Docentencursus relativiteitstheorie
|
|
- Sonja Bogaerts
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Docentencursus relativiteitstheorie Uitwerkingen opgaven bijeenkomst 1, "Waarom relativiteit?" 18 september 2013 De opgaven die met een "L" zijn aangegeven, zijn op leerlingenniveau dit zijn dus opgaven die in de les of in een examen zouden kunnen voorkomen. De opgaven die met een "D" zijn aangegeven, zijn op docentenniveau. Deze opgaven zijn bedoeld om het inzicht en de kennis van de docent te verdiepen. Opgave 1 (L): Wisselen van referentiekader in de klassieke mechanica Een waarnemer, A, staat op het perron. Hij ziet een trein met 20 m/s naar rechts langsrijden met daarin zijn vriend, B. Tegelijkertijd ziet hij op een ander spoor een trein met 30 m/s naar links langsrijden met daarin een andere vriend, C. a) Met welke snelheden ziet waarnemer B de waarnemers A en C bewegen? Waarnemer B beweegt met 20 m/s naar rechts ten opzichte van A. Waarnemer B ziet A dus met 20 m/s naar links bewegen. Waarnemer C beweegt ten opzichte van A met 30 m/s naar links. Ten opzichte van B beweegt hij dus met = 50 m/s naar links. (In de klassieke mechanica kunnen we snelheden gewoon optellen.) b) Met welke snelheden ziet waarnemer C de waarnemers A en B bewegen? Waarnemer C beweegt met 30 m/s naar links ten opzichte van A. Waarnemer C ziet A dus met 30 m/s naar rechts bewegen. Waarnemer B beweegt ten opzichte van A met 20 m/s naar rechts. Ten opzichte van C beweegt hij dus met = 50 m/s naar rechts. (In de klassieke mechanica kunnen we snelheden gewoon optellen.) De drie vrienden passeren elkaar op exact hetzelfde tijdstip, dat we t=0 s noemen. Ze hebben afgesproken dat A op t=10 s in zijn handen klapt, B op t=15 s, en C op t=20 s. c) Teken (in het klassieke wereldbeeld) een ruimte tijdgrafiek vanuit het gezichtspunt van A, waarin de beweging van zijn vrienden is weergegeven. Geef ook de drie gebeurtenissen aan waarop de drie vrienden in hun handen klappen. Zie de grafiek op de volgende bladzijde. Horizontaal staat de plaats x uitgezet, verticaal de tijd t. Eén hokje langs de x as komt overeen met 200m. Eén hokje langs de t as komt overeen met 10s. De rode lijn geeft de positie van waarnemer A aan, de blauwe lijn de positie van waarnemer B, en de groene lijn de positie van waarnemer C. De zwarte stippen geven de gebeurtenissen weer waarbij de waarnemers in hun handen klappen.
2 d) Teken dezelfde ruimte tijdgrafiek vanuit het gezichtspunt van B. Zie de grafiek hieronder. Eenheden en kleuren zijn als in de grafiek hierboven. Als we de twee grafieken vergelijken,zien we dat tijd absoluut is maar ruimte niet: de zwarte stippen bevinden zich in beide grafieken op dezelfde hoogte, maar op verschillende plaatsen in de x richting. Opgave 2 (L): Wisselen van referentiekader in de relativiteitstheorie In het onderstaande (relativistische) ruimtetijddiagram zijn de referentiekaders van twee waarnemers aangegeven met doorgetrokken en gestippelde lijnen. De stippen geven drie verschillende gebeurtenissen aan. Het diagram is getekend vanuit het gezichtspunt van de "doorgetrokken" waarnemer: zijn ruimte en tijdlijnen staan loodrecht op elkaar.
3 a) Teken hetzelfde ruimtetijddiagram vanuit het gezichtspunt van de "gestippelde" waarnemer. We tekenen allereerst de ruimte en tijdlijnen van de gestippelde waarnemer: deze staan nu loodrecht op elkaar. Vervolgens tekenen we de ruimte en tijdlijnen van de doorgetrokken waarnemer. Als de gestippelde waarnemer ten opzichte van de doorgetrokken met een snelheid v naar rechts beweegt, beweegt de doorgetrokken ten opzichte van de gestippelde met een snelheid v naar links. De ruimtetijdlijnen van de doorgetrokken waarnemer staan in het tweede ruimtetijddiagram (vanwege het relativiteitsprincipe) dus precies gespiegeld aan hoe de gestippelde lijnen in de oorspronkelijke afbeelding liepen. Tenslotte tekenen we de drie gebeurtenissen in het nieuwe diagram. Dit is een kwestie van "hokjes tellen": de meest rechter gebeurtenis bevindt zich in het eerste diagram bijvoorbeeld op coördinaten (x,t)=(2, 1.5) we gaan dus ook in het tweede diagram vanuit de oorsprong twee hokjes langs de doorgetrokken lijnen naar rechts, en anderhalf hokje omhoog. Het eindresultaat is als volgt: b) Welke gebeurtenissen vinden voor beide waarnemers in dezelfde volgorde plaats, en welke niet? De twee bovenste (laatste) gebeurtenissen veranderen van volgorde; de andere paren gebeurtenissen vinden voor beide waarnemers in dezelfde volgorde plaats. We zien dat, doordat het begrip gelijktijdigheid waarnemerafhankelijk is, ook de volgorde van gebeurtenissen voor waarnemers kan verschillen. Later zullen we zien dat dit alleen kan voorkomen als de gebeurtenissen zo ver uit elkaar plaatsvinden dat een lichtsignaal van de ene gebeurtenis de andere niet kan bereiken. Op deze manier ontstaan er geen probleem met causaliteit (oorzakelijk verband): geen van beide gebeurtenissen kan de ander beïnvloeden. Opgave 3 (L): Ruimtetijddiagrammen tekenen Teken in een of meerdere ruimtetijddiagrammen: a) De wereldlijnen van een lichtflits die in de oorsprong ontstaat. De wereldlijnen van het licht vertrekken vanuit de oorsprong en maken hoeken van 45 graden met de assen zie afbeelding op de volgende bladzijde.
