Eindwerk wiskunde: De wiskunde achter de Rubik s kubus. Laurens Vanden Eynde 6 e jaar Latijn - Wiskunde

Transcriptie

1 Eindwerk wiskunde: De wiskunde achter de Rubik s kubus Laurens Vanden Eynde 6 e jaar Latijn - Wiskunde Schooljaar

2 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Kubusnotatie Design Vlaknotatie Bewegingsnotatie Configuraties Groepen Deelgroepen Generatoren Permutaties 7 5 Pariteit 8 6 God s number, God s algorithm 9 7 Oplossingsmethoden 10 8 Besluit 16 9 Bronnenlijst 17 1

3 1 Inleiding Iedereen kent de Rubik s kubus wel en heeft het ooit eens vastgehad. Je zal al wel doorhebben dat het niet zomaar een kubus is. de principes en systemen die erachter zitten zijn ingewikkeld en maken van de kubus een aardig staaltje wiskunde. De Rubik s kubus is een wereldwijd fenomeen. met meer dan honderd miljoen verkochte exemplaren is dit het meest verkochte speelgoed ooit. Speelgoed?, denken wetenschappers, Nee, wiskunde! Als je ooit geprobeerd hebt om de kubus op te lossen, zal je wellicht niet al te ver geraakt zijn, of zal je het internet geraadpleegt hebben. Het is nu ook eenmaal niet zo gemakkelijk om de Rubik s kubus op te lossen. er zijn namelijk mogelijke combinaties te vormen en maar een daarvan is de juiste. Je zou denken dat dit onmogelijk is, maar dat is het niet. Meer zelfs, het is aangetoond dat je elke kubus kan terugbrengen naar de startpositie in maximum 20 stappen! Met dit werkstuk ga ik op zoek naar de wiskundige principes die in de Rubik s kubus schuilen. Als extraatje wordt er ook een oplossingsmethode gegeven die je op weg helpt om de kubus op te lossen. 2

4 2 Kubusnotatie Voor we kunnen starten, moeten we bepaalde systemen duidelijk maken. Hierdoor zal het gemakkelijker zijn om het hele werkstuk door te kunnen volgen. We geven eerst ee korte initiatie Rubik s kubus-kunde. 2.1 Design Een Rubik s kubus is een kubus van 3x3x3. Zo n kubus bestaat uit 27 kleine kubusjes. Van de 27 kubusjes zijn er 26 zichtbaar. Het middelste kubusje is vervangen door een mechanisme die de vlakken doet draaien. Het 27 e kubusje bestaat dus niet. De zes vlakken van de kubus hebben elk een andere kleur. Meestal zijn deze kleuren wit, groen, oranje, rood, geel en blauw. Er zijn acht hoekkubusjes. Dit zijn de uiterste kubusjes van de grote kubus en hebben elk drie vlakken. Er zijn twaalf randkubusjes. Deze zitten tussen de hoekkubusjes en hebben elk twee vlakken. Er zijn zes centrumkubusjes. Deze bevinden zich in het midden van elk vlak. 2.2 Vlaknotatie We hebben eerst en vooral een bepaalde notatie nodig om een gemakkelijk systeem te creren in onze kubus. In plaats van met kleuren te werken, werken we met vlakken. We hebben het voorvlak dat we f noemen van front, het achtervlak dat we b noemen van back, het rechtervlak dat we r noemen 3

