Polyatheorie. Erik Verraedt
|
|
- Josephus Aalderink
- 8 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1
2
3 Inhoudsopgave 1 Inleiding 4 2 Enkele telproblemen Probleem Probleem Probleem Probleem Verband met acties Voorbeeld Acties Orbietstelling Toepassing orbietstelling Stelling van Burnside Toepassing: probleem Stelling van Polya Toepassing: probleem Besluit 15 6 Bronnen 15
4 1 Inleiding Op hoeveel manieren kan je de zijvlakken van een kubus kleuren met 2 kleuren? Wat als we dezelfde vraag met 3 kleuren stellen, om nog maar te zwijgen over 4, 5, 10, 100 kleuren? Kortom, hoe zit de vork in de steel als het gaat om het tellen van kleuringen van figuren (met een eindig aantal te kleuren oppervlakten) met een eindig aantal kleuren? In dit werk zullen we proberen een tipje van de sluier op te lichten. Gelukkig staan we er niet alleen voor: enkele wiskundigen hebben het ons reeds gemakkelijk gemaakt en het zware wiskundige werk gedaan. We zullen ons in de wereld van de zogenaamde Polyatheorie wagen, met als belangrijkste wiskundige vertegenwoordigers William Burnside ( ) en George Pòlya ( ). Met behulp van heel wat groepentheorie zullen we werken naar een formule om telproblemen met kleuringen eenvoudig op te lossen. We zullen echter niet alle aspecten van de Polyatheorie belichten: naast de stelling van Pòlya, waar we naartoe werken, bestaat er ook nog dezelfde stelling met gewichten, die gebruikt kan worden om complexere problemen op te lossen. Een voorbeeld van zo n probleem is: Op hoeveel manieren kan je een kubus kleuren zodat deze 3 rode vlakken en 1 geel, 1 groen en 1 blauw vlak heeft? Om zulke problemen op te lossen is nog meer wiskundig inzicht en doorzettingsvermogen nodig dan voor wat we in dit werk behandelen. Gelukkig verschafte niemand minder dan George Pòlya ons met een geldig excuus om deze problemen niet aan te snijden: If you can t solve a problem, then there is an easier problem you can solve: find it. - George Pòlya Maar genoeg onwiskundige bladvulling, over tot het echte werk. En vergeet niet: Wiskunde, dat is pure ontspanning. - Hector Mommaerts 4
5 2 Enkele telproblemen 2.1 Probleem 1 Gegeven is een vierkant verdeeld in 4 kleine vierkanten. Op hoeveel manieren kan je de 4 gebieden kleuren met hoogstens 2 kleuren? Rotaties van een bepaalde kleuring tellen niet als een aparte kleuring Met wat logisch nadenken vinden we snel dat het antwoord 6 is. We onderscheiden namelijk de volgende gevallen: Aantal vakjes met kleur 1 aantal mogelijke kleuringen Als we aan 2 vakjes kleur 1 toekennen, zijn er 2 verschillende kleuringen mogelijk. De vakjes kunnen naast elkaar of op een diagonaal liggen. De andere gevallen geven telkens slechts 1 mogelijke kleuring. 2.2 Probleem 2 Gegeven is een kubus. Op hoeveel manieren kan je de zijvlakken inkleuren met ten hoogste 2 kleuren? Ook hier vinden we eenvoudig de oplossing door een gevalsonderscheid. We vinden dat er 10 mogelijke kleuringen zijn. Aantal vakjes met kleur 1 aantal mogelijke kleuringen Bij een verdeling met 2 vakjes in een bepaalde kleur hebben we de keuze:we kunnen deze tegenover elkaar plaatsen, of laten aansluiten. Met 3 vakjes in een kleur kunnen we de 3 vakjes rond een hoekpunt nemen, of 3 aaneensluitende vakjes waarvan de 2 uiterste geen ribbe gemeen hebben.. 5
6 2.3 Probleem 3 Op hoeveel manieren kan je het vierkant van probleem 1 kleuren met ten hoogste m kleuren? We lossen dit op met een gevalsonderscheid. Juist 1 kleur: 1 mogelijke kleuring Juist 2 kleuren: 4 mogelijke kleuringen Juist 3 kleuren: 9 mogelijke kleuringen Juist 4 kleuren: 6 mogelijke kleuringen Dus voor ten hoogste m kleuren vinden we voor het aantal mogelijkheden C 1 m 1 + C 2 m 4 + C 2 m 9 + C 4 m 6. We hebben immers Cm 1 = m mogelijkheiden om onze kubus in 1 kleur te kleuren. Voor 2 kleuren nemen we alle mogelijke paren van kleuren uit onze m kleuren, dus Cm. 2 Aangezien we met 2 kleuren 4 mogelijke kleuringen kunnen maken, geeft dit Cm 2 4 mogelijkheden. Op analoge wijze vervolledigen we zo onze formule. We kunnen deze formule uitwerken en op volgende wijze schrijven: 2.4 Probleem 4 m 4 + m 2 + 2m. 4 Op hoeveel manieren kan je de kubus van probleem 2 kleuren met ten hoogste m kleuren? Dit probleem kunnen we met dezelfde strategie oplossen. Dit is echter niet efficiënt en tijdrovend. We kunnen de volgende formule vinden: m 2 24 (m4 + 3m m + 8) Later zullen we in staat zijn deze formule op eenvoudige wijze te vinden. 6
7 3 Verband met acties Terminologie 1. Een kleuring van een verzameling X met een verzameling K is een afbeelding k : X K. Notatie: k K x 3.1 Voorbeeld Om deze notatie toe te lichten, nemen we het vierkant van probleem 1 onder de loep X = {1, 2, 3, 4} K = {kleuren} We geven enkele voorbeelden van kleuringen met K = {R, G} 1 R G R G Deze kleuring wordt gegeven door de volgende afbeelding: 1 R 2 R k 1 : 3 G 4 G 2 G G R R Deze kleuring wordt gegeven door de volgende afbeelding: 1 G 2 R k 2 : 3 R 4 G 7