4 b) Het pad in de ruimtetijd van een liniaal die op t=0 s tussen de punten x=1 ls en x=2 ls is uitgestrekt, en die met de helft van de lichtsnelheid naar rechts beweegt. Zie de afbeelding hieronder. Let op: het feit dat de liniaal zich op t=0 uitstrekt tussen de punten x=1 ls en x=2 ls betekent dat de liniaal voor de stilstaande waarnemer 1 ls lang lijkt. We zullen later bij het onderwerp "Lorentzcontractie" zien dat een meebewegende waarnemer een andere lengte voor de liniaal waarneemt! c) Twee spiegels die met de helft van de lichtsnelheid naar links bewegen, en die zich op t=0 s bevinden op x=0 ls en x=1 ls. Teken ook een lichtflits die vanuit de oorsprong naar rechts beweegt en tussen deze twee spiegels heen en weerkaatst. Zie de afbeelding hieronder. (Uitleg op de volgende pagina.)
5 Wat aan deze afbeelding opvalt is dat voor de stilstaande waarnemer het licht veel korter naar rechts beweegt dan naar links. Vanuit de stilstaande waarnemer is dit eenvoudig te verklaren: als het licht naar rechts beweegt komt de spiegel het licht tegemoet; als het licht naar links beweegt moet het de spiegel inhalen. Voor een met de spiegels meebewegende waarnemer moeten de reistijden naar links en naar rechts wel hetzelfde zijn. We zullen in opgave 6 zien hoe we dit feit kunnen gebruiken om de ruimtelijnen van de meebewegende waarnemer te tekenen. Opgave 4 (D): Het relativiteitsbeginsel. Een kogel met massa m 1 =2 kg beweegt met een snelheid van v 1 =4 m/s naar rechts. Een kogel met een massa m 2 =3 kg beweegt met een snelheid van v 2 =6 m/s naar links. De twee kogels botsen volkomen elastisch dat wil zeggen: de totale impuls en kinetische energie zijn na de botsing behouden. a) Met welke snelheden vliegen de kogels na de botsing uit elkaar? De totale impuls voor de botsing is p tot = m 1 v 1 + m 2 v 2 = 10 kg m/s. De totale kinetische energie voor de botsing is E tot = 1/2 m 1 v /2 m 2 v 2 2 = 70 J. Impuls en kinetische energie zijn behouden, dus ook voor de snelheden u i na de botsing moet gelden dat m 1 u 1 + m 2 u 2 = 10 kg m/s 1/2 m 1 u /2 m 2 u 2 2 = 70 J Invullen van de massa's en wat verdere algebra (los de eerste vergelijking bijvoorbeeld op voor u 1 als functie van u 2, vul in in de tweede, en los de resulterende kwadratische vergelijking op voor u 2 ) levert twee oplossingen: 1. u 1 = 4 m/s, u 2 = 6 m/s 2. u 1 = 8 m/s, u 2 = 2 m/s De eerste oplossing geeft de oorspronkelijke situatie terug: dit is het onfysische geval waarin de kogels "door elkaar heen vliegen". De tweede oplossing is dus degene die we zoeken: de eerste kogel vliegt met 8 m/s terug naar links, de tweede vliegt met 2 m/s terug naar rechts. b) Reken deze snelheden om (in het wereldbeeld van Galileï) naar het referentiekader waarin de eerste kogel in eerste instantie stilstaat. In het oorspronkelijke referentiekader beweegt de eerste kogel met 4 m/s. In het wereldbeeld van Galileï kunnen we snelheden gewoon optellen en aftrekken, dus om in het referentiekader terecht te komen waarin die kogel in eerste instantie stilstaat (het met die kogel meebewegende referentiekader) moeten we van alle snelheden 4 m/s aftrekken. Dat geeft: v 1 = 0 m/s, v 2 = 10 m/s u 1 = 12 m/s, u 2 = 2 m/s
6 c) Zijn in dit nieuwe stelsel totale impuls en energie ook behouden? Voor de botsing (vul de v waarden uit opgave (b) in) zijn in het nieuwe stelsel de totale impuls en kinetische energie: p tot = m 1 v 1 + m 2 v 2 = 30 kg m/s E tot = 1/2 m 1 v /2 m 2 v 2 2 = 150 J Na de botsing (vul de u waarden uit opgave (b) in) zijn in het nieuwe stelsel de totale impuls en kinetische energie: p tot = m 1 u 1 + m 2 u 2 = 30 kg m/s E tot = 1/2 m 1 u /2 m 2 u 2 2 = 150 J We zien dat impuls en kinetische energie dus ook in het nieuwe referentiekader behouden zijn. Dit is een voorbeeld van het relativiteitsbeginsel: de natuurwetten gelden in elk eenparig bewegend stelsel. Opgave 5 (D): Galileïtransformaties en het optellen van snelheden De Galileïtransformatie voor ruimtecoördinaten is x' = x v t Laat zien dat dit betekent dat in Galileï's wereldbeeld snelheden bij elkaar opgeteld kunnen worden. Met andere woorden: als een trein in het bewegende referentiekader een snelheid u heeft, laat dan zien dat die trein in het stilstaande referentiekader een snelheid u+v heeft. Als een trein in het bewegende referentiekader een constante snelheid u heeft, betekent dat dat zijn positie gegeven is door x' = u t. (We nemen voor het gemak aan dat de trein op t=0 op plaats x'=0 is; de opgave kan op dezelfde manier worden uitgevoerd als dit niet het geval is door nog een constante bij het rechterlid op te tellen.).merk op dat we hier expliciet gebruiken dat beide waarnemers in het klassieke wereldbeeld dezelfde tijdscoördinaat t hebben er komt in deze vergelijking geen t' voor. Invullen van deze x' in de Galileïtransformatie geeft u t = x v t Oplossen voor x als functie van t levert x = (u + v) t Deze vergelijking beschrijft inderdaad de positie van een object dat met snelheid u+v voortbeweegt.