5 van right, het linkervlak dat we lnoemen van left, het bovenvlak dat we u noemen van up en het ondervlak dat we d noemen van down. De vlakken worden aangeduid met een kleine letter. Zo kunnen we gemakkelijk het onderscheid maken met de bewegingsnotatie. Voorbeeld 2.1 Het hoekkubusje van het voorvlak, rechtervlak en bovenvlak noemen we fru Voorbeeld 2.2 Het randkubusje van het achtervlak en het linkervlak noemen we bl 2.3 Bewegingsnotatie Nu we namen hebben gegeven aan de delen van de kubus, moeten we ook namen geven aan de bewegingen of zetten van de kubus. We beschouwen het draaien van het voorvlak in klokwijzerszin als F van front. Het draaien van het voorvlak in tegenwijzerszin noemen we F. Deze methode passen we toe op alle vlakken van de kubus. Voor F F Achter B B Rechts R R Links L L Boven U U Onder D D We gebruiken deze benaming om verwarring met de vlaknotatie te voorkomen. Vanaf nu benoemen we vlakken dus met een kleine letter, bewegingen met een grote letter. Voorbeeld 2.3 Als we eerst het voorvlak draaien en dan het rechtervlak, beiden in klokwijzerszin, noemen we dit F R Voorbeeld 2.4 Als we eerst het linkervlak draaien in klokwijzerszin en dan het bovenvlak in tegenwijzerszin, noemen we dit LU Het is duidelijk dat de centrumkubusjes altijd op hun plaats blijven. Bovendien blijven randkubusjes altijd randkubusjes en hoekkubusjes altijd hoekkubusjes. We kunnen dit ook als volgt verklaren: hoekkbusjes hebben drie vlakken, bijvoorbeeld f ru. Randkubusjes hebben 2 vlakken, bijvoorbeeld lu. Het is onmogelijk om van drie naar twee vlakken te gaan. 4

6 2.4 Configuraties Er zijn immens veel mogelijke configuraties van de kubus. Er zijn namelijk acht hoekkubusjes, die dus op 8! manieren geplaatst kunnen worden. Elk van deze acht hoekkubusjes heeft bovendien drie vlakken die anders georiënteerd kunnen zijn. Zo zijn er 3 8 8! mogelijke posities van de randkubusjes. In totaal zijn er dus 3 8 8! ! > 5, mogelijke posities van de Rubik s kubus! Deze zijn echter niet allemaal te vormen vanuit de startpositie. Uiteindelijk is maar 1/12 e hiervan mogelijk. 3 Groepen Definitie 3.1 Een groep G is een verzameling elementen waarvoor geldt: 1. De vermenigvuldiging is gesloten: a, b G : a b G 2. De vermenigvuldiging is associatief: a, b, c G : a (b c) = (a b) c = a b c 3. Er is een identiek element: a G, e G : e a = a = a e 4. Ieder element heeft een invers element: a G, b G : a b = e = b a We beschouwen vanaf nu de groep G als de groep bestaande uit alle mogelijke zetten van de kubus. G is een groep met oneindig veel elementen. Toepassing 3.2 We passen deze definitie toe op de Rubik s kubus 1. De vermenigvuldiging is gesloten: stel de zetten F en R van G, dan is F R ook een zet van G 2. De vermenigvuldiging is associatief: stel de zetten F, R en U van G, dan is F (RU) = (F R) U = F RU 3. Er is een identiek element: dit element e is de zet niets doen 4. Ieder element heeft een invers element: stel F een van G, dan is F het invers element van F als F F = e oftewel gelijk is aan niets doen 5

7 De Rubik s kubus is een mooi voorbeeld van een groep. We beschouwen hierbij alle mogelijke combinaties van zetten als elementen van de groep. Eigenschap 3.3 Het identiek element e is uniek Eigenschap 3.4 a, b, e G : a b = e a = b 1 Eigenschap 3.5 a, b G : (a b) 1 = b 1 a 1 Eigenschap 3.6 a, e G : (a 1 ) 1 = e 3.1 Deelgroepen Een deelgroep is een niet-lege deelverzameling D van G die zelf ook een groep is. Voorbeeld 3.7 De verzameling D = {F, F F, F F F, F } is een deelgroep van G 3.2 Generatoren Definitie 3.8 Stel G en D een deelverzameling van G. Dan genereert D G als elk element van G geschreven kan worden als een product van de elementen van D. Voorbeeld 3.9 Stel de deelverzameling D = {F, B, R, L, U, D} van G, dan genereert D de groep G, want elk element van G kan je schrijven als een product van de elementen van D Voorbeeld 3.10 Stel de deelverzameling D = {F } van S = {F, F F, F F F, F }, dan genereert D de groep S We noemen de deelverzameling D voortbrengend. Definitie 3.11 De graad van een element a is het getal n waarvoor geldt a n = e In het laatste voorbeeld betekent dit dat de graad van F = 4. De graad van F F = 2. Dit wilt zeggen dat als een zet blijft herhalen, je altijd terug op dezelfde positie komt. Voorbeeld 3.12 De graad van F = 4, dus als je deze zet vier maal herhaalt, kom je terug op de beginpositie uit 6

