Termherschrijven. Jan van Eijck CWI. Achtergrondcollege Software Evolution, 22 september 2005
|
|
|
- Julius van Wijk
- 8 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Termherschrijven Jan van Eijck CWI Achtergrondcollege Software Evolution, 22 september 2005
2 Samenvatting
3 Wat zijn termen? Samenvatting
4 Samenvatting Wat zijn termen? Wat zijn regels voor vereenvoudigen van termen?
5 Samenvatting Wat zijn termen? Wat zijn regels voor vereenvoudigen van termen? Het begrip normaalvorm.
6 Samenvatting Wat zijn termen? Wat zijn regels voor vereenvoudigen van termen? Het begrip normaalvorm. Terminatie en confluentie.
7 Samenvatting Wat zijn termen? Wat zijn regels voor vereenvoudigen van termen? Het begrip normaalvorm. Terminatie en confluentie. Precieze definities: termen, algebra s, substituties, termherschrijfsystemen.
8 Samenvatting Wat zijn termen? Wat zijn regels voor vereenvoudigen van termen? Het begrip normaalvorm. Terminatie en confluentie. Precieze definities: termen, algebra s, substituties, termherschrijfsystemen. De herschrijfrelatie; redexen.
9 Samenvatting Wat zijn termen? Wat zijn regels voor vereenvoudigen van termen? Het begrip normaalvorm. Terminatie en confluentie. Precieze definities: termen, algebra s, substituties, termherschrijfsystemen. De herschrijfrelatie; redexen. Wat zijn bruikbare strategieën?
10 Samenvatting Wat zijn termen? Wat zijn regels voor vereenvoudigen van termen? Het begrip normaalvorm. Terminatie en confluentie. Precieze definities: termen, algebra s, substituties, termherschrijfsystemen. De herschrijfrelatie; redexen. Wat zijn bruikbare strategieën? Waar is het goed voor?
11 Herschrijven: rekenen Voorbeeld van termen: rekenkundige expressies. Grammatica hiervoor: n ::= a ::= n (a 1 + a 2 ) (a 1 a 2 )
12 Herschrijven: rekenen Voorbeeld van termen: rekenkundige expressies. Grammatica hiervoor: n ::= a ::= n (a 1 + a 2 ) (a 1 a 2 ) Herschrijfregels zijn de rekenregels: (2 + 5) 7 (3 5) 15 (x + y) z (x z) + (y z)
13 Voorbeeld herschrijving: ((3 + 5) (2 + 8)) ((3 (2 + 8)) + (5 (2 + 8))) ((3 10) + (5 (2 + 8))) ((3 10) + (5 10)) (30 + (5 10)) ( ) 80.
14 Herschrijven: tellen Termen: (namen voor) natuurlijke getallen. Herschrijfregel is de regel plus één. Voorbeeld herschrijving:
15 Herschrijven: terugtellen Termen: (namen voor) natuurlijke getallen. Herschrijfregel is de regel min één. Voorbeeld herschrijving:
16 Herschrijven: Collatz probleem (of: Syracuse probleem) Termen: natuurlijke getallen. Herschrijfregels:
17 Herschrijven: Collatz probleem (of: Syracuse probleem) Termen: natuurlijke getallen. Herschrijfregels: als n > 1 en even dan n m waarbij m = n/2,
18 Herschrijven: Collatz probleem (of: Syracuse probleem) Termen: natuurlijke getallen. Herschrijfregels: als n > 1 en even dan n m waarbij m = n/2, als n > 1 en oneven dan n m waarbij m = 3n + 1. Voorbeeld herschrijving:
19 Implementatie als functioneel programma: run :: Integer -> [Integer] run n n < 1 = error "argument not positive" n == 1 = [1] even n = n: run (div n 2) odd n = n: run (3*n+1)
![error "argument not positive" n == 1 = [1]](/docs-images/50/18268353/images/page_19.jpg "even n = n: run (div n 2) odd n = n: run")
20 Herschrijven: Optellen Termen: t ::= 0 St P (t 1, t 2 ) Herschrijfregels voor plus:
21 Herschrijven: Optellen Termen: t ::= 0 St P (t 1, t 2 ) Herschrijfregels voor plus:
22 Herschrijven: Optellen Termen: t ::= 0 St P (t 1, t 2 ) Herschrijfregels voor plus: P (x, 0) x, P (0, x) x.
23 Herschrijven: Optellen Termen: t ::= 0 St P (t 1, t 2 ) Herschrijfregels voor plus: P (x, 0) x, P (0, x) x. P (x, Sy) SP (x, y), P (Sx, y) SP (x, y).
24 Voorbeeld herschrijving: P (SS0, P (S0, SS0)) SP (S0, P (S0, SS0)) SSP (0, P (S0, SS0)) SSP (S0, SS0) SSSP (0, SS0) SSSSS0
25 Herschrijven: Optellen en Vermenigvuldigen Termen: t ::= 0 St P (t 1, t 2 ) M(t 1, t 2 ) Herschrijfregels voor plus:
26 Herschrijven: Optellen en Vermenigvuldigen Termen: t ::= 0 St P (t 1, t 2 ) M(t 1, t 2 ) Herschrijfregels voor plus:
27 Herschrijven: Optellen en Vermenigvuldigen Termen: t ::= 0 St P (t 1, t 2 ) M(t 1, t 2 ) Herschrijfregels voor plus: P (x, 0) x.
28 Herschrijven: Optellen en Vermenigvuldigen Termen: t ::= 0 St P (t 1, t 2 ) M(t 1, t 2 ) Herschrijfregels voor plus: P (x, 0) x. P (x, Sy) SP (x, y).
29 Herschrijven: Optellen en Vermenigvuldigen Termen: t ::= 0 St P (t 1, t 2 ) M(t 1, t 2 ) Herschrijfregels voor plus: P (x, 0) x. P (x, Sy) SP (x, y). Herschrijfregels voor maal:
30 Herschrijven: Optellen en Vermenigvuldigen Termen: t ::= 0 St P (t 1, t 2 ) M(t 1, t 2 ) Herschrijfregels voor plus: P (x, 0) x. P (x, Sy) SP (x, y). Herschrijfregels voor maal:
31 Herschrijven: Optellen en Vermenigvuldigen Termen: t ::= 0 St P (t 1, t 2 ) M(t 1, t 2 ) Herschrijfregels voor plus: P (x, 0) x. P (x, Sy) SP (x, y). Herschrijfregels voor maal: M(x, 0) 0.
32 Herschrijven: Optellen en Vermenigvuldigen Termen: t ::= 0 St P (t 1, t 2 ) M(t 1, t 2 ) Herschrijfregels voor plus: P (x, 0) x. P (x, Sy) SP (x, y). Herschrijfregels voor maal: M(x, 0) 0. M(x, Sy) P (M(x, y), x).
33 Dit geeft, bij voorbeeld: P (SSS0, SS0) SP (SSS0, S0) SSP (SSS0, 0) SSSSS0
34 M(SSS0, SS0) P (M(SSS0, S0), SSS0) P (P (M(SSS0, 0), SSS0), SSS0) P (P (0, SSS0), SSS0) P (SP (0, SS0), SSS0) P (SSP (0, S0), SSS0) P (SSSP (0, 0), SSS0) P (SSS0, SSS0) SP (SSS0, SS0) SSP (SSS0, S0) SSSP (SSS0, 0) SSSSSS0.
35 Implementatie als Functioneel Programma step Zero = Stop step (S t) = case step t of Stop -> Stop t -> S t step (P t Zero) = t step (P t1 (S t2)) = S (P t1 t2) step (P t1 t2) = P t1 (step t2) step (M t Zero) = Zero step (M t1 (S t2)) = P (M t1 t2) t1 step (M t1 t2) = M t1 (step t2) compute :: Term -> [Term] compute t = case step t of Stop -> [t] t -> t : compute t
36 Main> run (M (S (S (S Zero))) (S (S Zero))) M(SSS0,SS0) P(M(SSS0,S0),SSS0) SP(M(SSS0,S0),SS0) SSP(M(SSS0,S0),S0) SSSP(M(SSS0,S0),0) SSSM(SSS0,S0) SSSP(M(SSS0,0),SSS0) SSSSP(M(SSS0,0),SS0) SSSSSP(M(SSS0,0),S0) SSSSSSP(M(SSS0,0),0) SSSSSSM(SSS0,0) SSSSSS0
37 Herschrijven: Deling met Rest Termen: t ::= 0 St V (t 1, t 2 ) Q(t 1, t 2 ) R(t 1, t 2 ) Herschrijfregels voor verschil:
38 Herschrijven: Deling met Rest Termen: t ::= 0 St V (t 1, t 2 ) Q(t 1, t 2 ) R(t 1, t 2 ) Herschrijfregels voor verschil:
39 Herschrijven: Deling met Rest Termen: t ::= 0 St V (t 1, t 2 ) Q(t 1, t 2 ) R(t 1, t 2 ) Herschrijfregels voor verschil: V (x, 0) x.
40 Herschrijven: Deling met Rest Termen: t ::= 0 St V (t 1, t 2 ) Q(t 1, t 2 ) R(t 1, t 2 ) Herschrijfregels voor verschil: V (x, 0) x. V (Sx, Sy) V (x, y).
41 Herschrijven: Deling met Rest Termen: t ::= 0 St V (t 1, t 2 ) Q(t 1, t 2 ) R(t 1, t 2 ) Herschrijfregels voor verschil: V (x, 0) x. V (Sx, Sy) V (x, y). Herschrijfregels voor quotiënt bij deling met rest:
42 Herschrijven: Deling met Rest Termen: t ::= 0 St V (t 1, t 2 ) Q(t 1, t 2 ) R(t 1, t 2 ) Herschrijfregels voor verschil: V (x, 0) x. V (Sx, Sy) V (x, y). Herschrijfregels voor quotiënt bij deling met rest:
43 Herschrijven: Deling met Rest Termen: t ::= 0 St V (t 1, t 2 ) Q(t 1, t 2 ) R(t 1, t 2 ) Herschrijfregels voor verschil: V (x, 0) x. V (Sx, Sy) V (x, y). Herschrijfregels voor quotiënt bij deling met rest: Als x < y dan Q(x, y) 0.