8 3 R G G R Deze kleuring wordt gegeven door de volgende afbeelding: 1 R 2 G k 3 : 3 R 4 G We merken op dat bepaalde kleuringen hetzelfde zijn, namelijk dat men door draaiing van een kleuring een andere bekomt. Zo merken we dat k 1 k 2 en dat k 1 k 3. Definiëren we de draaiing over 90 = (1234) 1 als a, dan geldt dat k 1 = k 2 a. Het is triviaal dat n {0, 1, 2, 3} : k 1 = k 3 a n. We definiëren als volgt: k i k j r G Id, a, a 2, a 3 S(X) : k i = k j r waarbij S(X) de permutatiegroep van de figuur is. Dit is een equivalentierelatie, dat wil zeggen dat aan de volgende eigenschappen voldaan is: Voor alle x X geldt dat x x Voor alle x, y X geldt: als x y, dan y x Voor alle x, y, z X geldt: als x y en y z, dan x z 1 Vierkant 1 komt op 2, 2 op 3, 3 op 4 en 4 op 1. Dit noemen we de cykelschrijfwijze. 8
9 3.2 Acties Definitie 3.1. Zij G, een groep en V een verzameling. Een rechtse actie van G op V is een afbeelding V G V : (v, g) v g zodat v V : v e = v v V ; g 1, g 2 G : v (g 1 g 2 ) = (v g 1 ) g 2. We illustreren dit met het voorbeeld van de kubus: Neem V = K x, de verzameling kleuringen van de kubus, en G S(X), de verzameling rotaties die we kunnen toepassen. Beschouw de rechtse actie K x G K x : (k, s) k s = k s. Hierbij is k een kleuring die wordt uitgevoerd na de rotatie s. Er geldt: k Id x = k Id x = k k (s r) = k (s r) = (k s) r = (k s) r = (k s) r We toetsen dit aan het gezond verstand: het is triviaal dat een kleuring toekennen na de identieke rotatie hetzelfde is als de kleuring toekennen aan de kubus. Het tweede punt is minder voor de hand liggend. We werken daarom een voorbeeld uit. a Beschouw de volgende rotaties: s beeld het bovenvlak op het rechtse vlak af, het rechtse op het onderste, het onderste op het linkse en het linkse op het bovenste. Het voorvlak en achtervlak blijven op hun oorspronkelijke plaats: s = (3146). r beeld het bovenvlak op het linkse vlak af, het linkse op het onderste, het onderste op het rechtse en het rechtse op het bovenste. Het voorvlak en achtervlak blijven op hun oorspronkelijke plaats: r = (1364). We beschouwen de kleuring k die het bovenvlak blauw kleurt en het rechtervlak rood. k (s r) = k, want r en s leveren ons terug de beginsituatie op. (k s) r splitsen we op. We merken dat k s de kleuring is waarbij het linkervak blauw wordt gekleurd en het bovenvlak rood. Voeren we dus eerst r uit, dan wordt het bovenvlak op het linkervlak afgebeeld en het rechtervak op het bovenvlak. Wanneer we dan de kleuring k s toepassen, wordt het bovenvlak blauw en het rechtervak rood, hetgeen gelijk is aan de kleuring k. 9
10 Eigenschap 1. Een rechtse actie implementeert een equivalentierelatie op V : v 1 v 2 g G : v 1 g = v 2 We bewijzen dit door middel van de 3 criteria van een equivalentierelatie. Bewijs. v 1 v 1 Ja, want v 1 e = v 1. v 1 v 2 v 2 v 1 Stel v 1 v 2. g zodat v 1 g = v 2. Dan geldt dat Dus v 2 v 1. Als v 1 v 2 en v 2 v 3, dan is v 1 v 3. Stel v 1, v 2, v 3 zodat v 1 v 2 en v 2 v 3. g 1 g 2 G v 1 v 3 v 2 g 1 = (v 1 g) g 1 = v 1 (g g 1 ) = v 1 e = v 1 v 1 g 1 = v 2 v 2 g 2 = v 3 v 3 = v 2 g 2 = (v 1 g 1 ) g 2 = v 1 (g 1 g 2 ) Definitie 3.2. Stel dat G een rechtse actie uitvoert op een verzameling V. Or(v) = v G = {v G g G} V is de orbiet van v V. St(v) = {g G v g = v} is de stabilisator van v V, dit is een deelgroep van g G. Nemen we als voorbeeld een kubus met het voorvlak in een andere kleur, dan is de orbiet de verzameling van draaiingen waarbij men een ander zicht verkrijgt. Het aantal elementen van Or(v), genoteerd als Or(v), is dan 6. We kunnen immers het gekleurde vak op elk van de 6 zijden afbeelden. De stabilisator is de verzameling van draaiingen waarbij het zicht niet verandert. In dit geval kunnen we de kubus kantelen, zolang het voorvlak op dezelfde plaats blijft. We vinden dat St(v) = 4. 10
11 3.3 Orbietstelling Stelling 3.3. (Orbietstelling) Stel dat een eindige groep G een actie uitvoert op een verzameling V. v V : = Or(v) St(v) Terminologie 2. Een kleurpatroon bij een kleuring van de elementen van X door K is een orbiet van de actie van G S(X) op K x Toepassing orbietstelling Wat is het aantal elementen van G S(X) bij de kubus? M.O. G = rotaties van de kubus in R 3 S 6 G voert dus een rechtse actie uit op {1, 2, 3, 4, 5, 6}, namelijk: G {1, 2, 3, 4, 5, 6} {1, 2, 3, 4, 5, 6} : (s, i) s(i) Dus: = Or(1) St(1) = 6 4 = Stelling van Burnside Stelling 3.4. (Stelling van Burnside) Stel dat een eindige groep G een rechtse actie uitvoert op een eindige verzameling V. Dan is waarbij F ix(g) = {v V v g = v}. Bewijs. Noteer O = {Or(v) v V }. Dan geldt: #orbieten = 1 F ix(g) g G 1 F ix(g) = 1 # {v V v g = v} g G g G = 1 # {(v, g) V G v g = v} = 1 # {g G v g = v} = 1 = v V = o O = o O 1 v V v V St(v) 1 Or(v) v O 1 O = O = #orbieten 11