7 Opgave 6 (D): Constructie van een ruimtelijn In het hoorcollege is de richting van de ruimtelijnen van een bewegende waarnemer geconstrueerd door lichtflitsen naar twee bewegende waarnemers (links en rechts van de oorspronkelijke waarnemer) te sturen. In de NiNa module wordt een andere methode gebruikt, die we hieronder zullen doorlopen. a) Teken in een ruimtetijddiagram de wereldlijn van een eenparig bewegende waarnemer die door de oorsprong gaat. b) Teken de wereldlijn van een tweede waarnemer die met dezelfde snelheid beweegt, maar op een andere plaats start. c) Teken een lichtflits die van de eerste waarnemer naar de tweede gaat, en vervolgens wordt teruggekaatst naar de eerste waarnemer. d) Welk punt op de wereldlijn van de eerste waarnemer zou volgens hem gelijktijdig moeten zijn met het terugkaatsen van de lichtflits? Teken dit punt in het diagram. e) Teken de ruimtelijn (dus: de lijn van gelijktijdige gebeurtenissen op verschillende plaatsen) die door de gebeurtenissen uit opgave (d) gaat. Zie de afbeelding hieronder voor de antwoorden op de opgaven a t/m e. De steile groene lijn links is de wereldlijn van de eenparig bewegende waarnemer die door de oorsprong gaat (a). De parallelle steile groene lijn rechts is de wereldlijn van de tweede bewegende waarnemer (b). De gele lijn geeft de wereldlijn van de lichtflits weer (c). De blauwe stip rechts geeft de gebeurtenis weer waar de lichtstraal wordt teruggekaatst. Voor de bewegende waarnemers is het licht even lang naar rechts als naar links onderweg; het punt dat gelijktijdig is met het terugkaatsen van de lichtflits ligt voor hen dus halverwege het vertrekpunt en het aankomstpunt van de lichtflits de blauwe stip links (d). Aangezien de twee gebeurtenissen bij de blauwe stippen voor de bewegende waarnemers gelijktijdig plaatsvinden, is de groene lijn door de twee blauwe stippen een ruimtelijn (e). f) Bonus: geef een meetkundig of rekenkundig bewijs dat ook in dit geval de hoek die de ruimtelijn maakt met de x as gelijk is aan de hoek die de tijdlijn maakt met de t as.
8 Meetkundig bewijs: zie de onderstaande afbeelding, waarin een deel van de bovenstaande afbeelding is uitvergroot. We geven het bewijs zoals dat in de NiNa module wordt gegeven. Bekijk de driehoek ABC. Dit is een rechthoekige driehoek (met rechte hoek bij B), aangezien de gele wereldlijnen van het licht onder een hoek van 45 graden met de assen staan. Punt E hebben we zo geconstrueerd dat het midden tussen A en C in ligt. Wanneer we nu de cirkel met middelpunt E en straal AE tekenen, gaat deze cirkel dus automatisch ook door C. We willen laten zien dat dezelfde cirkel ook door het punt B gaat. Dit is de stelling van Thales: de cirkel door het midden van de hypotenusa van een rechthoekige driehoek, gaat door alle drie de hoekpunten. Dat de stelling van Thales klopt, kunnen we bijvoorbeeld inzichtelijk maken door de rechthoekige driehoek ABC te completeren tot de rechthoek ABCD het is dan duidelijk dat E het midden van de diagonaal is, zodat alle vier de hoekpunten op de cirkel liggen. In het bijzonder zien we dus dat de afstand EB even groot is als de afstand EA, en dat ABE dus een gelijkbenige driehoek vormt. De hoeken EAB en EBA zijn dus even groot. De hoek die de tijdlijn door AE met de t as maakt plus de hoek EAB vormen samen een hoek van 45 graden. De hoek die de ruimtelijn door BE met de lijn t =2 s (en dus ook met de x as) maakt plus de hoek EBA vormen samen ook een hoek van 45 graden. Omdat hoek EAB en EBA even groot zijn, zijn ook de hoeken met de respectievelijke assen even groot. Hiermee is het gevraagde bezwezen. Een rekenkundig bewijs werken we hier niet in detail uit, maar kan bijvoorbeeld gegeven worden door vergelijkingen op te stellen voor de twee groene tijdlijnen en de gele wereldlijnen van het licht, en aan de hand daarvan de coördinaten van A, B en C uit te rekenen. Uit de coördinaten van C kunnen dan de coördinaten van E gevonden worden door door 2 te delen. Wanneer we nu een vergelijking opstellen van de lijn door de punten E en B zien we dat deze lijn richtingscoëfficient β heeft, terwijl de lijn door A en C richtingscoëfficient 1/β heeft. Ook op deze manier zien we dus ook dat de hoek die de ruimtelijn met de x as maakt, gelijk is aan de hoek die de tijdlijn met de t as maakt.
