Figuur 7.21: Het Voronoi diagram van zes supermarkten, genummerd 1 t/m 6.

Transcriptie

1 Samenvatting. Voronoi diagrammen. Stel je alle supermarkten in een stad voor. De stad is te verdelen in sectoren door naar de dichtstbijzijnde supermarkt te kijken: alle mensen die wonen in de sector van een bepaalde supermarkt wonen dichter bij die supermarkt dan bij welke andere supermarkt dan ook. Het Voronoi diagram van de supermarkten is de onderverdeling van de stad in zulke sectoren. Een voorbeeld van een Voronoi diagram van zes supermarkten, genummerd t/m 6, wordt gegeven door de doorgetrokken lijnstukken in Figuur Figuur 7.: Het Voronoi diagram van zes supermarkten, genummerd t/m 6. Dit proefschrift gaat over Voronoi diagrammen. Daarom bekijken we Figuur 7. wat preciezer. In de afbeelding zien we grenzen, zoals de grens tussen de sector en sector. Mensen die op deze grens wonen, wonen net zo dicht bij supermarkt als bij supermarkt. We zien dat de grens op een gestippelde lijn ligt. Deze lijn heet de bisector van de punten en. Aan de ene kant van de lijn wonen de mensen dichter bij supermarkt, terwijl mensen aan de andere kant van de lijn dichter bij supermarkt wonen. Met behulp van deze bisectoren kunnen we bijvoorbeeld sector beschrijven: mensen wonen in sector precies als ze aan de goede kant van alle bisectoren tussen supermarkt en elk van de andere supermarkten wonen. Op deze manier kunnen we alle sectoren beschrijven en daarmee ook het Voronoi diagram.

2 SAMENVATTING Limieten van Voronoi diagrammen. Na het voorafgaande zal het niemand verbazen dat Voronoi diagrammen veel toegepast worden buiten de wiskunde, bijvoorbeeld bij planningsproblemen, maar ook bij het tekenen van hoogtelijnen op stafkaarten. In Hoofdstuk worden een aantal bekende feiten over Voronoi diagrammen en verwante constructies op een rijtje gezet. Zoals uit de titel blijkt, willen we in dit proefschrift limieten van Voronoi diagrammen beschrijven. Deze introduceren we met behulp van SRV-wagens. a b c Figuur 7.: a. Vijf SRV-wagens op weg naar een botsing. b. Het Voronoi diagram van de SRV-wagens vlak voor de botsing. c. Het limiet Voronoi diagram tijdens de botsing. In Figuur 7..a zien we de routes die vijf SRV-wagens op zekere dag afleggen. Zolang de SRV-wagens op verschillende plekken in het land zijn, zoals in Figuur 7..b, kunnen we het Voronoi diagram van de SRV-wagens bepalen, net als we eerder met de supermarkten hebben gedaan. Maar wanneer de SRV-wagens op een ongelukkig moment botsen, is het niet zo duidelijk wat het Voronoi diagram van de SRV-wagens op dat moment is. In Hoofdstuk laten we zien hoe we toch een Voronoi diagram kunnen uitrekenen op het moment van de botsing als we maar weten met welke relatieve snelheid en onder welke hoek ze botsen. Op die manier verkrijgen we een limiet Voronoi diagram zoals in Figuur 7..c. Hoe een limiet is opgebouwd, wordt geïllustreerd in Figuur 7.. Twee punten (SRVwagens) vallen samen. Zolang de twee punten verschillen, zoals in Figuren 7..a en 7..b, is het Voronoi diagram van de punten en precies de bisector van de twee punten. Maar zodra twee punten samenvallen is de bisector en dus het Voronoi diagram niet gedefiniëerd. We lossen dit probleem eenvoudigweg op door op het samenvalmoment toch een bisector te definiëren: dit is de lijn die enerzijds door de twee samenvallende punten gaat en anderzijds loodrecht staat op de hoek waaronder de twee punten botsen. Bovendien geven we de lijn een richting, bijvoorbeeld zo dat punt links van de lijn ligt vlak voor de botsing. Ook als we meerdere punten hebben, zoals in Figuur 7., kunnen we op deze manier een bisector definiëren tussen elk tweetal punten. Eerder hebben we al gezien dat