12 3.4.1 Toepassing: probleem 3 Oplossing van probleem 3 via de stelling van Burnside: # kleurpatronen van X = {1, 2, 3, 4} met K ( K = m) = # orbieten van de actie van G = { Id, a, a 2, a 3} op K x = 1 F ix(g) = 1 Ä F ix(id) + F ix(a) + F ix(a 2 ) + F ix(a 3 ) ä 4 g G = 1 Ä m 4 + m + m 2 + m ä 4 = m 4 (m3 + m + 1) 12
13 4 Stelling van Polya Afspraak In de disjuncte cykelschrijfwijze van een element σ S n, schrijven we de cykels van lengte één wel. Normaal gezien is dit niet nodig, omdat de niet vermelde vlakken op hun plaats blijven. Bij de stelling van Polya moete we echter tellen hoeveel cykels er voorkomen en welke lengte ze hebben. Om verwarring te vermijden schrijven we dus ook de cykels van lengte één. Notatie Zij σ S n. c(σ) = aantal cykels in de disjuncte schrijfwijze van σ. c i (σ) = aantal cykels van lengte i in de disjuncte schrijfwijze van σ. Nemen we bij voorbeeld de volgende draaiing bij de kubus: a = (1265)(3)(4), dan vinden we dat c(a) = 3, c 1 = 2 en c 4 = 1. a Merk op dat n c(σ) = c i (σ). i=1 Het is triviaal dat het aantal cykels gelijk is aan de som van het aantal cykels van elke mogelijke lengte. We vinden ook dat n n = i c 1 (σ). i=1 Ook dit spreekt voor zich. Bij het voorbeeld van de kubus en draaiing a geeft dit bijvoorbeeld het volgende: 6 6 = i c 1 (a) = i=1 Eigenschap 2. Zij X een eindige verzameling en G een deelgroep van S(X) die een actie uitvoert op K x met K = m. Dan geldt g G : F ix(g) = m c(g). Bewijs. Een kleuring k is vast onder g als voor elke cykel (in de disjuncte cykelschrijfwijze) van g geldt dat elk element in die cykel dezelfde kleur krijgt. Stelling 4.1. (Stelling van Polya) Zij X een eindige verzameling, K een verzameling kleuren met m elementen. Zij G een deelgroep van S(X) die een actie uitvoert op K x. Dan is #kleurpatronen = 1 m c(g). g 13
14 4.1 Toepassing: probleem 4 We lossen probleem 4 op. Op hoeveel manieren kan je de kubus kleuren met ten hoogste m kleuren? Als kubus nemen we de dobbelsteen. i We beschouwen de identieke afbeelding. i iid = (1)(2)(3)(4)(5)(6) Draaiing rond een as door het midden van 2 overstaande vlakken. i ka = (1562)(3)(4) lb = (16)(25)(3)(4) jc = (1265)(3)(4) Er zijn 3 mogelijke assen waarrond we op deze wijze kunnen draaien. Draaiing rond een as door het midden van 2 overstaande ribben. i td = (16)(24)(35) Er zijn 6 mogelijk assen waarrond we op deze wijze kunnen draaien. Draaiing rond een as door 2 hoekpunten. i ge = (145)(263) xf = (154)(236) Er zijn 4 mogelijke assen waarrond we op deze wijze kunnen draaien. Voor het aantal kleurpatronen met m kleuren kunnen we de formule nu toepassen: 1 g m c(g) = 1 24 = 1 24 = m2 24 m c(g) g î m 6 + 3(m 3 + m 4 + m 3 ) + 6m 3 + 4(m 2 + m 2 ) ó î m 4 + 3m m + 8 ó 14
15 5 Besluit We merken dat we met behulp van de stelling van Pòlya in staat zijn telproblemen, die op het eerste zicht misschien gemakkelijk zijn, op te lossen zonder alle mogelijkheden af te gaan. Met de stelling van Pòlya met gewichten, die we kunnen verkrijgen via de stelling van Burnside met gewichten, zal het mogelijk zijn nog andere telproblemen op te lossen, met name telproblemen waar het van belang is hoeveel vlakken een bepaalde kleur krijgen. We hebben dus nog maar een kleine stap gezet in het verhaal van de Polyatheorie, maar een goed begin is het halve werk... 6 Bronnen Dit eindwerk is gebaseerd op de cursus discrete wiskunde van Prof. Dr. W. Veys, docent aan de KU Leuven. Het onderdeel Polyatheorie is één van de wiskundige topics die hierin behandeld worden, naast o.a. het duivenhokprincipe en cryptografie. De cursus wordt gegeven in het laatste jaar van de bachelor wiskunde. 15
Platonische transformatiegroepen
Platonische transformatiegroepen Luc Van den Broeck 8 augustus 2015 Samenvatting In dit document worden de transformatiegroepen van de platonische lichamen bestudeerd. Zonder te vervallen in algebraïsche
Nadere informatieTentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur
Tentamen Discrete Wiskunde 0 april 0, :00 7:00 uur Schrijf je naam op ieder blad dat je inlevert. Onderbouw je antwoorden, met een goede argumentatie zijn ook punten te verdienen. Veel succes! Opgave.
Nadere informatie5 Inleiding tot de groepentheorie
5 Inleiding tot de groepentheorie Oefening 5.1. Stel de Cayleytabel op voor de groep van de symmetrieën van een vierkant. Bewijs dat deze groep de viergroep van Klein bezit als deelgroep van index 2. Oplossing
Nadere informatieSYMMETRIEËN VAN RUIMTELIJKE FIGUREN. Prof. dr. Ronald Meester
SYMMETRIEËN VAN RUIMTELIJKE FIGUREN Prof. dr. Ronald Meester Inleiding In dit college onderzoeken we symmetrie-eigenschappen van ruimtelijke figuren zoals driehoeken, vierkanten, kubussen en andere veelvlakken
Nadere informatie= Om van de zoo naar school te gaan, moet Kleine Kangoe twee keuzes maken. Noem deze keuzes A en B.