44 Herschrijven: Deling met Rest Termen: t ::= 0 St V (t 1, t 2 ) Q(t 1, t 2 ) R(t 1, t 2 ) Herschrijfregels voor verschil: V (x, 0) x. V (Sx, Sy) V (x, y). Herschrijfregels voor quotiënt bij deling met rest: Als x < y dan Q(x, y) 0. Als x y dan Q(x, y) SQ(V (x, y), y).
45 Herschrijfregels voor rest:
46 Herschrijfregels voor rest:
47 Herschrijfregels voor rest: Als x < y dan R(x, y) x.
48 Herschrijfregels voor rest: Als x < y dan R(x, y) x. Als x y dan R(x, y) R(V (x, y), y).
49 Herschrijfregels voor rest: Als x < y dan R(x, y) x. Als x y dan R(x, y) R(V (x, y), y). Voorbeeld berekening: Q(SSS0, SS0) SQ(V (SSS0, SS0), SS0) SQ(V (SS0, S0), SS0) SQ(V (S0, 0), SS0) SQ(S0, SS0) S0
50 R(SSS0, SS0) R(V (SSS0, SS0), SS0) R(V (SS0, S0), SS0) R(V (S0, 0), SS0) R(S0, SS0) S0
51 Quotient en rest berekening met een functioneel programma: qr :: (Integer,Integer) -> (Integer,Integer) qr (n,d) d > n = (0,n) otherwise = (succ q, r) where (q,r) = qr (n-d,d)
52 Herschrijven: rekenen met een Turing machine Een Turing machine bestaat uit een eindige verzameling toestanden {q 1,..., q n }, plus een naar rechts oneindig doorlopende band met een beginstuk beschreven met nullen en enen, en een lees/schrijf kop die wijst naar één van de vakjes ( staat voor een leeg vakje): Bij elke toestand q hoort (hoogstens) een drietal instructies, bij voorbeeld:
53 Herschrijven: rekenen met een Turing machine Een Turing machine bestaat uit een eindige verzameling toestanden {q 1,..., q n }, plus een naar rechts oneindig doorlopende band met een beginstuk beschreven met nullen en enen, en een lees/schrijf kop die wijst naar één van de vakjes ( staat voor een leeg vakje): Bij elke toestand q hoort (hoogstens) een drietal instructies, bij voorbeeld: I(q, 0) = (r, 1, ). (Als 0 wordt gelezen, vervang dan de 0 door een 1, ga naar toestand r, en beweeg de kop naar links.)
54 Herschrijven: rekenen met een Turing machine Een Turing machine bestaat uit een eindige verzameling toestanden {q 1,..., q n }, plus een naar rechts oneindig doorlopende band met een beginstuk beschreven met nullen en enen, en een lees/schrijf kop die wijst naar één van de vakjes ( staat voor een leeg vakje): Bij elke toestand q hoort (hoogstens) een drietal instructies, bij voorbeeld: I(q, 0) = (r, 1, ). (Als 0 wordt gelezen, vervang dan de 0 door een 1, ga naar toestand r, en beweeg de kop naar links.) I(q, ) = (s,, ). (Als de kop wijst naar een leeg vakje, laat dan dat vakje leeg, ga naar toestand s, en beweeg de kop naar rechts.)
55 Turing Machine: Voorbeeld 1 I 0 1 q q,, r, 1, r, 0, r s,, r, 1, r, 0, s s, 0, s, 1, Wat doet deze machine?
56 Je kunt de stappen die een Turing machine uitvoert zien als een herschrijfproces: q q q r r r r s s s s s Het herschrijven stopt hier, want er is geen instructie I(s, ).
57 Main> run turing1 ([*,*,0,1,0,1,*,*],0,Q) ([*,*,0,1,0,1,*,*],1,Q) ([*,*,0,1,0,1,*,*],2,Q) ([*,*,1,1,0,1,*,*],3,R) ([*,*,1,0,0,1,*,*],4,R) ([*,*,1,0,1,1,*,*],5,R) ([*,*,1,0,1,0,*,*],6,R) ([*,*,1,0,1,0,*,*],5,S) ([*,*,1,0,1,0,*,*],4,S) ([*,*,1,0,1,0,*,*],3,S) ([*,*,1,0,1,0,*,*],2,S) ([*,*,1,0,1,0,*,*],1,S)
58 Turing Machine: Voorbeeld 2 Wat doet deze machine? I 0 1 q q,, q, 0, r, q, r s, 1, r, 1, s t,, t, 0, s, 1, t q, 0, q, 0,
59 Main> run turing2 ([*,0,1,0,0,*],0,Q) ([*,0,1,0,0,*],1,Q) ([*,0,1,0,0,*],2,Q) ([*,0,1,0,0,*],3,R) ([*,0,1,1,0,*],2,S) ([*,0,1,1,0,*],1,S) ([*,0,1,1,0,*],2,T) ([*,0,0,1,0,*],3,Q) ([*,0,0,1,0,*],4,R) ([*,0,0,1,1,*],3,S) ([*,0,0,1,1,*],2,S) ([*,0,0,1,1,*],3,T) ([*,0,0,0,1,*],4,Q) ([*,0,0,0,1,*],5,R)
60 Herschrijven = vereenvoudigen Betekenis van een term = herschrijving van die term naar normaalvorm. Een normaalvorm is een term die niet verder kan worden vereenvoudigd. Unieke betekenis is gegarandeerd als herschrijfregels twee eigenschappen hebben:
61 Herschrijven = vereenvoudigen Betekenis van een term = herschrijving van die term naar normaalvorm. Een normaalvorm is een term die niet verder kan worden vereenvoudigd. Unieke betekenis is gegarandeerd als herschrijfregels twee eigenschappen hebben: regels moeten terminerend (SN) zijn, d.w.z., er zijn geen oneindige herschrijvingen
62 Herschrijven = vereenvoudigen Betekenis van een term = herschrijving van die term naar normaalvorm. Een normaalvorm is een term die niet verder kan worden vereenvoudigd. Unieke betekenis is gegarandeerd als herschrijfregels twee eigenschappen hebben: regels moeten terminerend (SN) zijn, d.w.z., er zijn geen oneindige herschrijvingen regels moeten confluent (CR) zijn., d.w.z.,
63 Eigenschappen van de voorbeelden
64 Eigenschappen van de voorbeelden Rekenen SN? Ja. Rekenen CR? Ja. Normaalvormen: natuurlijke getallen.
65 Eigenschappen van de voorbeelden Rekenen SN? Ja. Rekenen CR? Ja. Normaalvormen: natuurlijke getallen. Tellen SN? Nee. Tellen CR? Ja. Normaalvormen: geen.
66 Eigenschappen van de voorbeelden Rekenen SN? Ja. Rekenen CR? Ja. Normaalvormen: natuurlijke getallen. Tellen SN? Nee. Tellen CR? Ja. Normaalvormen: geen. Terugtellen SN? Ja. Terugtellen CR? Ja. Normaalvorm: 0.
67 Eigenschappen van de voorbeelden Rekenen SN? Ja. Rekenen CR? Ja. Normaalvormen: natuurlijke getallen. Tellen SN? Nee. Tellen CR? Ja. Normaalvormen: geen. Terugtellen SN? Ja. Terugtellen CR? Ja. Normaalvorm: 0. Collatz SN? Onbekend. Collatz CR? Ja. Normaalvorm: 1.
68 Eigenschappen van de voorbeelden Rekenen SN? Ja. Rekenen CR? Ja. Normaalvormen: natuurlijke getallen. Tellen SN? Nee. Tellen CR? Ja. Normaalvormen: geen. Terugtellen SN? Ja. Terugtellen CR? Ja. Normaalvorm: 0. Collatz SN? Onbekend. Collatz CR? Ja. Normaalvorm: 1. Plus en maal SN? Ja. Plus en maal CR? Ja. Normaalvormen: S 0.
69 Eigenschappen van de voorbeelden Rekenen SN? Ja. Rekenen CR? Ja. Normaalvormen: natuurlijke getallen. Tellen SN? Nee. Tellen CR? Ja. Normaalvormen: geen. Terugtellen SN? Ja. Terugtellen CR? Ja. Normaalvorm: 0. Collatz SN? Onbekend. Collatz CR? Ja. Normaalvorm: 1. Plus en maal SN? Ja. Plus en maal CR? Ja. Normaalvormen: S 0. Quotiënt en rest SN? Ja. Quotiënt en rest CR? Ja. Normaalvormen: S 0.
70 Eigenschappen van de voorbeelden Rekenen SN? Ja. Rekenen CR? Ja. Normaalvormen: natuurlijke getallen. Tellen SN? Nee. Tellen CR? Ja. Normaalvormen: geen. Terugtellen SN? Ja. Terugtellen CR? Ja. Normaalvorm: 0. Collatz SN? Onbekend. Collatz CR? Ja. Normaalvorm: 1. Plus en maal SN? Ja. Plus en maal CR? Ja. Normaalvormen: S 0. Quotiënt en rest SN? Ja. Quotiënt en rest CR? Ja. Normaalvormen: S 0. Turing rekenen SN? (i.h.a) Nee. Turing rekenen CR? Ja. Normaalvormen: configuraties zonder instructie.
71 Niet triviaal voorbeeld van CR Systeem Beschouw nogmaals het herschrijfsysteem voor optellen, met termen: t ::= 0 St P (t 1, t 2 ) Herschrijfregels voor plus:
72 Niet triviaal voorbeeld van CR Systeem Beschouw nogmaals het herschrijfsysteem voor optellen, met termen: t ::= 0 St P (t 1, t 2 ) Herschrijfregels voor plus:
73 Niet triviaal voorbeeld van CR Systeem Beschouw nogmaals het herschrijfsysteem voor optellen, met termen: t ::= 0 St P (t 1, t 2 ) Herschrijfregels voor plus: P (x, 0) x, P (0, x) x.