Docentencursus relativiteitstheorie
Docentencursus relativiteitstheorie Opgaven bijeenkomst 2, "Rekenen en tekenen" 8 september 203 De opgaven die met een "L" zijn aangegeven, zijn op leerlingenniveau dit zijn dus opgaven die in de les of
Nadere informatieBewijzen en toegiften
Bewijzen en toegiften 1 Het bewijs van Mermin voor het optellen van snelheden W op een perron ziet W in een treinwagon passeren met snelheid v. W schiet een kogel af met snelheid u en stuurt tegelijkertijd
Nadere informatieMODULE GLIESE 667 RELATIVITEIT GLIESE 667. Naam: Klas: Datum:
GLIESE 667 RELATIVITEIT GLIESE 667 Naam: Klas: Datum: GLIESE 667 GLIESE 667 WE GAAN OP REIS De invloed van de mensheid reikt steeds verder. In de oertijd kon een mens zich maar enkele kilometers van zijn
Nadere informatieRelativiteitstheorie met de computer
Relativiteitstheorie met de computer Jan Mooij Mendelcollege Haarlem Met een serie eenvoudige grafiekjes wordt de (speciale) relativiteitstheorie verduidelijkt. In vijf stappen naar de tweelingparadox!
Nadere informatieSpeciale relativiteitstheorie
Speciale relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht Les 3 en 4: Lorentz Transformatie en Mechanica Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 1 1.
Nadere informatieTentamen Mechanica ( )
Tentamen Mechanica (20-12-2006) Achter iedere opgave is een indicatie van de tijdsbesteding in minuten gegeven. correspondeert ook met de te behalen punten, in totaal 150. Gebruik van rekenapparaat en
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat
Nadere informatie2.1 Cirkel en middelloodlijn [1]
2.1 Cirkel en middelloodlijn [1] Hiernaast staat de cirkel met middelpunt M en straal 2½ cm In het kort: (M, 2½ cm) Op de zwarte cirkel liggen alle punten P met PM = 2½ cm In het rode binnengebied liggen
Nadere informatieExamen VWO. Wiskunde B Profi
Wiskunde B Profi Eamen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Donderdag 25 mei 3.30 6.30 uur 20 00 Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punten met een
Nadere informatieAlgemene relativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie HOVO cursus Jo van den Brand Les 1: 5 november 015 Copyright (C) Vrije Universiteit 015 Overzicht Docent informatie Jo van den Brand, Gideon Koekoek Email: jo@nikhef.nl, gkoekoek@gmail.com
Nadere informatieOp basis van de tweede wet van Newton kan onderstaand verband worden afgeleid. F = m a = m Δv Δt
Inhoud en stoot... 2 Voorbeeld: Kanonschot... 3 Opgaven... 4 Opgave: Tennisbal... 4 Opgave: Frontale botsing... 5 Opgave: Niet-frontale botsing... 5 1/5 en stoot Op basis van de tweede wet van Newton kan
Nadere informatieAlgemene relativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie HOVO cursus Jo van den Brand Les 1: 5 november 015 Copyright (C) Vrije Universiteit 015 Overzicht Docent informatie Jo van den Brand, Gideon Koekoek Email: jo@nikhef.nl, gkoekoek@gmail.com
Nadere informatieBewijzen en toegiften
Bewijzen en toegiften Het bewijs van Mermin voor het optellen van snelheden W op een perron ziet W in een treinwagon passeren met snelheid v. W shiet een kogel af met snelheid u en stuurt tegelijkertijd
Nadere informatiewiskunde B vwo 2015-II
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatieImpuls en stoot. De grootheid stoot Op basis van de tweede wet van Newton kan onderstaand verband worden afgeleid. F = m a = m Δv Δt.