1. Als je vervangt door 3 in de uitdrukking + + 6 = + + +, dan verkrijg je: 3 + 3 + 6 = 3 + 3 + 3 + 3. Kangoeroewedstrijd editie Koala: jaargang 2010, probleem 1. c Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w. 2.
Nadere informatieEindwerk wiskunde: De wiskunde achter de Rubik s kubus. Laurens Vanden Eynde 6 e jaar Latijn - Wiskunde
Eindwerk wiskunde: De wiskunde achter de Rubik s kubus Laurens Vanden Eynde 6 e jaar Latijn - Wiskunde Schooljaar 2010-2011 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Kubusnotatie 3 2.1 Design...............................
Nadere informatie1. Het getal 200 9 = 1800 is even. De andere antwoorden zijn oneven: 2009, 2 + 0 + 0 + 9 = 11, 200 9 = 191, 200 + 9 = 209.
1. Het getal 200 9 = 1800 is even. De andere antwoorden zijn oneven: 2009, 2 + 0 + 0 + 9 = 11, 200 9 = 191, 200 + 9 = 209. Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2009, probleem 1; Kangoeroewedstrijd
Nadere informatieDag van de wiskunde. Ideeën voor de klaspraktijk. Kortrijk 26 november Spreker: E. Jennekens
Dag van de wiskunde Kortrijk 26 november 2009 Ideeën voor de klaspraktijk Spreker: E. Jennekens 1. De provincie West-Vlaanderen is 3144 km² groot. Kun je de hele wereldbevolking, 6,7 miljard, verwelkomen
Nadere informatieWeek 1 20-02-2013. Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren.
Combinatorische Optimalisatie, 2013 Week 1 20-02-2013 Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren. Opgave 1.16 Bewijs dat elke graaf een even aantal punten
Nadere informatieV el v'akk n kl ure. door Dion Gijswijt
door Dion Gijswijt V el v'akk n kl ure Stel, je wilt de zijvlakken van een veelvlak kleuren, en wel zo dat aangrenzende veelvlakken verschillende kleur krijgen. Hoeveel kleuren heb je dan minimaal nodig?
Nadere informatieVeelvlakken kleuren. Dion Gijswijt
Stel, je wilt de zijvlakken van een veelvlak kleuren, en wel zo dat aangrenzende veelvlakken verschillende kleur krijgen. Hoeveel kleuren heb je dan minimaal nodig? Veelvlakken kleuren Dion Gijswijt De
Nadere informatieTIPS: PAG. 3 DES CONSEILS: PAGE 16 HINWEISE: SEITE 29
TIPS: PAG. 3 DES CONSEILS: PAGE 16 HINWEISE: SEITE 29 00728 NL MILJARDEN COMBINATIES, EN MAAR ÉÉN OPLOSSING. Rubik s Cube is een verschrikkelijk verslavende, meerdimensionale uitdaging die puzzelfanaten
Nadere informatieSum of Us 2014: Topologische oppervlakken
Sum of Us 2014: Topologische oppervlakken Inleiding: topologische oppervlakken en origami Een topologisch oppervlak is, ruwweg gesproken, een tweedimensionaal meetkundig object. We zullen in deze tekst
Nadere informatieOp mijn paraplu staat bovenaan het woord KANGOEROE. In welke figuur hieronder zie je mijn paraplu? A B C D E
Op mijn paraplu staat bovenaan het woord KANGOEROE. In welke figuur hieronder zie je mijn paraplu? E O R E O G N A K G N O R O E N K G K A O O E G A B C D E Wallabie 2015, vraag 3 Juist antwoord: A We
Nadere informatieAan alle Wallabies, en aan hun leerkrachten, veel succes en, nog belangrijker, veel plezier!
Aan alle Wallabies, en aan hun leerkrachten, veel succes en, nog belangrijker, veel plezier! Wiskunde leuk? Reken maar! www.wiskundekangoeroe.be Dit initiatief kwam tot stand binnen het actieplan Wetenschapscommunicatie
Nadere informatieInleiding tot de Problem Solving - deel 1: Combinatoriek en getaltheorie
Inleiding tot de Problem Solving - deel 1: Combinatoriek en getaltheorie Jan Vonk 1 oktober 2008 1 Combinatoriek Inleiding Een gebied dat vandaag de dag haast niet onderschat kan worden binnen de wiskunde
Nadere informatiePijlenklokken. 1 Inleiding
Pijlenklokken 1 Inleiding In bovenstaande tekening zie je 1 rode punten. Er staan blauwe pijlen van elk rood punt naar een ander rood punt 4 plaatsen verder op de cirkel. Een dergelijke afbeelding noemen
Nadere informatieKangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2012, probleem 1. c Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw
. Bij een weerspiegeling in het water staat een beeld op zijn kop. ntwoord is dus zeker fout. De stand van de maan ten opzichte van de boom moet dezelfde blijven. Zo moet de holle kant van de maan het
Nadere informatieWISKUNDE-ESTAFETTE KUN 2003 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500
WISKUNDE-ESTAFETTE KUN 2003 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500 1 (20 punten) Gekleurde sokken Op de planeet Swift B6 wonen de Houyhnhnms. Ze lijken sprekend op paarden;
Nadere informatieHOOFDSTUK 0. = α g1 α g2
HOOFDSTUK 0 Acties van groepen 0.1 Groep-actie Uit de cursus Meetkunde en Lineaire Algebra van 1ste jaar Bachelor Wiskunde ([KI] in de referentielijst) weten we reeds wat een permutatiegroep G op een verzameling
Nadere informatieWerkwinkel Permutatiepuzzels
Werkwinkel Permutatiepuzzels Karsten Naert UGent Vakgroep Wiskunde 6 november 2013 1 / 33 Over mij... Assistent en doctoraatsstudent Taken: Onderzoek Onderwijs Dienstverlening Karsten.Naert@UGent.be http:
Nadere informatieHoofdstuk 6. Dihedrale groepen. 6.1 Definitie
Hoofdstuk 6 Dihedrale groepen 6.1 Definitie Definitie 6.1. De dihaeder groep is de symmetriegroep van een regelmatige n-hoek. Dit is de verzameling van alle transformaties in het vlak die de regelmatige