74 Niet triviaal voorbeeld van CR Systeem Beschouw nogmaals het herschrijfsysteem voor optellen, met termen: t ::= 0 St P (t 1, t 2 ) Herschrijfregels voor plus: P (x, 0) x, P (0, x) x. P (x, Sy) SP (x, y), P (Sx, y) SP (x, y). Dit geeft, bij voorbeeld: P (SS0, SS0) SP (S0, SS0) SP (SS0, S0) SSP (S0, S0)
75 Herschrijven: consistentie checken met Herbrand stappen Termen: propositionele formules: P ::= p[0..9] F ::= P F (F 1 F 2 ) (F 1 F 2 ) (F 1 F 2 ) (F 1 F 2 ) Voorbeeldformules:
76 Herschrijven: consistentie checken met Herbrand stappen Termen: propositionele formules: P ::= p[0..9] F ::= P F (F 1 F 2 ) (F 1 F 2 ) (F 1 F 2 ) (F 1 F 2 ) Voorbeeldformules: p p
77 Herschrijven: consistentie checken met Herbrand stappen Termen: propositionele formules: P ::= p[0..9] F ::= P F (F 1 F 2 ) (F 1 F 2 ) (F 1 F 2 ) (F 1 F 2 ) Voorbeeldformules: p p p p.
78 Herschrijven: consistentie checken met Herbrand stappen Termen: propositionele formules: P ::= p[0..9] F ::= P F (F 1 F 2 ) (F 1 F 2 ) (F 1 F 2 ) (F 1 F 2 ) Voorbeeldformules: p p p p. p p.
79 Herschrijven: consistentie checken met Herbrand stappen Termen: propositionele formules: P ::= p[0..9] F ::= P F (F 1 F 2 ) (F 1 F 2 ) (F 1 F 2 ) (F 1 F 2 ) Voorbeeldformules: p p p p. p p. p 1 (p 2 p 1 ).
80 Herschrijfregels voor Herbrand reductie x x + 1 x y x y + x + 1 x y x + y + 1 x y x y x y x y + x + y x (y + z) x y + x z x 1 x x 0 0 x x x x + 0 x x + x 0
81 staat voor en, + voor exclusief of.
82 staat voor en, + voor exclusief of. en + zijn associatief en commutatief (AC).
83 staat voor en, + voor exclusief of. en + zijn associatief en commutatief (AC). We herschrijven modulo AC, d.w.z. we mogen p q vervangen door q p, en p + (p + 1) door (p + p) + 1.
84 staat voor en, + voor exclusief of. en + zijn associatief en commutatief (AC). We herschrijven modulo AC, d.w.z. we mogen p q vervangen door q p, en p + (p + 1) door (p + p) + 1. We mogen de haakjes in p + (p + 1) ook wel weglaten: p + p + 1.
85 staat voor en, + voor exclusief of. en + zijn associatief en commutatief (AC). We herschrijven modulo AC, d.w.z. we mogen p q vervangen door q p, en p + (p + 1) door (p + p) + 1. We mogen de haakjes in p + (p + 1) ook wel weglaten: p + p + 1. We nemen aan dat sterker bindt dan +, zodat we ook de haakjes in (p p) + 1 mogen weglaten: p p + 1.
86 Voorbeeld herschrijving p p p (p + 1) p (p + 1) + p + p + 1 p p + p 1 + p + p + 1 p + p 1 + p + p + 1 p + p + p + p p + p Herschrijf nu zelf de formules p p en p p.
87 Nog een voorbeeld p 1 (p 2 p 1 ) p 1 (p 2 p 1 + p 2 + 1) p 1 (p 2 p 1 + p 2 + 1) + p p 1 p 2 p 1 + p 1 p 2 + p p p 1 p 1 p 2 + p 1 p 2 + p p p 1 p 2 + p 1 p 2 + p p p p p 1 + p
88 Herbrand Reductie: Eigenschappen Herbrand reductie SN? Ja. Herbrand reductie CR? Ja. Normaalvormen?
89 Herbrand Reductie: Eigenschappen Herbrand reductie SN? Ja. Herbrand reductie CR? Ja. Normaalvormen? 0
90 Herbrand Reductie: Eigenschappen Herbrand reductie SN? Ja. Herbrand reductie CR? Ja. Normaalvormen? 0 1
91 Herbrand Reductie: Eigenschappen Herbrand reductie SN? Ja. Herbrand reductie CR? Ja. Normaalvormen? 0 1 sommen van producten, bij voorbeeld p 1 p 2 + p 1 p 3. Eigenschappen (volledigheid):
92 Herbrand Reductie: Eigenschappen Herbrand reductie SN? Ja. Herbrand reductie CR? Ja. Normaalvormen? 0 1 sommen van producten, bij voorbeeld p 1 p 2 + p 1 p 3. Eigenschappen (volledigheid): Elke tautologie heeft 1 als normaalvorm.
93 Herbrand Reductie: Eigenschappen Herbrand reductie SN? Ja. Herbrand reductie CR? Ja. Normaalvormen? 0 1 sommen van producten, bij voorbeeld p 1 p 2 + p 1 p 3. Eigenschappen (volledigheid): Elke tautologie heeft 1 als normaalvorm. Elke contradictie heeft 0 als normaalvorm.
94 Iets preciezer: Symbolen en Termen
95 Iets preciezer: Symbolen en Termen Functie-symbolen: f, g,... Elk functie-symbool heeft een plaatsigheid (E: arity) die aangeeft hoeveel argumentplaatsen het heeft. f/n geeft aan dat f plaatsigheid n heeft.
96 Iets preciezer: Symbolen en Termen Functie-symbolen: f, g,... Elk functie-symbool heeft een plaatsigheid (E: arity) die aangeeft hoeveel argumentplaatsen het heeft. f/n geeft aan dat f plaatsigheid n heeft. Constanten: c, d,... Nulplaatsige functie-symbolen.
97 Iets preciezer: Symbolen en Termen Functie-symbolen: f, g,... Elk functie-symbool heeft een plaatsigheid (E: arity) die aangeeft hoeveel argumentplaatsen het heeft. f/n geeft aan dat f plaatsigheid n heeft. Constanten: c, d,... Nulplaatsige functie-symbolen. Variabelen: x, y, z,.... Als F een verzameling symbolen is en X een verzameling variabelen, dan is Ter(F, X) als volgt gedefiniëerd:
98 Iets preciezer: Symbolen en Termen Functie-symbolen: f, g,... Elk functie-symbool heeft een plaatsigheid (E: arity) die aangeeft hoeveel argumentplaatsen het heeft. f/n geeft aan dat f plaatsigheid n heeft. Constanten: c, d,... Nulplaatsige functie-symbolen. Variabelen: x, y, z,.... Als F een verzameling symbolen is en X een verzameling variabelen, dan is Ter(F, X) als volgt gedefiniëerd: als x X, dan x Ter(F, X).
99 Iets preciezer: Symbolen en Termen Functie-symbolen: f, g,... Elk functie-symbool heeft een plaatsigheid (E: arity) die aangeeft hoeveel argumentplaatsen het heeft. f/n geeft aan dat f plaatsigheid n heeft. Constanten: c, d,... Nulplaatsige functie-symbolen. Variabelen: x, y, z,.... Als F een verzameling symbolen is en X een verzameling variabelen, dan is Ter(F, X) als volgt gedefiniëerd: als x X, dan x Ter(F, X). als c een constante in F, dan c Ter(F, X).
100 Iets preciezer: Symbolen en Termen Functie-symbolen: f, g,... Elk functie-symbool heeft een plaatsigheid (E: arity) die aangeeft hoeveel argumentplaatsen het heeft. f/n geeft aan dat f plaatsigheid n heeft. Constanten: c, d,... Nulplaatsige functie-symbolen. Variabelen: x, y, z,.... Als F een verzameling symbolen is en X een verzameling variabelen, dan is Ter(F, X) als volgt gedefiniëerd: als x X, dan x Ter(F, X). als c een constante in F, dan c Ter(F, X). als f/n F, en t 1,..., t n Ter(F, X). Ter(F, X), dan f(t 1,..., t n )
101 Betekenis van Termen De betekenis van termen wordt gegeven door de constanten te interpreteren als elementen van een verzameling A en de functie-symbolen als functies op die verzameling A. Een unaire functie op een eindige verzameling A kan worden gespecificeerd in de vorm van een tabel, als volgt: f Een binaire functie op een eindige verzameling A kan worden gespecificeerd in de vorm van een tabel, als volgt:
102 Een drieplaatsige functie op een eindige verzameling A moet helemaal worden uitgeschreven: x y z f
103 Interpretaties en Algebra s Een interpretatie van een verzameling constanten en functie-symbolen F in een niet-lege verzameling A is een functie I : F A die voldoet aan:
104 Interpretaties en Algebra s Een interpretatie van een verzameling constanten en functie-symbolen F in een niet-lege verzameling A is een functie I : F A die voldoet aan: I(c) is een element van A voor elke constante c in F.
105 Interpretaties en Algebra s Een interpretatie van een verzameling constanten en functie-symbolen F in een niet-lege verzameling A is een functie I : F A die voldoet aan: I(c) is een element van A voor elke constante c in F. I(f) is een n-plaatsige functie op A voor elk functie-symbool f/n F. Een F -algebra is een paar (A, I) waar I een interpretatie is van F in A.
106 Voorbeelden van Algebra s
107 Voorbeelden van Algebra s Natuurlijke getallen, met F = {+,, 0, 1}. Dit is de algebra (N, +,, 0, 1).
108 Voorbeelden van Algebra s Natuurlijke getallen, met F = {+,, 0, 1}. Dit is de algebra (N, +,, 0, 1). Gehele getallen modulo 3, met F = {+,,, 0, 1, 2}. Dit is de algebra (Z 3, +,,, 0, 1, 2).