3 SAMENVATTING elke Voronoi sector en daarmee dus ook het Voronoi diagram volledig wordt bepaald door alle bisectoren. a b c Figuur 7.: Een Voronoi diagram van twee samenvallende punten. Compactificaties van configuratie ruimten. Een verzameling verschillende punten in het vlak wordt vaak een configuratie genoemd. En de configuratie ruimte is het object waarin alle verschillende configuraties te vinden zijn. Een element van de configuratie ruimte is dus een verzameling verschillende punten. Voor zo n element kunnen we alle hoeken tussen deze punten opschrijven. Zo verkrijgen we een uitgebreid element, bestaande uit zowel punten als hoeken. Al deze uitgebreide elementen brengen we onder in een punten- en hoekenruimte. Deze punten-en hoeken-ruimte is een object met veel dimensies dat randen heeft, denk aan de rand van een tafel. Elementen die op zo n rand leven, corresponderen met gedegenereerde configuraties. Dit zijn configuraties waarin sommige punten samenvallen en zulke configuraties behoren dus niet a priori tot de puntenen hoeken-ruimte. De compactificatie van de de punten- en hoeken-ruimte is nu juist de oorspronkelijke punten- en hoeken-ruimte waaraan alle randen zijn toegevoegd. In Hoofdstuk definiëren we zo n punten- en hoeken-compactificatie en gaan we voor kleine configuraties na welke hoeken mogelijk zijn tussen punten. Bovendien bekijken we een algebraïsche variant van de punten- en hoeken-compactificatie door te rekenen met de bekende vergelijking y = ax + b van een lijn. Door elk tweetal punten van een configuratie van verschillende punten kunnen we immers een lijn trekken. Met behulp van de bisector methode kunnen we voor elk element van de puntenen hoeken-compactificatie een Voronoi diagram definiëren. In Hoofdstuk 6 bewijzen we dat de representatie van een Voronoi diagram door middel van punten en hoeken in zekere zin robuust is. Namelijk, als twee elementen dicht bij elkaar liggen in de punten- en hoeken-compactificatie, dan lijken de Voronoi diagrammen van deze twee elementen ook erg op elkaar.

4 SAMENVATTING Klikbare Voronoi diagrammen. In het limiet Voronoi diagram in Figuur 7..c is de sector van SRV-wagen niet meer terug te vinden. In feite bestaat deze sector uit één punt. Als we deze sector toch beter willen bekijken, zullen we het plaatje oneindig moeten uitvergroten. Dit is mogelijk als we met klikbare configuraties werken. Een nieuw voorbeeld is gegeven in Figuur 7.. In het top scherm zijn zes punten zichtbaar. Echter, twee punten in het midden zijn geen losse punten maar clusters van punten: door op het onderste van die clusters te klikken verschijnt een scherm dat de punten, 7 en toont. Merk op dat in alle drie de schermen verschillende punten zichtbaar zijn. Dit maakt het mogelijk in elk scherm het Voronoi diagram van die verschillende punten toe te voegen. De Voronoi diagrammen uit de onderste twee schermen zijn in het klein zichtbaar in de corresponderende sectoren in het top scherm Figuur 7.: Een klikbaar Voronoi diagram in een klikbare configuratie. In Hoofdstuk 7 definiëren we klikbare Voronoi diagrammen met behulp van een hoeken- en haken-compactificatie. Ten opzichte van de vorige twee hoofdstukken zijn nu de punten in de punten- en hoeken-ruimte vervangen door haken. Zo n haak is te zien in Figuur 7.. Deze haak geeft aan waar punt getekend moet worden, gegeven de punten en. Daartoe draaien we eerst de poot over een hoek α en verlengen (of verkorten) de aldus verkregen poot met een ratio β. Stel nu dat de ratio β gelijk is aan nul. Poot krijgt dan lengte nul en dus vallen de punten en samen. Voor een configuratie bestaande uit louter verschillende punten kunnen we alle haak ingrediënten, bestaande uit hoeken en ratio s, zo opschrijven. Door te compactificeren worden elementen bestaande uit hoeken en haken corresponderend met configuraties die samenvallende punten bevatten toegevoegd. Door slim te compactificeren kunnen we zelfs een hoeken- en haken-compactificatie verkrijgen die als

5 SAMENVATTING α β Figuur 7.: De haak die uit de punten en het punt construeert. hoog-dimensionaal object glad is, en dus geen scherpe randen bevat. Het bewijs van die gladheid is tegelijk een constructie die aangeeft hoe schermen als in Figuur 7. te definiëren en vervolgens te vullen met punten. Onze compactificatie is verwant aan een aantal bekende andere compactificaties en deze verbanden worden ook besproken. Hogere order Voronoi diagrammen. Hoofdstuk staat qua inhoud enigszins los van de rest van dit proefschrift. Hier gaat het om hogere order Voronoi diagrammen. Bij het tweede orde Voronoi diagram bijvoorbeeld, kijken we niet alleen naar de dichtstbijzijnde supermarkt, maar naar de twee dichtstbijzijnde supermarkten. Deze hogere order diagrammen kunnen ook worden gedefiniëerd in termen van bisectoren. Wij beschouwen voor een vaste configuratie van punten alle mogelijke zoveelste orde Voronoi diagrammen: het gewone, eerste orde diagram, het tweede orde, het derde orde, enzovoort.

6