Nadere informatieInleiding tot groepentheorie
Hoofdstuk Inleiding tot groepentheorie 1 Basisdefinities Een algebraïsche structuur bestaat meestal uit een verzameling waarop één of meerdere bewerkingen gedefinieerd zijn. Definitie Een inwendige bewerking
Nadere informatieoefenbundeltje voor het vijfde leerjaar
oefenbundeltje voor het vijfde leerjaar bevat: werkbladen uit de map van Wibbel bij Rekensprong Plus, aansluitend bij de wiskundeopdrachten op de poster; de correctiesleutel bij deze werkbladen. Meer informatie
Nadere informatieHOOFDSTUK 2 TRANSFORMATIES
HOOFDSTUK 2 TRANSFORMATIES Verschuiven, roteren, spiegelen, vergroten/verkleinen zijn manieren om bij een figuur een 'beeldfiguur' te bepalen. Deze manieren noem je 'transformaties'. 2.1 LIJNSPIEGELING
Nadere informatieLineaire afbeeldingen
Les 2 Lineaire afbeeldingen Als een robot bij de robocup (het voetbaltoernooi voor robots een doelpunt wil maken moet hij eerst in de goede positie komen, d.w.z. geschikt achter de bal staan. Hiervoor
Nadere informatieTentamen Discrete Wiskunde
Discrete Wiskunde (WB011C) 22 januari 2016 Tentamen Discrete Wiskunde Schrijf op ieder ingeleverd blad duidelijk leesbaar je naam en studentnummer. De opgaven 1 t/m 6 tellen alle even zwaar. Je hoeft slechts
Nadere informatie1 DE STELLING VAN PYTHAGORAS
1 DE STELLING VAN PYTHAGORAS 1.1 Verkennende opdrachten 1.1.1 Pythagoras puzzel (mozaïek van Henry Perigal 1801-1898) Open de link naar het bestand 1 Pythagoras_puzzel.htm Gegeven is een rechthoekige driehoek
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 199 1994 : Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten
Nadere informatieHoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren
Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren 141 Eventjes herhalen : Wat is een homothetie? h (o,k) : Een homothetie met centrum o en factor k Het beeld van een punt Z door de homothetie met centrum O en factor
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde
1 Vlaamse Wiskunde Olmpiade 2006-2007: eerste ronde 1 Hoeveel punten kunnen een rechthoek en een cirkel maimaal gemeen hebben? (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E) 10 2 Van de volgende drie uitspraken R : 2 = R
Nadere informatieWorkshop DisWis, De Start 13/06/2007 Bladzijde 1 van 7. Sudoku. Sudoku
DisWis DisWis is een lessenserie discrete wiskunde die De Praktijk vorig jaar in samenwerking met prof.dr. Alexander Schrijver heeft opgezet. Gedurende vier weken komt een wiskundestudent twee blokuren
Nadere informatieEindexamen wiskunde B havo I (oude stijl)
Een functie Voor 0 < = x < = 2π is gegeven de functie figuur 1 f(x) = 2sin(x + 1 6 π). In figuur 1 is de grafiek van f getekend. y 1 f 4 p 1 Los op: f(x) < 1. De lijn l raakt de grafiek van f in het punt
Nadere informatieWiskunde 1b Oppervlakte
PROFESSIONELE BACHELOR IN HET ONDERWIJS SECUNDAIR ONDERWIJS Auteur: Greet Verhelst, Eddy Greunlinx Lector: Academiejaar 2016-2017 Inhoudsopgave 1 Veelhoekig gebied... 4 2 van een veelhoekig gebied...
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : tweede ronde
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 00-005: tweede ronde De tweede ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord
Nadere informatieWISKUNDE-ESTAFETTE 2010 Uitwerkingen
WISKUNDE-ESTAFETTE 010 Uitwerkingen 1 We tellen het aantal donkere tegels in elke rij. Rij 1 (en rij 19) bestaat uit 10 witte tegels. Rij (en rij 18) bestaat uit 11 tegels, waarvan 6 wit en 5 donker. Rij
Nadere informatie1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde
Junior Wiskunde Olympiade 008-009: tweede ronde ( 7) = (A) 7 (B) 7 (C) 7 of + 7 (D) 7 (E) onbepaald Beschouw de rij opeenvolgende natuurlijke getallen beginnend met en eindigend met Wat is het middelste
Nadere informatieTweederonde2019. Junior Wiskunde Olympiade. Open deze bundel NIET alvorens hiertoe het sein gegeven wordt!
Junior Wiskunde Olympiade Wiskunde leidt je in goede banen ELNGRIJK Noteer hier zeker je deelnemersnummer: Vul hieronder jouw antwoorden in en bereken op www.vwo.be vanafwoensdag13maartom18.00uur jouwscore!
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : tweede ronde
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 005-006: tweede ronde Volgende benaderingen kunnen nuttig zijn bij het oplossen van sommige vragen 1,1 3 1,731 5,361 π 3,116 1 Als a 1 3 a 1 3 a m = a met a R + \{0, 1}, dan
Nadere informatieJunior Wiskunde Olympiade : tweede ronde
Junior Wiskunde Olympiade 018-01: tweede ronde 1. Welk deel van de regelmatige achthoek is gekleurd? ()40% ()4% ()0% ()% (E)60%. artlooptdeeerste8kilometervandentwerp10milesmetmaagpijn:zijn gemiddeldesnelheidis4km/h.omeervolaandefinishtekomen,moetzijn
Nadere informatieExamen G0Q98 Discrete Wiskunde. 8 juni 2018
Examen G0Q98 Discrete Wiskunde. 8 juni 018 Vraag 1 wordt mondeling besproken vanaf 10u00. De andere vragen zijn zuiver schriftelijk. Het ganse examen is open boek. Gelieve bij het indienen je antwoordbladen
Nadere informatie2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax
00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde.