109 Voorbeelden van Algebra s Natuurlijke getallen, met F = {+,, 0, 1}. Dit is de algebra (N, +,, 0, 1). Gehele getallen modulo 3, met F = {+,,, 0, 1, 2}. Dit is de algebra (Z 3, +,,, 0, 1, 2). Waarheidswaarden 0 en 1, met F = {,,,, }. Dit is de Boolese algebra: ({0, 1},,,, 0, 1). waarbij I( ) = 0, I( ) = 1, en de interpretatie van,, is gegeven door:
110 Laat U een verzameling zijn, en P(U) de verzameling van alle deelverzamelingen van U. Dan is (P(U),,,,, U) de deelverzamelingen algebra van U.
111 Laat U een verzameling zijn, en P(U) de verzameling van alle deelverzamelingen van U. Dan is (P(U),,,,, U) de deelverzamelingen algebra van U. staat voor vereniging van verzamelingen,
112 Laat U een verzameling zijn, en P(U) de verzameling van alle deelverzamelingen van U. Dan is (P(U),,,,, U) de deelverzamelingen algebra van U. staat voor vereniging van verzamelingen, staat voor doorsnede van verzamelingen,
113 Laat U een verzameling zijn, en P(U) de verzameling van alle deelverzamelingen van U. Dan is (P(U),,,,, U) de deelverzamelingen algebra van U. staat voor vereniging van verzamelingen, staat voor doorsnede van verzamelingen, staat voor complement t.o.v. U,
114 Laat U een verzameling zijn, en P(U) de verzameling van alle deelverzamelingen van U. Dan is (P(U),,,,, U) de deelverzamelingen algebra van U. staat voor vereniging van verzamelingen, staat voor doorsnede van verzamelingen, staat voor complement t.o.v. U, staat voor de lege verzameling. Opmerking: Als we U gelijk nemen aan {a}, dan krijgen we in feite een Boolese algebra, met 1 = {a}, 0 =, =, =, =.
115 Term Functies Laat een algebra (A, I) voor het vocabulair F gegeven zijn. Dan legt elke term t(x 1,, x n ) uit Ter(F, {x 1,..., x n }) een n-plaatsige functie t (A,I) : A n A vast, die als volgt is gedefiniëerd:
116 Term Functies Laat een algebra (A, I) voor het vocabulair F gegeven zijn. Dan legt elke term t(x 1,, x n ) uit Ter(F, {x 1,..., x n }) een n-plaatsige functie t (A,I) : A n A vast, die als volgt is gedefiniëerd: Als t(x 1,..., x n ) de variabele x i is, dan: t (A,I) (a 1,..., a n ) = a i.
117 Term Functies Laat een algebra (A, I) voor het vocabulair F gegeven zijn. Dan legt elke term t(x 1,, x n ) uit Ter(F, {x 1,..., x n }) een n-plaatsige functie t (A,I) : A n A vast, die als volgt is gedefiniëerd: Als t(x 1,..., x n ) de variabele x i is, dan: t (A,I) (a 1,..., a n ) = a i. Als t(x 1,..., x n ) de constante c is, dan: t (A,I) (a 1,..., a n ) = I(c).
118 Term Functies Laat een algebra (A, I) voor het vocabulair F gegeven zijn. Dan legt elke term t(x 1,, x n ) uit Ter(F, {x 1,..., x n }) een n-plaatsige functie t (A,I) : A n A vast, die als volgt is gedefiniëerd: Als t(x 1,..., x n ) de variabele x i is, dan: t (A,I) (a 1,..., a n ) = a i. Als t(x 1,..., x n ) de constante c is, dan: t (A,I) (a 1,..., a n ) = I(c). Als t f(t 1,..., t n ), dan: t (A,I) (a 1,..., a n ) = I(f)(t (A,I) 1 (a 1,..., a n ),..., t (A,I) n (a 1,..., a n )).
119 Voorbeeld: interpretatie van reken-termen
120 Voorbeeld: interpretatie van reken-termen Neem de taal van het rekenen met natuurlijke getallen. Beschouw de term t(x, y, z) = x y + x z. Dan zal t N : N 3 N het drietal (2, 3, 1) afbeelden op = 5.
121 Voorbeeld: interpretatie van reken-termen Neem de taal van het rekenen met natuurlijke getallen. Beschouw de term t(x, y, z) = x y + x z. Dan zal t N : N 3 N het drietal (2, 3, 1) afbeelden op = 5. We gaan nog even na hoe dit volgt uit de definitie. Uit de eerste regel van de definitie volgt: x N (2, 3, 1) = 2, y N (2, 3, 1) = 3, z N (2, 3, 1) = 1. Immers, 3 staat hier voor a 1, 2 voor a 2 en 1 voor a 3.
122 Bij de rest moeten we bedenken dat we in het voorbeeld infix notatie hebben in plaats van de prefix notatie uit de definitie. We krijgen: t N (2, 3, 1) = (x y + x z) N (2, 3, 1) = (x y) N (2, 3, 1) + (x z) N (2, 3, 1) = (x N (2, 3, 1) y N (2, 3, 1)) + (x N (2, 3, 1) z N (2, 3, 1)) = (2 3) + (2 1) = 8
123 Voorbeeld: waarheidstabellen voor formules van de propositielogica Beschouw de term t(p, q, r) = (p q) (p r). Dan wordt de functie t Prop : {0, 1} 3 {0, 1} gegeven door de volgende tabel: p q r p q p r (p q) (p r)
124 Om na te gaan dat dit klopt moeten we weer bedenken dat
125 Om na te gaan dat dit klopt moeten we weer bedenken dat p Bool (1, 0, 1) = 1 (het eerste element van het rijtje argumenten),
126 Om na te gaan dat dit klopt moeten we weer bedenken dat p Bool (1, 0, 1) = 1 (het eerste element van het rijtje argumenten), q Bool (1, 0, 1) = 0 (het tweede element van het rijtje argumenten),
127 Om na te gaan dat dit klopt moeten we weer bedenken dat p Bool (1, 0, 1) = 1 (het eerste element van het rijtje argumenten), q Bool (1, 0, 1) = 0 (het tweede element van het rijtje argumenten), r Bool (1, 0, 1) = 1 (het derde element van het rijtje argumenten).
128 Posities in een term Posities in een term zijn het gemakkelijkst te beschrijven als we de term opvatten als een boom. Bij voorbeeld: f f x y g x f (f (x, y), g (x)) ɛ
129 De top positie heet ɛ. De plaats waar je terechtkomt door vanaf de top de dichtsbijzijnde knoop links onder de top te bezoeken heet 1. De plaats waar je terechtkomt door vanaf de top de dichtsbijzijnde knoop rechts onder de top te bezoeken heet 2. Vanaf positie 1 kun je zowel links als rechts, dus naar 1.1 en 1.2. Vanaf positie 2 kun je alleen recht naar beneden, dus naar 2.1. Posities zijn dus rijtjes van positieve gehele getallen. De rijtjes of lijsten van positieve gehele getallen die we gebruiken zijn gegeven door: L ::= ɛ n.l Hierbij staat ɛ voor de lege lijst. Omdat elke lijst eindigt op ɛ spreken we af dat we de ɛ aan het eind van een niet-lege lijst weglaten. We schrijven dus 2.1 in plaats van 2.1.ɛ.
130 Hier komt de formele definitie van de verzameling van alle posities in een term t: O(t) = {ɛ} als t een constante of variabele is {ɛ} {i.p 1 i n en p O(t i )} als t f(t 1,..., t n )
131 Dus toegepast op het voorbeeld: O(f(f(x, y), g(x))) = {ɛ} {1.p p O(f(x, y))} {2.p p O(g(x))} = {ɛ} {1.ɛ} {1.1.p p O(x)} {1.2.p p O(y)} {2.ɛ} {2.1.p p O(x)} = {ɛ} {1.ɛ} {1.1.ɛ} {1.2.ɛ} {2.ɛ} {2.1.ɛ} = {ɛ, 1, 1.1, 1.2, 2, 2.1}
132 Subtermen Als p O(t), d.w.z, p is een positie in t, dan is t p de subterm van t op positie p. Formeel: { t als p = ɛ, t p = (t i ) q als t f(t 1,..., t n ) en p = i.q. Voorbeelden:
133 Subtermen Als p O(t), d.w.z, p is een positie in t, dan is t p de subterm van t op positie p. Formeel: { t als p = ɛ, t p = (t i ) q als t f(t 1,..., t n ) en p = i.q. Voorbeelden: f(f(x, y), g(x)) ɛ = f(f(x, y), g(x)).
134 Subtermen Als p O(t), d.w.z, p is een positie in t, dan is t p de subterm van t op positie p. Formeel: { t als p = ɛ, t p = (t i ) q als t f(t 1,..., t n ) en p = i.q. Voorbeelden: f(f(x, y), g(x)) ɛ = f(f(x, y), g(x)). f(f(x, y), g(x)) 1 = f(x, y).
135 Subtermen Als p O(t), d.w.z, p is een positie in t, dan is t p de subterm van t op positie p. Formeel: { t als p = ɛ, t p = (t i ) q als t f(t 1,..., t n ) en p = i.q. Voorbeelden: f(f(x, y), g(x)) ɛ = f(f(x, y), g(x)). f(f(x, y), g(x)) 1 = f(x, y). f(f(x, y), g(x)) 2 = g(x).
136 Subtermen Als p O(t), d.w.z, p is een positie in t, dan is t p de subterm van t op positie p. Formeel: { t als p = ɛ, t p = (t i ) q als t f(t 1,..., t n ) en p = i.q. Voorbeelden: f(f(x, y), g(x)) ɛ = f(f(x, y), g(x)). f(f(x, y), g(x)) 1 = f(x, y). f(f(x, y), g(x)) 2 = g(x). f(f(x, y), g(x)) 1.1 = x.