Inhoud en stoot... 2 De grootheid Stoot... 2 De grootheid impuls... 3 Voorbeeld: USS-Iowa... 4 Opgaven... 5 Opgave: Tennisbal... 5 Opgave: Frontale botsing... 6 Opgave: Niet-frontale botsing... 6 1/6 en
Nadere informatieLijnen van betekenis meetkunde in 2hv
Lijnen van betekenis meetkunde in 2hv Docentenhandleiding bij de DWO-module Lijnen van betekenis Deze handleiding bevat tips voor de docent bij het gebruiken van de module Lijnen van betekenis, een module
Nadere informatie5.1 Lineaire formules [1]
5.1 Lineaire formules [1] Voorbeeld : Teken de grafiek van y = 1½x - 3 Stap 1: Maak een tabel met twee coördinaten van deze lijn: x 0 2 y -3 0 Stap 2: Teken de twee punten en de grafiek: 1 5.1 Lineaire
Nadere informatieWiskunde oefentoets hoofdstuk 10: Meetkundige berekeningen
Wiskunde oefentoets hoofdstuk 0: Meetkundige berekeningen Iedere antwoord dient gemotiveerd te worden, anders worden er geen punten toegekend. Gebruik van grafische rekenmachine is toegestaan. Succes!
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk
Nadere informatie1 Cartesische coördinaten
Cartesische coördinaten Verkennen www.math4all.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-d Analytische Meetkunde Cartesische coördinaten Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. (Als je er
Nadere informatieOpgave 1 Bestudeer de Uitleg, pagina 1. Laat zien dat ook voor punten buiten lijnstuk AB maar wel op lijn AB geldt: x + 3y = 5
2 Vergelijkingen Verkennen Meetkunde Vergelijkingen Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. Uitleg Meetkunde Vergelijkingen Uitleg Opgave Bestudeer de Uitleg, pagina. Laat zien dat ook
Nadere informatie1 Coördinaten in het vlak
Coördinaten in het vlak Verkennen Meetkunde Coördinaten in het vlak Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. (Als je er niet uitkomt, ga je gewoon naar de Uitleg, maar bekijk het probleem
Nadere informatievwo wiskunde b Baanversnelling de Wageningse Methode
1 1 vwo wiskunde b Baanversnelling de Wageningse Methode 1 1 2 2 Copyright 2018 Stichting de Wageningse Methode Auteurs Leon van den Broek, Ton Geurtz, Maris van Haandel, Erik van Haren, Dolf van den Hombergh,
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B 2014-II
Eindeamen vwo wiskunde 04-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte
Nadere informatieGravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 29 September 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2009 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica
Nadere informatieElementaire Deeltjesfysica
Elementaire Deeltjesfysica FEW Cursus Jo van den Brand 10 November, 2009 Structuur der Materie Inhoud Inleiding Deeltjes Interacties Relativistische kinematica Lorentz transformaties Viervectoren Energie
Nadere informatieUit: Niks relatief. Vincent Icke Contact, 2005
Uit: Niks relatief Vincent Icke Contact, 2005 Dé formule Snappiknie kanniknie Waarschijnlijk is E = mc 2 de beroemdste formule aller tijden, tenminste als je afgaat op de meerderheid van stemmen. De formule
Nadere informatieK4 Relativiteitstheorie
K4 Relativiteitstheorie Ruimtetijd vwo Uitwerkingen basisboek K4. INTRODUCTIE 2 3 a De golflengte van radiostraling is groter dan die van licht. b Uit c λ f volgt dat de frequentie van de fotonen van radiostraling
Nadere informatie1 Leerlingproject: Relativiteit 28 februari 2002
1 Leerlingproject: Relativiteit 28 februari 2002 1 Relativiteit Als je aan relativiteit denkt, dan denk je waarschijnlijk als eerste aan Albert Einstein. En dat is dan ook de bedenker van de relativiteitstheorie.
Nadere informatieHoofdstuk 1 Beweging in beeld. Gemaakt als toevoeging op methode Natuurkunde Overal
Hoofdstuk 1 Beweging in beeld Gemaakt als toevoeging op methode Natuurkunde Overal 1.1 Beweging vastleggen Het verschil tussen afstand en verplaatsing De verplaatsing (x) is de netto verplaatsing en de
Nadere informatieR. Van Nieuwenhuyze. Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet.
R. Van Nieuwenhuyze Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet. roger.van.nieuwenhuyze@gmail.com Van Nieuwenhuyze Roger Probleemoplossend werken in de tweede graad
Nadere informatieSpeciale relativiteitstheorie
Speciale relativiteitstheorie De drie vragen van Einstein Wat is licht? Wat is massa? Wat is tijd? In 1905, Einstein was toen 26 jaar! Klassiek: wat is licht? Licht is een golf, die naar alle kanten door
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni uur
Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Vlak en kegel bladzijde a Als P ( x,, ) de projectie van P op het Ox-vlak is, dan is driehoek OP P een gelijkbenige rechthoekige driehoek met OP P = Dan is OP = x + en is PP = z Met de stelling van Pthagoras
Nadere informatieAchter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Eamen VW 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) chter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen
Nadere informatieAchter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Examen HAV 2018 tijdvak 1 donderdag 24 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen.
Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Achter dit eamen is een erratum opgenomen. Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B pilot 2014-I
Eindeamen vwo wiskunde B pilot 04-I Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosusintsinu cos( tu) costcosusintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos
Nadere informatieTentamen - uitwerkingen
Tentamen - uitwerkingen Mechanica en Relativiteitstheorie voor TW 5 april 06 Kennisvragen - 0 punten a) Geef de drie behoudswetten van de klassieke mechanica, en geef voor elk van de drie aan onder welke
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat
Nadere informatieSpeciale relativiteitstheorie
Speciale relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. Utrecht Les 1 en 2: Elektromagnetisme en licht Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Overzicht Les 1 en 2: Elektromagnetisme
Nadere informatiewiskunde B havo 2018-I
Macht van 2 De functie f is gegeven door 0,3x 2 f( x) 4 2. Op de grafiek van f ligt een punt R. De y-coördinaat van R is 2. 3p 1 Bereken exact de x-coördinaat van R. De grafiek van f snijdt de x-as in
Nadere informatieSpeciale relativiteitstheorie
Speciale relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht Les 1 en 2: Elektromagnetisme en licht Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Overzicht Les 1 en 2: Elektromagnetisme
Nadere informatieHoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 20 mei uur
Wiskunde B (oude stijl) Examen HAV Hoger Algemeen Voortgezet nderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 0 mei 13.30 16.30 uur 0 03 Voor dit examen zijn maximaal 90 punten te behalen; het examen bestaat uit 0 vragen. Voor
Nadere informatieTweepuntsperspectief I
1 G Tweepuntsperspectief I 1. We verlaten even het perspectief en bekijken een vierkant ABCD op ware grootte. M is het middelpunt van het vierkant. PQ is een horizontale lijn door M. Zeg dat P en Q de
Nadere informatieAnalytische Meetkunde
Analytische Meetkunde Meetkunde met Geogebra en vergelijkingen van lijnen 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Meetkunde met Geogebra... 6 Stelling van Thales...... 7 3 Achtergrondinformatie Auteurs
Nadere informatieFormuleblad relativiteit (deel 1)
Formuleblad relativiteit (deel 1), www.roelhendriks.eu 1 Formuleblad relativiteit (deel 1) c v β en 1 1 β γ 1 c v t t o 1 c v L L o ) ( ct β x γ x ) ( x β ct γ ct ) ( ct β x γ x + ) ( x β ct γ ct + Δx
Nadere informatiewerkschrift driehoeken
werkschrift driehoeken 1 hoeken 11 Rangschik de hoeken van klein naar groot. 14 b Teken een lijn l met daarop een punt A. Teken met je geodriehoek een lijn die l loodrecht snijdt in A. c Kies een punt
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)
wiskunde B, (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Woensdag 3 juni 3.30 6.30 uur 0 04 Voor dit examen zijn maximaal 87 punten te behalen; het examen bestaat uit 9 vragen.
Nadere informatieEindexamen vmbo gl/tl wiskunde 2011 - I
OVERZICHT FORMULES: omtrek cirkel = diameter oppervlakte cirkel = straal 2 inhoud prisma = oppervlakte grondvlak hoogte inhoud cilinder = oppervlakte grondvlak hoogte inhoud kegel = 1 3 oppervlakte grondvlak
Nadere informatieWISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500
WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500 1 (20 punten) Viervlakken. Op een tafel vóór je staan vier viervlakken V 1, V 2, V 3 en V 4. Op elk grensvlak
Nadere informatieEindexamen wiskunde B vwo 2010 - I
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatiewiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Eamen VWO 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30 uur - 6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen
Nadere informatiein een driehoek zijn de twee korte zijden samen langer dan de derde zijde
Stellingenboekje in een driehoek zijn de twee korte zijden samen langer dan de derde zijde Laat het kind met de latjes voor de geometrie een paars, lichtbruin en een geel latje pakken en hiermee een driehoek
Nadere informatieUitwerking Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie. Galileitransformaties. versie 1.3, januari 2003
Uitwerking Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Galileitransformaties versie 1.3, januari 003 Inhoudsopgave 0.1Galileitransformatie 0.1.1 Twee inertiaalsystemen...................... 0.1. Een paraboolbaan.........................
Nadere informatieAchter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Examen VMBO-GL en TL 2011 tijdvak 1 maandag 23 mei 13.30-15.30 uur wiskunde CSE GL en TL Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift
Nadere informatieExamen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieStevin vwo Uitwerkingen Speciale relativiteitstheorie ( ) Pagina 1 van 8
Stevin vwo Uitwerkingen Speiale relativiteitstheorie (14-09-015) Pagina 1 van 8 Opgaven 1 Het is maar hoe je het ekijkt 1 a Een inertiaalsysteem is een omgeving waarin de eerste wet van Newton geldt. a
Nadere informatieOpgave 1 - Uitwerking
Opgave 1 - Uitwerking Bekijk bovenstaande figuur. We weten dat EF horizontaal loopt, en GF verticaal. Dus is EG de middellijn van de cirkel met middelpunt H die door E, G en F gaat (omgekeerde stelling
Nadere informatiewiskunde B vwo 2016-I
wiskunde vwo 06-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte
Nadere informatieAchter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Eamen VW 08 tijdvak maandag 4 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen bestaat
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit der Civiele Techniek en Geowetenschappen
TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit der Civiele Techniek en Geowetenschappen TENTAMEN CTB1210 DYNAMICA en MODELVORMING d.d. 28 januari 2015 van 9:00-12:00 uur Let op: Voor de antwoorden op de conceptuele
Nadere informatiede eenheid m/s omrekenen naar km/h en omgekeerd.