8 4 Permutaties Definitie 4.1 Een permutatie is een verwisseling van plaats binnen een verzameling Voorbeeld 4.2 Als we de verzameling (1234) hebben en we voeren een permutatie uit, kan die eruitzien als (1342) Aangezien we bij permutaties vaak met grotere verzamelingen dan die van 4 elementen werken, gebruiken we een gemakkelijkere manier van noteren, decykelnotatie: We voeren de permutatie (123456) (145263) uit. We kunnen de baan van de permutatie volgen: We kunnen de permutatie schrijven als (24)(356). Dit betekent dat 2 en 4 op elkaar worden afgebeeld. 3,5 en 6 vormen een lus. De 1 wordt niet genoteerd aangezien deze op zichzelf afgebeeld wordt. Op dezelfde manier kan je de zetten van Rubik s kubus beschrijven. Het draaien van een vlak van de kubus houdt eigenlijk een verplaatsing van kubusjes in. Bij elke zet verplaats je 9 kubusjes. De zetten van de kubus zijn dus allemaal permutaties. Voorbeeld 4.3 Neem het voorvlak f. De hoekkubusjes van dit vlak zijn fur, frd, fdl en flu. Door de permutatie F uit te voeren, komt fur op de plaats van frd, frd op de plaats van fdl, fdl op de plaats van flu en flu op de plaats van fur. De randkubusjes van dit vlak zijn fu, fr, fd en fl. Door de permutatie F uit te voeren, komt fu op de plaats van fr, fr op de plaats van fd, fd op de plaats van fl en fl op de plaats van fu. Het centrumkubusje van het vlak blijft op zijn plaats. 7

9 In cykelnotatie wordt dit voor de hoekkubusjes (fur, frd, fdl, flu). Voor de randkubusjes wordt dit (fu, fr, fd, fl). De permutatie F kan je dan noteren als (fur, frd, fdl, flu)(fu, fr, fd, fl). Zo kunnen we elke zet van de kubus anders schrijven: 5 Pariteit F=(fur, frd, fdl, flu)(fu, fr, fd, fl) B=(bru, bul, bld, bdr)(br, bu, bl, bd) R=(rfu, rub, rbd, rdf)(rf, ru, rb, rd) L=(luf, lfd, ldb, lbu)(lu, lf, ld, lb) U=(urf, ufl, ulb, ubr)(ur, uf, ul, ub) D=(dfr, drb, dbl, dlf)(df, dr, db, dl) Definitie 5.1 Als we een cykel hebben met lengte n, dan kan je deze cykel herschrijven als (n 1) 2-cykels. Het aantal 2-cykels die nodig zijn, noemen we de pariteit. Als n even is, heb je dus een oneven aantal 2-cykels nodig. Voorbeeld 5.2 De pariteit is hier gelijk aan 3 (1234) = (12)(13)(14) Stelling 5.3 Elke permutatie van de Rubik s kubus heeft een even pariteit Bewijs 5.4 We nemen een willekeurige zet van de kubus, bijvoorbeeld F. We hebben in het hoofdstuk rond permutaties gezien dat de zet F een combinatie is van de permutaties (fur, frd, fdl, flu)(1) en (fu, fr, fd, fl)(2). (1) kan je schrijven als (fur, frd, fdl, flu) = (fur, frd)(fur, fdl)(fur, flu) Dit is een oneven permutatie. (2) kan je schrijven als (fu, fr, fd, fl) = (fu, fr)(fu, fd)(fu, fl) Dit is ook een oneven permutatie. Je kan de totale permutatie F dan schrijven als 8

