEF. Reken om naar EURO. Toon het bedrag in EURO. --- Vraag het bedrag in BEF--- --- Reken om naar EURO--- 3UREOHPHQRSORVVHQPHW9%$WRHSDVVLQJHQELMGHHO Naam. NR : Klas. PC : Datum. 23*$9( Hieronder vind je het algoritme om een bedrag in BEF om te rekenen naar EURO. Zet het algoritme om in programmacode. Noem

Nadere informatie

Projectmanagement. Hoofdstuk 3 en 4 Het project van begin tot eind De planning. Roel Grit

Projectmanagement. Hoofdstuk 3 en 4 Het project van begin tot eind De planning. Roel Grit Projectmanagement Hoofdstuk 3 en 4 Het project van begin tot eind De planning Roel Grit Hoofdstuk 3 Van begin tot eind 1. Project organiseren en uitvoeren 2. Projectvoorstel 3. Intakegesprek met de opdrachtgever

Nadere informatie

Aanvullende tekst bij hoofdstuk 1

Aanvullende tekst bij hoofdstuk 1 Aanvullende tekst bij hoofdstuk 1 Wortels uit willekeurige getallen In paragraaf 1.3.5 hebben we het worteltrekalgoritme besproken. Dat deden we aan de hand van de relatie tussen de (van tevoren gegeven)

Nadere informatie

Wiskunde A. Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Woensdag 17 mei 13.30 16.30 uur

Wiskunde A. Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Woensdag 17 mei 13.30 16.30 uur Wiskunde A Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Woensdag 17 mei 13.30 16.30 uur 20 00 Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord

Nadere informatie

HP Prime: Spreadsheet App

HP Prime: Spreadsheet App HP Prime Graphing Calculator HP Prime: Spreadsheet App Meer over de HP Prime te weten komen: http://www.hp-prime.nl De Spreadsheet-App op de HP Prime Misschien heb je al eens gewerkt met een spreadsheet,

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2006-II

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2006-II Drinkbak In figuur staat een tekening van een drinkbak voor dieren. De bak bestaat uit drie delen: een rechthoekige, metalen plaat die gebogen is tot een symmetrische goot, een voorkant en een achterkant

Nadere informatie

7. Van huis naar school. Deze les levert een bijdrage aan kerndoel 1: de leerlingen leren hoeveelheidsbegrippen gebruiken en herkennen.

7. Van huis naar school. Deze les levert een bijdrage aan kerndoel 1: de leerlingen leren hoeveelheidsbegrippen gebruiken en herkennen. 7. Van huis naar school Leeftijdsgroep Kerndoel Ongeveer 12-16 jaar Deze les levert een bijdrage aan kerndoel 1: de leerlingen leren hoeveelheidsbegrippen gebruiken en herkennen. En aan kerndoel 3: De

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2007-I

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2007-I Eindexamen wiskunde 1-2 vwo 2007-I Podiumverlichting Een podium is 6 meter diep. Midden boven het podium hangt een balk met tl-buizen. De verlichtingssterkte op het podium is het kleinst aan de rand, bijvoorbeeld

Nadere informatie

Opgave 1 - Uitwerking

Opgave 1 - Uitwerking Opgave 1 - Uitwerking Om dit probleem op te lossen moeten we een zogenaamd stelsel van vergelijkingen oplossen. We zetten eerst even de tips van de begeleider onder elkaar: 1. De zak snoep weegt precies

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 30 juni 2014 - reeks 1 - p. 1 IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback In totaal namen 716 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur

Nadere informatie

Hoofdstuk 21: Gegevens samenvatten

Hoofdstuk 21: Gegevens samenvatten Hoofdstuk 21: Gegevens samenvatten 21.0 Inleiding In Excel kunnen grote (en zelfs ook niet zo grote) tabellen met getallen en tekst er nogal intimiderend uitzien. Echter, Excel komt helemaal tot haar recht

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

Opgave 3 - Uitwerking

Opgave 3 - Uitwerking Mathrace 2014 Opgave 3 - Uitwerking Teken de rode hulplijntjes, en noem de lengte van dit lijntje y. Noem verder de lengte van een zijde van de gelijkzijdige driehoek x. Door de hoek van 45 graden in de

Nadere informatie

Bonus opgave - Uitwerking

Bonus opgave - Uitwerking Mathrace voorjaar 2015 Bonus opgave - Uitwerking Schematisch kunnen we de situatie als volgt weergeven: is dus het stukje vanaf de kubus tot het raam, en y het stuk vanaf de kubus tot aan de plek waar

Nadere informatie

Modelleren C Appels. Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both. 2 april 2010. 1 Inleiding 2. 3 Data 3. 4 Aanpak 3

Modelleren C Appels. Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both. 2 april 2010. 1 Inleiding 2. 3 Data 3. 4 Aanpak 3 Modelleren C Appels Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both 2 april 2010 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Probleembeschrijving 2 3 Data 3 4 Aanpak 3 5 Data-analyse 4 5.1 Data-analyse: per product.............................

Nadere informatie

Opdrachtbladen (II) Hoe komt een formule tot stand?

Opdrachtbladen (II) Hoe komt een formule tot stand? Opdrachtbladen (II) Hoe komt een formule tot stand? Adriaan Herremans Dag van de wiskunde Kortrijk 14/11/2015 Hieronder vinden jullie opdrachten. Je werkt samen met je buur en kan overleggen met je overburen.

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B 1-2 vwo I

Eindexamen wiskunde B 1-2 vwo I Oppervlakte en inhoud bij f() = e De functie f is gegeven door f( ) = e figuur Op de grafiek van deze functie liggen de punten (0,) en (, e ) De grafiek van f en het lijnstuk sluiten een vlakdeel in Zie

Nadere informatie