Oefentoets Hieronder zie je leerdoelen en toetsopdrachten. Kruis de leerdoelen aan als je denkt dat je ze beheerst. Maak de toetsopdrachten om na te gaan of dit inderdaad zo is. Na leren van paragraaf.
Nadere informatieEindexamen wiskunde B vwo 2010 - I
Gelijke oppervlakten De parabool met vergelijking y = 4x x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong O en in punt. Zie. y 4 3 2 1-1 O 1 2 3
Nadere informatieWerkblad Cabri Jr. Rotaties
Werkblad Cabri Jr. Rotaties Doel Het onderzoeken van de eigenschappen van een rotatie in het platte vlak, in het bijzonder de relatie tussen origineel en beeld. Inleiding Een rotatie is één van de vier
Nadere informatiewiskunde B vwo 2018-I
Formules Goniometrie sin( tu) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) sin( tu) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) cos( tu) cos( t)cos( u) sin( t)sin( u) cos( tu) cos( t)cos( u) sin( t)sin( u) sin( t) sin( t)cos( t) cos(
Nadere informatieAfsluitende Opdrachten
Afsluitende Opdrachten A Scheve lijnen We weten hoe we het perspectiefbeeld op het tafereel moeten tekenen van een horizontale lijn. Hoe zit dat als de lijn niet horizontaal is? Daarover gaat deze opdracht.
Nadere informatieATWOOD Blok A en blok B zijn verbonden door een koord dat over een katrol hangt. Er is geen wrijving in de katrol. Het stelsel gaat bewegen.
ATWOOD Blok A en blok B zijn verbonden door een koord dat over een katrol hangt. Er is geen wrijving in de katrol. Het stelsel gaat bewegen. Bereken de spankracht in het koord. ATWOOD Over een katrol hangt
Nadere informatieOpgave 1 Bekijk de Uitleg, pagina 1. Bekijk wat een vectorvoorstelling van een lijn is.
3 Lijnen en hoeken Verkennen Lijnen en hoeken Inleiding Verkennen Bekijk de applet en zie hoe de plaatsvector v ur van elk punt A op de lijn kan ur r ontstaan als som van twee vectoren: p + t r. Beantwoord
Nadere informatie5.5 Gemengde opgaven. Gemengde opgaven 159
Gemengde opgaven 159 5.5 Gemengde opgaven Opgave 40 a) Teken de lijn l waarvan alle punten dezelfde x- en -coördinaat hebben. Geefdeformulevan l. b) Tekendelijnkloodrechtopl endooro. Geefdeformule van
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B 2014-I
Eindexamen vwo wiskunde B 04-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte
Nadere informatieOpen het programma Geogebra. Het beginscherm verschijnt. Klik voordat je verder gaat met je muis ergens in het
Practicum I Opgave 1 Tekenen van een driehoek In de opgave gaan we op twee verschillende manieren een driehoek tekenen. We doen dit door gebruik te maken van de werkbalk (macrovenster) en van het invoerveld.
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 donderdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen HAVO 05 tijdvak donderdag 8 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 0 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor
Nadere informatiewiskunde B pilot vwo 2017-II
wiskunde B pilot vwo 017-II Formules Goniometrie sin( tu) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) sin( tu) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) cos( tu) cos( t)cos( u) sin( t)sin( u) cos( tu) cos( t)cos( u) sin( t)sin(
Nadere informatieParagraaf 4.1 : Gelijkvormigheid
Hoofdstuk 4 Meetkunde (V4 Wis B) Pagina 1 van 8 Paragraaf 4.1 : Gelijkvormigheid Les 1 : Gelijkvormigheid Definities sin( A) = Overstaande Schuine cos( A) = Aanliggende Schuine = O S = A S tan( A) = Overstaande
Nadere informatieBij deze PTA-toets hoort een uitwerkbijlage, die behoort bij opdracht 4c. Pagina 1 van 8. Vestiging Westplasmavo
Vestiging Westplasmavo vak : Wiskunde leerweg : TL toetsnummer : 4T-WIS-S06 toetsduur: : 100 minuten aantal te behalen punten : 56 punten cesuur : 28 punten toetsvorm : Schriftelijk hulpmiddelen : Geodriehoek,
Nadere informatie2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax
00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten
Nadere informatieGebruik de applet om de vragen te beantwoorden. Beweeg punt P over de cirkel.