10 F = (fur, frd)(fur, fdl)(fur, flu)(fu, fr)(fu, fd)(fu, fl) De permutatie F is even. Aangezien we elke zet kunnen schrijven als een variant van F -namelijk B, R, L, U, D-, is elke permutatie van de Rubik s kubus even. 6 God s number, God s algorithm Een belangrijke vraag voor wiskundigen die de Rubik s kubus onderzochten was in maximaal hoeveel stappen je elke kubus kan oplossen. Na dertig jaar onderzoek kwam men uiteindelijk uit op 20. Om de kubus op te lossen moet je gebruik maken van algoritmes. Een algoritme is een opeenvolging van stappen die je doet om een resultaat te bekomen. Als je een algoritme een aantal keer herhaalt, bekom je terug de beginsituatie. Voorbeeld 6.1 Als je het algoritme F F RR uitvoert, ben je na zes stappen terug in de beginsituatie Sommigen geloven dat God een gemakkelijk algoritme zou gebruiken. Dit algoritme zou altijd het minst aantal zetten gebruiken om de kubus op te lossen en wordtgod s algorithm genoemd. Het aantal zetten dat die bevat noemt men God s number. Recent is aangetoond dat dit getal op 20 ligt. Het bewijs hiervan valt buiten het bestek van dit eindwerk. 9

11 7 Oplossingsmethoden Er zijn drie verschillende oplossingsmethoden: 1. Eerst en vooral kan je de stickertjes er een voor een afhalen en ze juist kleven 2. Ten tweede kan je de kubus uiteen halen en dan in de oorspronkelijke staat terugzetten. Dit doe je door een vlak 45 te draaien en het dan open te breken met een schroevendraaier. 3. De derde methode is het gewoon op te lossen We gaan ons uiteraard niet bezig houden met de eerste twee methoden, maar uitsluitend met de derde. We geven een gemakkelijk uit te voeren methode die altijd werkt. Het is niet de snelste, maar wel efficiënt. Eerst moeten we de eerste laag oplossen. Dit wil zeggen dat we een vlak helemaal oplossen en de randen van dit vlak ook (zie fig. 1). Hiervoor maken we eerst een kruis op een willekeurig vlak (zie fig. 2). Dit moet je kunnen zonder bepaalde algoritmes te gebruiken. Figuur 1 Figuur 2 Nu gaan we de hoeken in orde brengen. Er zijn drie mogelijkheden (zie fig. 3,4 en 5). Bij fig. 3 doe je het volgende algoritme: R D R. Je zal merken dat het kubusje zich nu op de juiste plaats bevindt. Bij fig. 4 doe je het algoritme R D RD een aantal keer na mekaar tot het kubusje juist zit. Bij fig. 5 doe je het algoritme D R DR. Deze drie algoritmes kunnen je in alle gevallen helpen. 10

12 Figuur 3 Figuur 4 Figuur 5 Nu je het eerste vlak hebt opgelost, is het tijd voor de volgende stap. Je draait de kubus om m.a.w. je plaatst het opgeloste vlak naar onder. Op het einde van de tweede stap moet de kubus er zo uitzien (zie fig. 6). Figuur 6 Je vertrekt vanuit fig. 7. Om de tweede laag te vormen, zijn er twee mogelijkheden (zie fig. 8 en 9). Deze twee lijken erg op elkaar, maar ze zijn heel 11

13 verschillend. Bij fig. 8 hou je het blauwe vak vooraan en je doet het algoritme URU R U F UF. Bij fig. 9 hou je het oranje vlak vooran en je doet het algoritme U L ULUFU F. Zo kan je heel de tweede laag vormen. Figuur 7 Figuur 8 Figuur 9 We zijn bij de derde stap aanbeland. Bij deze stap zijn er enkele beginmogelijkheden, d.w.z. je kan na stap 2 verschillende configuraties uitkomen. Oftewel heb je in het bovenvlak maar 1 juist blokje (zie fig. 10), oftewel heb je een L-vorm (zie fig. 11), oftewel heb je een streep (zie fig. 12), oftewel een kruis (zie fig. 13). Het doel is dit kruis te bereiken. Er is een algoritme dat in elk van deze gevallen werkt. Dit is het algoritme FRUR U F. Bij fig. 10 maakt het niet uit hoe je de kubus houdt om het algoritme te doen. Bij fig. 11 hou je de kubus zoals op de figuur gegeven is. Bij fig. 12 hou je de streep horizontaal, d.w.z. op de tekening met het oranje vlak vooraan. 12