137 Subtermen Als p O(t), d.w.z, p is een positie in t, dan is t p de subterm van t op positie p. Formeel: { t als p = ɛ, t p = (t i ) q als t f(t 1,..., t n ) en p = i.q. Voorbeelden: f(f(x, y), g(x)) ɛ = f(f(x, y), g(x)). f(f(x, y), g(x)) 1 = f(x, y). f(f(x, y), g(x)) 2 = g(x). f(f(x, y), g(x)) 1.1 = x. f(f(x, y), g(x)) 1.2 = y.
138 Variabelen-posities Een positie p in een term t is een variabelen-positie als t p een variabele is. Voorbeelden:
139 Variabelen-posities Een positie p in een term t is een variabelen-positie als t p een variabele is. Voorbeelden: Positie 1.1 in term f(f(x, y), g(x)) is een variabelen-positie.
140 Variabelen-posities Een positie p in een term t is een variabelen-positie als t p een variabele is. Voorbeelden: Positie 1.1 in term f(f(x, y), g(x)) is een variabelen-positie. Positie 1.2 in term f(f(x, y), g(x)) is een variabelen-positie.
141 Variabelen-posities Een positie p in een term t is een variabelen-positie als t p een variabele is. Voorbeelden: Positie 1.1 in term f(f(x, y), g(x)) is een variabelen-positie. Positie 1.2 in term f(f(x, y), g(x)) is een variabelen-positie. Positie 2.1 in term f(f(x, y), g(x)) is een variabelen-positie.
142 Vervanging Als p O(t), d.w.z, p is een positie in t, dan is t[s] p de term die ontstaat door de subterm van t op positie p te vervangen door de term s.
143 Vervanging Als p O(t), d.w.z, p is een positie in t, dan is t[s] p de term die ontstaat door de subterm van t op positie p te vervangen door de term s. Voorbeelden:
144 Vervanging Als p O(t), d.w.z, p is een positie in t, dan is t[s] p de term die ontstaat door de subterm van t op positie p te vervangen door de term s. Voorbeelden: f(f(x, y), g(x))[g(z)] ɛ = g(z).
145 Vervanging Als p O(t), d.w.z, p is een positie in t, dan is t[s] p de term die ontstaat door de subterm van t op positie p te vervangen door de term s. Voorbeelden: f(f(x, y), g(x))[g(z)] ɛ = g(z). f(f(x, y), g(x))[g(z)] 1 = f(g(z), g(x)).
146 Vervanging Als p O(t), d.w.z, p is een positie in t, dan is t[s] p de term die ontstaat door de subterm van t op positie p te vervangen door de term s. Voorbeelden: f(f(x, y), g(x))[g(z)] ɛ = g(z). f(f(x, y), g(x))[g(z)] 1 = f(g(z), g(x)). f(f(x, y), g(x))[g(z)] 2 = f(f(x, y), g(z)).
147 Vervanging Als p O(t), d.w.z, p is een positie in t, dan is t[s] p de term die ontstaat door de subterm van t op positie p te vervangen door de term s. Voorbeelden: f(f(x, y), g(x))[g(z)] ɛ = g(z). f(f(x, y), g(x))[g(z)] 1 = f(g(z), g(x)). f(f(x, y), g(x))[g(z)] 2 = f(f(x, y), g(z)). f(f(x, y), g(x))[g(z)] 1.1 = f(f(g(z), y), g(x)).
148 Vervanging Als p O(t), d.w.z, p is een positie in t, dan is t[s] p de term die ontstaat door de subterm van t op positie p te vervangen door de term s. Voorbeelden: f(f(x, y), g(x))[g(z)] ɛ = g(z). f(f(x, y), g(x))[g(z)] 1 = f(g(z), g(x)). f(f(x, y), g(x))[g(z)] 2 = f(f(x, y), g(z)). f(f(x, y), g(x))[g(z)] 1.1 = f(f(g(z), y), g(x)). f(f(x, y), g(x))[g(z)] 1.2 = f(f(x, g(z)), g(x)).
149 Vervanging Als p O(t), d.w.z, p is een positie in t, dan is t[s] p de term die ontstaat door de subterm van t op positie p te vervangen door de term s. Voorbeelden: f(f(x, y), g(x))[g(z)] ɛ = g(z). f(f(x, y), g(x))[g(z)] 1 = f(g(z), g(x)). f(f(x, y), g(x))[g(z)] 2 = f(f(x, y), g(z)). f(f(x, y), g(x))[g(z)] 1.1 = f(f(g(z), y), g(x)). f(f(x, y), g(x))[g(z)] 1.2 = f(f(x, g(z)), g(x)). f(f(x, y), g(x))[g(z)] 2.1 = f(f(x, y), g(g(z))).
150 Substitutie Een substitutie is een toekenning van waarden aan variabelen. Formeel: Een substitutie is een functie σ : Ter(F, X) Ter(F, X) die voldoet aan: σ(c) c voor elke constante c F, en aan voor elke f/n F. σ(f(t 1,..., t n ) f(σ(t 1 ),..., σ(t n ))
151 Substitutie Een substitutie is een toekenning van waarden aan variabelen. Formeel: Een substitutie is een functie σ : Ter(F, X) Ter(F, X) die voldoet aan: σ(c) c voor elke constante c F, en aan voor elke f/n F. σ(f(t 1,..., t n ) f(σ(t 1 ),..., σ(t n )) Substituties worden volledige bepaald door de waarden die ze toekennen aan variabelen. We schrijven een substitutie op als: {x 1 t 1,..., x n t n } waarbij x 1,..., x n de variabelen x zijn waarvoor x σ(x).
152 Voorbeelden
153 Voorbeelden Laat σ = {x g(y), y g(y)}. Dan is σ(f(f(x, y), g(x))) = f(f(g(y), g(y)), g(g(y))).
154 Voorbeelden Laat σ = {x g(y), y g(y)}. Dan is σ(f(f(x, y), g(x))) = f(f(g(y), g(y)), g(g(y))).
155 Voorbeelden Laat σ = {x g(y), y g(y)}. Dan is σ(f(f(x, y), g(x))) = f(f(g(y), g(y)), g(g(y))). Laat σ = {x y, y x}. Dan is σ(f(f(x, y), g(x))) = f(f(y, x), g(y)).
156 Eindelijk: Termherschrijfsystemen Een termherschrijfsysteem (E: term rewriting system, TRS) is een paar (F, R) waarbij F een verzameling functiesymbolen en constanten is, en R Ter(F, X) Ter(F, X) een verzameling herschrijfregels. We schrijven een herschrijfregel (l, r) als l r. Elke herschrijfregel l r moet voldoen aan:
157 Eindelijk: Termherschrijfsystemen Een termherschrijfsysteem (E: term rewriting system, TRS) is een paar (F, R) waarbij F een verzameling functiesymbolen en constanten is, en R Ter(F, X) Ter(F, X) een verzameling herschrijfregels. We schrijven een herschrijfregel (l, r) als l r. Elke herschrijfregel l r moet voldoen aan: l is geen losse variabele.
158 Eindelijk: Termherschrijfsystemen Een termherschrijfsysteem (E: term rewriting system, TRS) is een paar (F, R) waarbij F een verzameling functiesymbolen en constanten is, en R Ter(F, X) Ter(F, X) een verzameling herschrijfregels. We schrijven een herschrijfregel (l, r) als l r. Elke herschrijfregel l r moet voldoen aan: l is geen losse variabele. in r komen alleen variabelen voor die ook in l voorkomen. Meestal worden alleen de herschrijfregels gegeven. De volgende omschrijving legt het termherschrijfsysteem voor optellen volledig vast: {P (x, 0) x, P (x, Sy) SP (x, y)}.
159 De Herschrijf Relatie Laat R een verzameling herschrijfregels zijn. De bijbehorende herschrijfrelatie R is als volgt gedefinieerd: s R t geldt dan en slechts dan als
160 De Herschrijf Relatie Laat R een verzameling herschrijfregels zijn. De bijbehorende herschrijfrelatie R is als volgt gedefinieerd: s R t geldt dan en slechts dan als er een herschrijfregel l r in R is,
161 De Herschrijf Relatie Laat R een verzameling herschrijfregels zijn. De bijbehorende herschrijfrelatie R is als volgt gedefinieerd: s R t geldt dan en slechts dan als er een herschrijfregel l r in R is, er een variabelen-positie p O(s) is,
162 De Herschrijf Relatie Laat R een verzameling herschrijfregels zijn. De bijbehorende herschrijfrelatie R is als volgt gedefinieerd: s R t geldt dan en slechts dan als er een herschrijfregel l r in R is, er een variabelen-positie p O(s) is, er een substitutie σ is, dit alles zodanig dat s p σ(l) en t s[σ(r)] p. De term s p heet de redex (=reduceerbare expressie), en s R t heet de herschrijfstap. s R t wordt gebruikt voor s herschrijft in één of meer stappen tot t. De index R wordt soms weggelaten.
163 Nogmaals: optellen en vermenigvuldigen Neem het volgende termherschrijfsysteem R: { x + 0 x, x + Sy S(x + y), x 0 0, x Sy x y + x }. Dit is hetzelfde als het eerdere herschrijfsysteem voor optellen en vermenigvuldigen, alleen nu met de plus en maal functies in infix i.p.v. prefix notatie.
164 Redexen in rood: SSS0 SS0 SSS0 S0 + SSS0 (SSS0 0 + SSS0) + SSS0 (0 + SSS0) + SSS0 S(0 + SS0) + SSS0 SS(0 + S0) + SSS0 SSS(0 + 0) + SSS0 SSS0 + SSS0 S(SSS0 + SS0) SS(SSS0 + S0) SSS(SSS0 + 0) SSSSSS0.
165 Strategieën Strategische vraag: welke redex pakken we het eerst aan?
166 Strategieën Strategische vraag: welke redex pakken we het eerst aan? Antwoord: een strategie.
167 Strategieën Strategische vraag: welke redex pakken we het eerst aan? Antwoord: een strategie. Bij voorbeeld:
168 Strategieën Strategische vraag: welke redex pakken we het eerst aan? Antwoord: een strategie. Bij voorbeeld: Van buiten naar binnen, en van links naar rechts.