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord krijgt hij
Nadere informatie1 Junior Wiskunde Olympiade : eerste ronde
1 Junior Wiskunde Olympiade 2008-2009: eerste ronde 1 Hoeveel is 2 5 7? (A) 10 21 (B) 25 7 (C) 7 10 (D) 1 15 (E) 29 21 2 Welke van volgende sommen is gelijk aan 10? (A), + 5,555 (B) 2,222 + 6,666 (C),
Nadere informatieUitwerkingen Sum of Us
Instant Insanity Uitwerkingen Sum of Us Opgave A: - Opgave B: Voor elk van de vier kubussen kun je een graaf maken die correspondeert met de desbetreffende kubus. Elk van deze grafen bevat drie lijnen.
Nadere informatieExamen HAVO en VHBO. Wiskunde B
Wiskunde B Examen HAVO en VHBO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Vooropleiding Hoger Beroeps Onderwijs HAVO Tijdvak 1 VHBO Tijdvak 2 Dinsdag 23 mei 13.30 16.30 uur 00 Dit examen bestaat uit 19 vragen.
Nadere informatieMeetkunde. MBO Wiskunde Niveau 4 - Leerjaar 1, periode 3
Meetkunde MBO Wiskunde Niveau 4 - Leerjaar 1, periode 3 LOCATIE: Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal DOMEINEN: Bouwkunde, Werktuigbouw, Research Instrumentmaker LEERWEG: BOL - MBO Niveau 4 DATUM:
Nadere informatieHoofdstuk 3: De stelling van Pythagoras
Hoofdstuk 3: De stelling van Pythagoras Benamingen afspraken ( boek pag 53) - 49 We spreken van een rechthoekige driehoek als... We zeggen dat in de rechthoekige ABC de grootte van de hoek A 90 o is We
Nadere informatieAlgebra. Oefeningen op hoofdstuk Groepentheorie Cayleytabellen van groepen van orde Cyclische groepen
Oefeningen op hoofdstuk 5 Algebra 5.2 Groepentheorie 5.2.1 Cayleytabellen van groepen van orde 8 Oefening 5.1. Stel de Cayleytabel op voor de groep van de symmetrieën van een vierkant. Bewijs dat deze
Nadere informatieWiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 4
Wiskunde Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 4 Paragraaf 4 Het inproduct om hoeken te berekenen Opgave a e hoek is kleiner dan 4, want het dak zelf staat onder een hoek van 45, en de kilgoot loopt schuin
Nadere informatieEen combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010
Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Stijn Vermeeren (University of Leeds) 16 juni 2010 Samenvatting Probleem 10 van de Landelijke Interuniversitaire Mathematische Olympiade 2010vraagt
Nadere informatieSTART WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2007 Je hebt 60 minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 600.
START WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2007 Je hebt 60 minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 600. Estafette-opgave 1 (20 punten, rest 580 punten) Vier bij vier. In een schema van vier maal
Nadere informatie0,6 = 6 / 10 0,36 = 36 / 100 0,05 = 5 /100 2,02 = 2 gehelen en 2 / 100
Breuken 8 teller breukstreep 9 noemer Breukvorm - kommagetal 0,6 6 / 10 0,36 36 / 100 0,05 5 /100 2,02 2 gehelen en 2 / 100 Breuken en gehelen 1) Hoeveel keer gaat de noemer in de teller? 2) Hoeveel is
Nadere informatiePopulaties beschrijven met kansmodellen
Populaties beschrijven met kansmodellen Prof. dr. Herman Callaert Deze tekst probeert, met voorbeelden, inzicht te geven in de manier waarop je in de statistiek populaties bestudeert. Dat doe je met kansmodellen.
Nadere informatie3 + 3 + 6 = 3 + 3 + 3 + 3.
1. Als je vervangt door 3 in de uitdrukking + + 6 = + + +, dan verkrijg je: 3 + 3 + 6 = 3 + 3 + 3 + 3. Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 1. c Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w.
Nadere informatieSMART-finale Ronde 1: 5-keuzevragen
SMART-finale 2019 Ronde 1: 5-keuzevragen Ronde 1 bestaat uit 16 5-keuzevragen. Bij elke vraag is precies één van de vijf antwoorden juist. Geef op het antwoordformulier duidelijk jouw keuze aan, door per
Nadere informatie1 Binaire plaatjes en Japanse puzzels
Samenvatting Deze samenvatting is voor iedereen die graag wil weten waar mijn proefschrift over gaat, maar de wiskundige notatie in de andere hoofdstukken wat te veel van het goede vindt. Ga er even voor
Nadere informatieExtra oefeningen hoofdstuk 12: Omtrek - Oppervlakte - Inhoud
Extra oefeningen hoofdstuk 12: Omtrek - Oppervlakte - Inhoud 1 Een optische illusie? Welk gebied heeft de grootste oppervlakte: het gele of het donkergroene? Doe eerst een schatting en maak daarna de nodige
Nadere informatieII.3 Equivalentierelaties en quotiënten
II.3 Equivalentierelaties en quotiënten Een belangrijk begrip in de wiskunde is het begrip relatie. Een relatie op een verzameling is een verband tussen twee elementen uit die verzameling waarbij de volgorde
Nadere informatieIMO-selectietoets I donderdag 1 juni 2017
IMO-selectietoets I donderdag 1 juni 2017 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Zij n een positief geheel getal. Gegeven zijn cirkelvormige schijven met stralen 1, 2,..., n. Van
Nadere informatieVlaamse Wiskunde Olympiade : tweede ronde
Vlaamse Wiskunde Olmpiade 08-0: tweede ronde. Eenrechthoekmetomtrek00cmis verdeeld in vier stukken met horizontale en verticale blauwe lijnstukken zoals in defiguur.esomvandelengtenvan de verticale blauwe
Nadere informatieLes 2 Hoekpunten, ribben, vlakken
ONTDEKKINGSTOCHT 2 Aanvullend op het artikel van Stephan Berendonk en Leon van den Broek hierbij het bijbehorende lesmateriaal. In dit document vindt u eerst het leelingmateriaal en verderop het materiaal
Nadere informatie5.2.4 Varia in groepentheorie