14 Figuur 10 Figuur 11 Figuur 12 Figuur 13 Nu we het kruis hebben gevormd, moeten we de vier randkubusjes van het bovenvlak oplossen (zie fig. 14). Het kan zijn dat dit al zo is na het eerste deel van stap 3, maar meestal is dat niet het geval. Meestel zijn er twee van de vier randkubusjes al opgelost. Hierbij heb je twee gevallen. Oftewel zijn het aangrenzende vlakken (zie fig. 14), oftewel overstaande vlakken (fig. 15). Bij de overstaande vlakken hou je de kubus zo dat het ene vlak zich vooraan en het andere vlak zich achteraan bevindt. Bij aangrenzende vlakken hou je de kubus zo dat het ene vlak zich rechts en het andere vlak zich achteraan bevindt. Dan doe je het volgende algoritme: RUR URUUR U. Bij overstaande vlakken moet je dit algoritme twee maal uitvoeren. 13

15 Figuur 14 Figuur 15 Het enige wat nog rest zijn de hoekkubusjes van het bovenvlak. Je zoekt een hoekkubusje dat al op de juiste plaats zit, maar nog niet per se juist georiënteerd (zie fig. 16). Als er zo een of meerdere zijn hou je de kubus zo dat dit hoekkubusje zicht rechtsvooraan bevindt, zoals op de figuur. Als er geen enkel hoekkubusje zich op de juiste plaats bevindt, maakt het niet uit hoe je de kubus houdt. Je voert dan het algoritme URU L UR U L totdat alle hoekkubusjes op de juiste plaats zitten. Als dit gebeurd is,heb je iets gelijkaardigs als fig. 17. Figuur 16 Figuur 17 Nu moeten we de hoekkubusjes enkel nog juist oriënteren. Je houdt de kubus zoals op fig. 17 en voert het algoritme R U RU enkele keren uit totdat het hoekkubusje juist georiënteerd is. Je zal merken dat de rest van de kubus dan helemaal door elkaar zit, maar dit is niet erg. Op het einde komt dit wonderbaarlijk terug in orde. Je krijgt zoiets als in fig. 18. Je draait nu enkel het 14

16 bovenvlak 1 keer tegen de klok in, m.a.w. de zet U. Nu doe je opnieuw het algoritme R U RU. Dit herhaal je tot de kubus helemaal opgelost is (zie fig. 19). Figuur 18 Figuur 19 15

17 8 Besluit In mijn eindwerk heb ik geprobeerd om de wiskundige principes die achter de Rubik s kubus schuilen te bundelen. Ik heb het gehad over groepentheorie, permutaties, pariteit en algoritmes. Verder heb ik ook een oplossingsmethode gegeven. We zagen eerst de groepentheorie. We gaven een definitie en daarna enkele voorbeelden. We pasten de groepentheorie ook toe op de kubus. Daarna zagen we permutaties, die de verandering van positie binnen een verzameling weergeeft. De kubus is hier een duidelijk voorbeeld van. Vervolgens zagen we de term pariteit en ten slotte het begrip algoritme. Helemaal op het einde gaven we ook een oplossingsmethode voor de kubus. Met deze methode kan je de kubus in de meeste gevallen oplossen. Ik zou graag de heer Hector Mommaerts bedanken voor de lessen die hij mij twee jaar lang met veel enthousiasme gegeven heeft. Laurens Vanden Eynde 16

18 9 Bronnenlijst 1. CHEN, J., Group theory and the Rubik s cube, niet-gepubliceerde cursus, Texas, Texas State Honors Summer Math Camp 2. The Mathematics of the Rubik s Cube. Introduction to Group Theory and Permutation Puzzles, niet-gepubliceerde paper, 17maart TRAVIS, M., The Mathematics of the Rubik s Cube, niet-gepubliceerde paper 4. VAN GELDER, I., Rubik s Cube en andere puzzels, niet-gepubliceerd eindwerk, Brussel, Vrije Universiteit Brussel, 8mei JOYNER, W.D., Mathematics of the Rubik s cube, niet-gepubliceerde paper, Annapolis, U.S. Naval Academy, VAN ALBADA, B. en KAREMAKER, V. en SPRENGER, B., De schuifpuzzel, Rubik s kubus en andere puzzels doorgrond, niet-gepubliceerde thesis, januari ROKICKI, T., God s number is 20, internet, 10maart2011, ( 17