169 Strategieën Strategische vraag: welke redex pakken we het eerst aan? Antwoord: een strategie. Bij voorbeeld: Van buiten naar binnen, en van links naar rechts. Van buiten naar binnen, en van rechts naar links.
170 Strategieën Strategische vraag: welke redex pakken we het eerst aan? Antwoord: een strategie. Bij voorbeeld: Van buiten naar binnen, en van links naar rechts. Van buiten naar binnen, en van rechts naar links. Van binnen naar buiten, en van links naar rechts.
171 Strategieën Strategische vraag: welke redex pakken we het eerst aan? Antwoord: een strategie. Bij voorbeeld: Van buiten naar binnen, en van links naar rechts. Van buiten naar binnen, en van rechts naar links. Van binnen naar buiten, en van links naar rechts. Van binnen naar buiten, en van rechts naar links.
172 Welke strategie is dit? step Zero = Stop step (S t) = case step t of Stop -> Stop t -> S t step (P t Zero) = t step (P t1 (S t2)) = S (P t1 t2) step (P t1 t2) = P t1 (step t2) step (M t Zero) = Zero step (M t1 (S t2)) = P (M t1 t2) t1 step (M t1 t2) = M t1 (step t2)
173 Welke strategie is dit? step Zero = Stop step (S t) = case step t of Stop -> Stop t -> S t step (P t Zero) = t step (P t1 (S t2)) = S (P t1 t2) step (P t1 t2) = P t1 (step t2) step (M t Zero) = Zero step (M t1 (S t2)) = P (M t1 t2) t1 step (M t1 t2) = M t1 (step t2) Antwoord: van buiten naar binnen, en van rechts naar links.
174 De strategie in detail: Als de buitenste term van de vorm St is, vind dan de buitenste redex in t en herschrijf die. Als de buitenste term van de vorm P (t 1, t 2 ) of M(t 1, t 2 ) is, en het is een redex, herschrijf die dan. Als de buitenste term van de vorm P (t 1, t 2 ) of M(t 1, t 2 ) is, en het is geen redex, dan moet t 2 een redex bevatten. Vind die redex (gebruikmakend van deze strategie!) en herschrijf die.
175 Main> run (M (S (S (S Zero))) (P (S (S Zero)) (S (S Zero)))) M(SSS0,P(SS0,SS0)) M(SSS0,SP(SS0,S0)) P(M(SSS0,P(SS0,S0)),SSS0) SP(M(SSS0,P(SS0,S0)),SS0) SSP(M(SSS0,P(SS0,S0)),S0) SSSP(M(SSS0,P(SS0,S0)),0) SSSM(SSS0,P(SS0,S0)) SSSM(SSS0,SP(SS0,0)) SSSP(M(SSS0,P(SS0,0)),SSS0) SSSSP(M(SSS0,P(SS0,0)),SS0) SSSSSP(M(SSS0,P(SS0,0)),S0) SSSSSSP(M(SSS0,P(SS0,0)),0) SSSSSSM(SSS0,P(SS0,0)) SSSSSSM(SSS0,SS0) SSSSSSP(M(SSS0,S0),SSS0)
176 SSSSSSSP(M(SSS0,S0),SS0) SSSSSSSSP(M(SSS0,S0),S0) SSSSSSSSSP(M(SSS0,S0),0) SSSSSSSSSM(SSS0,S0) SSSSSSSSSP(M(SSS0,0),SSS0) SSSSSSSSSSP(M(SSS0,0),SS0) SSSSSSSSSSSP(M(SSS0,0),S0) SSSSSSSSSSSSP(M(SSS0,0),0) SSSSSSSSSSSSM(SSS0,0) SSSSSSSSSSSS0
177 Conclusie Elk rekenproces kan worden beschouwd als een herschrijfproces.
178 Conclusie Elk rekenproces kan worden beschouwd als een herschrijfproces. Geschikte machinerie voor herschrijven:
179 Conclusie Elk rekenproces kan worden beschouwd als een herschrijfproces. Geschikte machinerie voor herschrijven: asf + sdf
180 Conclusie Elk rekenproces kan worden beschouwd als een herschrijfproces. Geschikte machinerie voor herschrijven: asf + sdf talen gebaseerd op termherschrijven, b.v. Maude
181 Conclusie Elk rekenproces kan worden beschouwd als een herschrijfproces. Geschikte machinerie voor herschrijven: asf + sdf talen gebaseerd op termherschrijven, b.v. Maude functionele programmeertalen, b.v. Haskell
182 Conclusie Elk rekenproces kan worden beschouwd als een herschrijfproces. Geschikte machinerie voor herschrijven: asf + sdf talen gebaseerd op termherschrijven, b.v. Maude functionele programmeertalen, b.v. Haskell Belangrijke toepassing:
183 Conclusie Elk rekenproces kan worden beschouwd als een herschrijfproces. Geschikte machinerie voor herschrijven: asf + sdf talen gebaseerd op termherschrijven, b.v. Maude functionele programmeertalen, b.v. Haskell Belangrijke toepassing: Programma-transformaties m.b.v. termherschrijven.
Termherschrijven. Jan van Eijck CWI. Achtergrondcollege Software Evolution, 22 september Samenvatting
Termherschrijven Jan van Eijck CWI jve@cwi.nl Achtergrondcollege Software Evolution, 22 september 2005 Samenvatting Wat zijn termen? Wat zijn regels voor vereenvoudigen van termen? Het begrip normaalvorm.
1 Religie vs herschrijven 3. 2 Herschrijven 4. 3 Rekenen 5. 4 Tellen 6. 5 Syracuse probleem 7. 6 Herschrijftheorie 8. 7 Terminatie en Confluentie 9
1 Religie vs herschrijven 3 2 Herschrijven 4 3 Rekenen 5 4 Tellen 6 5 Syracuse probleem 7 6 Herschrijftheorie 8 Page 1 of 31 7 Terminatie en Confluentie 9 8 SN en CR in rekenen 10 9 SN en CR in tellen
start -> id (k (f c s) (g s c)) -> k (f c s) (g s c) -> f c s -> s c
Een Minimaal Formalisme om te Programmeren We hebben gezien dat Turing machines beschouwd kunnen worden als universele computers. D.w.z. dat iedere berekening met natuurlijke getallen die met een computer
Verzamelingen, Lijsten, Functioneel Programmeren
Verzamelingen, Lijsten, Functioneel Programmeren Jan van Eijck jve@cwi.nl Stage Ignatiuscollege, 17 mei 2010 Samenvatting In deze lezing gaan we in op de overeenkomsten en verschillen tussen verzamelingen
Termherschrijfsystemen en Propositie-Algebra
Termherschrijfsystemen en Propositie-Algebra Evalien IJsendijk 19 augustus 2010 Bachelorscriptie Begeleiding: dr. Alban Ponse x y z u v x y v z x u v KdV Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen,
Logica voor Informatica
Logica voor Informatica 13 Prolog Wouter Swierstra University of Utrecht 1 Programmeren met Logica Propositielogica is niet geschikt voor programmeren er is nauwlijkst iets interessants uit te drukken.
Verzamelingen deel 3. Derde college
1 Verzamelingen deel 3 Derde college rekenregels Een bewerking op A heet commutatief als voor alle x en y in A geldt dat x y = y x. Een bewerking op A heet associatief als voor alle x, y en z in A geldt
Haskell: programmeren in een luie, puur functionele taal
Haskell: programmeren in een luie, puur functionele taal Jan van Eijck jve@cwi.nl 5 Talen Symposium, 12 juli 2010 Samenvatting In deze mini-cursus laten we zien hoe je met eindige en oneindige lijsten
Verzamelingen, Lijsten, Functioneel Programmeren
Verzamelingen, Lijsten, Functioneel Programmeren Jan van Eijck jve@cwi.nl Lezing 4e Gymnasium, 19 november 2015 Samenvatting In deze lezing gaan we in op de overeenkomsten en verschillen tussen verzamelingen
Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen
Hoofdstuk 1 Lichamen Inleiding In Lineaire Algebra 1 en 2 heb je al kennis gemaakt met de twee belangrijkste begrippen uit de lineaire algebra: vectorruimte en lineaire afbeelding. In dit hoofdstuk gaan
Verzamelingen, Lijsten, Functioneel Programmeren
Verzamelingen, Lijsten, Functioneel Programmeren Jan van Eijck jve@cwi.nl Stage Ignatiuscollege, 20 mei 2008 Samenvatting In deze lezing gaan we in op de overeenkomsten en verschillen tussen verzamelingen
opgaven formele structuren deterministische eindige automaten
opgaven formele structuren deterministische eindige automaten Opgave. De taal L over het alfabet {a, b} bestaat uit alle strings die beginnen met aa en eindigen met ab. Geef een reguliere expressie voor
We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.
II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;
Inhoud leereenheid 1. Inleiding. Introductie 13. Leerkern 13. 1.1 Wat is logica? 13 1.2 Logica en informatica 13
Inhoud leereenheid 1 Inleiding Introductie 13 Leerkern 13 1.1 Wat is logica? 13 1.2 Logica en informatica 13 12 Leereenheid 1 Inleiding I N T R O D U C T I E Studeeraanwijzing Deze leereenheid is een leesleereenheid.
De partitieformule van Euler
De partitieformule van Euler Een kennismaking met zuivere wiskunde J.H. Aalberts-Bakker 29 augustus 2008 Doctoraalscriptie wiskunde, variant Communicatie en Educatie Afstudeerdocent: Dr. H. Finkelnberg
Gödels theorem An Incomplete Guide to Its Use and Abuse, Hoofdstuk 3
Gödels theorem An Incomplete Guide to Its Use and Abuse, Hoofdstuk 3 Koen Rutten, Aris van Dijk 30 mei 2007 Inhoudsopgave 1 Verzamelingen 2 1.1 Definitie................................ 2 1.2 Eigenschappen............................