Oefeningen op hoofdstuk 5 Algebra 5.2 Groepentheorie 5.2.1 Cayleytabellen van groepen van orde 8 Oefening 5.1. Stel de Cayleytabel op voor de groep van de symmetrieën van een vierkant. Bewijs dat deze
Nadere informatie1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde
1 Junior Wiskunde Olympiade 005-006: tweede ronde Volgende benaderingen kunnen nuttig zijn bij het oplossen van sommige vragen 1,1 1,71 5,61 π,116 1 ls a a 17 a m = a 006, met a R + \{0, 1}, dan is m gelijk
Nadere informatieZESDE KLAS MEETKUNDE
ZESDE KLAS MEETKUNDE maandag 1. Het vierkant. Eigenschappen. 2. Vierkanten tekenen met passer en lat vanuit zeshoek 3. Vierkanten tekenen met passer en lat binnen cirkel 4. Vierkanten tekenen met passer
Nadere informatieGaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:
Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van
Nadere informatieWiskunde Opdrachten Vlakke figuren
Wiskunde Opdrachten Vlakke figuren Opdracht 1. Teken in de figuren hieronder alle symmetrieassen. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. Opdracht 2. A. Welke
Nadere informatieGetallensystemen, verzamelingen en relaties
Hoofdstuk 1 Getallensystemen, verzamelingen en relaties 1.1 Getallensystemen 1.1.1 De natuurlijke getallen N = {0, 1, 2, 3,...} N 0 = {1, 2, 3,...} 1.1.2 De gehele getallen Z = {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1,
Nadere informatie4 A: = 10 B: 4 C: 8 D: 8
Hoofdstuk OPPERVLAKTE VWO 0 INTRO A: + 6 = 0 B: C: 8 D: 8 DE OPPERVLAKTE VAN EEN PARALLELLOGRAM Als voorbeeld de oppervlakte van D: De donkerblauwe rechthoek heeft oppervlakte 5 = 0 Daar gaan twee halve
Nadere informatieen een punt P BC zodat BP 2. CB.
Oplossingen E F G H Gegeven is de kubus A C D en een punt P C zodat P C a) epaal het snijpunt van de rechte PH met het voorvlak AFE van de kubus De rechte PH ligt in het diagonaalvlak EHC van de kubus
Nadere informatie1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde
1 Junior Wiskunde Olympiade 200-2005: tweede ronde De tweede ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord
Nadere informatieMorenaments Ornamenten met symmetrie. Werkblad vooraf met begeleidende tekst en oplossingen
Morenaments Ornamenten met symmetrie Fien Aelter, Liesje Knaepen en Kristien Vanhuyse, studenten SLO wiskunde KU Leuven Werkblad vooraf met begeleidende tekst en oplossingen Dit werklad is een voorbereiding
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : tweede ronde
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 006-007: tweede ronde 1 In een rechthoekige driehoek verdeelt de bissectrice uit een scherpe hoek de overstaande zijde in twee stukken met lengten 4 en 5 (zie figuur) De oppervlakte
Nadere informatieSamenvatting Wiskunde Aantal onderwerpen
Samenvatting Wiskunde Aantal onderwerpen Samenvatting door een scholier 2378 woorden 4 juni 2005 5,1 222 keer beoordeeld Vak Wiskunde Gelijkvormigheid Bij vergroten of verkleinen van een figuur worden
Nadere informatieGetaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)
Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk
Nadere informatieKangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2011, probleem 1. c Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w.
1. Omdat2011 1 = 2011en011 = 1en1 2011 = 2011en1+2011 = 2012en1 : 2011 = 1 2011, is 1+2011 het grootst. Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2011, probleem 1. c Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w.
Nadere informatieCEVA-DRIEHOEKEN. Eindwerk wiskunde 2010. Heilige-Drievuldigheidscollege 6WeWIi. Soetemans Dokus
CEVA-DRIEHOEKEN Eindwerk wiskunde 010 Heilige-Drievuldigheidscollege 6WeWIi Soetemans Dokus Inhoud 1. Inleiding... 4 1.1. Info over Giovanni Ceva... 4 1.. Wat zijn Ceva-driehoeken?... 4 1.3. Enkele voorbeelden...
Nadere informatieHet oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b
Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen
Nadere informatieJunior Wiskunde Olympiade : tweede ronde
Junior Wiskunde Olympiade 2015-2016: tweede ronde 1. ls de wieken van een windmolen op hun hoogste punt komen, dan reikt hun uiteinde tot een hoogte van 105 meter. Op hun laagste punt ligt het uiteinde
Nadere informatie2. Waar of vals: Als een rechte a evenwijdig is met een vlak α en dat vlak staat loodrecht op een vlak β dan staat a loodrecht op β.
1 Synthetische RM 1. (a) Geef de definitie van de loodrechte stand van twee vlakken. (b) Geen stellingen die voorwaarden uitdrukken opdat twee vlakken orthogonaal zijn. (c) Steun op 1a of 1b om te bewijzen
Nadere informatieUitwerkingen oefeningen hoofdstuk 4
Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 4 4.4.1 Basis Lijnen en hoeken 1 Het assenstelsel met genoemde lijnen ziet er als volgt uit: 4 3 2 1 l k -4-3 -2-1 0 1 2 3 4-1 -2-3 n m -4 - Hieruit volgt: a Lijn k en
Nadere informatieWhere innovation starts
Kubussen stapelen Erjen Lefeber Nationale Wiskunde Dagen Noordwijkerhout, februari 08 Where innovation starts Ik neem aan dat puzzel is gedownload van http://mn.wtb.tue.nl/~lefeber/kubussenstapelen.pdf
Nadere informatieDe stelling van Pick. Dion Gijswijt
Sommige wiskundige stellingen zijn zo fantastisch simpel en elegant, dat je je afvraagt: Waarom ben ik daar niet op gekomen! Dit stukje gaat over precies zo n stelling: eenvoudiger dan de stelling van
Nadere informatieOpmerking Als de punten A en B op de juiste plaats getekend zijn, maar iedere toelichting ontbreekt, drie punten toekennen.