Raaklijnen Verkennen Raaklijnen Inleiding Verkennen Gebruik de applet om de vragen te beantwoorden. Beweeg punt P over de cirkel. Uitleg Raaklijnen Uitleg Opgave 1 Bekijk de Uitleg. a) Wat is de vergelijking
Nadere informatieRELATIVITEIT VWO. Lengtecontractie Rust- bewegende massa Relativistisch optellen
RELATIVITEIT VWO Foton is een opgavenverzameling voor het nieuwe eindexamenprogramma natuurkunde. Foton is gratis te downloaden via natuurkundeuitgelegd.nl/foton Uitwerkingen van alle opgaven staan op
Nadere informatiea) Beargumenteer of behoud van impuls en behoud van mechanische energie van toepassing is op de schansspringer.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Opleiding Elektrotechniek EE1200 - Klassieke en Kwantummechanica - deel A Tentamen 7 november 2013 9:00-12:00 Aanwijzingen:
Nadere informatieWiskunde Opdrachten Vlakke figuren
Wiskunde Opdrachten Vlakke figuren Opdracht 1. Teken in de figuren hieronder alle symmetrieassen. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. Opdracht 2. A. Welke
Nadere informatieEen bol die raakt aan de zijden van een scheve vierhoek
Een bol die raakt aan de zijden van een scheve vierhoek Dick Klingens Krimpenerwaard College, Krimpen aan den IJssel oktober 005 We bewijzen allereerst de volgende hulpstelling: Hulpstelling 1 De meetkundige
Nadere informatieNaam: Klas: Repetitie Relativiteit (versie A)
Naam: Klas: Repetitie Relativiteit (versie A) Opgave 1 Jack is verliefd op Jennifer (18) en wil graag een relatie met haar, liefst een seksuele! Het probleem is echter dat Jennifer hem te dik en te oud
Nadere informatieJuli blauw Vraag 1. Fysica
Vraag 1 Beschouw volgende situatie in een kamer aan het aardoppervlak. Een homogene balk met massa 6, kg is symmetrisch opgehangen aan de touwen A en B. De touwen maken elk een hoek van 3 met de horizontale.
Nadere informatiewiskunde B vwo 2017-II
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatieTentamen Natuurkunde 1A 09.00 uur - 12.00 uur vrijdag 14 januari 2011 docent drs.j.b. Vrijdaghs
Tentamen Natuurkunde 1A 09.00 uur - 12.00 uur vrijdag 14 januari 2011 docent drs.j.b. Vrijdaghs Aanwijzingen: Dit tentamen omvat 6 opgaven met totaal 20 deelvragen Begin elke opgave op een nieuwe kant
Nadere informatieUITWERKINGEN OEFENVRAAGSTUKKEN 5 HAVO. natuurkunde
UITWERKINGEN OEFENVRAAGSTUKKEN voor schoolexamen (SE0) en examen 5 HAVO natuurkunde katern 1: Mechanica editie 01-013 UITWERKINGEN OEFENVRAAGSTUKKEN voor schoolexamen (SE0) en examen 5 HAVO natuurkunde
Nadere informatieGravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 7 oktober 2013 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange formalisme
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 2019 tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 17 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieSAMENSTELLEN EN ONTBINDEN VAN SNIJDENDE KRACHTEN
II - 1 HOODSTUK SAMENSTELLEN EN ONTBINDEN VAN SNIJDENDE KRACHTEN Snijdende (of samenlopende) krachten zijn krachten waarvan de werklijnen door één punt gaan..1. Resultante van twee snijdende krachten Het
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VWO 07 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 4 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 7 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieVlakke Meetkunde. Les 1 Congruentie en gelijkvormig
Vlakke Meetkunde Les 1 Congruentie en gelijkvormig (Deze les sluit aan bij het paragraaf 1 van Vlakke Meetkunde van de Wageningse Methode. Vlakke Meetkunde kun je downloaden vanaf de site van de Open Universiteit.
Nadere informatied = 8 cm 2 6 A: = 26 m 2 B: = 20 m 2 C: = 18 m 2 D: 20 m 2 E: 26 m 2
H17 PYTHAGORAS 17.1 INTRO 1 b c d 1 4 4 = 8 cm 6 A: 6 1 5 1 4 = 6 m B: 6 1 4 4 = 0 m C: 6 1 3 3 4 = 18 m D: 0 m E: 6 m 7 a A:, cm B: 5,0 cm C: 3, cm D: 4,1 cm b Voor elke zijde geldt dat het de schuine
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 21 juni uur
Eamen VW 017 tijdvak woensdag 1 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 17 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 74 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met
Nadere informatieUitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek
Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de
Nadere informatieAntwoorden Tekscvragen T.1 T.4. - lijd. T.2 A is een gebeurtenis. B geeft een tijdsduur aan die op één plaats verlopen is. T.5
Antwoorden Tekscvragen T.1 T.4 - lijd T.2 A is een gebeurtenis. B geeft een tijdsduur aan die op één plaats verlopen is. T.3 T.5 a. Lijn B - die beschrijft stilstand. b. A beschrijft een beweging vanuit
Nadere informatieDe Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten
januari 2008 De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten Inleiding Eén van de bekendste meetkundige plaatsen is de middelloodlijn van een lijnstuk. Deze lijn bestaat uit alle punten die gelijke afstand
Nadere informatie12 Bewijzen in de vlakke meetkunde
ewijzen in de vlakke meetkunde bladzijde 54 a ' b Gegeven: e gelijkzijdige driehoek met zijn omgeschreven cirkel. unt ligt op de kortste boog en ligt op het verlengde van zo, dat =. riehoek is gelijkzijdig.
Nadere informatieOverzicht meetkunde. Driehoeksmeetkunde. Stelling van Pythagoras.
Stelling van Thales. In een rechthoekige driehoek geldt: het midden van de schuine zijde is het middelpunt van de omgeschreven cirkel. Omgekeerde stelling van Thales. Als het middelpunt van de omgeschreven
Nadere informatie