I.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules.
I.3 Functies Iedereen is ongetwijfeld in veel situaties het begrip functie tegengekomen; vaak als een voorschrift dat aan elk getal een ander getal toevoegt, bijvoorbeeld de functie fx = x die aan elk
Module Limieten van de berekenbaarheid : antwoorden
Module Limieten van de berekenbaarheid : antwoorden Gilles Coremans 2018 This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International license. Dit werk is gebaseerd
Logica voor Informatica
Logica voor Informatica 10 Predikatenlogica Wouter Swierstra University of Utrecht 1 Vorige keer Syntax van predikatenlogica Alfabet Termen Welgevormde formulas (wff) 2 Alfabet van de predikatenlogica
Verzamelingen deel 2. Tweede college
1 Verzamelingen deel 2 Tweede college herhaling Deelverzameling: AB wil zeggen dat elk element van A ook in B te vinden is: als x A dan x B Er geldt: A=B AB en BA De lege verzameling {} heeft geen elementen.
1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12
Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal
8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde
![8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde](/thumbs/31/15201373.jpg "8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde")
8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige
1.3 Rekenen met pijlen
14 Getallen 1.3 Rekenen met pijlen 1.3.1 Het optellen van pijlen Jeweetnuwatdegetallenlijnisendat0nochpositiefnochnegatiefis. Wezullen nu een soort rekenen met pijlen gaan invoeren. We spreken af dat bij
3.2 Basiskennis. 3.2.1 De getallenlijn. 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen. 92 Algebra. Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: Het=teken. =staat.
92 Algebra 3.2 Basiskennis Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: 3.2.1 De getallenlijn... -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5... 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen Het=teken 5+2+3=10 = geeft aan dat wat links van = staat,
Als een PSD selecties bevat, deelt de lijn van het programma zich op met de verschillende antwoorden op het vraagstuk.
HOOFDSTUK 3 3.1 Stapsgewijs programmeren In de vorige hoofdstukken zijn programmeertalen beschreven die imperatief zijn. is het stapsgewijs in code omschrijven wat een programma moet doen, net als een
IN2505 II Berekenbaarheidstheorie Tentamen Maandag 2 juli 2007, uur
TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4 2628 CD Delft IN2505 II Berekenbaarheidstheorie Tentamen Maandag 2 juli 2007, 14.00-17.00 uur BELANGRIJK Beschikbare
Semantiek 1 college 10. Jan Koster
Semantiek 1 college 10 Jan Koster 1 Vandaag Vorige keer: conceptuele structuur en semantische decompositie Vandaag: inleiding in de formele semantiek Gebruikt notaties uit formele logica plus de daar gehanteerde
1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling
Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil
opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): 2 a 2.
opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): ℵ 0 #A, B = {b 0,..., b n 1 } voor een zeker natuurlijk getal
Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A
Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Jaap van Oosten 2007-2008 1 Kardinaliteiten Opgave 1.1. Bewijs, dat R N = R. Opgave 1.2. Laat Cont de verzameling continue functies R R zijn. a) Laat zien dat
equationeel programmeren 2015 01 05 college 1
equationeel programmeren 2015 01 05 college 1 schema praktische zaken opmerkingen vooraf lambda termen materiaal schema praktische zaken opmerkingen vooraf lambda termen materiaal wie hoorcolleges: Femke
!"#$%&#'#%($%)*%+*$+%$##'%**$%,'-./%-0%1*+%)*0#'+*2*$+3% % 4*%5*)*'6#$)7*%81'(7+*$%"'-./*$9-$)%($%**$%,*':.(6)%6#$)7;1#0<%=>?
!"#%&#'#%(%)*%+*+%##'%**%,'-./%-0%1*+%)*0#'+*2*+3% % 4*%5*)*'6#)7*%81'(7+*%"'-./*9-)%(%**%,*':.(6)%6#)7;1#0?@A=>B@% % % % %!"#"%&'(()*+,-./01(2/3456788 9(/0&1/:1,;0,&),?&1/,0&,0@&,%&)
Inleiding Logica voor CKI, 2013/14
Inleiding Logica voor CKI, 2013/14 Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 14 oktober, 2013 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Wegens
Logica voor Informatica. Logica Toepassingen. PROLOG: Logische Programmeertaal. Mehdi Dastani
Logica voor Informatica Logica Toepassingen PROLOG: Logische Programmeertaal Mehdi Dastani m.m.dastani@uu.nl Intelligent Systems Utrecht University Programmeren met Logica Propositielogica is niet geschikt
Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr.
Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor Opgedragen aan Th. J. Dekker H. W. Lenstra, Jr. Uit de lineaire algebra is bekend dat het aantal oplossingen van een systeem lineaire vergelijkingen gelijk
Groepen, ringen en velden
Groepen, ringen en velden Groep Een groep G is een verzameling van elementen en een binaire operator met volgende eigenschappen: 1. closure (gesloten): als a en b tot G behoren, doet a b dat ook. 2. associativiteit:
FLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j
FLIPIT JAAP TOP Een netwerk bestaat uit een eindig aantal punten, waarbij voor elk tweetal ervan gegeven is of er wel of niet een verbinding is tussen deze twee. De punten waarmee een gegeven punt van
Logic for Computer Science
Logic for Computer Science 06 Normaalvormen en semantische tableaux Wouter Swierstra University of Utrecht 1 Vorige keer Oneindige verzamelingen 2 Vandaag Wanneer zijn twee formules hetzelfde? Zijn er
Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b
Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking 10 december 2013, 09:30 12:30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is
Verzamelingen. Hoofdstuk 5
Hoofdstuk 5 Verzamelingen In de meest uiteenlopende omstandigheden kan het handig zijn om een stel objecten, elementen, of wat dan ook, samen een naam te geven. Het resultaat noemen we dan een verzameling.
Hoofdstuk 3. Equivalentierelaties. 3.1 Modulo Rekenen
Hoofdstuk 3 Equivalentierelaties SCHAUM 2.8: Equivalence Relations Twee belangrijke voorbeelden van equivalentierelaties in de informatica: resten (modulo rekenen) en cardinaliteit (aftelbaarheid). 3.1
Talen & Automaten. Wim Hesselink Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie 9 mei 2008
Talen & Automaten Wim Hesselink Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.cs.rug.nl/~wim 9 mei 2008 Talen & automaten Week 1: Inleiding Dit college Talen Automaten Berekenbaarheid Weekoverzicht
Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010
Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010 Rick van der Zwet 13 november 2010 Samenvatting Dit schrijven zal uitwerkingen van opgaven behandelen uit het boek [JS2009]
Confluence Constructor
Confluence Constructor Marieke Peeters 3151212 Master s Thesis Department of Philosophy University of Utrecht 45 ECTS Thesis supervisors: Dr. V. van Oostrom Prof. Dr. A. Visser Thesis reviewers: Dr. V.
Ter Leering ende Vermaeck
Ter Leering ende Vermaeck 15 december 2011 1 Caleidoscoop 1. Geef een relatie op Z die niet reflexief of symmetrisch is, maar wel transitief. 2. Geef een relatie op Z die niet symmetrisch is, maar wel
Confluence Constructor
Confluence Constructor Marieke Peeters 3151212 Master s Thesis Department of Philosophy University of Utrecht 45 ECTS Thesis supervisors: Dr. V. van Oostrom Prof. Dr. A. Visser Thesis reviewers: Dr. V.
Veeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm
Module 2 Veeltermen 2.1 Definitie en voorbeelden Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n met a 0,a 1,a 2,...,a n Ê en n
Combinatoriek groep 1 & 2: Recursie
Combinatoriek groep 1 & : Recursie Trainingsweek juni 008 Inleiding Bij een recursieve definitie van een rij wordt elke volgende term berekend uit de vorige. Een voorbeeld van zo n recursieve definitie
HOOFDSTUK 3. Imperatief programmeren. 3.1 Stapsgewijs programmeren. 3.2 If Then Else. Module 4 Programmeren
HOOFDSTUK 3 3.1 Stapsgewijs programmeren De programmeertalen die tot nu toe genoemd zijn, zijn imperatieve of procedurele programmeertalen. is het stapsgewijs in code omschrijven wat een programma moet
Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :
3.2 Vectoren and matrices
we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,
Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010
Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010 Rick van der Zwet 8 december 2010 Samenvatting Dit schrijven zal uitwerkingen van opgaven behandelen uit het boek [JS2009]
Reguliere Expressies
Reguliere Expressies Een reguliere expressie (regexp, regex, regxp) is een string (een woord) die, volgens bepaalde syntaxregels, een verzameling strings (een taal) beschrijft Reguliere expressies worden
Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2
Formeel Denken. Herfst 2004
Formeel Denken Herman Geuvers Deels gebaseerd op het herfst 2002 dictaat van Henk Barendregt en Bas Spitters, met dank aan het Discrete Wiskunde dictaat van Wim Gielen Herfst 2004 Contents 1 Propositielogica
Lineaire Algebra C 2WF09
Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09
Predikaatlogica, modellen en programma s
Logica in actie H O O F D S T U K 4 Predikaatlogica, modellen en programma s De taal van de propositielogica is voor veel toepassingen te arm. Dat bleek al in de Klassieke Oudheid, waar logici allerlei
Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.