Een functie f(x) = geeft sin(x + 6 π) = x = π x = 5 π f(x) < geeft π < x < 5 π f (x) = cos(x + 6 π) f (0),7 ( f (0) = ) De hoek van l met de x-as is 60 De hoek van l met de y-as is 0 Trailer-tafel Het
Nadere informatie1 Junior Wiskunde Olympiade 2010-2011: tweede ronde
1 Junior Wiskunde Olympiade 2010-2011: tweede ronde 1. Het quotiënt 28 is gelijk aan 82 (A) 2 0 () 2 1 (C) 2 2 (D) 2 3 (E) 2 4 2. Het resultaat van de vermenigvuldiging 1 3 5 7 9 2011 eindigt op het cijfer
Nadere informatieTentamen algebra 1 Woensdag 24 juni 2015, 10:00 13:00 Snelliusgebouw B1 (extra tijd), B2, B3, 312
Tentamen algebra 1 Woensdag 24 juni 2015, 10:00 13:00 Snelliusgebouw B1 (extra tijd), B2, B3, 312 Je mag de syllabus en aantekeningen gebruiken, maar geen rekenmachine. Je mag opgaven 2.46, 2.49 en 8.13
Nadere informatieEerste ronde Nederlandse Wiskunde Olympiade
Eerste ronde Nederlandse Wiskunde Olympiade 23 januari 2 februari 2017 Uitwerkingen A1. C) donderdag In de eerste vier weken van augustus komt elke dag van de week precies viermaal voor. De laatste 31
Nadere informatieTweederonde2019. Vlaamse Wiskunde Olympiade. Open deze bundel NIET alvorens hiertoe het sein gegeven wordt!
Vlaamse Wiskunde Olmpiade Wiskunde uitdagend? Reken maar! ELNGRIJK Noteer hier zeker je deelnemersnummer: Vul hieronder jouw antwoorden in en bereken op www.vwo.be vanafwoensdag13maartom18.00uur jouwscore!
Nadere informatieLeest hij eerst de eerste kolom van boven naar beneden, dan de tweede enzovoorts, dan hoor je
Estafette-opgave 1 (20 punten, rest 580 punten) Vier bij vier. In een schema van vier maal vier vierkantjes schrijft iemand letters. In iedere rij en in iedere kolom komt zo één A, één B en één C, zodat
Nadere informatieHandig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde
Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde Erratum Meetkunde Je vindt hier de correcties voor Handig met getallen 4 (ISBN: 978 94 90681 005). Deze correcties zijn ook bedoeld voor het Rekenwerkboek
Nadere informatieHoofdstuk 1. Afspraken en notaties
Hoofdstuk 1 Afspraken en notaties In deze tekst onderzoeken we een eenvoudig dobbelspel: twee spelers hebben een dobbelsteen, gooien deze, en wie het hoogst aantal ogen gooit wint. Er blijken setjes dobbelstenen
Nadere informatieEigenschappen en Axioma s van de E 6 -meetkunde
Faculteit Wetenschappen Vakgroep Wiskunde Eigenschappen en Axioma s van de E 6 -meetkunde Magali Victoor Promotor: Prof. dr. Hendrik Van Maldeghem Masterproef ingediend tot het behalen van de academische
Nadere informatieBij de volgende vragen Bij een regelmatige veelhoek kun je het gemakkelijkst eerst de buitenhoeken berekenen en daarna pas de binnenhoeken.
Rood-wit-blauw werkblad 1 Bij het hele werkblad: Alle rode getallen zijn deelbaar door hetzelfde getal. Elk wit getal is gelijk aan een rood getal + 1, elk blauw getal aan een rood getal + 2 Russisch vermenigvuldigen
Nadere informatieAchter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Examen HAVO 05 tijdvak donderdag 8 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit examen
Nadere informatieEen ander zijvlak is het regelmatige vijfhoek met aantal zijden P=5. Hierbij moeten Q=3 zijvlakken samenkomen in een hoekpunt van het veelvlak.
Praktische-opdracht door een scholier 1498 woorden 6 juni 2003 6,5 134 keer beoordeeld Vak Wiskunde Deelvraag 1: Wat is de definitie van een Platonische Lichaam / Platonisch Veelvlak? De definitie: Een
Nadere informatieRubik s Kubus, Invarianten en bijna commuteren.
Rubik s Kubus, Invarianten en bijna commuteren. Rubik s Kubus ziet er in de winkel uit als een kubus die verdeeld is in 27 kleine kubusjes waar gekleurde plakkertjes op zitten en wel zo dat de negen plakkertjes
Nadere informatieWiskunde Leerjaar 2 - Periode 1 Meetkunde
Wiskunde Leerjaar 2 - Periode 1 Meetkunde Vierhoeken Vierkant Rechthoek Parallellogram Ruit Trapezium Vlieger Vierhoek 1. Vierkant D zijde zijde Een vierkant is een vierhoek met vier rechte hoeken én vier
Nadere informatieLijnen van betekenis meetkunde in 2hv
Lijnen van betekenis meetkunde in 2hv Docentenhandleiding bij de DWO-module Lijnen van betekenis Deze handleiding bevat tips voor de docent bij het gebruiken van de module Lijnen van betekenis, een module
Nadere informatieExtra oefeningen wiskunde 3lawe 3wet Transformaties, Stelling van Thales, Homothetie. Meetkunde. Transformaties en Stelling van Thales.
Etra oefeningen wiskunde 3lawe 3wet Transformaties, Stelling van Thales, Homothetie. Meetkunde Transformaties en Stelling van Thales.. Waar of niet waar? a. Het beeld van een rechte door de projectie op
Nadere informatie