College Introductie
College 2016-2017 Introductie Doaitse Swierstra (Jeroen Bransen) Utrecht University September 13, 2016 Waarom is FP anders? in plaats van opdrachten die na elkaar moeten worden uitgevoerd, definiëren we
Boommethode. TI1300: Redeneren en Logica. Oefenen, wat anders? Aanvullende regels (Logica, tabel 11.1, p. 159) A (B C),A C = B
Boommethode Is deze redenering logisch geldig? TI1300: Redeneren en Logica College 15: Boommethode en Resolutie Tomas Klos Algoritmiek Groep A (B C),A C = B oftewel: is deze verzameling vervulbaar? { A
Semantiek (2IT40) Bas Luttik. HG 7.14 tel.: Hoorcollege 8 (7 juni 2007)
Bas Luttik s.p.luttik@tue.nl http://www.win.tue.nl/~luttik HG 7.14 tel.: 040 247 5152 Hoorcollege 8 (7 juni 2007) Functionele talen Idee: een programma definieert reeks (wiskundige) functies. Programma
Kennisrepresentatie & Redeneren. Piter Dykstra Instituut voor Informatica en Cognitie
Kennisrepresentatie & Redeneren Piter Dykstra Instituut voor Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 30 april 2007 INLEIDING Kennisrepresentatie & Redeneren Week1: Introductie
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 5 J.Keijsper (TUE)
eerste en laatste cijfers Jaap Top
eerste en laatste cijfers Jaap Top JBI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 3-10 april 2013 (Collegecarrousel, Groningen) 1 laatste, eerste?! over getallen 2,..., 101,..., 2014,...... laatste cijfers hiervan: 2,...,
Samenvatting. TI1306 Redeneren & Logica Review Guide 2014 Door: David Alderliesten. Disclaimer
Samenvatting TI1306 Redeneren & Logica Review Guide 2014 Door: David Alderliesten Disclaimer De informatie in dit document is afkomstig van derden. W.I.S.V. Christiaan Huygens betracht de grootst mogelijke
Overzicht Fourier-theorie
B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van
Eerste-orde logica (= Predikaatlogica)
Eerste-orde logica (= Predikaatlogica) Onderdeel van het college Logica (2017) Klaas Landsman 1.1 Eerste-orde taal (aanvulling op 2.2 in Moerdijk & van Oosten) De propositielogica is te eenvoudig om bijv.
Zomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 011 Module 1 Algebraïsch rekenen (versie augustus 011) Inhoudsopgave 1 Rekenen met haakjes 1.1 Uitwerken van haakjes en ontbinden in factoren............. 1. De
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma Voorwoord Dit zijn aantekeningen voor het vak Discrete Wiskunde (2WC15), gegeven in het lentesemester van 2010. Dit vak bestaat uit twee delen: algoritmische
Getallensystemen, verzamelingen en relaties
Hoofdstuk 1 Getallensystemen, verzamelingen en relaties 1.1 Getallensystemen 1.1.1 De natuurlijke getallen N = {0, 1, 2, 3,...} N 0 = {1, 2, 3,...} 1.1.2 De gehele getallen Z = {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1,
Toelichting bij geselecteerde opdrachten uit Betekenis en Taalstructuur
Toelichting bij geselecteerde opdrachten uit Betekenis en Taalstructuur Hoofdstuk 2, tot en met pagina 41. Maak opdrachten 1,2,3,4,5,7,9,10,11,15,16 *1 Met "welgevormd" wordt bedoeld dat de formule toegestaan
Uitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, mei 2007
Uitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, mei 007 Opgave. a. Een beslissingsboom beschrijft de werking van het betreffende algoritme (gebaseerd op arrayvergelijkingen) op elke mogelijke invoer. In
Wat is FP? The Haskell School of Expression. Functies. Types 1+1=2. Iedere expressie (en waarde) heeft een type.
Wat is FP? The Haskell School of Expression Functioneel Programmeren Een andere manier om tegen programmeren aan te kijken Gebaseerd op het uitrekenen van expressies 1+1=2 Eenvoudig maar krachtig (modulair,
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De
1 Rekenen in eindige precisie
Rekenen in eindige precisie Een computer rekent per definitie met een eindige deelverzameling van getallen. In dit hoofdstuk bekijken we hoe dit binnen een computer is ingericht, en wat daarvan de gevolgen
Wiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie HOVO Utrecht Les 1: Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Overzicht colleges 1. College 1 1. Goniometrie 2. Vectoren 2. College
Universiteit Gent. Academiejaar Discrete Wiskunde. 1ste kandidatuur Informatica. Collegenota s. Prof. Dr.
Universiteit Gent Academiejaar 2001 2002 Discrete Wiskunde 1ste kandidatuur Informatica Collegenota s Prof. Dr. Frank De Clerck Herhalingsoefeningen 1. Bepaal het quotiënt en de rest van de deling van
1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;
Tentamen TI1300 en IN1305-A (Redeneren en) Logica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Tentamen TI1300 en IN1305-A (Redeneren en) Logica 21 Januari 2011, 8.30 11.30 uur LEES DEZE OPMERKINGEN AANDACHTIG DOOR
Functies deel 1. Vijfde college
3 Functies deel 1 Vijfde college 1 Ch.3 Functions and Algorithms Hoofdstuk 3 uit Schaum gaat over functies en algoritmen. Het gedeelte over algoritmen ( 3.8 en 3.9) komt uitgebreid aan de orde bij toekomstige
1 Inleiding in Functioneel Programmeren
1 Inleiding in Functioneel Programmeren door Elroy Jumpertz 1.1 Inleiding Aangezien Informatica een populaire minor is voor wiskundestudenten, leek het mij nuttig om een stukje te schrijven over een onderwerp
Logica voor Informatica. Propositielogica. Normaalvormen en Semantische tableaux. Mehdi Dastani
Logica voor Informatica Propositielogica Normaalvormen en Semantische tableaux Mehdi Dastani m.m.dastani@uu.nl Intelligent Systems Utrecht University Literals Een literal is een propositieletter, of de
Lab Webdesign: Javascript 3 maart 2008
H5: OPERATORS In dit hoofdstuk zullen we het hebben over de operators (of ook wel: operatoren) in JavaScript waarmee allerlei rekenkundige en logische bewerkingen kunnen worden uitgevoerd. Daarbij zullen
VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN
I VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN Het begrip verzameling kennen we uit het dagelijks leven: een bibliotheek bevat een verzameling van boeken, een museum een verzameling van kunstvoorwerpen. We kennen verzamelingen
Automaten. Informatica, UvA. Yde Venema
Automaten Informatica, UvA Yde Venema i Inhoud Inleiding 1 1 Formele talen en reguliere expressies 2 1.1 Formele talen.................................... 2 1.2 Reguliere expressies................................
Honours projecten BSc Informatica: twee voorstellen
Honours projecten BSc Informatica: twee voorstellen mogelijk ook geschikt voor BSc Kunstmatige Intelligentie Alban Ponse section Theory of Computer Science Informatics Institute, University of Amsterdam
Gegevens invullen in HOOFDLETTERS en LEESBAAR, aub. Belgische Olympiades in de Informatica (duur : maximum 1u15 )
OI 2010 Finale 12 Mei 2010 Gegevens invullen in HOOFDLETTERS en LEESBAAR, aub VOORNAAM :....................................................... NAAM :..............................................................
3.4. Antwoorden door N woorden 24 januari keer beoordeeld. Wiskunde B. wi vwo B1 H1 Vergelijkingen en ongelijkheden 1.
Antwoorden door N. 8825 woorden 24 januari 2013 3.4 17 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde B Getal en ruimte Uitwerkingen wi vwo B1 H1 Vergelijkingen en ongelijkheden 1. I, II, IV, V 2. a. x 2 + 6 = 5x
Vergelijkingen en hun oplossingen
Vergelijkingen en hun oplossingen + 3 = 5 is een voorbeeld van een wiskundige vergelijking: er komt een = teken in voor, en een onbekende of variabele: in dit geval de letter. Alleen als we voor de variabele
II.3 Equivalentierelaties en quotiënten
II.3 Equivalentierelaties en quotiënten Een belangrijk begrip in de wiskunde is het begrip relatie. Een relatie op een verzameling is een verband tussen twee elementen uit die verzameling waarbij de volgorde
Om te kijken of x, y, z samen een driehoek specificeren hoeven we alleen nog maar de driehoeksongelijkheid te controleren: x, y, z moeten voldoen
Feedback Software Testing, Opdrachten Week 1 Driehoek-test Deze opdracht is in het algemeen zeer goed uitgevoerd. Algemeen valt in vergelijking met vorig jaar op dat de ingeleverde oplossingen veel minder
1. Vectoren in R n. y-as
1. Vectoren in R n Vectoren en hun meetkundige voorstelling. Een vector in R n is een rijtje (a 1, a 2,..., a n ) van reële getallen. De getallen a i heten de coördinaten van de vector. In het speciale
Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie 9 februari 2009 INLEIDING
Discrete Structuren Piter Dystra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 9 februari 2009 INLEIDING Discrete Structuren Wee1: Inleiding Onderwerpen Elementaire
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Donderdag 8 juli 4. Tijd: 14. 17. uur. Plaats: MA 1.44/1.46 Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je
Discrete Structuren. Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dystra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 12 februari 2008 INLEIDING Discrete Structuren Wee1: Inleiding Onderwerpen
Hoofdstuk 20: Wiskundige functies
Hoofdstuk 20: Wiskundige functies 20.0 Introductie Er is een uitgebreid aanbod aan wiskundige functies in Excel, variërend van het simpele + teken tot de esoterische statistiek functies voor een correlatie
Predicaten. Hoofdstuk 4
Hoofdstuk 4 Predicaten Tot nu toe hebben we ons beziggehouden met proposities, en gezien hoe we daarmee moeten omgaan. Proposities zijn echter niet toereikend om daarin alle overwegingen te formuleren
College Notatie, Recursie, Lijsten
College 2016-2017 2. Notatie, Recursie, Lijsten Doaitse Swierstra (Jeroen Bransen) Utrecht University September 13, 2016 Functieapplicatie functieapplicatie associeert naar links: als x in f x y moet kiezen
Mededelingen. TI1300: Redeneren en Logica. Waarheidstafels. Waarheidsfunctionele Connectieven
Mededelingen TI1300: Redeneren en Logica College 4: Waarheidstafels, Redeneringen, Syntaxis van PROP Tomas Klos Algoritmiek Groep Voor de Fibonacci getallen geldt f 0 = f 1 = 1 (niet 0) Practicum 1 Practicum